Bài tập Chương II Đại số 8

CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.
BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
I, ĐỊNH NGHĨA:

A
với A, B là các đa thức ( B khác đa thức 0) gọi là các phân thức đại số.
B
Khi đó: A gọi là tử thức, B gọi là mẫu thức.
+ Các biểu thức có dạng

VD: Các phân thức đại số
13
4x  7
;
;
2
2
2x  y
x  2x  1

6x  3
;
1

6; …

Chú ý:
+ Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.
+ Các số cũng được coi là các phân thức đại số.
+ Đa thức 0 là số 0.
II, HAI PHÂN SỐ BẰNG NHAU:

A
C
và
gọi là bằng nhau nếu A.D  B.C .
B
D
x 1
1

VD: Hai phân thức 2
vì  x  1 .  x  1  1. x 2  1 .
x 1 x 1
+ Hai phân thức





III, TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
+ Nếu nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức mới, bằng phân thức
đã cho :
A A.M

,  M  0 .
B B.M
+ Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân
thức mới, bằng phân thức đã cho:
A A:N


, (N là một nhân tử chung của A và B).
B B: N
Chú ý:
+ Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được một phân thức bằng phan thức đã cho.
A A
A A


hoặc
.
B B
B B
IV: BÀI TẬP VẬN DỤNG:

1


Bài 1: Chứng minh rằng:
a,

5y 20xy

.
7
28x

b,

x2  8
 x 2.

x 2  2x  4

a,

x 2 y3 7x 3 y 4
.

5
35xy

b,

3  x x 2  6x  9

.
3 x
9  x2

a,
a,

3x.  x  5 
2.  x  5 

x 2 . x  2
x.  x  2 

2



3x
.
2

b,

x 3  4x  x 2  2x

.
10  5x
5



x
.
x2

b,

x 2  x  2 x 2  3x  2

.
x 1
x 1

Bài 2: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống:
a,

3x 2 y .....
.

9xy 2 3y

b,

.....
3x 2  3xy

.
x  y 3.  y  x 2

a,

x  x2
x

.
2
5x  x .....

b,

4x  3 12x 2  9x

.
x2  5
.....

a,

.....
6x 2  3x

.
2x  1 4x 2  1

b,

x 2  2x  8 x  4

.
2x 2  8
.....

a,

.....
6x 2  3x

.
2x  1 4x 2  1

b,

4x 2  3x  7 4x  7

.
.....

2x  3

xy
.
.....

b,

.....
4x  3

.
7x  9x  2 7x  2

x 2  8 3x 3  24x

.
2x  1
.....

b,

x 2  2x
x 2  2x

.
2x 2  3x  2
.....

a,

a,

5.  y  x 

2

5x  5xy
2



5x 2  13x  6 5x  3

b,
.
.....
2x  5

x3  x 2
.....

a,
.
 x  1 .  x  1 x  1
a,

3.  x  y 
2

2

5x 2  5y2

.
.....

x 2  3x
x 2  4x

b,
.
2x 2  7x  3
.....

Bài 3: Ba phân thức sau có bằng nhau hay không?

x 2  2x  3
.
x2  x

x 2  4x  3
.
x2  x

x 3
.
x

Bài 4: Các phân thức sau có bằng nhau hay khơng?

x 2  3x
x 3
a,
và
.
2x  5
2x 2  5x

 x  1

c,

 x  9
2.  9  x 

c,

5x  3 5x 2  13x  6

.
x2
x2  4

3

2

x 1
b, 2
và

.
x x
1

và

9  x 
2

2

.

Bài 5: Hãy sửa lại lỗi sau trong các đẳng thức sau:
a,

x2  2 x  2

.
x2 1 x  1

b,

x 1
x2  3
 2
.
x  3 x  6x  9

2

BÀI 2: RÚT GỌN PHÂN THỨC:
I, QUY TẮC:
+ Các bước thực hiện rút gọn:
B1: Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử.
B2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu.
B3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Chú ý:
+ Có thể sử dụng tính chất đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung.
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Rút gọn các phân thức:
a,

6x 2 y 2
.
8xy5

b,

12x 3 y 2
a,
.
18xy 5

b,

15x 2 y 3 z8
a,
.

9x 3 y3 z 4

b,

45x.  3  x 
15x.  x  3

3

15x.  x  5

.

c,

.

c,

3

20x 2 .  x  5

8xy.  3x  1

3

12x . 1  3x 
3

.

c,

3x 2 y  3x 2
.
2x.  y  1

5x 2  10xy
2.  2y  x 
36.  x  2 
32  16x

.
3

d,

x 2  xy
.
5y 2  5xy

d,

10xy  5x 2
.
2x 2  8y 2

d,

5x  10
.
25x 2  50x

3

.

Bài 2: Rút gọn các phân thức:

x 2  2x  1
.
5x3  5x 2

c,

y2  x 2
.
x 2  3xy  2y 2

x 2  3x
a,
.
9  x2

x 2  6x  9
b,
.
4x 2  12x

c,

x 2 y  2xy 2  y3
.
2x 2  xy  y 2

x 2  3x
a, 3
.
x  9x

x 2  5x  6
b, 2
.
x  4x  4

x 2  y 2  1  2xy
c, 2
.
x  y 2  1  2x

a,

x  x2
.
x 2 1

b,

a,

x2  9
.
3x  x 2

b,

x 2  6x  9
.
x 2  8x  15

c,

x 2  y 2  4  2xy
.
x 2  y 2  4  4x

a,

x 2  xy
.
y2  x 2

b,

3x 2  5x  2
.
x 2  3x  10

c,

5x 2  10xy  5y 2
.
3y 2  3x 2

2x  4y
a, 2
.
x  4y2

x 2  8x  12
b, 2
.
x  2x  24

a 2  b 2  c2  2ab
c, 2
.
a  b2  c2  2ac

a,

3xy  3x
.
9y  9

b,

x 2  7x  12
.

4x 2  12x

c,

x 2  3xy  2y 2
.
x 3  2x 2 y  xy 2  2y3

a,

2x 2  2x
.
x 1

b,

7x 2  14x  7
.
3x 2  3x

c,

y2  x 2
.
x 3  3x 2 y  3xy 2  y3

Bài 3: Rút gọn các phân thức:
a,

a,

4x.  3x  1

3

8x 3 1  3x 

x 3  2x 2  x
b,
.
x 2 1

.

7x 5 y.  x  y 

2

14xy3 .  x  y 

.

x3  x2  x  1
b,
.
1  x3

c,

c,

9   x  5

2

x 2  4x  4

a  b

2

.

 c2

abc

.
3


a,

a,
a,

10xy2 .  x  y 
15xy.  x  y 

3

8x 3 y 4 .  x  y 

.

b,

x3  x2  x  1
.
1  x3

c,

x 3  4x 2  4x
.
x2  4

b,

x 3  3x 2  3x  1
.
4x 3  4x 2

c,

x 2  xy  x  y
.
x 2  xy  x  y

2

12x 2 y5 .  y  x 

.

14xy5 .  2x  3y 
21x 2 y.  2x  3y 

2

.

7x 2  7x 3
b, 3
.
x  3x 2  3x  1

c,

14x 2 y3  21xy4
7x 2 y.  2x  3y 

2

.

Bài 4: Rút gọn các phân thức:

2x 2  3x  20
a,

.
x 2  16

b,

x 2  xy
.
3x 2  3xy

Bài 5: Chứng minh các phân thức sau bằng nhau:

9x 2  1
9x 2  6x  1
a,
và
.
12x 2  4x
12x 2  4x
2x 2  7x  6
2x 2  x  6
a,
và 2
.
x2  4
x  4x  4
Bài 6: Rút gọn rồi tính giá trị:
a, A 

5x 2  5x
5x 3  5x 2  5x

b, 2
và
.
x  2x  1
x3  1
3x 3  12x 2  15x
4x 2  12x  40
b,
và
.
6x 3  9x 2  3x
8x 2  20x  8

x 4  2x 3
1
tại x  .
2
3
2x  x
5

x 2  4x  4
1
tại x  .
2
x  6x  8
5
2y  2x
1
a, A  2

tại x  y  .
2
x  2xy  y
2
a, A 

BÀI 3: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC:
I, KHÁI NIỆM:
+ Quy đồng mẫu thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức bằng nó và có cùng
một mẫu:
VD:
1
1
và
, khi ta quy đồng thì:
xy
xy
+

1
xy
xy
.

 2
x  y  x  y  . x  y  x  y2

+

1

xy
xy
.

 2
x  y  x  y  . x  y  x  y2

II, QUY TẮC:
+ Các bước quy đồng mẫu thức các phân thức:
B1: Phân tích mẫu thức các phân thức thành nhân tử.
B2: Chọn MTC: là tích các nhân tử chung và riêng với lũy thừa cao nhất.
B3: Nhẩm nhanh thừa số phụ ứng với mỗi phân thức, Nhân phân thức với thừa số phụ tương ứng.
III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Quy đồng:
4


a,

5
4
và
.
2
6xy
9x 3 y

b,

3x

x 3
và 2
.
2x  4
x 4

c,

x 5
x
và
.
x  4x  4
3x  6

a,

2
3
và
.
3 2
3x y
4x 7 y

b,

5
3
và 2

.
2x  6
x 9

c,

x 1
x2
và
.
2
xx
2  4x  2x 2

a,

25
14
và
.
2
14x y
21xy5

b,

1
8
và
.

x2
2x  x 2

c,

2x
x
và
.
2
x  8x  16
3x  12x

a,

5
7
và
.
3
x y
12x 3 y 4

b,

7x  1
5  3x
và 2
.
2

2x  6x
x 9

c,

1
5
và
.
2
4x  8x  4
6x  6x

5

3x  1
y2
a,
và
.
4
12xy
9x 2 y3
11
3
và
.
4
102x y
34xy3

b,

a,

4
11
và
.
3 5
15x y
12x 4 y 2

b,

2

4x 2  2x  5
1  2x
c,
và 2
.
3
x 1
x  x 1

3
5
b, 2
và

.
x  5x
2x  10

a,

2

x2

.

c,

1
y
và 2
.
2x  2y
x  2xy  y 2

4x  4
x 3
và
.
2x.  x  3 
3x.  x  1

c,

x
xy
và 2
.
2
x  2xy  y
y  xy

2x

 x  2

3

và

2x.  x  2 

2

2

Bài 2: Quy đồng mẫu ba phân thức sau:

x3
x x 3
;
và
.
6

3
4
x 1
x4
a, x2 ; 2 2 và 2
xy
x y
a,

b,

x2
x
1
;
và 2
.
x 1 1 x
x 1

b,

10
5
1
;
và
.
x  2 2x  4
6  3x

a,

1
x 1
x 1
;
và
.
3 2
2 4
6x y 9x y
4xy3

b,

x 1
x 1
1
;
và
.
2x  2 2x  2
1 x2

a,

3  2x
5
2

;
và
.
4
2 2
10x y 8x y
3xy5

b,

x
1
3
;
và
.
2x  4 2x  4
4  x2

a,

1
2
3
;
và
.
6
2 7 2
x y z 3x y z

4x 5 y

b,

x
y
1
;
và
.
2
3
x  y  x  y
 x  y

4

Bài 3: Quy đồng mẫu ba phân thức sau:

4
xy
7
a,
;
và
.
5x x  2y
8y 2  2x 2

4x 2  3x  5

6
2x
b,
;
và 2
.
3
x 1
x 1
x  x 1

a,

1
3
2
;
và 2
.
x  1 2x  2
x  x 1

b,

1
1
1
;
và 2
.

3x  3y 2y  2x
x  2xy  y 2

a,

x
x 2  y2
; 2
và x  y .
x  y x  2xy  y 2

b,

2
5
3
;
và
.
3
x  3 3x  12x
 2x  4  .  x  3

a,

3x  6
5x
1 x
; 2
và 2

.
2
x  4 x  2x
x  3x  2

b,

5x 2
3
4x
;
và 2
.
3
2
x  6x  12x  8 2x  4
x  4x  4

3

5


BÀI 5: PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I, CỘNG, TRỪ PHÂN THỨC CÙNG MẪU:
Quy tắc :
“ Khi Cộng ( Trừ) các phân thức cùng mẫu, ta Cộng ( Trừ) các tử thức và giữ nguyên mẫu thức ”.
A B AB
A B AB
 

 
hoặc
.
M M
M
M M
M
VD: Tính:
2
x2
4x  4 x   4x  4   x  2 
x2




+
.
3x  6 3x  6
3x  6
3.  x  2 
3
2

+

3x  1 2x  1 3x  1   2x  1
x
1
.





7xy
7xy
7xy
7xy 7y

II, CỘNG, TRỪ PHÂN THỨC KHÁC MẪU:
Quy tắc:
“ Khi Cộng ( Trừ) các phân thức khác mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép tính ”.
VD: Tính:

 x  1   2x  .x
 x  1
x 1
2x
x 1
2x
x 1
 2





+
.
2x  2 x  1 2.  x  1  x  1 .  x  1

2.  x  1 .  x  1
2.  x  1 .  x  1 2.  x  1
2

2

III, TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC:
+ Phép cộng các phân thức có các tính chất sau:
A C C A
+ Giao hoán:    .
B D D B

A C M A C M A M C
        .
B D N  B D N  B N  D
IV, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
2x 2
1
1
 .
a, A 
b, A  
.
c, A 
5 5
x x 1
2x  5 x  2
x
1



a, A 
.
b, A 
.
c, A 
3
3
x 1 1  x
+ Kết hợp:

a, A 

3x  5 4x  5

.
7
7

a, A 

3x  1 4x  1

.
7
7

a, A 

x 2  4 3x  4

.
x
x

b, A 

x
y

.
y  xy xy  x 2

c, A 

a, A 

5x  y 2 5y  x 2
.

x2y
xy 2

b, A 

1
1
 2
.

2
y  xy x  xy

c, A 

4xy  5 6y 2  5
a, A 
.

10x 3 y 10x 3 y

b, A 

1
1
.

y.  x  y  x.  x  y 

c, A 

b, A 

xy
x2
.

x 2  y2 y2  x 2

b, A 

c, A 

1
1
 2
.
2
xy  x
y  xy

2

4x  5 5  9x

.
2x  1 1  2x
11x
x  18

.
2x  3 3  2x
x
x

.
5x  5 10x  10
c, A 

2x  7 3x  5


.
10x  4 4  10x

x6
2x  3
.

2x  6 x.  x  3 

x2  2
x.  x  1

2



2x
x.  x  1

2

.

4x  13
x  48
.

5x.  x  7  5x.  7  x 

Bài 2: Thực hiện phép tính:
6


x  3 x 1

.
x2 1 x 2  x
x 9
3
 2
a, A  2
.
x  9 x  3x

x  2 x 9 x 9


.
x 1 1  x 1  x
x  1 x  18 x  2


b, A 
.
x 5 x 5 x 5

a, A 

a, A 

b, A 

x 1
x2  3

.
2x  2 2  2x 2

b, A 

x  12
6
 2
.
6x  36 x  6x
3x  5
25  x

a, A  2
.
x  5x 25  5x

5
7
11


.
2

2
6x y 12xy 18xy

1  5x x  1 2x  1


.
6x
2x
3x
4x  2 5y  3 x  1


b, A 
.
15x 3 y 9x 2 y 5xy3

a, A 

b, A 

3
x 6
 2
a, A 
.
2x  6 2x  6x
1
25x  15


a, A 
.
2
x  5x
25x 2  1

2x 2  x x  1 2  x 2


.
x 1 1  x x 1
1  2x 3  2y 2x  4


b, A 
.
6x 3 y 6x 3 y 6x 3 y

a, A 

b, A 

y
4x
 2
.
2
2x  xy y  2xy

b, A 

4  x 2 2x  2x 2 5  4x


.
x 3
3 x
x 3

b, A 

7
x
36

 2
.
x x  6 x  6x

Bài 3: Thực hiện phép tính:

a2
1
2a

 2 .
a, A 
a 1 a 1 a 1

3 3x  3 2x 2  1



.
2x 2x  1 4x 2  2x
3x  1
1
x 3


b, A 
.
2
2
 x  1 x  1 1  x

4
3
12

 2
.
x 2 2x x 4
4
2
5x  6


a, A 
.
x  2 x  2 4  x2

a, A 

b, A 

x2
1
2


.
2
x 4 x2 2x
1
2
x

 2
a, A 
.
x2 x2 x 4
1
2
3x

 2
a, A 
.
x  y x  y y  x2

x

3x
2x 2

 2 .
2x  2 2x  2 x  1
1
4
3x  6


b, A 
.
3x  2 3x  2 5  9x 2
2x  1 1  2x
2


b, A 
.
4x  2 4x  2 1  4x 2

a, A 

a, A 

x
y
2xy

 2

.
x  y x  y y  x2

1
1
3x  6


a, A 
.
3x  2 3x  2 4  9x 2
x  1 1  x 2x. 1  x 


a, A 
.
x 3 x 3
9  x2
a, A 

x
x
4xy

 2
.
x  2y x  2y 4y  x 2

b, A 

b, A 

1  3x 3x  2
3x  2


.
2x
2x  1 2x  4x 2

b, A 

2x  1
32x 2
1  2x

 2
.
2
2
2x  x 1  4x 2x  x

b, A 

1
1
y

 2
.

2x  2y 2x  2y y  x 2

b, A 

1
1
3x

 2
.
6x  4y 6x  4y 4y  9x 2

Bài 4: Thực hiện phép tính:

7x  3 x  3

a,
.
2x 2 y 2x 2 y

2
x
x  x2


b,
.
x  3 3  x x2  9

c,

2
7x

.
x  1 3x  3
7


a,

4x  1 7x  1

.
3x 2 y 3x 2 y

b,

1
1
4x  4

 2
.
x2 x2 x 4

c,

x
9

 2
.
x  3 x  3x

a,

4x  3 x  3

.
10x 2 y 10x 2 y

b,

2
3
18  5x

 2
.
x2 x2 x 4

c,

x 1
2x  3
 2
.
2x  6 x  3x

a,

5xy  4y 3xy  4y

.
2x 2 y3
2x 2 y3

b,

x  1 x  1 2x  2x 2

 2
.
x 3 3 x
x 9

c,

x2
8
 2
.
2
x  2x x  4

b,

2x  6 7x  15
3x



.
2x  3 2x  3 2x  3

c,

2
5
2x  33


.
2x  3 2x  3 9  4x 2

Bài 5: Thực hiện phép tính:
2x  7 3x  8

a,
.
10x  2 2  10x
Bài 6: Thực hiện phép tính:
a, A 

1
x2  2

1

.
x2  x 1

x3  1

b, A 

xy yz zx


.
xy
yz
zx

a, A 

1
1
1
 3
 2
.
x 1 x 1 x  x 1

b, A 

2x
x 1
2 x

 2
.

x  4x  4 x  2 x  4x  4
2

x2  2
2
1
 2

.
3
x 1 x  x 1 1  x
1
1
2x
 2

a, A  2
.
x  x  1 x  x 1  x3

1
1
x

 2
2
x  6x  9 6x  x  9 x  9
1
3
x  14

b, A 
.
 2
 2
x  2 x  4  x  4x  4  .  x  2 

x 3  2x
2x
1
 2

a, A  3
.
x 1 x  x  1 x 1

b, A 

18
3
x
.
 2
 2
2
 x  3 . x  9 x  6x  9 x  9

b, A 

1
2x

1
 3
 2
.
2
x  3x  2 x  4x  4x x  5x  6

b, A 

1
1
1
.


x  3  x  3  .  x  2   x  2  .  4x  7 

a, A 

a, A 

3.  x  1

x

3



1

2



1 x
3

.
x  x 1 1 x
2

a, A 

1
3xy
xy
 3 3 2
.
x  y x  y x  xy  y2

a, A 

1
3xy
xy
 3
 2
.
3

x  y y  x x  xy  y 2

a, A 

4x 2  3x  17
2x  1
6
 2

.
3
x 1
x  x 1 1 x

b, A 

2





2

3x 2  5x  1
1 x
3
 2

.

3
x 1
x  x 1 x 1
Bài 7: Thực hiện phép tính:
1
1
1
a, A 
.


x.  x  1  x  1 .  x  2   x  2  .  x  3
a, A 

a, A 

1
1
1
.


 a  b  . a  c   b  c  .  b  a   c  a  . c  b 

a, A 

1
2
3
.



 x  1 .  x  2   x  2  .  x  3  x  3 .  x  1

a, A 

a2
b2
c2


.
 a  b  . a  c   b  c  . b  a   c  a  . c  b 
8


a, A 

1
1
1
.


 x  y  .  y  z   y  z  . z  x   z  x  .  x  y 

a, A 

4
3

3
.


 y  x  .  z  x   y  x  . y  z   y  z  .  x  z 

a, A 

x2 1
y2  1
z2  1


.
 x  y  .  x  z   y  x  . y  z   z  x  . z  y 

a, A 

1
1
1
.


x.  x  y  .  x  z  y.  y  z  .  y  x  z.  z  x  .  z  y 

4.  x  3

2x  3  x 2


a, A 


.
2
2
2
 3x  5   4x 2 9x 2   2x  5   4x  15  x 2
2

x 2  25

2

Bài 8: Thực hiện phép tính:
1
1
1
 2
 .....  2
a, A  2
.
a  a a  3a  2
a  19a  90

1
1
2a
4a 3
8a 7


 2 2 4 4 8 8.
ab a b a b a b a b
1
1
2
4
8
16
32






a, A 
.
2
4
8
16
1 x 1 x 1 x 1 x
x  x 1 x
1  x 32
a, A 

BÀI 7: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
I, PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC:
Quy tắc:

“ Khi nhân hai phân thức, ta nhân các tử với nhau, mẫu thức với nhau, rồi rút gọn “.
A C A.C
+ . 
.
B D B.D
VD:

 x  13
2x 5

2





2
3.  x  13
3x 2  x  13 . 3x
.
.


x  13
2x 5 .  x  13
2.x 3
2

II, PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC:
Quy tắc:

“ Khi chia hai phân thức, ta chuyển thành phép nhân với số nghịch đảo “.
A C A D
+ :  . .
B D B C
VD:





1  4x 2
3x. 1  2x 1  2x  3. 1  2x 
1  4x 2 2  4x
3x
.
:
 2
.


2
x  2x 3x
x  2x 2  4x x  x  2  .2 1  2x  2.  x  2 

III, TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÉP NHÂN PHÂN THỨC:
Phép nhân các phân thức có các tính chất sau:
A C C A
+ Giao hốn: .  . .
B D D B
+ Kết hợp:

A C M A C M A M C
. .  . .    .  . .
B D N B D N B N D
9


A C M A C A M
.    .  . .
B D N  B D B N

+ Phân phối:

IV, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a, A 

15x 2y 2
.
.
7y3 x 2

b, A 

x  y x  y x 1
:
.
.
y 1 x 1 y 1

a, A 

6x 3 35y 2
.
.
7y 4 24x

b, A 

x 1 x  2 x  3
.
:
.
x  2 x  3 x 1

a, A 

30x 3 121y5
.
.
11y 2 25x

b, A 

x 1 x  2 x  3
:
.
.
x  2 x  3 x 1

b, A 

x 1 x  2 x  3
:
:
.
x  2 x  3 x 1





2
4y2 3x
.
a, A 
.
11x 4 8y

a, A 

24y 5  21x 
.
.
7x 2 12y 3

b, A 

x2  x x  3 x  3
:

.
.
x  2 x  2 x 1

a, A 

18y3 15x 2
.
.
25x 4 9y3

b, A 

x 1  x  2 x  3 
.
:
.
x  2  x  3 x 1 

b, A 

x 1  x  2 x  3 
:
:
.
x  2  x  3 x 1 

a,

3

20x   4x 

A
:

3y

2

5y

.

Bài 2: Thực hiện phép tính:
8y 2 3x 2
a,
.
.
9x 2 4y

b,

 x  4

2

x4
.
4x  12 3x  9
:

3x 2 
 x
 
c, 
.
 1 :  1 
2 
 x 1   1 x 

Bài 3: Thực hiện phép tính:

5x  10
:  2x  4  .
x2  7
2x  10
a, A  x 2  25 :
.
3x  7
a, A 









a, A  4x 2  16 :

a, A   5  5a  :
a, A 

3x  6
.
7x  2

10  10a 2
.
1 a

3x 3  3
: x2  x  1 .
x 1





x 2  36 3
.
.
2x  10 6  x
5x  10 4  2x
.
b, A 
.
4x  8 x  2
b, A 

x 2  4 x 2  2x
:
.
x 2  x x 1
4.  x  3 x 2  3x
:
b, A 
.
3x 2  x 1  3x
4x  12 3.  x  3
:
b, A 
.
2
 x  4 x  4
b, A 

Bài 4: Thực hiện phép tính:
a, A 

x  2 x 2  2x  3
.
.
x  1 x 2  5x  6

b, A 

6x  3 25x 2  10x  1
.
.

5x 2  x
1  8x 3

x 1
4x
. 2
a, A  2
.
x  2x  8 x  x

x 2  2x  1 2x 2  2x  2
.
b, A 
.
x3 1
x 1

x 2  2 x 2  36
.
a, A 
.
4x  24 x 2  x  2

x  3 8  12x  6x 2  x 3
.
b, A  2
.
x 4
9x  27
10

x3  8
x 2  4x
.
a, A 
.
5x  20 x 2  2x  4

4x  6y 4x 2  12xy  9y2
:
b, A 
.
x 1
1  x3

a, A 

x2  x
3x  3
:
.
2
5x  10x  5 5x  5

b, A 

2x 2  20x  50 x 2  1
.
.

3
3x  3
4.  x  5 

a, A 

x2
x2
. 2
.
2
x  3x  2 x  5x  6

b, A 

5x 2  5xy  5y 2 14x 2  14y 2
.
.
7x  7y
15x 3  15y3

x
b, A 

x 2  5x  6 x 2  4x  4
:
a, A  2
.
x  7x  12 x 2  3x
a, A 

2

 xy



x 2  y2

x 2  2x  3 x 2  7x  12
:
.
x 2  3x  10 x 2  9x  14

b, A 

2

.

x 3  y3
.
x 3 y  x 2 y 2  xy 3

5x 2  10xy  5y 2
8x  8y
.
:
2
2

2x  2xy  2y 10x 3  10y 2

Bài 5: Thực hiện phép tính:

x 2  1 3x  2 2x  1 x 2  1
.

.
a, A 
.
x
x 1
x 1
x
a, A 

x 3 x 4
x3 x4
: 2
 2 :
.
2
x  1 x  6x x  1 x  4

19x  8 5x  9 19x  8 4x  2
.

.
a, A 
.

x  7 x  1945 x  7 x  1945
a, A 

x3
3x  2000
x3
20  x
.

.
.
x  1010
x 1
x  1010 x  1

x  3 x2
x x3
2 x3
.

.

.
.
x 1 x  2 x  2 x 1 x  2 x 1
Bài 6: Thực hiện phép tính:
2a 2  2b2  a  b  a 2  ab  b 2
:
.
a, A 

2
 a  b  b  a 2a  2b
a, A 

a, A 

4x 4  4x 2 y  y 2  4
x2 1
.
x 2  y  xy  x
2x 2  y  2

a, A 

x 7  3x 2  2 3x x 2  x  1
.
.
x3 1
x  1 x 7  3x 2  2

b, A 

3x 2  3xy
xy
.
: 3
2
2
x  xy  y x  y 3

b, A 

x 2  2xy  y 2 x  y
.
:
x 2  xy  y 2 x 3  y3

x 2  12xy  36y 2 3x  18y
b, A  2
.
:
x  12xy  36y 2 3x  18y

b, A 

ax 2  ay 2
x 3  y3
.
.
x 2  2xy  y 2 x 2  2xy  y 2

b, A 

x 1
x2  4 x2  x  1
.
.
.
x 2  4x  4 x 3  1 x  2

x 4  15x  7
x
4x 3  4
.
.
a, A 
.
2x 3  2 14x 2  1 x 4  15x  7
Bài 7: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên:
a, A 

3
.
2x  1

b, A 

2x  1
.
x2

c, A 

x 2  3x  5
.
x 1

a, A 

5

.
2
x 1

b, A 

x2
.
x2  4

c, A 

3x 2  x  1
.
3x  2

a, A 

10
.
x2 1

b, A 

x 2  59
.
x 8

c, A 

3x 2  8x  1
.
x 3

7
a, A  2
.
x  x 1

3x 2  x  3
b, A 
.
3x  2

x3  x2  2
c, A 
.
x 1
11


Bài 8: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên:
a, A 

x 4  2x 3  5
.
x2

b, A 

3x 3  4x 2  x  1
.
x4

a, A 

x 3  2x 2  4
.
x2

b, A 

2x 3  x 2  2x  5
.
2x  1

2x 3  6x 2  x  8
x 3  2x 2  5x  10
.
b, A 
.
x 3
x 2  4x  4
Bài 9: Tìm các giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 0:
a, A 

x2  4
a, A  2
.
x  2x

a, A 

2x 2  10x  12
.
x 3  4x

a, A 

x3  x2  x 1
.
x 3  2x  5
BÀI 8: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỈ.

I, BIỂU THỨC HỮU TỈ:
+ Khi ta thực hiện các phép toán: Cộng, Trừ, Nhân , Chia, Lũy thừa, GTTĐ trên những phân thức
Thì cho ta các biểu thức hữu tỉ.
+ Giá trị của một biểu thức phân chỉ được xác định khi các mẫu thức có giá trị khác 0.
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
x2
x 1
x
a, A 
.
b, B  2
.
c, A  2
.
x3
x 1

x  x 1
a, A 

5x
.
2x  4

b, A 

5
.
2
x 3

a, A 

4x
.
3x  7

b, A 

x2
.
x 2  y2

b, A 

3
.

2
x  9y 2

8
a, A 
.
x  2020

x2  2
.
4x 2  4x  1
2
c, A  2
.
2x  5x  3
c, A 

c, A 

5x 2
.
16  24x  9x 2

Bài 2: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a, A 

3x  2
.
2x 2  6x

b, A 

xy
.
 x  2. x  y 

a, A 

5
.
2x  3x 2

b, A 

x
.
x  4 .  x  1

c,

a, A 

x y2
.
9x 2  4y2

b, A 

xy
.

 x  y  x  2y 

c,



2



c, A 

x2  5
x2 1

Bài 3: Rút gọn các biểu thức:

12


8  x 1
 1
 2
a, A  
.
:
 x  4 x  16  x  4
a, A 

x

x 2  3x  x  3
x 

. 2
 2
.
x  3 2x  3  x  3x x  9 

a, A 

x 2  6 x 2  3x  x
x3 

. 2
 2
.
x 3
2x  3  x  9 x  3x 

x  6  2x  6
x
 x
 2

a, A   2
.
: 2
 x  36 x  6x  x  6x 6  x
Bài 4: Với giá trị nào của x thì giá trị của các biểu thức sau bằng 0.

3x 2  5x  2
.
3x 2  7x  2
1
 x 1.
a, A  2
x  x 1
x
3

a, A  2
.
x  4  x  2 2
a, A 

3
6x
x


.
2
x 3 9 x
x 3
2x  1
2x  3
 2
0.
a, A  2
x  2x  1 x  1

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a, A 

a, A 

3x 2  x
tại x  8 .
9x 2  6x  1

b, A 

x 2  3x  2
tại x  100 .
x 3  2x 2  x  2

x2  4
.
4x  8
a, Tìm điều kiện xác định.
b, Rút gọn biểu thức A.
c, Với giác trị nào của x để A  0 .
d, Tìm giá trị của A với x  3 .

Bài 6: Cho phân thức: A 

x 2  2x  1
.
x 2 1
a, Tìm điều kiện xác định của M.
b, Rút gọn M.

c, Tìm giá trị của x để phân thức M có giá trị bằng 2.

Bài 7: Cho biểu thức M 

x 2  4x  4
.
x2
a, Tìm điều kiện của x để A xác định.
b, Rút gọn phân thức A.
c, Tìm giá trị của x để A  1 .

Bài 8: Cho phân thức: A 

x 2 1
x 2  3x  2
a, Tìm ĐKXĐ của x.

Bài 9: Cho biểu thức: A 

13


b, Tính giá trị của phân thức tại x  2020 .
c, Tìm gia trị của x để A  0 .
Bài 10: Cho biểu thức: A 

3x 2  6x  12
x3  8

a, Tìm ĐKXĐ của A

b, Rút gọn A
c, Tính giá trị của biểu thức tại x 
Bài 11: Cho biểu thức A 

2021
.
1010

x  15
2

.
2
x 9 x 3

a, Rút gọn A .

1
.
2
c, Tìm số tự nhiên x để A có giá trị nguyên.
x
x 1

Bài 12: Cho biểu thức: A 
.
x2
x
b, Tìm x để A có giá trị bằng

a, Tìm ĐKXĐ.
b, Tìm giá trị của x để A  2 .

 x
4x  4  x  2

Bài 13: Cho biểu thức: A  
.
:
 x  2 x  x  2  2
a, Tìm điều kiện xác định của x.
b, Rút gọn biểu thức A.
1
c, Tính gái trị của A khi x  .
5
Bài 14: Cho biểu thức: A 

x 2  2x x  5
50  5x


2x  10
x
2x.  x  5

a, Tìm ĐKXĐ của x.
b, Tìm giá trị của x để biểu thức A  1
1
c, Tìm giá trị của x để A 
2

 x2  3
1  x
Bài 15: Cho biểu thức: A   2
.

:
 x 9 x 3 x 3

a, Rút gọn A.
b, Tìm các giá trị của x để A  3 .

14


1
2  
x 
 x
Bài 16: Cho biểu thức: A   2


 : 1 
 với x  2 .
 x 4 x2 x2  x2

a, Rút gọn biểu thức,
b, Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức A 

2x

x  1 3  11x


,  x  3
x  3 x  3 9  x2

a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của A khi x  5 .
c, Tìm gái trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.

1
2  
x 
 x


Bài 18: Cho biểu thức: A   2
 : 1 
 ,  x  2  .
 x 4 x2 x2  x2
a, Rút gọn A.
b, Tính giá trị của A khi x  4 .
c, Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là số nguyên.

2
6  5x  x  1
 4x


:

Bài 19: Cho biểu thức: A   2
.
2 
 x  2x x  2 4  x  x  2
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A khi x thỏa mãn x 2  2x  8 .
c, Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
 2x
x
2x 2  3x  1  x  1
Bài 20: Cho biểu thức: A  
.


:
9  x2  x  3
 x 3 x 3

a, Tìm ĐKXĐ và thu gọn A.
b, Tìm x để A  3 .
c, Tìm x để A  1 .
Bài 21: Cho biểu thức: A 

x2
x
8

 2
,  x  2  .
x2 2x x 4

a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm x để A  0 .

2  x 4x 2
2x
 2

.
2x x 4 2 x
a, Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn A.
b, Tìm x để A  3 .

Bài 22: Cho biểu thức: A 

3  x 4x 2 3  x


Bài 23: Cho biểu thức: A 
.
3  x x2  9 3  x
a, Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A.
15


b, Tìm x để A  3 .
x
2  x 12  10x



Bài 24: Cho A 
.
x  2 x  2 x2  4
a, Rút gọn A.
b, Tìm các giác trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
 x2
6
1  
10  x 2 
Bài 25: Cho biểu thức: A   3


:
x

2

 
.
x2 
 x  4x 6  3x x  2  
a, Rút gọn A
1
b, Tính giá trị của biểu thức khi x 
2
c, Với giá trị nào của x thì A  2
d, Tìm giá trị ngun của x để A có giá trị nguyên.

5
4  6

 1

 2
Bài 26: Cho biểu thức A  
.
:
 x 2 x 2 x 4 x 3
a, Tìm điều kiện của x để B xác định.
b, Rút gọn B.
c, Tìm số nguyên của x để B có giá trị nguyên.
1
x4 
1
 x2


: 2
Bài 27: Cho biểu thức: A  
.
2 
 x 2 x 2 4 x  x 4
a, Tìm điều kiện của x để A xác định.
b, Rút gọn A.
c, Tìm các giá trị của x để A  14 .
 3x 2  4 2x  4  2x
Bài 28: Cho A   2
.

. 2
 x  2x x  2  x  4

a, Tìm điều kiện của x để A xác định.
b, Rút gọn biểu thức A.
c, Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận gái trị nguyên.

x 3  8 x 2  2x  4
:
.
x2  9
x 3
a, Tìm điều kiện của x.
b, Rút gọn biểu thức A.
c, Tìm giá trị x để phân thức có giá trị bằng 4.
1   1
2 
 x
 2
 2 .
Bài 30: Cho biểu thức: A  
:
 x 1 x  x   x  1 x 1 
Bài 29: Cho phân thức: A 

a, Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
b, Rút gọn biểu thức A.
1
c, Tính giá trị của A khi x  .
2
Bài 31: Cho hai đa thức: A  x 4  2x 3  x 2  13x  11 và B  x 2  2x  3 .
a, Tìm thược Q và dư R sao cho A  B.Q  R .
b, Tìm GTNN của đa thức Q .

16


 x  2 6x  4  x  2
 2
Bài 32: Cho biểu thức: A  
với x  2, x  1 .
.
 x  2 x  4  x 1
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A khi x  2019 .
  x  12
1   x3 1 x3  1 
Bài 33: Cho biểu thức: Q   2
1  :  2

.
x   x  x x 2  x 
 x  x
a, Tìm điều kiện xác định của Q và rút gọn Q.
b, Tìm x ngun để biểu thức Q có giá trị nguyên.

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 x  1
P

2

Q

 x 1.

1  x 1
 x
 2
Bài 34: Cho biểu thức: P  
với x  1, x  2 .
:
 x2 x 4 x2
a, Rút gọn P.
b, Tính giá trị của P khi x 

1
.
2



2
 x3  1
  x3  1
 x. 1  x
 x  .
x:
Bài 35: Cho biểu thức: A  
x2  2
 x 1
  x 1




2

.

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.
b, Tính giá trị của A biết x  2  1 .
c, Tìm x để A  3 .
 1
1
3
2x 2  1  2x
Bài 36: Cho biểu thức: A  
với x  , x  1 .

 2
: 2
2
 2  2x 2x  2 x  1  x  1

a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
 x 1
1
2  x2  x
Bài 37: Cho biểu thức: A  
.


 2
:
1 x x  x  x 1
 x

a, Tìm điều kiện của x để P xác định và chứng minh P 

x 1
.
x2

b, Tính giá trị của P với x thỏa mãn: 2x  1  3 .
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 38: Cho hai biểu thức: A 

x2  x
2
3
2x  2

 2
và B 
với  x  3, x  1 .
3x  9
x 1 x 1 x 1

a, Tìm giá trị của biểu thức A khi x  2 .
b, Rút gọn biểu thức B.
17

c, Đặt P  a.B . Tìm x để P  1 .

3
 a  2 a  2  a 1

Bài 39: Cho biểu thức: A  
và B  2
với a  0, a   .
.
a 1
 a 1 a 1  a
a, Tìm x để biểu thức B có giá trị bằng 1.
b, Rút gọn biểu thức A.
c, Tìm giá trị của a để A  2.B .

9  x2
4
 1 và B  2
Bài 40: Cho hai biểu thức: A 
với  x  3, x  1 .
x 1
x  2x  1
a, Tính giá trị của biểu thức A khi x  1 .
b, Rút gọn biểu thức P 

A
.
B

c, Tìm x nguyên để P nguyên.
Bài 41: Cho biểu thức A 

x 3
6  7x
3
x


và B  2
.
x2
x 4 x2 2x

a, Tìm ĐKXĐ của B và rút gọn B.
b, Cho A 

1
. Khi đó hãy tính giá trị của B.
2

c, Đặt M 

A
. Tìm các giá trị của x để M   M .
B

Bài 42: Cho biểu thức A 

x2 x2

16

và B  2
với  x  2  .
x2 x2
x 4

a, Tìm x để A  B .
b, Tìm x để

A
 0.
B

18