ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ I MÔN TOÁN 8

LỚP HỌC TỐN CƠ DIỆP
SỐ 2 – NGÕ 426 – ĐƯỜNG LÁNG
SĐT: 0932 391 090

TRƯỜNG TIỂU HỌC – TRUNG HỌC CƠ SỞ PASCAL
Năm học 2018 – 2019
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ I
MƠN TỐN 8

I. Đại số
Dạng 1. Rút gọn và các câu hỏi phụ
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) ( x  8)( x  2 x  9)  ( x  1)
2

b) (2 x  1)  3( x  1)( x  2)  ( x  3)

3

2

c) 2( x  2)( x  2)  ( x  3)(2 x  1)

d) ( x  2)(2 x  1)  3( x  1)  4 x( x  2)
2

Bài 2. Cho biểu thức: A  ( x  4)( x  3)  (3  x)

2

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị biểu thức khi x  1  0,5
c) Tìm x để A = 2
Bài 3. Cho biểu thức: A  2(3x  1)( x  1)  3(2 x  3)( x  4)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A tại x  2
c) Tìm x để A = 0
Dạng 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 4. Phân tích thành nhân tử:
a) x  10 x  25

b) x  64

c) 25( x  y )  16( x  y )

d) x  1

e) 2 xy  3 z  6 y  xz

f) 5 x  5 xy  x  y

2

2

4

2

2

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x  2 xy  y  xz  yz

b) y  x y  2 xy  y

d) ( x  y )  ( x  y )

e) x  4 x  y  4

2

2

2

2

2

2

2

2

c) x  25  y  2 xy
2

3

2

f) 2 xy  x  y  16

2

2

2

Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x  8 x  7
2

2

b) x  5 x  6

c) x  3 x  18

2

2

d) 3 x  16 x  5

Dạng 3. Tìm số chưa biết:
Bài 7. Tìm x biết:
a) x(2 x  7)  2 x( x  1)  7

b) 3 x ( x  8)  x  2 x ( x  1)  2

c) 3 x ( x  7)  2( x  7)  0

d) 7 x  28  0

e) (2 x  1)  x (2 x  1)  0

f) 2 x  50 x  0

2

2

3

2

2


Dạng 4. Chia đa thức, chia đơn thức:
Bài 8. Thực hiện phép chia

2   4 
 3 2
x y  5 xy 2  xy  :  xy 
7   4
 4


a) (15 x y  6 x y  3 x y ) : 6 x y

b)  

c) (4 x  9 y ) : (2 x  3 y )

d) ( x  3 x y  3 xy  y ) : ( x  2 xy  y )

3

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

3

2

2

Bài 9. Thực hiện phép chia
a) ( x  2 x  2 x  1) : ( x  1)

b) (8 x  6 x  5 x  3) : (4 x  3)

c) x  3 x  3 x  2) : ( x  x  1)

d) (2 x  3 x  3 x  1) : ( x  x  1)

4

3

3

2

3

2

2

2

3

2

2

Bài 10. Tìm a để phép chia là phép chia hết
a) x  x  x  a chia hết cho x  1
3

2

b) 2 x  3 x  x  a chia hết cho x  2
3

2

c) x  2 x  5 x  a chia hết cho x  3
3

2

d) x  5 x  a chia hết cho x  3 x  2
4

2

2

II. Hình học
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có AD  2 AB, 
A  60 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC
o

và AD.
a) Chứng minh AE  BF
b) Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân.
c) Lấy điểm M đối xứng A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật.
d) Chứng minh M, E, D thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác MNP, gọi E là trung điểm của NP. Gọi Q là điểm đối xứng của M qua N, D là
giao điểm của QE và MP, gọi I là trung điểm của MD. Chứng minh rằng:
a) NI là đường trung bình của MQD
b) DE // NI
c) MD = 2DP
Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Gọi H là điểm đối xứng của
N qua M.
a) Chứng minh các tứ giác BNCH và ABHN là hình bình hành.
b) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác BNCH là hình chữ nhật.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P, Q lần
lượt là trung điểm của BG và CG.
a) Tứ giác BNMC là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh MN // PQ; MN = PQ
c) Chứng minh BCN  CMB


d) Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật
Bài 5. Cho ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm
của BC, K là điểm đối xứng với H qua M.

a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
b) Chứng minh BK  AB
c) Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân.
d) BK cắt HI tại G. Tìm điều kiện của ABC để tứ giác HGKC là hình thang cân.
Bài 6. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE và BC = 8cm
a) Chứng minh rằng: Tứ giác BEDC là hình thang.
b) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Tính MN?
c) Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng: MI  IK  KN
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vng
góc kẻ từ H đến AB, AC.
a) Chứng minh rằng AH = DE
b) Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI / / EK
III. Một số bài toán khác
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) x  8 x  16

b) 4 x  4 x  1

c) x  10 x  25

d) x  2 x  7

e) x  8 x  9

f) 9 x  6 x  11

2

2

2

2

2

2

g) 3 x  6 x  5
h) 2 x  3 x  5
i) x  3 x  7
Bài 2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất
2

A

1
x3

2

B

7x
x5

2

C

5 x  19
x4

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

A  5  3(2 x  1) 2

B

1
2.( x  1) 2  3

C

x2  8
x2  2


HƯỚNG DẪN GIẢI
I. Đại số
Dạng 1. Rút gọn và các câu hỏi phụ
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)  x  8   x 2  2x  9    x  1  x 3  2x 2  9x  8x 2  16x  72  x 2  2x  1
2

 x 3  9x 2  27x  71

b)  2x  1  3  x  1 x  2    x  3   4x 2  4x  1  3x 2  3x  6  x 2  6x  9   x  2
2

2

c) 2  x  2  x  2    x  3 2x  1  2x 2  8  2x 2  x  6x  3  4x 2  5x  11
d)  x  2  2x  1  3  x  1  4x  x  2   2x 2  x  4x  2  3x 2  6x  3  4x 2  8x
2

 5x 2  19x  1

Bài 2.
a) A   x  4  x  3   3  x   x 2  3x  4x  12  9  6x  x 2  5x  21
2

 x  1  0 ,5
 x  1,5
b) Ta có x  1  0,5  

x

1


0
,
5
 x  0 ,5

Trường hợp 1. Với x  1,5
Thay x  1,5 vào biểu thức A ta có: A  5.1,5  21  13,5
Trường hợp 2. Với x  0 ,5
Thay x  0 ,5 vào biểu thức A ta có: A  5.0 ,5  21  18,5

23
c) A  2  5x  21  2  5x  23  x 
5
23
Vậy với x 
thì A  2
5

Bài 3. Cho biểu thức: A  2(3x  1)( x  1)  3(2 x  3)( x  4)
a) Rút gọn biểu thức A

A  2(3 x  1)( x  1)  3(2 x  3)( x  4)
A  (6 x  2)( x  1)  (6 x  9)( x  4)
A  6 x 2  6 x  2 x  2  (6 x 2  24 x  9 x  36)
A  6 x 2  6 x  2 x  2  6 x 2  24 x  9 x  36
A   6 x 2  6 x 2   (6 x  2 x  24 x  9 x )  ( 2  36)
A  29 x  38
b) Tính giá trị của A tại x  2
Thay x  2 vào A  29 x  38 , ta có:

A  29.(-2)  38
A  96
c) Tìm x để A = 0


A  0  29x  38  0  29x  38  x 

Vậy A  0 thì x 

38

29

38
29

Dạng 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 4. Phân tích thành nhân tử:
a) x  10 x  25   x  5 
2

2

b) x  64  x 2  82   x  8  .  x  8
2

c) 25( x  y )  16( x  y )  25( x  y )  16( x  y )
2

2

2

2

 5( x  y )    4( x  y )    5 x  5 y    4 x  4 y 
2

2

2

2

  5 x  5 y  4 x  4 y  . 5 x  5 y  4 x  4 y    x  9 y  . 9 x  y 

 

d) x  1  x
4

2 2

 12   x 2  1 . x 2  1   x  1 . x  1 . x 2  1

e) 2 xy  3 z  6 y  xz  (2 xy  xz )  (3 z  6 y )

 x  2 y  z   3  2 y  z    2 y  z  . x  3 





f) 5 x  5 xy  x  y  5 x 2  5 xy   x  y 
2

 5 x ( x  y )   x  y    x  y  .(5 x  1)
Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a ) x 2  2 xy  y 2  xz  yz  ( x 2  2 xy  y 2 )  ( xz  yz )
 ( x  y) 2  z.( x  y)  ( x  y).( x  y  z )

b) y  x 2 y  2 xy 2  y 3  y  ( x 2 y  2 xy 2  y 3 )
 y  y ( x 2  2 xy  y 2 )  y.(1  ( x  y ) 2 )  y (1  x  y )(1  x  y)
c) x 2  25  y 2  2 xy  x 2  2 xy  y 2  25  ( x  y ) 2  25  ( x  y  5)( x  y  5)
d )( x  y ) 2  ( x 2  y 2 )  ( x  y )( x  y  x  y )
 2 y( x  y)
e) x 2  4 x  y 2  4  x 2  4 x  4  y 2  ( x  2) 2  y 2  ( x  2  y )( x  2  y )
f )2 xy  x 2  y 2  16  16  ( x 2  2 xy  y 2 )  16  ( x  y ) 2  (4  x  y )(4  x  y )

Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 2  8 x  7  x 2  x  7 x  7  ( x  1)( x  7)
b) x 2  5 x  6  x 2  3x  2 x  6  ( x  3)( x  2)


c) x 2  3 x  18  x 2  6 x  3 x  18  ( x  6)( x  3)
d) 3 x 2  16 x  5  3 x 2  15 x  x  5  3 x( x  5)  ( x  5)  ( x  5)(3x  1)
Dạng 3. Tìm số chưa biết
Bài 7.
a ) x  2 x  7   2 x  x  1  7

b)3x  x  8   x 2  2 x  x  1  2

 7 x  2 x  7

 24 x  2 x  2

x

7
9

x

1
11

c)3 x  x  7   x  2 x  1  0
 5 x 2  20 x  0

d )7 x 2  28  0

 5x  x  4  0

 x2  4

x  0

x  4

 x  2

e)  2 x  1  x  2 x  1  0
 2 x2  3x  1  0
  x  1 2 x  1  0
 x  1

1
x  

2

f )2 x3  50 x  0
 2 x( x 2  5)  0
x  0

 x  5

Dạng 4. Chia đa thức, chia đơn thức
Bài 8.
a ) 15 x3 y 2  6 x 2 y  3 x 2 y 2  : 6 x 2 y


5
1
xy  1  y
2
2

2   4 
 3
b)   x 2 y  5 xy 2  xy  :   xy 
7   5 
 4
15
25
5
 x
y
16
4
14

c)  4 x 2  9 y 2  :  2 x  3 y 

d )  x 3  3 x 2 y  3 xy 2  y 3  :  x 2  2 xy  y 2 

  2 x  3 y  2 x  3 y  :  2 x  3 y 

  x  y :  x  y

  2x  3y 

  x  y

3

2

Bài 9. Thực hiện phép chia
a)

( x 4  2 x 3  2 x  1) : ( x 2  1)

Đs: x 2  2 x  1
c)

( x3  3 x 2  3 x  2) : ( x 2  x  1)

Đs: x  2
Bài 10. Tìm a để phép chia là phép chia hết

b)

(8 x3  6 x 2  5 x  3) : (4 x  3)

Đs: 2 x 2  3 x  1
d)

(2 x3  3 x 2  3 x  1) : ( x 2  x  1)

Đs: 2 x  1


x 3  x 2  x  a chia hết cho x  1

a)

Hd: x 3  x 2  x  a  ( x  1)( x 2  1)  ( a  1)
Để ( x3  x 2  x  a ) ( x  1) thì a  1  0  a  1
b) 2 x3  3 x 2  x  a chia hết cho x  2

Hd: 2 x 3  3x 2  x  a  ( x  2)(2 x 2  7 x  15)  (a  30) Đs: a  30
x 3  2 x 2  5 x  a chia hết cho x  3

c)

Hd: x 3  2 x 2  5 x  a  ( x  3)( x 2  x  8)  (a  24) Đs: a  24

d ) x 4  5 x 2  a chia hết cho x 2  3 x  2
Hd: x 4  5 x 2  a  ( x 2  3 x  2)( x 2  3 x  2)  (a  4) Đs a  4
II. Hình học

Bài 1.

Formatted: Font: (Default) Palatino Linotype, Bold
Formatted: Tab stops: 3.22 cm, Left

F

D

C

A

B

E

M
a) Chứng minh: AE  BF
- Vì ABCD là hình bình hành  AD  BC , AD  BC (tính chất)
-

Mặt khác, E , F lần lượt là trung điểm của BC , AD  BE  EC  FA  FD

-

Xét tứ giác ABCD có: EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD
 FE  AB  CD .

-

Mà AD  2 AB  AB  BE  FA  FE  FD  EC  DC
Xét tứ giác ABEF có: AB  FA  FE  BE (cmt)  ABEF là hình thoi (dhnb)

 BF  AE
b) Chứng minh: BFDC là hình thang cân
  60 FAB đều  FBA
  60
- Vì FA  AB  BFA cân mà FAB
  60
- Chứng minh tương tự: FBE

-

  60  FBC
  DCA
  60
Vì ABCD là hình bình hành  DCA
  DCA
  60  BFDC là hình thang cân.
Vì DF  BC  BFDC là hình thang, mà FBC


c) Chứng minh: BMCD là hình chữ nhật
- Xét tứ giác BMCD có: BM  CD, BM  CD  BMCD là hình bình hành (1)
-

Xét  AMD có: AM  AD  2 AB  AMD cân tại A
  60 MAD là tam giác đều  AM  MD  ADM cân tại D
Có MAD

-

Hình chữ nhật BMCD có E là trung điểm của đường chéo BC  E là trung điểm của

-

  90 (2)
- Có BD là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao  BD  AM  MBD
- Từ (1) và (2)  BMCD là hình chữ nhật.
d) Chứng minh: M , E , D thẳng hàng
Field Code Changed

MD  M , E , D thẳng hàng

Field Code Changed
Field Code Changed

Bài 2.

Field Code Changed

M

a) NI là đường trung bình của MQD

I

ta có NM = NQ (vì Q đối xứng với M qua N)
MI = ID (vì N là trung điểm của MD)



NI là đường trung bình của  MQD

D
N
E

b) DE  / / NI
Xét PIN
Q
Ta có NI // QD ( vì NI là đường trung bình)
=> ED // NI (1)
Mà E là trung điểm của NP (2)
Từ (1) và( 2) ta có D là trung điểm của IP (tính chất 1 đường trung bình trong tam giác)
c) MD = 2DP
Ta có ID = IM (gt)
ID = DP( câu b)
 IM = ID = DP mà MI + ID = MD
 MD = 2 DP

P


Bài 3.

a) Do M là trung điểm của BC .
Mặt khác H là điểm đối xứng của N qua M nên M là
trung điểm của HN .
Nên tứ giác BNCH là hình bình hành ( vì có hai đường

chéo BC và HN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình của tam
giác  MN 

1
AB; MN  AB; => HN  AB; (1)
2

Do M là trung điểm của HN nên

MN 

1
NH  AB  NH .(2)
2

Từ 1 và 2 => ABHN là hình bình hành.

  900  BN  NC .hay BN  AC .
b) Tứ giác BNCH là hình chữ nhật thì BNC
Mặt khác N là trung điểm của AC nên BN là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
Suy ra  ABC là tam giác cân tại B .
Vậy ABC là tam giác cân tại B thì tứ giác BNCH là hình chữ nhật.
 C
 ; AB  AC
Bài 4. a) CM: ABC cân tại A  B

A

+) MN là đường trung bình của ABC cân tại A

BC
(1)
2
Do đó BNMC là hình thang cân (hình thang có hai
góc kề một đáy bằng nhau)
b) +) PQ là đường trung bình của GBC
 MN / / BC ; MN =

 PQ / / BC ; PQ =

BC
2

N
G

(2)

Từ (1) và (2)  MN / / PQ  / / BC  ; MN = PQ =

M

P

BC
2

B

Q

C

c) +) Chứng minh BN = CM.
+) BCN = CMB (c-g-c )
d) Từ kết quả câu b) suy ra MNPQ là hình bình hành ( tứ giác có một cặp cạnh song song và
bằng nhau)
+) Chứng minh được: NQ = MP
Do đó MNPQ là hình chữ nhật ( hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau )
Bài 5.


a) Vì K đối xứng với H qua M nên: M là trung

A

điểm của HK .
Mà: M là trung điểm của BC (gt).

E

 Tứ giác BHCK có hai đường chéo cắt nhau tại

F

H

trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
b) Tứ giác BHCK là hình bình hành nên: BK // CH .

Mà: CH  AB (gt).
Suy ra BK  AB .

B

c) Vì I đối xứng với H qua BC nên BC là đường

D

C

M

G

trung trực của HI  HI  BC .
Mà HD  BC (gt)

I

K

Suy ra 3 điểm H , D , I thẳng hàng và D là trung
điểm của HI .
Lại có: M là trung điểm của HK .
Do đó DM là đường trung bình của HIK .
 DM // IK hay BC // IK .

Suy ra tứ giác BIKC là hình thang.
* Chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân:

- Cách 1:
Ta có: BC là đường trung trực của HI nên CH  CI .
Mà: BHCK là hình bình hành nên CH  BK
Suy ra: CI  BK .
 Hình thang BHCK có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.
- Cách 2:
  BCK
 (so le trong).
Ta có: BHCK là hình bình hành nên BH // KC  HBC

  IBC
.
Lại có: BC là đường trung trực của HI nên HBC
  IBC
.
Từ (1) và (2) suy ra BCK

 Hình thang BHCK có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
d) Ta có: KG // CH ( do BK // CH ) nên tứ giác HGKC là hình thang.

  HCK
.
Hình thang HGKC là hình thang cân  GHC
  CHE
 (do HCK
  CHE
 (so le trong)).
 GHC
 HDC  HEC .
  HCE

.
 HCD

 CH là phân giác của 
ACB .
 ABC cân tại C ( vì CH vừa là đường cao vừa là phân giác).
Vậy tứ giác HGKC là hình thang cân  ABC cân tại C .

(1)
(2)


Bài 6.
a) Chứng minh: Tứ giác BEDC là hình thang
Xét  ABC có E là trung điểm AB

D là trung điểm AC
nên DE là đường trung bình  ABC (định nghĩa)
 DE / / BC ; DE 

1
1
BC  .8  4(cm) (tính chất)
2
2

Xét tứ giác BEDC có: DE / / BC (cmt)
nên tứ giác BEDC là hình thang (dhnb)
b) Trong hình thang BEDC có: M là trung điểm BE
N là trung điểm CD

Nên MN là đường trung bình của hình thang BEDC (đn)
Do đó: MN / / DE / / BC ; MN 

1
1
( DE  BC )  (4  8)  6(cm)
2
2

c) Chứng minh: MI  IK  KN
Xét BED có M là trung điểm BE ; MI / / ED
 I là trung điểm BD

Do đó MI là đường trung bình BED
 MI 

1
ED (t/c) (1)
2

Chứng minh tương tự đối với: KN cũng là đường trung bình CED
Nên NK 

1
ED (t / c ) (2)
2

Chứng minh tương tự đối với: KM cũng là đường trung bình  BCE
Nên MK 

1
1
1
1
BC (t / c)  MI  IK  .2 DE  ED  IK  DE  IK  ED (3)
2
2
2
2

Từ (1);(2);(3) có: MI  IK  KN
Bài 7.


A
E
D
B

I

H

K

C




a) Xét tứ giác ADHE có DAE
AEH  
ADH  90  tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật suy ra AH  DE .
b) Áp dụng tính chất của đường trung tuyến của tam giác vng BDH ta có ID  IB  IH , suy ra
  2 Bˆ (1) (tính chất góc ngồi của BDI ).
BDI cân tại I  DIH

  2C
 (2) (tính chất góc ngồi của CEK )
Cm tương tự ta có CEK cân tại K  EKH
  EKH
  180 , mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía suy ra
Từ (1) và (2) ta suy ra DIH

DI  // EK .
III. Một số bài toán khác
Bài 1.
a) x 2  8x  16   x  4   0 x
2

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x  4  0  x  4
Vậy Min x 2  8x  16  0 tại x  4
b) 4x 2  4x  1   2x  1  0 x
2

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi 2x  1  0  x  
Vậy Min 4x 2  4x  1  0 tại x  

1
2

1
2

c) x 2  10x  25   x  5   0 x
2

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x  5  0  x  5
Vậy Min x 2  10x  25  0 tại x  5
d) x 2  2x  7  x 2  2x  1  6   x  1  6  6 x
2

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x  1  x  1
Vậy Min x 2  2x  7  6 tại x  1
e) x 2  8 x  9  x 2  2.4.x  16  25   x  4   25  25 x
2


Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x  4  0  x  4
Vậy Min x 2  8 x  9  25 tại x  4
f) 9 x 2  6 x  11   3 x   2.3 x  1  10   3 x  1  10  10 x
2

2

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi 3x  1  0  x 
Vậy Min 9 x 2  6 x  11  10 tại x 

1
3

1
3

5
2
2


g) 3 x 2 +6x  5  3  x 2  2x    3  x 2  2x  1    3  x  1  2  2 x
3
3



Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x  1  0  x  1
Vậy Min 3 x 2 +6x  5  2 tại x  1
2

3
5
3 9 31 
3  31 31



x
h) 2 x 2  3x  5  2  x 2  x    2  x 2  2.x.     2  x    

2
2
4 16 16 
4
8
8




Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x 
Vậy Min 2 x 2  3x  5 

3
3
0 x
4
4

31
3
tại x 
8
4
2

3 9 19 
3  19 19
i) x 2  3x  7  x 2  2.x.     x    
x

2 4 4 
2
4
4

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x 
Vậy Min x 2  3x  7 

3
3
0 x
2
2

19
3
tại x 
4
2

Bài 2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất
A

1
đạt GTNN  x  3 là số nguyên âm lớn nhất  x  3  1  x  2
x 3

Vậy MinA  1  x  2
B

7x
2
2
đạt GTNN 
đạt GTNN  x  5 là số nguyên âm lớn nhất
 1 
x 5
x 5
x 5

 x  5  1  x  4
Vậy MinB  3  x  4
C

5 x  19
1
1
đạt GTNN 
đạt GTNN  x  4 là số ngyên âm lớn nhất
 5
x4
x4
x4

 x  4  1  x  3


Vậy MinC  4  x  3
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
A  5  3(2 x  1) 2

Vì (2 x  1) 2  0, x  3(2 x  1) 2  0, x  5  3(2 x  1) 2  5, x
Dấu “=” xảy ra (2 x  1) 2  0  2 x  1  0  x 
Vậy MaxA  5  x 

B

1
2

1
2

1
2.( x  1) 2  3

Vì ( x  1)2  0, x  2( x  1)2  0, x  2( x  1)2  3  3, x 

1
1
 , x
2( x  1) 2  3 3

Dấu “=” xảy ra ( x  1) 2  0  x  1  0  x  1
Vậy MaxB 

C

1
 x 1

3

x2  8
6
 1 2
x2  2
x 2
x 2  0, x  x 2  2  2, x 
6
 1  3  4, x 
x2  2
C  4, x

Vì  1 

Dấu “=” xảy ra x 2  0  x  0
Vậy MaxC  4  x  0

1
1
6
6
 ,  2
  3, x
x2  2 2
x 2 2