Tính ổn định mũ bình phương trung bình của hệ ngẫu nhiên có trễ với bươc nhảy markov

MỤC LỤC
Trang

Chƣơng 1

Lời nói đầu

2

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH

5

1.1 Các khái niệm cơ bản

5

1.2 Tính ổn định của các hệ vi phân tuyến tính

7

1.3 Tính ổn định của hệ tuyến tính khơng dừng

8

1.4 Tính ổn định của các hệ tựa tuyến tính

10

1.5 Tính ổn định của hệ với thời gian rời rạc

11

1.6. Tính ổn định của một lớp hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

17

1.7 Tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của một
lớp hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên
Chƣơng 2

TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ NGẪU NHIÊN CĨ TRỄ
VỚI BƢỚC NHẢY MARKOV

21
24

2.1 Mở đầu

24

2.2 Những ký hiệu

26

2.3 Tính ổn định mũ bình phương trung bình của hệ đơn giản 27
KẾT LUẬN

34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

35

1


LỜI NĨI ĐẦU
Mơ hình hố ngẫu nhiên đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều
lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật. Một lĩnh vực phổ biển được quan tâm
nhiều đó là điều khiển tự động của các hệ ngẫu nhiên, với tầm quan trọng của
nó đang được quan tâm nghiên cứu nhằm phân tích sự ổn định của mơ hình
ngẫu nhiên. Chúng ta có thể kể đến các cơng trình của Arnold [6], Hale và
Lunel, Has’minskii , Klomanovskii và Myshkis.
Ngày nay, hệ chuyển đổi (hybrid systems) được điểu khiển bởi xích
Markov liên tục đã được sử dụng để mơ tả nhiều hoạt động thực tiễn, nơi mà
chúng có thể trải qua những thay đổi đột ngột về cấu trúc và tham số. Hệ
chuyển đổi vừa có một phần trạng thái lấy giá trị liên tục, vừa có một phần
trạng thái lấy giá trị rời rạc. Hệ chuyển đổi đã được Willsky và Leve nghiên
cứu cho model của hệ năng lượng điện tử cũng như Sworder và Rogers
nghiên cứu cho sự điều khiển của trung tâm nhiệt mặt trời (solar thermal
central). Athans đã đề xuất rằng hệ chuyển đổi trở thành một bộ khung cơ
bản trong việc đề xuất và giải quyết các mối quan hệ điều khiển nảy sinh
trong việc tạo ra và giải quyết mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong việc
điều khiển khung (battle management), điều khiển và hệ thống truyền đạt
thông tin (communications systems). Một lớp quan trọng của hệ chuyển đổi
là hệ tuyến tính có bước nhảy.
Một vấn đề quan trọng nảy sinh trong quá trình nghiên cứu hệ là
chuyển đổi sự điều khiển tự động, với tầm quan trọng đang được thay thế trên
sự phân tích của tính ổn định. Ji và Chizeck [4] đã nghiên cứu tính ổn định
của hệ tuyến tính có bước nhảy như vậy. Basak cùng các đồng tác giả trong

[3] đã miêu tả tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến
2


tính với bước nhảy Markov, trong khi đó Mao đã nghiên cứu tính ổn định của
hệ phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên với bước nhảy Markov.
Shaikhet đã đưa thời gian trễ vào nghiên cứu và đã quan tâm đến sự ổn định
của hệ phương trình trễ vi phân nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, trong
khi đó Mao và các đồng tác giả đã nghiên cứu tính ổn định của hệ phương
trình vi phân có trễ phi tuyến với bước nhảy Markov.
Sự thay đổi đột ngột của cấu trúc và tham số trong hệ chuyển đổi là
thường xuyên bởi hiện hệ thống con nối liền với nhau, và sự nhiễu loạn mơi
trường lai (abrupt). Vì vậy, khi chúng ta mơ hình hố những hệ như vậy, cần
phải đưa tham số không chắc chắn và môi trường nhiễu giống như thời gian
trễ vào tính tốn.
Nếu chúng ta cũng lấy mơi trường nhiễu vào tính tốn, thì hệ thống trở
thành một phương trình trễ vi phân ngẫu nhiên với bước nhảy Markov.
Cũng cần phải chỉ ra rằng, trong vài năm lại đây, rất nhiều nghiên cứu
đã quan tâm đến việc ước lượng sự ổn định bình phương trung bình của hệ.
Trong những năm gần đây, nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến sự ổn
định của hệ vi phân với bước nhảy Markov. Tuy nhiên đang cịn ít nghiên cứu
quan tâm đến sự ổn định của hệ có trễ với bước nhảy Markov. Lý thuyết
được phát triển ở đây có thể ứng dụng vào nhiều tình huống khác nhau và do
đó dễ thấy tầm quan trọng của chủ đề này. Do đó, dưới sự hướng dẫn khoa
học của PGS. TS. Phan Đức Thành, chúng tơi đã chọn đề tài: “Tính ổn định
mũ bình phương trung bình của hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov”.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn sẽ được trình bày thành hai chương
Chƣơng 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ổn định
Chƣơng 2. Trình bày tính ổn định mũ của hệ ngẫu nhiên có trễ với
bước nhảy Markov.

3


Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của PGS.TS. Phan Đức Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Thầy và Cơ về sự quan tâm nhiệt tình mà Thầy và Cơ đã dành cho tác
giả trong q trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Văn
Quảng, PGS.TS. Trần Xuân Sinh, TS. Nguyễn Trung Hoà, TS. Phan Lê Na,
TS. Lê Hồng Sơn, cùng các thầy cô giáo ở bộ mơn Xác suất thống kê và ứng
dụng, Khoa Tốn, Khoa Sau Đại học - Trường Đại học Vinh.
Vinh, tháng 12 năm 2009
Tác giả

4


Chƣơng 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định theo
nghĩa Liapunov.Các kiến thức của chương này được trình bày theo các tài
liệu [1] và [2]. Ổn định là một trong các tính chất quan trọng của các hệ thống
dù cho hệ thơng đó là hệ kỹ thuật, hệ sinh thái, hệ kinh tế….
Một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó,
nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ
thống không làm thay đổi hệ thống quá nhiều so với trạng thái ban đầu.
1.1. Các khái niệm cơ bản
Xét một hệ thống mơ tả bởi phương trình vi phân



x(t)  f(t, x)

, t0
x(t 0 )  x 0


(1)

trong đó x(t)Rn là hàm véc tơ cho trước.
Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài
toán cauchy hệ (1) với x(t0) = x0 , t0  0 ln có nghiệm.
Khi đó, dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức:

t
x  x  f ( s, x( s))ds .
0
t0
Nếu giả thiết thêm f(t,0)=0 thì x=0 là nghiệm tầm thường hay trạng thái
cân bằng của hệ.
Trong trường hợp đó, ta nói hệ (1) là ổn định thay cho nghiệm x=0 của
hệ là ổn định.
5


Bây giờ ta xét hệ với f(t,0)=0, tR+. Ta có các định nghĩa sau:
1.1.1. Định nghĩa. Hệ (1) là ổn định nếu >0, tR+,   (phụ thuộc vào ,
t0) sao cho bất kì nghiệm x(t): x(t0)=x0 thoả mãn x0< thì x(t)< , tt0.
1.1.2.Định nghĩa. Hệ (1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và  >0 sao
cho: nếu x0< thì

lim x(t )  0 .
t 
Nếu số  trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào t 0, thì tính ổn
định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận
đều).
1.1.3. Định nghĩa. Hệ (1) là ổn định mũ nếu  M>0, >0 sao cho nghiệm của
hệ (1) với x(t0)=0 thoả mãn
x(t )  M .e

  (t  t )
0 , tt .
0

(2)

Tức là nghiệm không của hệ khơng những ổn định tiệm cận mà mọi
nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.
Thí dụ: Xét phương trình vi phân

(t )  a (t ) x
x
, t0 .
Trong đó a(t): R+R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện
ban đầu x(t0)=x0 cho bởi
t
 a( )d
x(t )  x .et
.
0

t
- Hệ là ổn định nếu  a( τ)dτ  Μμ(t 0 )   .
t

6


- Hệ là ổn định đều nếu (t0) không phụ thuộc t0.

t
- Hệ là ổn định tiệm cận nếu  a ( )d   .
t
1.2. Tính ổn định của các hệ vi phân tuyến tính
Xét hệ tuyến tính:

(t )  Ax (t ) , t0
x

(3)

Trong đó: A là (nxn) – ma trận.
Nghiệm của (3) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0) cho bởi

x(t )  x .e

A(t  t )
0

0

, tt0.

1.2.1. Định lý 1. (tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov)
Hệ (3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị
riêng của A là âm, tức là
Re<0,   (A).
Thí dụ: Xét tính ổn định hệ:

 x1  x1

 x 2 2 x2
Ta thấy

A

 
1 0
0 2

.

Vậy giá trị riêng của A là  = -1, -2.
 Hệ là ổn định tiệm cận.
1.2.2. Định lý. Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân (3) đã cho là:
f(z) = zn + a1zn-1 + . . . + an-1z + an.
7


Khi đó, nếu định thức tất cả các ma trận con Dk của đường chéo chính,
k=1, 2, . . . , n là dương thì phần thực của tất cả nghiệm của f(z) là âm, tức hệ

đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó:
DetD1=a1

 a1
DetDk  det  1

 a1

1
DetDk  det 
0

0


a3
a2
1
0

a3 
a2 


a5 . . . a2 k 1 

a4 . . . a2 k  2 
a1 . . . a2 k 3  k=1, 2, . . . , n .

0 . . . ak 

Và ar=0 nếu r>n
Xét phương trình Lyapunov dạng A’X+XA=-Y (LE).
X,Y là ma trận (nxn) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE).
Xét hệ (3), ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả giá trị riêng
của A là âm khi và chỉ khi (3) ổn định tiệm cận.
1.2.3. Định lý. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi mọi ma trận Y đối xứng,
xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định
dương X.
1.3. Tính ổn định của hệ tuyến tính khơng dừng
Bây giờ ta xét hệ được mơ tả bởi phương trình vi phân

(t )  A(t ) x(t ) , t0
x
Hệ (4) có nghiệm
x(t) = (t,t0)x0
(t,s) là ma trận nghiệm cơ bản.

8

(4)


Nếu A(.) là hằng số thì

(t , s)  e

A(t  s)

1.3.1. Định lý. Xét hệ (4) trong đó A(t) =A+c(t). Giả sử A là ma trận ổn định

và giả sử c(t) là khả tích trên R+ và:

c(t )  a , a>0 .
Khi đó, hệ ổn định tiệm cận với a>0 đủ nhỏ.
Thí dụ: Xét hệ phương trình vi phân:

 x1  13 x1  14 cos2 t
 x  1 x  1 x  1 sin2 t
 2 5 1 2 2 4
Ta có:

 1
 31
A 1

 5


2
1

 cos t 
.
c(t )   41
 sin 2 t 
4


0


1 ,
 
2 

Vì (A) =-1/3, -1/2 <0 nên A là ma trận ổn định
M=1, =1/2

c(t ) 

1
1
a
4
2

nên hệ là ổn định tiệm cận.
1.3.2. Định lý. Xét hệ (4), trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t.
Giả sử  M>0, >0, k>0 sao cho:
i) e

A( s)t

 k .e  t , t,s0

9


ii) Sup A(t )  M

tR

Hệ là ổn định tiệm cận nếu M 


2k

.

1.4. Tính ổn định của các hệ tựa tuyến tính:
Xét hệ

(t )  f (t , x(t )) , t0.
x

(5)

Trong đó f(t,x) : R+xRn →Rn là hàm phi tuyến
f(t,x) = 0 tR+
có nghiệm thoả mãn x(t0)=x0, t≥0.
Trường hợp f(t,x) khả vi liên tục tại x=0 thì theo khai triển Taylo bậc
một tại x=0. Ta có:
f(x)=Ax+g(x)
Trong đó:

A

f (0)
, g ( x)  0( x )
x

1.4.1. Định lý. Xét hệ (5) trong đó f(t,x) =A+g(x). Giả sử A là ma trận ổn
định và g ( x)  0( x ) thì hệ là ổn định tiệm cận.
Nhận xét: Thay điều kiện g ( x)  0( x ) bằng điều kiện:
 L>0: g ( x)  L x , xX thì khẳng định trên vẫn đúng với L>0
thoả mãn
L


k

Thí dụ: xét tính ổn định hệ

 x1  x1  12 x12 sin2 t
 x 2 x  1 x2 sin2 t
 2 2 2 2
10


Ta có:
 1 x 2 sin 2 t 
 1

2
.
g (t , x)   1
 x 2 sin 2 t 
2 2


 1 0

 ,
A  
0
2


Vì A là ma trận ổn định và
g (t , x) 

1 2 t  x 4  x 4   1 x 2
sin
2 2
 1
2

 g (t , x)  0( x )
 hệ là ổn định tiệm cận.
1.4.2.Định lý. Xét hệ phi tuyến

  A(t ) x(t )  g (t , x(t )) , t0
x

(5)

Giả sử:
i)

  (t  s)

 k>0, >0: ( x)  ke

ii)

g (t , x)  L(t ) x , t≥ 0, xRn

iii)

Sup L(t )  M  
tR
k

, t≥ s ≥0

Khi đó hệ là ổn định tiệm cận.
1.5. Tính ổn định của hệ với thời gian rời rạc
Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
x(k+1) = f(k,x(k)) , kZ+
Trong đó: f: Z+ x X→X là hàm cho trước.

11

(6)


1.5.1. Các định nghĩa cơ bản
1.5.1.1. Định nghĩa. Hệ rời rạc (6) gọi là hệ ổn định nếu với >0,
k0Z+,>0 (phụ thuộc vào k0, ) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ với

x(0)   thì

x(k )   , k ≥ k0.
1.5.1.1. Định nghĩa. Hệ (6) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một
số >0 sao cho:

lim x(k )  0

k 

với mọi nghiệm x(k) với x(0)   .
1.5.2. Tính ổn định của các hệ tuyến tính rời rạc

x  R n


Xét hệ rời rạc: x(k+1) = Ax(k) , k  Z
A  R n  n


(7)

Với x(0)= x0 thì nghiệm của (2) là:
x(k)=Akx0
1.5.2.1. Định lý. Hệ rời rạc (7) là ổn định tiệm cận  1 trong 2 điều kiện
sau được thoã mãn:
i)
ii)

 0< q <1 : A  q  1

r  1 , rr(A).

Chứng minh:
(*) Giả sử hệ (1) là ổn đinh tiệm cận

   0 : x(0)   , k>k0
12


lim x( k )  lim Ak x  0 .
0
k 
k 

k
k
Ta có: A x0  A

k
+ Nếu A

x .
0

x  0 khi k→∞  Ak  0 khi k→∞
0

  0< q <1 : A  q  1  Ak x  0 khi k→∞ .
0

+ Nếu A không suy biến,  ma trận T, det T  0 sao cho

 r1  0 


T AT      
0  r 
n

1

 r1  0 


 A  T     T 1
0  r 
n


 r1k

k
 x(k )  A x0  T  
0


0
 1
 T x0  0  rj  1
 rnk 



 r  1 , rr(A).
(+) Giả sử  0< q <1 : sao cho A  q  1
 Ak  q k  0 khi k→ ∞
 Ak

x  0 khi k→ ∞.
0

Vì Ak x  Ak
0

x

nên

0

13


Ak x  0 khi k→ ∞
0

 hệ là ổn định tiệm cận.
(+)Nếu r  1 , rr(A) thì theo trên
 r1k

x(k )  Ak x0  T  
0



 x(k )  T

r1k

0

 0

  T 1 x0
 rnk 

 0
 
 rnk

T 1

x0  r1k

 rnk

x0  0

khi k→ ∞
 hệ là ổn định tiệm cận
Thí dụ:

 x1 ( k 1) 12 x1 ( k )

 x ( k 1) 1 x ( k ) 1 x ( k )
1
2
4
3
2

, kZ+

Ta có

r 

1
2
A1

4

0 
1

3 

1
1 ,
3

r 

1
1
2

 hệ là ổn định tiệm cận.
1.5.2.2. Định lý. Xét hệ rời rạc
x(k+1) = A(k).x(k)
14

(2)


i) Hệ ổn định tiệm cận nếu  số q(0,1) sao cho

A(k )  q , kZ+
ii) Nếu A(k)=A+C(k).
Trong đó A là ma trận ổn định và C (k )  a . Khi đó hệ sẽ ổn định
tiệm cận nếu a>0 đủ nhỏ nào đó.
Chứng minh:
i) Giả sử q(0,1) sao cho: A(k )  q , kZ+
(2)x(k+1)= Ax(k)+A(k)-Ax(k) (*) ; A là ma trận ổn định
Nghiệm của hệ (*) là:

k 1
x(k )  Ak x   Ak  i  1A(i)  Ax(i)
0
i0

 x(k )  Ak

k 1
x   Ak  i  1
0
i0

A(i)  A

x(i)

k 1 k  i 1
k
p x   p
. p.q x(i) .
0
i0
Trong đó: A(k )  p  1
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc, ta có:

k 1
pq
+
x(k )  x p k  (1 
) , kZ
0
p
i0

 x(k )  x ( p  p.q) k
0

Vì p(0,1) nên q(0,1) đủ nhỏ để 0(đpcm).
ii) Giả sử A(k)=A+C(k)
15


 Nghiệm của hệ (2) là:
x(k+1) = Ax(k+1)+C(k).x(k)
Với x(0) = x0 là:

k 1 k  i 1
k
x(k )  A x   A
.C (i).x(i) .
0
i0
Dựa vào tính ổn định của A ta có đánh giá:

k 1 k  i 1
k
x(k )  p x   q
a x(i) .
0
i0
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc với:

u (k )  q k x(k ) , c  x0 , a(k )  a .
q

Ta có:

k 1
a
+
x(k )  x q k  (1  ) , kZ
q
0
i0

 x( k )  ( q  a ) k x

0

Vì q(0,1) nên a>0 đủ nhỏ để 0 hệ là ổn định tiệm cận.
1.5.3. Tính ổn định của hệ phi tuyến rời rạc
Xét hệ

x(k+1) = f(k,x(k)) , kZ+

(3)

1.5.3.1. Định lý. Xét hệ (3) trong đó f(k,x(k)) =Ax(k)+g(x(k))
Giả sử A là ma trận ổn định và g ( x(k ))  a x(k )

với a>0 đủ nhỏ thì

hệ ổn định tiệm cận.
Chứng minh:
Nghiệm của bài toán với f(k,x(k)) =Ax(k)+g(x(k)) với x(0) = x0 là:

16


k 1 k  i 1
k
x(k )  A x   A
g ( x(i)) .
0
i0
Vì A là ma trận ổn định nên

k 1
x(k )  q k x   q k  i  1 g ( x(i ))
0
i0
k 1
 q k x   q k  i  1a x(i) .
0
i0
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc với:
a
u (k )  q k x(k ) , c  x0 , a(k ) 
q

ta có:

k 1
a
k
q

x(k )  x
(1  ) , kZ+

q
0
i0
 x( k )  ( q  a ) k x .
0
Vì q(0,1) nên a>0 đủ nhỏ để 0 hệ là ổn định tiệm cận.
1.6. Tính ổn định của một lớp hệ phương trình sai phân - ngẫu nhiên
Xét hệ phương trình sai phân h bước
xk+1 = Axk + A1 xk-1 +. . . + Ah xk-h (1-2)
A, A1 , . . . , Ah Rnxn, xk Rn

17


 xk  1   A A
1
x
 
 k
  E 0
  
(1-2)   

 
x
 k  h  1   0 0

  A   xk 
h 

  0   xk  1 

   


 E 0   xk  h 

khi đó hệ (1-2) có dạng yk+1 = ãyk , ãR(h+1)nx(h+1)n

(1-2’)

yk = (xk,xk-1,....,xk-h)T R(h+1)n
Từ đó ta có :
1.6.1. Mệnh đề. Nghiệm khơng của hệ phương trình (1-2) ổn định tiệm cận
Lyapounov khi và chỉ khi nghiệm không của (1-2’) ổn định tiệm cận
~

Lyapounov tức là rj ( A)  1 , với:

A A
 E 01
~
A
 

0 0

  A 
h
  0 
   .

 E 0

Xét hệ phương trình sai phân 2 bước

 xk 1  Axk  Bxk 1

nxn
n
 A, B  R , xk  R
 x(0)  x
0


(2.2)

1.6.2. Mệnh đề. Nghiệm không của hệ phương trình (2.2) ổn định tiệm cận
nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương H>0 thoả mãn:
ATHA + BTHB –H + E + BTHAATHB < 0

(2.2’)

Chứng minh: Giả sử tồn tại ma trận H>0 thoả mãn điều kiện trong
mệnh đề.
Xây dựng hàm Lyapounov như sau:

18


V(xk) = xkTHxk + xk-1TQxk-1 với Q = BTHB + E.
Khi đó:
v(xk) = v(xk+1)-v(xk) = xk+1THxk+1 + xkTQxk - xkTHxk - xk-1TQxk-1

A T HA  B T HB - H  E A T HB
y 
y k .
T
B HA
E 

T
k

Ở đây yk = (xk; xk-1)T , mặt khác ta có:
ATHA + BTHB –H + E + BTHAATHB < 0

A T HA  B T HB - H  E A T HB

0
T
B
HA

E



 v(xk) < 0 suy ra (đpcm) .
Xét hệ phương trình sai phân h

xk 1  Axk  A1xk h1  ...  Ap xk h p

nxn
n
 A, A1 ,..., Ap  R , xk  R

x(0)  x0


(2.4)

1.6.3. Mệnh đề. Nghiệm khơng của hệ phương trình (2.4) ổn định tiệm cận
Lyapounov nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương H>0 thoả mãn:
p
 T
A
HA
H

A Ti HA i  pE A1T HA  A Tp-1 HA


i 1

T
A
HA1

A1T HA1  A Tp-1 HA1


A T HA p
A1T HA p  A Tp-1 HA p




A Tp HA 

A Tp HA1   0 (2.4’)
-E 



Chứng minh: Giả sử tồn tại ma trận H thoả mãn các điều kiện của
mệnh đề.

19


Xây dựng hàm Lyapounov như sau:
p

v(xk )  x Hxk  
T
k

k 1

x

j1 i  k  h j

T
i

Q jxi

với

Q  A Tj HA j  E; j  1, p .
Khi đó:
v(xk) = v(xk+1)-v(xk)

x

p

T
k 1

Hx k 1  

p

k

x

j1 i  k 1 h j

T
i

Q j x i - x Hx k  
T
k

k 1

x

j1 i  k  h j

p
 T
T
T
T
A HA - H   A i HA i  pE A1 HA  A p-1HA
i 1

T
T
 yk 
A HA1
A1T HA1  A Tp-1 HA1


A T HA p
A1T HA p  A Tp-1HA p



T
i

Q jxi


A Tp HA 

A Tp HA1  y k
.

-E



T
Trong đó y k  (x k , x k ,..., x k hp )

Từ giả thiết  v(xk) < 0
 hệ đã cho là ổn định tiệm cận Lyapounov.
Xét phương trình sai phân ngẫu nhiên đa bước

xk 1  Axk  A1xk 1  ...  Ah xk h  ( Bxk  B1xk 1  ...  Bh xk h ) k

(2.6)

Để giải quyết bài toán (2.6) ta đưa về một bước

x k 1 
x

k


(2.6) 




x k h 1 

A A k   A h  x k  B B 1  B h  x k 
 E 0   0  x   0 0  0  x 

  k 1   
  k 1 ξ k


 
      

   
 





 0 0  E 0  x k  h   0 0  0  x k  h 

20


Khi đó hệ (2.6) có dạng:

yk1  (A  Bξ k )yk

(2.6’)

Nếu nghiệm không của hệ (2.6’) ổn định tiệm cận Lyapounov bình
phương trung bình thì nghiệm khơng của hệ phương trình (2.6) ổn định tiệm
cận bình phương trung bình.
1.6.4. Định lý. Nghiệm khơng của hệ phương trình (2.5) ổn định tiệm cận
Lyapounov bình phương trung bình nếu ma trận

A

hội tụ và tồn tại ma trận

đối xứng xác định dương H>0 thoả mãn phương trình sylvester:

A T HA  B T HB  H  E

(2.6’)

1.7. Tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của một lớp hệ phương

trình sai phân (PTSP) tuyến tính ngẫu nhiên
Trong phần này ta xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên
k

x i1   a j x i- j  xili , iZ.
j 0

Với điều kiện ban đầu xi=I, iZ0.
Trong đó I là biến rời rạc
iZZ0 với Z={0,1,2,…}
Z0=={-h,…,0} h=max{k,l}.
Giả sử (, F, P) là không gian xác xuất, (fiF)
iZ là dãy các  đại số
0, 1,… là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
i là dãy các biến ngẫu nhiên phù hợp với fi+1 và độc lập với fi , Ei = 0 ,
Ei2 = 1.
1.7.1. Định nghĩa: Nghiệm không của hệ phương trình (1) được gọi là ổn
định bình phương trung bình nếu >0 >0 sao cho
21


Nếu 

2

2
2
 Sup E i  δ  Ex i  ε .
iZ 0

Nếu ngoài ra Lim Ex 2i  0 thì nghiệm x=0 của (1) được gọi là ổn định
i

tiệm cận bình phương trung bình.
Trong phần này trước hết chúng tơi sử dụng định lí sau:
1.7.2. Định lý. Giả sử tồn tại hàm không âm Vi = V(i,x-h,…,xi) iZ thoả mãn
các điều kiện:

EV(0, x h ,..., x i )  c1 

2

EVi  -c2Exi2 iZ.
Trong đó Vi = Vi+1 – Vi c1>0 , c2>0
Khi đó phương trình (1) có nghiệm x=0 ổn định tiệm cận bình phương
trung bình.
Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập điều kiện đủ để nghiệm x=0 của hệ (1) ổn
định tiệm cận bình phương trung bình.
Đặt

x(i) = (xi-k,..., xi-1, xi)T
b = (0,..., )T

là các véc tơ cột k+1 chiều.
Đặt ma trận vuông
0 1
0 0

A  



0 0
ak ak 1

22

0
1

0
ak 2

 0 
 0 
  .

 1 
 a0 


Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng
x(i+1) = Ax(i) + bxi-li .

(2)

Đặt U là ma trận vuông k+1 chiều có phần tử u k+1,k+1 = 1, cịn các phần
tử còn lại bằng 0

U  u ij .

23


Chƣơng 2
TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ NGẪU NHIÊN CĨ TRỄ
VỚI BƢỚC NHẢY MARKOV
2.1. Mở đầu
Trong những năm gần đây, nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến sự ổn
định của hệ vi phân với bước nhảy Markov. Tuy nhiên đang cịn ít nghiên
cứu quan tâm đến sự ổn định của hệ có trễ với bước nhảy Markov. Hệ được
miêu tả trong chương này là hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov.
Lý thuyết được phát triển ở đây có thể ứng dụng vào nhiều tình huống
khác nhau và do đó dễ thấy tầm quan trọng của chủ đề này.
Mơ hình hố ngẫu nhiên đã đóng một vai trị quan trọng trong nhiều
lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật. Một lĩnh vực phổ biển được quan tâm
nhiều đó là điều khiển tự động của các hệ ngẫu nhiên, với sự quan trọng của
nó đang được thay thế trên sự phân tích sự ổn định của mơ hình ngẫu nhiên.
Ở đây chúng tơi quan tâm đến các cơng trình của Arnold [6], Hale và Lunel,
Has’minskii, Klomanovskii và Myshkis , và các tác giả khác.
Ngày nay, hệ chuyển đổi (hybrid systems) được điểu khiển bởi xích
Markov liên tục đã được sử dụng để mô tả nhiều hoạt động thực tiễn, nơi mà
chúng có thể trải qua những thay đổi đột ngột về cấu trúc và tham số. Hệ
chuyển đổi vừa có một phần trạng thái lấy giá trị liên tục, vừa có một phần
trạng thái lấy giá trị rời rạc. Hệ chuyển đổi đã được Willsky và Leve nghiên
cứu cho model của hệ năng lượng điện tử cũng như Sworder và Rogers
nghiên cứu cho sự điều khiển của trung tâm nhiệt mặt trời (solar thermal
central). Athans đã đề xuất rằng hệ chuyển đổi trở thành một bộ khung cơ
bản trong việc đề xuất va giải quyết các mối quan hệ điều khiển nảy sinh
24

trong trong việc tạo ra và giải quyết mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong
việc điều khiển khung (battle management), điều khiển và hệ thống truyền
đạt thông tin (communications systems) (BM/C). Một lớp quan trọng của hệ
chuyển đổi là hệ tuyết tính có bước nhảy
x (t )  A(r (t )).x(t )

(1.1)

Ở đây một phần của trạng thái x(t) nhận giá trị trong R n trong khi phần
khác của trạng thái r(t) là một xích Markov nhận giá trị trong S={1,2, …N}.
Một vấn đề quan trọng nảy sinh trong quá trình nghiên cứu hệ là chuyển đổi
sự điều khiển tự động, với tầm quan trọng đang được thay thế trên sự phân
tích của tính ổn định. Ji và Chizeck [4] đã nghiên cứu tính ổn định của hệ
tuyến tính có bước nhảy như vậy. Basak cùng các đồng tác giả trong [3] đã
miêu tả tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính với
bước nhảy Markov, trong khi đó Mao đã nghiên cứu tính ổn định của hệ
phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên với bước nhảy Markov. Shaikhet
đã đưa thời gian trễ vào nghiên cứu và đã quan tâm đến sự ổn định của hệ
phương trình trễ vi phân nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, trong khi đó
Mao và các đồng tác giả đã nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi
phân có trễ phi tuyến với bước nhảy Markov.
Sự thay đổi đột ngột của cấu trúc và tham số trong hệ chuyển đổi là
thường xuyên bởi hiện tượng giống như tình trạng khơng thích hợp bộ phận
hay phục hồi bộ phận, sự thay đổi của hệ thống con nối liền với nhau, và sự
nhiễu loạn môi trường lai (abrupt). Vì vậy, khi chúng ta mơ hình hố những
hệ như vậy, cần phải đưa tham số không chắc chắn và mơi trường nhiễu giống
như thời gian trễ vào tính tốn. Nhắc lại về hệ tuyến tính có bước nhảy (1.1),
nếu chúng ta quan tâm đến sự tác động của thời gian trễ, thì hệ cần phải được
miêu tả bởi

25