MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC NÂNG CAO

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

1




ĐỀ TÀI:



Người thực hiện : NGUYỄN VŨ THANH
Năm học 2009-2010

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG
TỔ HÀNH CHÁNH


www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

2
MỤC LỤC


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Một số kết quả đạt được

II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI
Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep)
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG
Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG
Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO)
Chương VII: MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI
Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC



www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

3
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT do
trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được học tập
các chuyên đề do các giảng viên , các chuyên gia Toán của Bộ trình bày và được sự động
viên của thầy Trương Thành Phú chuyên viên môn Toán của Sở Giáo dục và đào tạo Tiền
Giang chúng tôi có một tâm huyết là sẽ cố gắng thực hiện hoàn chỉnh , cụ thể hoá các
chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung của
Tỉnh trong các kỳ thi HSG cấp khu vực và cấp quốc gia.
Trong những năm gần đây bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang đã có những tiến
bộ và đạt được một số thành tích đáng kể trong các kỳ thi HSG khu vực. Nhưng gần đây
Bộ đã thay đổi mạnh về quy chế thi HSG cấp Quốc gia đó là không còn phân chia hai bảng
A,B như trước mà chỉ có một bảng thống nhất chung toàn quốc. Đề thi khó hơn và số

lượng giải ít hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh môn Toán tỉnh nhà.
Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và viết các chuyên đề này là
việc cần thiết trong tình hình hiện nay.Được sự ủng hộ của các thầy cô trong tổ Toán
trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện viết chuyên đề :” Một số Bất đẳng
thức nâng cao”.
2. Mục tiêu nghiên cứu:
Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng một số bất đẳng
thức nâng cao mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Bất đẳng thức Côsi mở
rộng , Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng , Bất đẳng thức Jensen , Bất đẳng thức
Tsêbưsep , Bất đẳng thức Schwarz ,… .Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết
vận dụng vào việc giải các bài toán đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư duy toán học
và khả năng vận dụng sáng tạo trong các bài toán mới.
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trình bày nội dung các bất đẳng thức nâng cao sau đó chứng minh và hướng
dẫn giải các bài tập áp dụng
Tùy theo từng nội dung của Bất đẳng thức có sự liên hệ với các bất đẳng thức
còn lại trong đó có sử dụng nhiều đến phương pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức
mà trong các kỳ thi học sinh giỏi toán thường hay gặp.
Vì đây là chuyên đề nâng cao về bất đẳng thức nên chúng tôi không trình bày
các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , coi như học sinh chuyên Toán phải nắm để
làm cơ sở cho việc học chuyên đề này.
Rèn luyện tư duy toán thông qua giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức
và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm
với các thầy cô bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang.
4. Phương pháp nghiên cứu
-Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các đợt

bồi dưỡng để trình bày hệ thống các Bất đẳng thức nâng cao thường gặp trong các kỳ thi
học sinh giỏi Toán.
-Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan,phân loại bài
tập,nhận xét cách giải, tạo tình huống có vấn đề để HS cùng trao đổi nghiên cứu.
-Hệ thống và sắp xếp các dạng bài tập từ dễ đến khó và có các lời giải cụ thể.
-Phương pháp phân tích:giúp học sinh nắm rõ bản chất vấn đề , lựa chọn
phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng và tương tự hoá bài toán.
5.Một số kết quả đạt được
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

5
Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để giải
các bài tập về Bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất .
Qua chuyên đề này giúp học si
nh khắc sâu thêm kiến thức về Bất đẳng thức
và đạo hàm.
Giúp cho học sinh có thêm
phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao khác.
II.NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1.Các bài tập về Bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất
thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có một
chuyên đề bất đẳng thức phong phú nên chúng tôi viết chuyên đề : ” Một số Bất đẳng thức
nâng cao” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà.
2. Đề tài
được chia làm 8 chương:
Chương I: BẤT ĐẲ
NG THỨC JENSEN
Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI
Chương III: BẤT

ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep)
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI M
Ở RỘNG
Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOP
XKI MỞ RỘNG
Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (S
VACXO)
Chương VII: M
ỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI
Chương VIII: S
Ử DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT
ĐĂNG THỨC.
Trong mỗi chương sau phần trình bày Bất đẳng thứ
c là phần chứng minh và
các bài tập áp dụng.
Dù cố gắng nhiều như
ng đề tài không tránh khỏi sai sót , rất mong nhận được
sự đóng góp từ các đồng nghiệp môn Toán của tỉnh nhà.
Sau đây và trình bày phần n
ội dung của đề tài.
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

6
Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
I.1.Định lý 1:
Cho hàm số y = f(x) có
với
//

() 0fx> ( ; )
x
ab
∀
∈ ( hàm số có đồ thị lõm trên (a;b))
Với và là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(c,f(c) thì ( ; )cab∈
/
()( ) ()yfcxc fc=−+
/
() ()( ) (), (;)
f
xfcxcfc xab≥−+∀∈ (1)
(Đường cong ( C) luôn ở phía trên mọi tiếp tuyến tại M với ( ; )cab
∈
)
Chứng minh: Với ( ; )cab∈
i/ Với x = c (1) xảy ra dấu bằng
ii/ Với x < c : Áp dụng định lí Lagrange :
/
() ()
(), (;)
fx fc
f
ddxc
xc
−
=∈
−

/

f
tăng trên (a;b) nên
//
() ()
f
dfc<
/
() () ( ) ()
f
xfc xcfc⇒−>− (do x < c)
iii/Tương tự với x > c ta cũng có
/
() () ( ) ()
f
xfc xcfc−>−
Vậy
/
() ()( ) (), (;)
f
xfcxcfc xab≥−+∀∈
Chú ý : Nếu
//
() 0 (;)
f
xxa<∀∈ b thì (1) đổi chiều ( đồ thị ( C) lồi trên (a;b))
I.2.Định lý 2:(BĐT Jensen)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a ;b)
a/ Nếu với
//
() 0fx> ( ; )

x
ab∀∈ thì
( ; ) , 1,2, ,
i
x
ab i n
∀
∈=
và
(0;1)
i
α
∀∈
thỏa
1
1
n
i
i
α
=
=
∑
ta có :
11 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
nn n n
f
xx x fx fx fx
α

αααα α
+++ ≤ + ++
(2)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
12

n
x
xx===

b/ Nếu với
//
() 0fx< ( ; )
x
ab∀∈ thì (2) đổi chiều.
Chứng minh:
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

7
ba/ Đặt .Theo định lí 1 ta có
1
(;)
n
ii
i
cxa
α
=
=∈

∑
/
() ()( ) (), (;)
f
xfcxcfc xab≥−+∀∈
Thay x= x
i
:
//
( ) ()( ) (), (;) ( ) () () ()
ii iiiiii
/
f
x fcx c fc x ab fx fc x cfc fc
ααα
≥−+∀∈⇒≥ −+
α
1
n
i
i

Lấy tổng ta được:
//
111
( ) () () ()
nnn
ii ii i
iii
fx f c x cf c fc

α
αα
===
≥−+
∑∑∑
α
=
∑

Vì
1
n
ii
i
cx
α
=
=
∑
và nên
1
1
n
i
i
α
=
=
∑
//

11
( ) () () () ( ) ( )
nn
ii ii ii
ii
fx cf c cf c fc fx f x
αα
==
≥−+⇒ ≥
∑∑
1
n
i
α
=
∑

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
i
= c hay
12

n
x
xx
=
==

b/ Chứng minh tương tự
Đặc biệt : Nếu

12
1

n
n
αα α
==== thì BĐT (2) thành :
12 1 2
( ) ( ) ( )
()
nn
ff f
f
nn
α
αααα
+++ + ++
≤
α
(3)
Chú ý : Bằng quy nạp ta CM được nếu (3) đúng với n=2 thì (3) đúng với mọi n tự nhiên
lớn hơn 2
I.3.BĐT Jensen dạng tổng quát ;
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a ;b)
a/ Nếu với
//
() 0fx> ( ; )
x
ab∀∈ thì
( ; ) , 1,2, ,

i
x
ab i n
∀
∈=
và
0
i
α
∀>
ta có :
11 2 2 1 1 2 2
12 12
( ) ( ) ( )
()

nn n n
nn
xx x fx fx fx
f
α
αααα α
αα α αα α
+++ + ++
≤
+++ +++
(4)
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

8
b/ Nếu với
//
() 0fx< ( ; )
x
ab∀∈ thì (4) đổi chiều.
Chứng minh: Áp dụng BĐT Jensen với
,
i
i
k
i
α
β
α
=
∀
∑

I.4. Chứng minh các BĐT cổ điển bằng cách áp dụng BĐT Jensen:
a/BĐT CôSi : Cho n số dương ta có
12
, , ,
n
aa a
12
12


n

n
n
aa a
aa a
n
+
++
≥
, dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi
12

n
aa a===
Chứng minh: Xét hàm số f(x)=lnx với x > 0
Ta có
///
2
11
() , () 0 0
f
xfx x
xx
==−<∀>.Áp dụng BĐT Jensen ta có :
1 2 12 1 2 12
12
12
( ) ( ) ( ) ln ln ln
() ln

ln ln
nn n
n
n
n
n
f
afa fa aa a a a a aa a
f
nnn
aa a
aa a
n
+++ +++ +++ +++
≤⇒ ≤
+++
⇒≤
n
Vậy
12
12


n
n
n
aa a
aa a
n
+++

≥ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
12

n
aa a===
b/BĐT Bunhiacopxki:
Xét hàm số
2
()
f
xx= có . Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có:
//
() 2 0fx=>
()
12
12
2
22 2
12
11 2 2
12 12
2
22
11 2 2 1 2 1 2



( )( )
n
n

n
nn
nn
nn n n
xx x
xx x
xx x x x x
αα α
αα α
αα α αα α
αα α αα αα α α
+++
⎛⎞
+++
≤
⎜⎟
+++ +++
⎝⎠
⇔ + ++ ≤ + ++ + ++
2

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

9
Đặt
i
i
i
a

x
b
=
và ta có :
2
i
b
α
=
i
()
(
)
(
)
2
22 222 2
11 2 2 1 2 1 2

nn n n
ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
12
12
12

n
n
n

aa a
xx x
bb b
=
== ⇔ = ==

c/BĐT Holder
Cho ; p > 0 , q > 0 và
0; 0 ( 1,2, , )
ii
ab i>>= n
11
1
pq
+
=
.Ta có :
11
111
nnn
p
q
pq
ii i i
iii
ab a b
===
⎛⎞⎛
≤
⎜⎟⎜

⎝⎠⎝
∑∑∑
⎞
⎟
⎠
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
1
1

p
p
n
qq
n
a
a
bb
==

Chứng minh:
Ta có p > 1 .Xét hàm số
() , 0.
p
fx x x=>
Ta có
// 2
() ( 1) , 0.
p
fx pp x x
−

=− ∀>
Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có:
12
12
12
11 2 2
12 12
11
1
11 2 2 1 2 1 2



( ) ( )
n
n
p
pp p
n
nn
nn
pp p
pp
nn n n
xx x
xx x
xx x x x x
αα α
αα α
αα α αα α

αα α αα α α α α
−
+++
⎛⎞
+++
≤
⎜⎟
+++ +++
⎝⎠
⇔ + ++ ≤ + ++ + ++

()
()
1
1
p
p
q
ii i ii
xx
ααα
⇔≤
∑∑∑

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

10
Chọn Ta có
1

;
qq
iii ii
bxab
α
−
==
11
111
nnn
p
q
pq
ii i i
iii
ab a b
===
⎛⎞⎛
≤
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
∑∑∑
⎞
⎟
⎠

I.5.Bài tập áp dụng :
Bài 1
:Cho
0, 1

i
x
r>>
.CMR:
11
r
nn
r
ii
ii
xx
nn
==
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑∑

Hướng dẫn :Xét hàm số .Ta có
() , 0
r
fx x x=>
// 2
() ( 1) , 0
r
fx rr x x

−
=
−∀>

Áp dụng BĐT Jensen ta có :
()
r
r
iiii
x
fx x x
f
nn n
⎛⎞ ⎛⎞
≤⇒≤
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∑∑ ∑ ∑
n

Chú ý : Nếu 0 < r < 1 thì BĐT đổi chiều
Bài 2: Cho
0, 0; ,
i
x
pq pqN>≥> ∈
.CMR:
11
nn
qp

ii
qp
ii
xx
nn
==
≤
∑
∑

Hướng dẫn : Áp dụng bài 1 với
;
q
i
p
ry
q
==
i
x
ta có :
11 1 1
pp
p
nn n n
qq
qp
q
ii i i
⇒

ii i i
yy x x
nnnn
== = =
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
≤⇒ ≤
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∑∑∑∑
11
nn
qp
ii
qp
ii
xx
nn
==
≤
∑
∑

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

11
Tổng quát :

11
11
0, 0:
nn
ii
ii
i
xx
x
nn
β
α
βα
αβ
==
⎛⎞⎛
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
>≥> ≤
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
∑∑
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

Bài 3: Cho .CMR:
0
i
a >
()
1
12
1
1
1
1
n
n
i
i
n
n
a
aa a
=
≥
+
+
∑

Hướng dẫn: Ta có
12
12
1
(ln ln ln )

ln
12

n
n
n
aa a
aa a
n
n
n
aa a e e
+++
==

12
1
ln
(ln ln ln )
11 1 1 1
(1) ( ) ( )
1
1
i
n
ii
a
aa a
n
fx f x

ne n n
e
+++
⇔≥ ⇔≥
+
+
∑∑∑

Xét hàm số
1
()
1
x
fx
e
=
+
và
ln 0
ii
xa=>
Bài 4: Cho .CMR:
,, 0abc>
2
()()() ( )
3
abc
abc
bc ca ab abc
++

⎡⎤
+++≤++
⎢⎥
⎣⎦
(2)
Hướng dẫn :
ln( ) ln( ) ln( ) 2
(2) ln[ ( )]
3
abcbcacab
abc
abc
++ ++ +
⇔≤
++
++
Xét hàm số () ln( )
f
xabc=++−x. Áp dụng BĐT Jensen ta có:
222
() () () ( )
a b c abc
fa fb fc f
abc abc abc abc
++
++≤
++ ++ ++ ++

222
ln( ) ln( ) ln( ) 2

ln( ) ln[ ( )]
3
abc bca cab a b c
abc abc
abc abc
++ ++ + ++
⇔≤++−
++ ++
≤++

(vì
2
2222
()3( )(
3
ab bc ca
a b c ab bc ca a b c
abc
++
≤++⇔ ++≤++
++
)
≥
)
Bài 5: Cho .CMR:
1
0, 1, 1
n
ii
i

aak
=
>=
∑
1
1
1
n
k
k
i
i
n
a
+
=
≥
∑

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

12
HD:Xét hàm số
1
() , 0
k
fx x
x
=>

Bài 6:Cho .CMR: , , 0, 1abc a b c> ++=
444
16
()()()
27
ab bc ca+++++≥
HD: Xét hàm số
4
() ( ), (0;1)fx a b c x x=++− ∈
Bài 7:Cho tam giác nhọn ABC.CMR:
2(sin sin sin ) (tan tan tan ) 6 3ABC ABC++ + ++ ≥
HD: Xét hàm số ( ) 2sin tan ,
f
xxx=+ (0; )
x
π
∈

Bài 8:Cho tam giác ABC và .CMR: 2k ≥
sin sin sin 3 3
cos cos cos 2 1
ABC
kAkBkCk
++≤
+
++ +

HD:
sin
() , (0; )

cos
x
fx x
kx
π
=∈
+

Bài 9: Cho
9
,, 0,
4
abc abc>++=
.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
S=
222
(1)(1)(
bc
aa bb cc++ ++ ++1)
a

Giải:
22
ln ln( 1) ln( 1) ln( 1)Sb a a c b b a c c=++++++++
2

Xét hàm số
2
() ln( 1), 0fx x x x=++ > có
//

23
() 0, 0
(1)
x
fx x
x
−
=
<∀>
+

Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có:
() () () ( )
bcaabb
fa fb fc f
abc abc abc abc
cca
+
+
++≤
++ ++ ++ ++

ln 1 3
()(())()ln2
9
34
4
Sabbcca
f f abc f
abc

++
⇒≤ ≤ ++= =
++
9
4
2S⇒≤

Vậy max S =
9
4
2 khi a = b = c = ¾
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

13
Bài 10: Cho p , q dương và
11
1
pq
+=
.CMR với mọi x , y dương ta có :
pq
x
y
xy
p
q
≤+
.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
p

q
xy
=

HD: Xét hàm số () ln , 0
f
xxx=>
Bài 11: Cho (i=1,2,…,n).CMR:
,
ii
ab> 0
12 12 1 1
( ) ( )
nnn
nn n
aa a bb b a b a b+≤++
n

HD:
12 1 1 2 2
12 12 1 1
12 1 2
12 1 2
12 1 2

( ) ( ) 1


1(1)(1) (1)

nn
nnn
nn
nn nn
nn
nn
nn
nn
bb b a b a b a b
aa a bb b a b a b
aa a a a a
bb b b b b
aa a a a a
++ +
+≤++⇔+ ≤
⇔+ ≤ + + +
n

12 1 2
12 1 2
1
ln 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )

nn
n
nn
bb b b b b
aa a n a a a
⎛⎞
⎡⎤

⇔+ ≤ ++++++
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠

Xét hàm số , () ln(1 ), 0
x
fx e x=+ >
()
ii
x
fx
f
nn
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑
, ln
i
i
i
b
x
a
=

Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI
II.1.Định lí: Cho x > -1 và
R
α
∈ .Ta có:
a/ (1 ) 1 ,
x
x
α
α
+≥+ với mọi 0
α
<
hoặc 1
α
>
b/ (1 ) 1 ,
x
x
α
α
+≤+ với mọi 0 1
α
<
<
Chứng minh:
Xét hàm số () (1 )
f
xx
α

=+ với x > -1
Ta có
/1//
() (1 ) ; () ( 1)(1 )fx x f x x
αα
ααα
−−
=+ = −+
2
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

14
Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(0;1) là 1yx
α
=
+
a/ Nếu 0
α
< hoặc 1
α
> thì
//
()
f
x > 0 với mọi x > -1
⇒
(1 ) 1 , 1xxx
α
α

+
≥+∀>−
b/ Nếu 0 1
α
<< thì
//
()
f
x < 0 với mọi x > -1 ⇒ (1 ) 1 , 1xxx
α
α
+
≤+∀>−
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0 hoặc
0, 1
α
α
=
=

II.2.Hệ quả:
Đặt t = x+1 > 0 và 1
α
> ta có 1tt
α
α
α
≥+−,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 1
II.3.Bài tập áp dụng:
Bài 1

:CMR:
33 3
(1) (2),
nn n
nn n n
++ +
++ <+ ∀∈N
Giải: Ta có :
33
33 3
2
(1) (2) 1
11
nn
nn n
nn
nn n
nn
+
+
++ +
+
⎛⎞ ⎛ ⎞
++ <+ ⇔ +<
⎜⎟ ⎜ ⎟
++
⎝⎠ ⎝ ⎠

Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
33

21 3
111
111
nn
nn
nnnn
++
++
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞
= + ≥+ >+
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟
+++
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠
3
1
n
n
+
+

Bài 2: Cho n > 1 .CMR:
1
1
nn
nn
−
>+

Giải : Ta có
1

1
1
1(1)
11
n
nn
nn
n
nn nn
nn
−
−
⎛⎞
>+⇔>+ ⇔ >
⎜⎟
+
+
⎝⎠

Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
11
11
111
nn
nn
nnn
⎛⎞⎛ ⎞
=− >− =
⎜⎟⎜ ⎟
1n

+
++
⎝⎠⎝ ⎠
+

Bài 3 : Cho a > 0 và n > m.CMR : (1 ) (1 )
mn
na ma+<+
Giải: Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
(1 ) 1 1
n
m
n
ma ma na
m
+
>+ =+ ⇒
(1 ) (1 )
mn
na ma+<+
Bài 4 : Cho a,b,c là các số tự nhiên thỏa a < b < c .CMR với mọi số tự nhiên d > a ta có :

dd
abc+<
d
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

15
Giải: Ta có 1

dd
ddd
c
abc
bb
⎛⎞ ⎛⎞
+<⇔ >+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
a
.Vì c > b nên 1cb≥+
Áp dụng BĐT Bernoulli ta có
11
1111
ddd
cb da a
bb b bbb
+
⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎛
≥=+≥+>+>+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜
⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎝
d
⎞
⎟
⎠

(vì
01
d

aaa
bbb
⎛⎞
<<⇒>
⎜⎟
⎝⎠
)
Bài 5:Cho và .CMR:
,,,abcn N∈
abcn≤<≤
nn
abc
n
+
<
Giải : Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
()
11 111
nn
n
n
ccbncb
bb b
−−
⎛⎞ ⎛ ⎞
a
b
=
+ ≥+ >+≥+
⎜⎟ ⎜ ⎟

⎝⎠ ⎝ ⎠

Bài 6:Cho n là số nguyên dương .CMR :
1
11
11
1
nn
nn
+
⎛⎞⎛ ⎞
+<+
⎜⎟⎜ ⎟
+
⎝⎠⎝ ⎠

Giải : Ta có
111
11 12 12
11
11
nnnnnn
nn n nn
nn nn nn
+++
++ + +
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
+<+ ⇔ < ⇔ <
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
++ +

⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
1
1
1n
+
+

1
2
(2)
(1)
n
nn n
nn
+
⎡⎤
+
⇔
⎢⎥
++
⎣⎦
1
>. Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
11
22
(2) 1 1
11
(1) (1) 1
nn
nn n

nnn
++
⎡⎤⎛ ⎞
+
=− >− =
⎜⎟
⎢⎥
+++
⎣⎦⎝ ⎠
1n+
1

Bài 7:Cho .CMR:
0,ab<<
1
ba
ab+>
Giải: Áp dụng BĐT Bernoulli ta có :
11 1 (1)
11
bb
b
b
a b a abab a
a
a a a a a abab
−−+−
⎛⎞ ⎛ ⎞
==+ <+ = ⇒>
⎜⎟ ⎜ ⎟

+
−
⎝⎠ ⎝ ⎠

Tương tự :
1
aba
ba
bab
abab abab
b
+
>⇒+>
+− +−
>
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

16
Bài 8:Cho x , y > 0 và
α
2≥
.CMR:
1
2( )x
y
x
y
α
αα

−
+≥ +
α

Giải: Ta có
1
22
2( ) 2
xy
xy xy
xy xy
αα
αα α α
−
⎛⎞⎛⎞
+≥ + ⇔ + ≥
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠

Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có :
22 22
.1; .1
xx yy
xy xy xy xy
αα
α
αα
⎛⎞ ⎛⎞
≥+− ≥+

⎜⎟ ⎜⎟
++ ++
⎝⎠ ⎝⎠
α
−

Từ đó suy ra :
22
222 2
xy
xy xy
αα
αα
⎛⎞⎛⎞
+≥+−
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
=
+
(đpcm)
Bài 9:Cho a,b,c,p > 0 và số nguyên dương n . CMR:
(1)
1( )
3( )
np np np np np
abc abc
+++−+
++≥ ++
HD:

333
(1) 3
np np np
abc
abc abc abc
+++
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
≥
Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có :
33
(). 1()
np
aa
np np
abc abc
+
⎛⎞
≥+ +−+
⎜⎟
++ ++
⎝⎠
,…
Bài 10:Cho a, b,c > 0.CMR:
222
2
3

2
abc
bc ca ab
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
++ +
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
(2)
HD:
22
222
(2)
abc
bc ac ab
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
+++
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2
≥
3. Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli và
BĐT:
3
2
abc
bc ca ab
++≥
++ +

Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR: a/
2
22 2
3
sin A+sin sin 3
2
BC
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠
(3)
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

17
b/
22 22 22
12
tan tan tan 3
222
ABC
−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

HD: a/

22
222
(3) sin sin sin 3
333
ABA
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2
≤
Áp dụng 1tt
α
α
α
≥+− với
2
2
;sin
2
tA
α
==
và
222
9
sin sin sin
4
ABC
+

+≤

b/ Áp dụng:
tan tan tan 3
222
ABC
++≥

Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep)
III.1.BĐT CHEBYSHEV
1/Cho hai dãy n số và đều tăng hoặc đều giảm tức là :
12
, , ,
n
aa a
12
, , ,
n
bb b
12
12


n
n
aa a
bb b
≤≤≤
⎧
⎨

≤≤≤
⎩
hoặc thì ta có :
12
12


n
n
aa a
bb b
≥≥≥
⎧
⎨
≥≥≥
⎩
11 2 2 1 2 1 2

.
nn n n
ab ab ab a a a b b b
nn
+++ +++ +++
≥
n

Dấu bằng xảy ra khi
12

n

aa a
=
==
hoặc
12

n
bb b
=
==

2/Cho hai dãy n số và có một dãy tăng hoặvà một dãy giảm
tức là :
12
, , ,
n
aa a
12
, , ,
n
bb b
12
12


n
n
aa a
bb b
≤≤≤

⎧
⎨
≥≥≥
⎩
hoặc
12
12


n
n
aa a
bb b
≥≥≥
⎧
⎨
≤
≤≤
⎩
thì ta có :
11 2 2 1 2 1 2

.
nn n n
ab ab ab a a a b b b
nn
+++ +++ +++
≤
n

Dấu bằng xảy ra khi
12

n
aa a
=
==
hoặc
12

n
bb b
=
==

Chứng minh:Ta CM cho trường hợp:
12
12


n
n
aa a
bb b
≤
≤≤
⎧
⎨
≤
≤≤

⎩

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

18
Gọi
12

n
aa a
a
n
+++
= khi đó tồn tại k sao cho
11

kk
aaaa
+ n
a
≤
≤≤≤ ≤≤
(1)
Ứng với k ở trên lấy b sao cho
1k
bbb
k
+
≤≤

khi đó ta có
11

kk
bbbb
+ n
b
≤
≤≤≤ ≤≤
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
()()
ii
aabb0
−
−≥
với mọi i=1,2,…,n hay
0
ii i i
a b ab ba ab
−
−+≥
với
mọi i. Cộng n BĐT lại ta được :
0
ii i i
ab a b b a nab
−
−+
∑∑∑

≥
.
Vì
ii
na a nab b a=⇒=
∑∑
1
ii i i i
ab a b a b
n
⇒≥=
∑∑∑∑
.Từ đó suy ra đpcm
Dấu bằng chỉ xảy ra khi ta có
()()
ii
aabb0
−
−=
với mọi i , nếu (a
i
) không là dãy
hằng thì khi đó ,tức
1 n
aaa<<
1 n
bbb==
12

n

bb b
=
==

III.2.Bài tập áp dụng :
Bài 1:Cho tùy ý .CMR:
12
, , ,
n
aa a
2
22 2
12 12

nn
aa a aa a
nn
+++ +++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠

HD: Giả sử .Xét dãy b
12

n
aa a≤≤≤
k
=a

k
Bài 2:Cho .CMR: 2ab+≥
1nn n n
aba b
1
+
+
+≤ + với mọi số tự nhiên n
Bài 3:Cho x,y > 0.CMR:
3377 1111
()( )( )4( )
x
yx y x y x y++ +≤+
Bài 4:Cho m lẻ và .CMR:
12

n
aa a+++≥n
1
11
nn
mm
kk
kk
aa
+
==
≤
∑
∑

HD:Giả sử thì ab≥
nn
ab≥
Bài 5:Cho n số không âm .CMR với mọi số nguyên dương m ta có :
12
, , ,
n
aa a
12 12

m
mm m
nn
aa a aa a
nn
+++ +++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠

HD: Giả sử thì
12
0
n
aa a≤≤≤≤
12
0
mm

n
aa a
m
≤
≤≤≤Áp dụng BĐT Tsêbưsep và quy
nạp
Bài 6: Cho n số dương .CMR với mọi số nguyên dương k,l ta có :
12
, , ,
n
aa a
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

19
12 12 1 2

.
k k k l l l kl kl kl
nn
aa aaa aa a a
nn n
n
+
++
+++ +++ + ++
≤

HD:Áp dụng BĐT Tsêbưsep cho hai dãy
12

12


kk
n
ll l
n
aa a
aa a
⎧
k
≤
≤≤
⎪
⎨
≤≤≤
⎪
⎩

Bài 7:Cho tam giác ABC.CMR:
3
aA bB cC
abc
π
+
+
≥
++

Bài 8:Cho a,b không âm có tổng bằng 2.CMR:

33 4
abab
4
+
≥+
Bài 9:Cho a,b,c > 0 và số tự nhiên n.CMR:
a/
111
3
nnn
nnn
abc ab
abc
+++
++ ++
≥
++
c

b/
3
()
abc
abc
a b c abc
+
+
≥ .Hãy tổng quát bài toán
Bài 10: Cho a,b tùy ý ,m và n là hai số tự nhiên có cùng tính chẵn lẻ.CMR:
()()2(

mmnn mnmn
abab a b
++
++≤+)
Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR:
a/
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
≤
++

b/
sin sin sin sin sin sin
sin sin sin
AABBBBCCCCAA
A
BC
AB BC CA
+++
++≥+
+++
+
Bài 12: a/ Cho a,b,c > 0 và .CMR:
222
1abc++≥
333
1

2
abc
bc ca ab
+
+≥
++ +

b/ Cho a,b,c,d > 0 và .CMR:
222 2
1abcd+++≥
3333
1
3
abcd
bcd acd abd abc
+++
++ ++ ++ ++
≥

c/Hãy chứng minh bài toán tổng quát
Bài 13:Cho là các cạnh của đa giác lồi n cạnh có chu vi là p.CMR:
12
, , ,
n
aa a
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

20
1

22
n
i
i
i
a
n
pan
=
≥
−
−
∑

Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG
IV.1.Chứng minh BĐT Côsi bằng phương pháp đạo hàm:
a/ Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số f(x) = e
x
- x-1 trên R ta chứng minh được
BĐT: (1) với mọi 1
x
ex≥+
x
R∈ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0
b/
BĐT Côsi :Cho các số dương .Ta có
12
, , ,
n
aa a

12
12


n
n
n
aa a
aa a
n
+
++
≥
, dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi
12

n
aa a===
Chứng minh:
Gọi
1
1
n
k
k
T
n
=
=

∑
a .Áp dụng (1) ta có :
1
, 1,2, ,
k
a
k
T
a
ek
T
−
≥=n

Nhân n BĐT trên lại ta được
1
k
n
a
k
n
n
T
n
kk
n
a
eTaT
T
−

∑
≥⇒≥⇒≥
∏
a
∏
∏

Dấu bằng xảy ra
12
12
1
n
n
a
aa
aa a
TT T
⇔====⇔===

c/
BĐT Côsi mở rộng: Cho và Ta có
BĐT
12
, , , 0
n
xx x>
12
, , , 0
n
pp p>

12
12

11 2 2
12
12



n
n
pp p
p
pp
nn
n
n
xp xp xp
xx x
pp p
+
++
⎛⎞
+++
≤
⎜
+++
⎝⎠
⎟
.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

12

n
x
xx===

Đặc biệt nếu thì ta được BĐT CôSi.
12
1
n
pp p====
Chứng minh:
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

21
Đặt
1
1
n
kk
k
n
k
k
xp
T
p
=
=

=
∑
∑
. Áp dụng (1) ta có :
1(
.
kk
k
kk
xx
p
pp
k
TT
k
x
exTe
T
−−
≤⇒≤
1)

Nhân n BĐT trên lại ta được :
1
11
11
.
n
k
nn

kk
kk
x
nn
1
n
k
p
pp
T
pp
kk
k
xT e xT
−
=
∑
∑
∑∑
≤⇒
∏∏
≤

IV.2.Bài tập áp dụng :
Bài 1:CMR với mọi số dương a , b ta có :
2
ab
ba
ab
ab

+
+
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠

Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:

2
2
ba
ab ab
ab ab ab a b
ab ab
ab ab ab
++
+
≤+= ≤≤
+++

⇒
2
ab
ba
ab
ab
+
+
⎛⎞

≤
⎜⎟
⎝⎠
.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Bài 2:Với x > 0 .CMR:
1
11
11
1
x
x
xx
+
⎛⎞⎛ ⎞
+<+
⎜⎟⎜ ⎟
+
⎝⎠⎝ ⎠

Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:
11
1
1
(1 ) 1.1
121
1.1 1
11 1
x
xx
x

x
x
xxx x
+
+
⎛⎞
++
⎜⎟
+
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
+≤ = =+
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
++ +
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎜⎟
⎝⎠
1
1
x
1.Vì
+
≠ nên dấu bằng không
xảy ra.
Chú ý :Có thể chứng minh cách khác bằng cách áp dụng định lí Lagrange như sau:
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

22
Xét hàm số

()
1
( ) ln(1 ) ln( 1) ln
f
xx x x x
x
=+= +−
Ta có
/
1
() ln( 1) ln
1
fx x x
x
=+−−
+

Hàm số g(t) = lnt liên tục trên [x ;x+1] có đạo hàm trên (x;x+1) nên
/
ln( 1) ln 1 1
(; 1): ()
11
xx
xxx gc
cx
+−
∃∈ + = = >
+
suy ra f tăng trên ( 0; )+∞
Vậy f(x) > f(x+1) từ đó suy ra đpcm.

Bài 3:Cho
2
4
(0;2) . : 1
29
x
x
xCMR
⎛⎞
∈−
⎜⎟
⎝⎠
<

Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:
2
2
22
2
21
(1 ) 2(1 )
91
22
1.1.1
2
24 2 2
2
x
xx
x

xx
x
x
+
⎛⎞
−+ +
⎜⎟
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
−=−+≤
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
⎜⎟
+
⎝⎠
1=

suy ra
2
4
1
29
x
x
⎛⎞
−<
⎜⎟
⎝⎠
.Vì
1

11
22
x
−≠+
nên dấu bằng không xảy ra.
Bài 4:Cho các số dương
123
,,
x
xx
và các số thỏa hệ :
123
,,yyy
1111122133
221122223
331132233
3
3
y
ax ax ax
y
ax ax ax
y
ax ax ax
=++
⎧
⎪
=++
⎨
⎪

=++
⎩
trong đó thỏa :
0
ij
a >
i1 i2 i3
123
1( 1, 2,3)
1( 1, 2,3)
jjj
aaa i
aaa j
++==
⎧
⎨
++==
⎩
CMR:
123 12 3
xxx yy y≤
www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

23
Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:
i1 i2 i3
i3
i1 i2
i1 1 i2 2 i3 3

123 i11 i22 i33
i1 i2 i3

aaa
a
aa
i
ax ax ax
xxx ax ax ax y
aaa
++
⎛⎞
++
≤=+
⎜⎟
++
⎝⎠
+=
23
y
với i =1,2,3
Nhân 3 BĐT trên lại ta được:
11 21 31 11 21 31 13 23 33
123 1

aaa aaa aa a
xxx yy
++ ++ ++
≤
⇒

123 12 3
xxx yy y≤

Bài 5:Cho n số dương
12
, , ,
n
x
xx
thỏa
12
1
n
xx x
+
++ =
. Tìm giá trị lớn nhất của

12
12
( 0)
n
a
aa
ni
xx x a>
Giải:Đặt
1
;
n

k
kk
k
a
aab
a
=
==
∑
thì
1
1
n
k
k
b
=
=
∑
.Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:
12
12 12
12 12
12 12
11
. ( )
n
b
bb
nn

nn
nn
xx x bb b
xx x xx x
aa a aa a a
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
≤+ ++ = +++=
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
a

12
12 1
12
12
12
12 1
12
12
.
1
. .
n
n
n
a
aa

aa a
a
aa
n
n
a
aa
aa
n
aa a
xx x
xx x
aa a a
a
⇒≤⇒≤


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
12
12
1
;
1

i
i
i
n
n
x

a
xi
x
xx
a
aa aa
⎧
=
⎪
⇔
=∀
⎨
====
⎪
⎩
∑

Vậy max =
12
12

n
a
aa
n
xx x
12
12
.
n

a
aa
n
a
aa a
a
khi
;
i
i
a
xi
a
=
∀

www.VNMATH.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

24

Bài 6: Cho p , q dương và
11
1
pq
+
=
.CMR với mọi x , y dương ta có :
pq
x

y
xy
p
q
≤+
.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
p
q
xy
=

Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có:
11
11
().()
p
qp
pq
pq
pq
xy xy
xy x y
pq pq
+
⎛⎞
=≤+=
⎜⎟
⎝⎠
q
+

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
p
q
xy
=

Tổng quát : Với và
12
, , , 0
n
pp p>
1
1
1
n
k
k
p
=
=
∑
thì
()()
()
12
12
12
1
11

12
12 1 2
12

n
n
n
p
pp
p
pp
n
p
pp
nn
n
x
xx
xx x x x x
p
pp
=≤+
++

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
12
12

n
p

pp
n
x
xx===

Bài 7:Cho p , q > 0 và p+q =1.CMR với mọi
(0; )
2
x
π
∈
ta có
11
tan cot 1
pq
pxqx+≥

Hướng dẫn: Áp dụng bài 6
Bài 8 : (BĐT Holder )
Cho ; p > 0 , q > 0 và
0; 0 ( 1,2, , )
ii
xy i>>= n
11
1
pq
+
=
.Ta có :
www.VNMATH.com

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh

25
11
111
nnn
pq
pq
ii i i
iii
x
y
x
y
===
⎛⎞⎛
≤
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
∑∑∑
⎞
⎟
⎠
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
1
1

p
p
n

qq
n
xx
yy
==

Chứng minh:Đặt
() ()
11
A;B
pq
pq
ii
x
y
==
∑∑

Áp dụng bài 6 ta có :
11 111
. . .
pq
pq
ii
ii i i ii
pq
xy
xy x y xy
AB p A q B AB p A q B p q
⎛⎞ ⎛⎞

≤+⇒≤+=+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
1
1=
∑
∑
∑

Suy ra
11
111
nnn
p
q
pq
ii i i
iii
xy x y
===
⎛⎞⎛
≤
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
∑∑∑
⎞
⎟
⎠
n

Chú ý :Nếu p = q =2 ta được BĐT Bunhiacopxki
Bài 9: (BĐT Mincopxki)
Cho các số không âm và p > 1 ta có BĐT:
12 12
, , , ; , , ,
n
aa a bb b
()()
11
1
()
pp
pp
p
ii i i
ab a b
⎡⎤
+≤ +
⎣⎦
∑∑
p
∑

Chứng minh:
Đặt
1
1
p
q
p

=
−
>
ta có
11
1
pq
+=
.Áp dụng BĐT Holder ta có :
www.VNMATH.com