14 cuc tri toa do khong gian p4

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



III. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ (tiếp theo)
Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho
trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P).
Phương pháp giải:

+ Gọi
' ( )
= ∩
I d P
, qua A dựng đường thẳng
''
d
//
' ''
⇒
d d
// (
Q), v
ớ
i (Q) là m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a d và

''.
d

Khi
đ
ó
(
)
(
)
(
)
; ' ';( ) ;( )
= =
d d d d d Q d I Q

+ K
ẻ

(
)
( ); '' ;( )
⊥ ⊥ ⇒ =
IH Q IK d IH d I Q
và
đ
i
ể
m K c
ố

đị
nh.
+ Ta có
(
)
max
;( )
≤ ⇒ = ⇔ ≡
IH IK d I Q IK H K
. Khi
đ
ó
đườ
ng th
ẳ
ng d n
ằ
m trong (P),
đ
i qua A và vuông
góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng IK, suy ra d có m
ộ
t véc t

ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng là ;
 
=
 
  
d P
u n IK

G
ọ
i
'
A
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A lên d’, suy ra
'
AA
// IK, khi
đ
ó
; '
 

=
 
  
d P
u n AA

V
ậ
y
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ầ
n l
ậ
p
đ
i qua
đ
i
ể
m A và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng là
; '

 
=
 
  
d P
u n AA

Ví dụ 1.
Cho
đ
i
ể
m A(1; 0; 1),
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
':
2 1 1
− −
= =
− −
x y z
d
và
( ): 2 0
− + − =
P x y z
L

ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng d
đ
i qua A; n
ằ
m trong (P) sao cho kho
ả
ng cách gi
ữ
a d và d’ l
ớ
n nh
ấ
t?
Đ/s:

(1; 1; 2)
= − −

d
u

Ví dụ 2.
Cho
đ
i

ể
m A(1; 1; –3), B(2; 1; 0),
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:
1 1 2
+ −
= =
−
x y z
d
và
( ): 2 1 0
− + + =
P x y z
14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Lập phương trình đường ∆ đi qua A; nằm trong (P) sao cho
a) khoảng cách từ B đến d lớn nhất? nhỏ nhất?
b) khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất?
Ví dụ 3. Cho điểm O(0; 0; 0) và đường thẳng
1 1 1 1
: ; ': .
1 2 1 2 2 1
− + + −

= = = =
− − −
x y z x y z
d d
Lập phương trình đường ∆ đi qua O; vuông góc với d và cách d’ một khoảng lớn nhất?
Đ/s:
13
:
12 13 12 11
= ⇒ ∆ = =
x y z
t
H
ướ
ng d
ẫ
n: G
ọ
i (P) là m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua O và vuông góc v
ớ
i d, suy ra ∆ ph
ả
i n
ằ

m trong (P).
Khi
đ
ó ta l
ạ
i quy v
ề
bài toán
đ
ã xét
ở
trên!
Ví dụ 4.
Cho
đ
i
ể
m A(0; 1; –1),
đườ
ng th
ẳ
ng
1
:
1 1 1
−
= =
− −
x y z
d

và
( ): 2 2 1 0
− + − =
P x y z
Lập phương trình đường ∆ đi qua A; song song với (P) sao cho khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất?
Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d
1
và khoảng
cách giữa d và d
2
lớn nhất
Phương pháp giải:
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d
1
, suy ra d nằm trong (P). Khi đó quy về bài toán 3!
Ví dụ 1. Cho điểm A(0; -1; 2) và đường thẳng
1 2
:
1 1 1
+ −
= =
−
x y z
d
Lập phương trình đường ∆ đi qua A và cắt d sao cho
a) khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến đường thẳng ∆ là lớn nhất.
b) khoảng cách giữa ∆ và
5
':
2 2 1

−
= =
−
x y z
d là lớn nhất.
Đ/s: a)
( )
1 2
max :
1
1 1 1
; 3 2
1 2
11
min :
3 3 2
+ −

= =

− −
≤ ∆ ≤ ⇒

+ −

= =

−

x y z

d B
x y z

Ví dụ 2. Cho điểm A(1; 1; 2), đường thẳng
1 1
:
1 1 2
+ −
= =
−
x y z
d và (P): x + y + 2z – 1 = 0
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho
a) ∆ // (P) và khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất.
b)
1
': 3
1
= − +


∆ ⊥ = +


= − +

x t
d y t
z t
và khoảng cách từ điểm B(−1; 1; −1) lớn nhất? nhỏ nhất?