SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TOÁN 7

1. Cơ sở lí luận:
Một trong các yêu cầu của đổi mới giáo dục là nâng cao chất lượng toàn diện,
đào tạo thế hệ trẻ cho đất nước có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách, có khả
năng tư duy, sáng tạo, tư duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học.
Mơn Tốn là mơn khoa học góp phần rất lớn tạo ra các u cầu đó.
Mơn Tốn có tính trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic. Toán học
được coi là mơn rèn cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo. Trong các mơn học thì
tốn học được xem là mơn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy năng lực cho
bản thân. Việc hình thành năng lực giải tốn cho học sinh là việc làm khơng thể thiếu
được của người thầy. Vậy dạy như thế nào để các em không những nắm chắc
kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà cịn nâng cao được kiến thức để các em có
hứng thú say mê mơn học mà mỗi thầy cơ đặt ra cho mình thì người giáo viên phải
biết chọn lọc và phân tích, nhìn nhận, đánh giá và chỉnh sửa những sai lầm thường
xuyên mắc phải cho học sinh.
2. Cơ sở thực tiễn
Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn; tơi nhận thấy các dạng tốn về tính chất dãy
tỉ số bằng nhau trong mơn tốn 7 là một dạng tốn khó, tuy lượng học trên lớp các em
chỉ học trong 2 tiết nhưng các dạng bài tập thì rất phong phú, đa dạng và được vận
dụng nhiều vào giải các dạng bài tập khác . Nếu các em được trang bị tốt phương
pháp sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ
nghịch các em sẽ giải bài tập có liên quan đến dạng tốn tính số chưa biết rất dễ dàng,
giáo viên cũng thấy nhẹ nhàng khi hướng dẫn các em những loại toán này. Điều đó
giúp các em có hứng thú hơn, tự tin hơn và thêm u thích bộ mơn mà hầu hết học
sinh cho là mơn học khó. Chính những lí do nêu trên khiến tôi suy nghĩ, trăn trở và
mạnh dạn nêu ra biện pháp góp phần nâng cao chất lượng chất lượng giảng dạy “ Rèn
kỹ năng giải bài tốn về tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho học sinh lớp 7”, với
mong muốn giúp các em giải quyết tốt và nắm chắc phương pháp giải các dạng bài về
tính chất dãy tỉ số bằng nhau thường gặp, đồng thời có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về vấn
đề dạy học bài tốn tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có thể tìm ra được một biện pháp
mới áp dụng trong thực tế giảng dạy ở trường nhằm giúp học sinh nâng cao kĩ năng
giải bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy

và học.
3. Các biện pháp thực hiện:
3.1.Nắm vững lí thuyết về tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
- Tính chất:

a c a +c a −c
= =
=
b d b+d b−d
1


- Từ

a c
a a+c
= ta suy ra: =
(b + d ≠ 0)
b d
b b+d
a

c

;

a a−c
=
(b – d ≠ 0)

b b−d

e

Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau b = d = f ta suy ra
a c e
a+c+e
a−c+e
= = =
=
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b d
f b+d + f b−d + f

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số

a b c
= =
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
2 3 5

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
( Từ tính chất mở rộng học sinh có thể biểu diễn các tỉ lệ khác nhau theo yêu cầu của
đề bài)
3.2. Vận dụng lí thuyết vào các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

x y
=

và x + y = 20
2 3

Cho học sinh nhận dạng bài tập: xuất hiện x + y = 20 ; sử dụng kiến thức
a c a+c
= =
để học sinh làm bài
b d b+d

Giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y x + y 20
= =
=
=4
2 3 2+3
5

Do đó:

x
=4⇒ x =8
2

y
= 4 ⇒ y = 12
3

KL: x = 8 , y = 12

• Bài trên lớp giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm cách sử dụng Tính chất:
a c a +c a −c
= =
=
với các bài tập đơn giản.
b d b+d b−d

• Khi làm bài, sai lầm học sinh thường hay mắc phải thay vì dùng dấu “=” các
em thường dùng dấu “ ⇒ ” như sau

x y
x + y 20
= ⇒
=
= 4 . Tôi thường nhấn
2 3
2+3 5

mạnh với học sinh, tỉ lệ thức là dấu “=”
Ví dụ 2: Tìm x, y biết
x
4

Giải: =

y x − y −21
=
=
=3
11 4 − 11 −7

x y
=
và x-y =-21
4 11
x
⇒ = 3 ⇒ x = 3.4 = 12
4
2


⇒

y
= 3 ⇒ y = 3.11 = 33
11

Vậy x = 12 ; y = 33
• Bản thân tơi ln nhấn mạnh cho HS trong trình bày, tránh các nhầm lẫn trong
sử dụng kiến thức( Ví dụ: HS vẫn sẽ trình bày bài tương tự như vậy với dữ liệu đề
bài là y – x = -21 giống như ví dụ 2 mà không để ý đến vấn đề đổi dấu )
Ví dụ 3: Tìm x, y biết: 7x = 3y và x - y = 20
x
7

Sai lầm học sinh hay mắc phải là các em sẽ viết tỉ lệ như sau 7x = 3y ⇒ =

y
5

Khi dạy tôi thường yêu cầu học sinh kiểm tra tích trung tỉ và ngoại tỉ để kiểm tra tỉ
lệ thức học sinh viết đã đúng chưa.
x
3

y
7

HD: Học sinh chỉ ra được 7x = 3y ⇒ = sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để làm bài giống ví dụ 2
• Ngồi sử dụng tìm 2 ẩn ta có thể sử dụng từ 3 ẩn số trở lên và ta sử dụng tính
chất dãy mở rộng để làm bài
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết:
x y z
= = và x + y + z = 33
2 5 4

Giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x + y + z 33
= = =
=
=3
2 5 4 2 + 5 + 4 11
⇒

x
= 3 ⇒ x = 3.2 = 6
2

y
= 3 ⇒ y = 3.5 = 15
5

z
= 3 ⇒ z = 3.4 = 12
4

Vậy x = 6 ; y = 15; z = 12
• Từ các ví dụ giáo viên có thể cho các bài tốn về tìm số chưa biết sử dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau để học sinh làm củng cố kiến thức
Các ví dụ và các bài tốn trên sử dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính
nhưng trong thực tế làm bài tìm số chưa biết ta phải biến đổi các tỉ lệ thức ban đầu
mới có thể đưa về dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Chúng ta sẽ tìm hiểu
rõ hơn thơng qua một số ví dụ dưới đây:
Ví dụ 5: Tìm x, y biết:

x y
= và 2x + y = 30
3 4

3


Để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi sao cho hệ số của x,
y ở các tử số của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y trong đẳng thức bằng cách áp dụng
tính chất cơ bản của phân số
Giải
Ta có

x y
2x y
= ⇒
=
3 4
6 4
x
3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: =
⇒

y 2 x y 2 x + y 30
=
= =
=
=3
4 6 4 6 + 4 10

y
= 3 ⇒ y = 3.4 = 12
4

x
= 3 ⇒ x = 3.3 = 9
3

Vậy x = 9; y = 12
*GV nhấn mạnh cho học sinh các thể các em mắc lỗi về tìm x( đặc biệt là các em học
sinh trung bình- yếu) :

x y 2 x y 2 x + y 30
2x
= =
= =
=
=3⇒
= 3 ⇒ x = 3.6 = 18
3 4 6 4 6 + 4 10
6

Khi tìm x, tôi hướng dẫn học sinh dùng tỉ lệ thức ban đầu
Hoặc sử dụng tích trung tỉ và ngoại tỉ

x y
= = 3 để tìm x; y
3 4

2x
= 3 ⇒ 2 x = 3.6 = 18 ⇒ x = 9
6

Từ đó, tơi phát triển nên với dạng tốn tìm 3 số x; y; z và biến đổi linh hoạt kiến
thức để đưa về dạng đã biết.
Ví dụ 6: Tìm x, y, z biết:

x y
y z
=
, = và 2 x − 3 y + z = 6

3 4
3 5

HD: HS cần lập được tỉ lệ thức liên quan tới các đại lượng x, y, z để đưa về bài tốn
như ví dụ 4; 5.
GV hướng dẫn học sinh nhận dạng, quy đồng để tìm ra các tỉ lệ tương ứng và viết
ra dãy tỉ số bằng nhau hoặc giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc thế(
cách 3)
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết:

x y
x
y
= ⇒ =
3 4
9 12

y z
y
z
= ⇒
=
3 5
12 20

Từ (1) và (2) suy ra:

x
y

z
=
=
9 12 20

(1)

(2)
(*)
4


Ta có:
Do đó:

x
y
z
2x 3y
z
2x − 3y + z 6
=
=
=
=
=
=
= =3
9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2
x

= 3 ⇒ x = 27
9

y
= 3 ⇒ y = 36
12

z
= 3 ⇒ z = 60
20

KL: x = 27 , y = 36 , z = 60
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt

x
y
z
=
=
= k (sau đó giải như cách 1 của VD).
9 12 20

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
y z
3z
= ⇒y=
3 5
5
x y

3y
= ⇒x=
=
3 4
4

mà 2 x − 3 y + z = 6 ⇒ 2.
Suy ra: y =

3z
5 = 9z
4
20

3.

9z
3z
z
− 3. + z = 6 ⇒
= 60 ⇒ z = 60
20
5
10

3.60
= 36 ,
5

x=

9.60
= 27
20

KL: x = 27 , y = 36 , z = 60
Linh hoạt ví dụ 5, 6 phát triển cho học sinh các dạng bài như ví dụ sau:
1.

Tìm x, y, z biết 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32
• GV cần hướng dẫn HS làm để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau với các biến x, y, z
giống như ví dụ 11 để ta có thể làm bài.

x
=
2
HD:
y
7 y = 5z ⇒ =
5
3x = 2 y ⇒

2.

y
3
z
7

Tìm a, b, c, d biết 4a = 6b = 10c = 12d và a+ b + c + d = 36

• GV cần chỉ ra cho học sinh cách biến đổi xuất hiện a, b, c, d

4a = 6b = 10c = 12d

⇒

a b
c
d
= =
=
1 1
1
1 sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
4 6 10 12

để làm
5


Ví dụ 7: Tìm x, y biết:

x y
= và x. y = 24
2 3

Khi gặp bài toán này các em thường nhầm lẫn vận dụng tính chất dãy tỉ số dành
cho phép nhân như sau :

x y x. y 24

= =
=
= 4 => x = 8; y = 12 . Bản thân GV cần nhấn
2 3 2.3 6

mạnh cho học sinh: tính chất dãy tỉ số bằng nhau áp dụng cho phép cộng; phép trừ
Trong bài tốn này có nhiều cách làm nhưng tôi thường hướng dẫn học sinh làm
cho các em hiểu và vận dụng tốt gắn với kiến thức trong cách chứng minh tỉ lệ thức
như sau:
Cách 1: ta thực hiện đặt tỉ lệ thức bằng tỉ lệ k và biểu diễn x, y theo k
Đặt

x y
= = k => x = 2k ; y = 3k
2 3

=> 24 = xy = (2k) . (3k) = 6k2 => k2 = 24 : 6 = 4 => k = ± 2.
+ Nếu k = 2 => x = 2k = 4 => y = 3k = 6
+ Nếu k = -3 => x = 2k = -4 => y = 3k = -6 .
• GV nhấn mạnh kiến thức khi học sinh làm về giá trị bình phương của 1số chưa
biết. Học sinh thường chỉ ra được k2 = 4 thì k = 2 mà bỏ mất giá trị k= -2
• Nhấn mạnh cho HS các giá trị của số chưa biết trong trường hợp bình phương
hoặc lập phương của 1 số.
2

Cách 2: :

x y
x y xy 24
 x

= =>  ÷ = . =
=
= 4 => x 2 = 16
2 3
2 3 6
6
2

+ Nếu x = 4 => y = 6
+ Nếu x = -4 => y = -6
o Qua các bài tốn dạng 1, tơi thấy có thể vận dụng vào bài toán thực tế ở
dạng 2 khi các em đã làm tốt về bài tốn tìm số chưa biết.
Dạng 2 : Bài toán thực tế
Gv hướng dẫn học sinh cách gọi các đại lượng cần tìm là ẩn : a, b, c… hoặc x,
y, z…. Tùy theo đề bài giáo viên hướng dẫn học sinh lập lập dãy tỉ số bằng nhau, lập
được mối liên quan giữa các ẩn ; điều kiện cho các ẩn và sử dụng tính chất dãy tỉ số
bằng nhau đã làm ở dạng 1 để làm bài.
Ví dụ 1: Tính số học sinh của lớp 7A và lớp 7B. Biết lớp 7A ít hơn lớp 7B là 5
học sinh và tỉ số học sinh của hai lớp là 8 : 9
HD : Gọi số học sinh lớp 7A và 7B là x ; y ( học sinh)( x ; y ∈ N * )
6


Do tỉ số học sinh của hai lớp là 8 : 9 nên

x y
=
8 9

Biết lớp 7A ít hơn lớp 7B là 5 học sinh nên y- x = 5

•

Bài tốn trở thành tìm x; y biết

x y
= và y- x = 5
8 9

Ví dụ 2. Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ của đội, ba chi đội 6A, 6B, 6C đã thu
được tổng cộng 120 kg giấy vụn. Biết rằng số giấy vụn thu được của ba chi đội lần
lượt tỉ lệ với 9 ; 7 ; 8. Hãy tính số giấy vụn mỗi chi đội thu được.
HD : Gọi số giấy vụn lớp 6A và 6B ; 6C thu được là x ; y ; z ( kg)( 0 < x ; y ; z< 120)
Biết rằng số giấy vụn thu được của ba chi đội lần lượt tỉ lệ với 9 ; 7 ; 8 nên

x y z
= =
9 7 8

Do ba chi đội 6A, 6B, 6C đã thu được tổng cộng 120 kg giấy vụn nên x + y + z= 120
•

Bài tốn trở thành tìm x; y ; z biết

x y z
= = và x + y + z= 120
9 7 8

Ví dụ 3: Ba lớp 7A; 7B; 7C cùng lao động trồng cây trên sân trường. Số cây trồng
được của ba lớp 7A; 7B; 7C lần lượt tỷ lệ với 7; 8; 9. Tính số cây trồng được của mỗi
lớp. Biết hai lần số cây trồng được của lớp 7A nhiều hơn số cây trồng được của lớp

7C là 15 cây.
HD: Gọi số cây trồng của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c( cây)
Số cây trồng được của ba lớp 7A; 7B; 7C lần lượt tỷ lệ với 7; 8; 9 nên ta có

a b c
= =
7 8 9

Theo bài có hai lần số cây trồng được của lớp 7A nhiều hơn số cây trồng được của
lớp 7C là 15 cây nên 2a – c = 15
Sai lầm của học sinh khi làm bài tốn này là khơng gọi ẩn mà hiển nhiên coi 7A,
7B, 7C là ẩn và lập được tỉ lệ thức như sau:
lệch hoặc HS thường làm

7A 7 B 7C
=
=
dẫn tới tính kết quả sai
7
8
9

a b c
+ +
7 8 9

Để tránh các sai lầm này; bản thân tôi luôn nhấn mạnh cách làm các dạng bài
này cơ bản như sau:
+ Gọi ẩn theo yêu cầu đề bài
+ Biểu diễn ẩn theo các yếu tố đề bài cho , áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

để tìm ẩn
+ Kết luận
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
7


a
b

c
d

Xét tỉ lệ thức = . Gọi giá trị chung của của các tỉ số đó là k ta có

a c
= =k
b d

Suy ra a = k.b ; c = k.d
Ta có

a + c kb + kd k .(b + d )
a − c kb − kd k .(b − d )
=
=
=k;
=
=
=k
b+d

b+d
b+d
b−d
b−d
b−d

Suy ra

a c a+c a−c
= =
=
b d b+d b−d

Từ cách sử dụng đặt dãy tỉ số bằng nhau có tỉ số là k ta chứng minh tương tự dãy
mở rộng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
ra tỉ lệ thức

a +b c+d
=
a −b c −d

a c
= ( a- b ≠ 0; c – d ≠ 0) ta có thể suy
b d

HD:
Cách 1: Đặt

a c

= =k
b d

Cách 2: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau( ta đảo tỉ lệ thức

a c
a b
= ⇒ = )
b d
c d

a b a +b a −b
a +b c + d
= =
=
⇒
=
c d c+d c−d
a −b c −d

Cách 3: Sử dụng phương pháp

A C
= ⇒ A.D = B.C
B D

Ta có: (a + b)(c − d ) = ac − ad + bc − bd

(1)

(a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd
Từ giả thiết:

a c
= ⇒ ad = bc
b d

(2)

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d )
⇒

a+b c+d
=
a −b c −d

(đpcm)

• Tương tự sử dụng linh hoạt các cách chứng minh trên ta có thể chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu:

a c
5a + 3b 5c + 3d
=
=
thì
b d
5a − 3b 5c − 3d

8


HD : Đặt

a c
= = k ⇒ a = kb, c = kd .
b d

a c
Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức =
b d

HD: Đặt

a c
= = k , suy ra a = bk
b d

ab a 2 − b 2
=
. Chứng minh rằng:
cd c 2 − d 2
, c = dk

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức:
3x − y

3

x

Bài 1: Cho tỉ lệ thức x + y = 4 . Tính giá trị y
3x − y

3

x

7

HD: Từ x + y = 4 ⇔ 4(3x − y ) = 3( x + y ) ⇔ 12 x − 4 y = 3x + 3 y ⇔ 9 x = 7 y ⇔ y = 9
Bài 2: Cho
HD: Đặt

x+ y−z
x y z
= = . Tính giá trị biểu thức P=
x− y+z
2 3 5

x y z
= = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k
2 3 5

Bài 3: Cho

a+5 b+6
a

=
(a ≠ 5; b ≠ 6) . Tính
a −5 b −6
b

a+5 b+6
=
⇒ (a + 5).(b − 6) = (a − 5).(b + 6) ⇒ ab + 5b − 6a − 30 = ab + 6a − 5b − 30
a −5 b −6
HD: Từ
a 10 5
⇒ 12a = 10b ⇒ =
=
b 12 6

4. Kết quả đạt được
Với biện pháp “Rèn kỹ năng giải bài tốn về tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho
học sinh lớp 7 ” tôi đã áp dụng giảng dạy trên lớp đặc biệt là các tiết luyện tập, ôn tập
cho thấy kết quả đạt được tương đối tốt. Các em khơng cịn sợ dạng Tốn về tính chất
dãy tỉ số bằng nhau, biết chia dạng, nhận biết được các dạng bài tập và vận dụng được
dạng toán vào giải bài tập khác. Số học sinh biết phân tích làm bài tốn và giải đúng
loại toán này tăng lên nhiều . Một số học sinh trung bình- yếu nắm được các bài tốn
về tính chất dãy tỉ số bằng nhau cơ bản và các em tự tin, mạnh dạn hơn trong làm bài
về tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Học sinh khá- giỏi có kĩ năng trình bày bài tốn nâng
cao thích thú, say mê hơn. Nhiều học sinh khá giỏi đã nghĩ ra các cách giải hay từ đó
rút ra các dạng tốn về tính chất dãy tỉ số bằng nhau với những cách giải khác nhau
5. Khuyến nghị:

9

5.1. Đối với giáo viên
- Cần phải tâm huyết với nghề, phải biết quan tâm giúp đỡ các em lúc khó
khăn, lúng túng trong các bài tốn khó, khơng nên tạo khơng khí ngột ngạt trong lớp
học.
- Cần phải biết lựa chọn nhiều phương pháp khác nhau và tổ chức các hoạt động
học tập khác nhau để vận dụng các giải pháp trên một cách linh hoạt, chủ động và
sáng tạo.
- Để giảng dạy hiệu quả, giáo viên cần nắm chắc lí thuyết và có những bước giải
hợp lí đảm bảo tính khoa học, tính hệ thống, tính vừa sức và phù hợp với đối
tượng học sinh. Tíc cực dự giờ, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, chuẩn bị bài
chu đáo khi lên lớp.
5.2. Đối với học sinh
- Trong lớp tích cực hăng hái phát biểu xây dựng bài.
- Trang bị đầy đủ các loại đồ dùng, sách giáo khoa, sách tham khảo và các đồ dùng
học tập .
5.3. Đối với các cấp quản lí giáo dục
Tổ chức nhiều chuyên đề, hội thảo về đổi mới phương pháp dạy học để giáo
viên được học hỏi, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.

10