SKKN TOÁN 7 KĨ NĂNG VẼ HÌNH VÀ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC CẤP HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN KĨ NĂNG VẼ HÌNH VÀ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 7

Mơn : Tốn
Cấp: Trung học cơ sở
Tên tác giả:
Đơn vị cơng tác: Trường THCS
Chức vụ: Giáo viên

NĂM HỌC 2020 – 2021

Mục lục


Nội dung
I. Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu.
II. Phần nội dung
1. Cơ sở lý luận
2.Thực trạng
3. Giải pháp, biện pháp
3.1. Giải pháp 1- Hướng dẫn vẽ hình
3.2. Giải pháp 2 - Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua hệ thống
câu hỏi gợi mở và sơ đồ phân tích đi lên

3.3. Giải pháp 3 - Kẻ thêm đường phụ và tìm nhiều cách giải cho một
bài toán
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, đánh giá
III. Kết luận
1. Kết luận
2. Khuyến nghị

Trang
1
1
1
1
1
1
2
2
3
5
5
10
17
18
18
18
19


I. Phần mở đầu:
1. Lý do chọn đề tài
Thực tế qua quá trình giảng dạy môn hình học 7 tôi thấy: kết quả mơn Tốn nói chung và

mơn Hình nói riêng cịn thấp, do có nhiều ngun nhân:
- Học sinh tiếp thu cịn thụ động, chưa có tính tự giác học tập.
- Thiếu sự tích cực chủ động trong hoạt động cá nhân và hoạt động nhóm nên chưa hát
huy được năng lực của bản thân.
- Mơn hình khó về tưởng tượng nên học sinh còn kém về tư duy, dẫn đến vẽ hình kém, và
từ đó chứng minh bài toán hình kém.
- Phụ huynh chưa quan tâm đến con cái, động viên học tập kịp thời.
- Qua hai năm học ảnh hưởng của dịch bệnh Cơ vít, các học sinh học qua zoom vào đúng
thời điểm học cách vẽ hình các dạng mới nên không được học trực quan dẫn đến việc
không vẽ được hình, và không biết cách lập luận chứng minh bài toán hình học.
- Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ
nên đại đa số học sinh chưa biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu.
- Với các lý do trên nên tơi chọn đề tài “Rèn kĩ năng vẽ hình và giải tốn hình học 7”.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Thông qua chuyên đề tôi muốn trao đổi thêm về phương pháp giảng dạy hình học 7 để
có hiệu quả giảng dạy cao nhất.
Giúp cho học sinh thành thạo các bước vẽ hình cơ bản và có hướng suy nghĩ tìm tịi lời
giải cho một bài tốn chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kĩ năng phân tích, tổng
hợp kiến thức. Giúp phát triển tư duy và rèn khả năng tự học cho HS, đáp ứng yêu cầu
phát triển năng lực của HS.
3


3. Đối tượng nghiên cứu
- HS lớp 7, môn hình học 7.
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi: HS lớp 7A trường THCS .
- Thời gian: Từ tháng 9 năm 2020 đến tháng 3 năm 2021.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp thực hành

- Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề
- Phương pháp tự học
- Phương pháp nhóm nhỏ
- Phương pháp suy luận ngược.
II. Phần nội dung
1. Cơ sở lý luận
Trong các môn học ở trường phổ thông, học sinh ngại học môn hình học. Nguyên nhân
học sinh “ngại” mơn hình học cũng có lý do của nó, bởi lẽ các em cho rằng hình học là
mơn học rất khó, trừu tượng cao đối với học sinh bậc THCS và bởi nó là mơn học địi hỏi
độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt. Ngồi ra, mơn hình học cịn địi hỏi HS phải có
trí tưởng tượng, óc suy xét và tư duy logic. Do vậy học sinh đều cảm thấy có ít nhiều khó
khăn, bởi vì các em chưa biết vẽ hình, lúng túng khi phân tích một đề tốn hình, đặc biệt
một số bài tốn mà khi giải cần có thêm một sáng tạo vẽ thêm đường phụ. Bởi vậy chất
lượng học tập môn hình của các em còn thấp. Qua kinh nghiệm của bản thân và một số
đồng nghiệp tôi rút ra được một số nguyên nhân sau:
4


- Các em còn yếu trong việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính xác
- Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài tốn
hình học cịn khó khăn.
- Việc trình bày bài giải của học sinh cịn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng,
nhiều khi đưa ra khẳng định cịn thiếu căn cứ, khơng chặt chẽ.
- Một số em có thể do tâm lý ngại học hoặc sợ mơn hình nên càng làm cho bài tốn từ dễ
trở thành khó. Học sinh chưa biết nghĩ từ đâu? nghĩ như thế nào? Cách trình bày, lập luận
ra sao ở một bài tốn hình?
- Bên cạnh đó chúng ta đã biết Hình học Lớp 7 có vai trị đặc biệt quan trọng trong quá
trình dạy học Toán ở bậc THCS, vì ở Lớp 7 lần đầu tiên học sinh được rèn luyện có hệ
thống kỹ năng suy luận, kỹ năng vẽ hình,… đó là những kỹ năng đặc trưng cho tư duy
toán học…

Hình học lớp 7 đưa vào với học sinh bước đầu yêu cầu học sinh phải biết vẽ hình một
cách chính xác, với một bài tốn ít giả thiết thì việc vẽ hình khơng khó khăn lắm, nhưng
với một bài tốn có nhiều giả thiết thì việc vẽ hình đúng và dễ nhìn là một vấn đề khó đối
với các em học sinh .
2.Thực trạng
2.1. Thuận lợi
Từ tình hình thực tế trong nhà trường, đặc biệt trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn, bản thân
tơi tự nhận thấy giáo viên được đào tạo cơ bản, đạt chuẩn về trình độ chun mơn. Do đó
trình độ chun mơn khá đồng đều, giáo viên có lịng say mê nghề bám trường, bám lớp,
có lịng u nghề mến trẻ. Người giáo viên cố gắng sáng tạo trong việc hướng dẫn học
sinh giải toán bằng nhiều phương pháp.
Trong quá trình giảng dạy giáo viên chú trọng đến việc khai thác bằng nhiều phương
pháp nhằm giúp học sinh phát triển khả năng tư duy lơ gíc, khả năng diễn đạt chính xác ý
tưởng của mình, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao
năng lực, phát hiện giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vào vận dụng thực tiễn, tác động
đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
5


2.2. Khó khăn
Học sinh ở trường đa số là con gia đình làm nông nên phải phụ giúp gia đình, nên thời
gian học bài của học sinh là rất ít, việc tiếp thu kiến thức còn nhiều hạn chế. Vì thế dẫn
đến học sinh nắm bắt được kiến thức mới và vận dụng một số kiến thức vào giải bài tập là
rất khó.
Qua thực tế tơi thấy hiện nay đa số học sinh sợ học môn Hình học. Tìm hiểu ngun
nhân tơi thấy có rất nhiều học sinh chưa có phương pháp học phù hợp, nhiều em chưa
thực sự hứng thú học tập bộ môn vì không hiểu, không tiếp thu kịp trong các tiết học
Hình. Do đó đa số học sinh có lực học TB khá ,TB và yếu không nắm được những kiến
thức cơ bản của chương trình học nên không theo kịp yêu cầu của bộ môn học -từ đó mà
học sinh sợ học Hình học .

Mặt khác, việc suy luận có căn cứ đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là học
sinh lớp 7 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học. Kỹ năng vẽ hình còn
chậm, chủ yếu các em mới biết chứng minh bằng đo đạc hoặc chấp nhận một số sự kiện
hình học bây giờ mới được bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh
hình học hoàn chỉnh. Đặt biệt rất nhiều học sinh khi giáo viên hướng dẫn thì các em trả
lời miệng suy luận có căn cứ tốt, nhưng khi cho các em tự trình bày chứng minh bài tốn
thì khơng vẽ được hình hoặc vẽ hình khơng chính xác ,viết GT , KL của bài toán thì chép
lại đề bài và đặc biệt không biết trình bày chứng minh như thế nào, bắt đầu từ đâu. Hoặc
biết đưa ra suy luận có căn cứ nhưng trình bày lung tung không lôgic, trình bày không
khoa học.
Giáo viên chưa khơi dậy được niềm đam mê học toán cho học sinh.
2.3. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra
- Kết quả điều tra thực trạng cho thấy: Thực tế, học sinh học phân mơn hình học cịn có
nhiều hạn chế, tỉ lệ học sinh khá giỏi bộ mơn tốn hình trong trường cịn ít, khả năng vẽ
hình và tư duy sáng tạo của học sinh còn chưa tốt nên nhiều học sinh chưa u thích mơn
hình .
6


- Kết quả điều tra tháng 9/ 2020 bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm mơn tốn lớp
7A của trường THCS cho thấy:

Giỏi

Trung

Khá

bình
Điều tra

SL
%
SL
%
SL
%
36 HS
19,4
55,5
3
8,33
7
20
4
5
2.4. Một số khó khăn của học sinh trong hình học

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

4

11,11

2

5,57

a) Vẽ hình bài toán :
Một trong những yếu tố quyết định đến việc giải một bài tốn hình học là vẽ hình
chính xác. Qua thực tế dạy học tôi thấy việc vẽ hình trong một bài tốn là tương đối khó
khăn với học sinh, các em còn yếu trong việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính xác, một số
bài tốn vẽ hình chưa đúng dẫn đến việc ngộ nhận kết quả, cũng có một số bài tốn với
cách vẽ hình khác nhau thì việc chứng minh theo con đường khác nhau. Nguyên nhân do
chưa đọc kĩ bài, chưa biết xác định bài cho gì (GT), yêu cầu làm gì (KL) hoặc sử dụng các
dụng cụ, thao tác chưa chính xác hay vẽ hình còn cẩu thả dẫn đến gây trở ngại cho việc
định hướng chứng minh.
Ví dụ 1 : + Khi vẽ, AB = AC, AB // DC, vẽ tia phân giác của một góc, trung điểm của
đoạn thẳng, trung trực của đoạn thẳng, đường vng góc, đường song song, dựng tam
giác biết độ dài ba cạnh, dựng một góc bằng góc cho trước,... học sinh chưa thành thạo
thậm chí nhiều em khơng vẽ được.
+ Khơng biết kí hiệu một cách hợp lí trên hình vẽ (GT cho) để hỗ trợ trong việc chứng
minh.
- Đơi khi vẽ hình, học sinh cịn vẽ vào trường hợp đặc biệt, dẫn đến ngộ nhận làm cho
việc xây dựng hướng chứng minh sai lầm, không chứng minh được hay chứng minh sai.
Ví dụ 2: Khi bài toán cho tam giác bất kì thì học sinh thường vẽ vào các trường hợp là:
tam giác cân, tam giác vng, tam giác đều.
b) Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài tốn
hình học còn khó khăn
7

Khi đã vẽ xong hình, việc tìm ra hướng giải bài tốn là khó khăn nhất. Thực tế cho
thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân ở chỗ các em chưa biết sử dụng
giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc
huy động những kiến thức đã học để phục vụ cho việc chứng minh cịn hạn chế, có em
cịn lẫn lộn giữa giả thiết và kết luận. Việc liên hệ các bài tốn cịn chưa tốt, khả năng
phân tích, tổng hợp của học sinh cịn yếu. Nhiều bài tốn đã được giải nếu thay đổi dữ
kiện thì học sinh cịn khó khăn khi giải.
c) Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng
củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ:
Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi trình bày bài: Trình bày bài lủng củng
thiếu lôgic không chặt chẽ, sử dụng các kí hiệu khơng đúng quy định có khi cịn bỏ qua
như kí hiệu góc, kí hiệu của tam giác, kí hiệu về đỉnh đơi khi cịn viết chữ thường, kí hiệu
của điểm cịn viết chữ thường.
Từ những thực tế trên, người thầy phải tìm ra những biện pháp hữu hiệu để khắc phục
những nhược điểm của học sinh, gây hứng thú học tập ở học sinh, phát huy tính tích cực,
chủ động sáng tạo của học sinh, rèn luyện cách trình bày cho khoa học.
3. Giải pháp, biện pháp
3.1. Giải pháp 1: Hướng dẫn vẽ hình
Theo phương pháp dạy đổi mới đã giảm nhiều về lí thuyết, tăng cường nhiều thời gian
cho thực hành, luyện tập. Qua việc đo đạc, vẽ hình học sinh nắm được những thao tác vẽ
bài bản hơn. Song thực tế cho thấy trong bài tốn hình học vẽ hình là cơng việc khó đối
với học sinh, thậm chí ngay ở những bài mà hình vẽ khơng khó, học sinh vẫn có thể mắc
sai lầm. Đối với học sinh lớp 7 rèn luyện cách vẽ hình rất quan trọng. Do vậy người thầy
cần phải khai thác tốt giờ luyện tập để học sinh biết sử dụng dụng cụ vẽ hình, kiểm tra
hình vẽ nhờ dụng cụ, vẽ hình xuôi ngược để rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Cần tập cho học
sinh thói quen: muốn vẽ hình chính xác trước hết phải nắm thật chắc đề bài, bài cho gì và
yêu cầu làm gì, tức phải phân biệt được rõ ràng giả thiết và kết luận. Khi vẽ, nên xét xem

8

nên vẽ gì trước, chọn dụng cụ nào vẽ để cho hình vẽ chính xác đơn giản hơn và những gì
giả thiết đã cho cần phải thể hiện kí hiệu quy ước trên hình vẽ.
Các kĩ năng vẽ hình cơ bản cần đạt được là:
a) Vẽ góc bằng một góc cho trước – vẽ tia phân giác của góc:
Ví dụ 3: Cho góc xOy bất kì. Hãy vẽ góc x’O’y’ bằng góc xOy.
Giải:
Lần lượt lấy điểm A và B trên tia Ox và Oy.
Vẽ tia O’x’ bất kì. Vẽ cung trịn tâm O’ bán
kính OA, cắt tia O’x’ tại A’.
Vẽ cung trịn tâm O’ bán kính OB.
Vẽ cung trịn tâm A’, bán kính AB cắt cung trịn
tâm O’ bán kính OB tại điểm B’. Vẽ tia O’y’
đi qua B. Góc x’O’y’ là góc cần vẽ.
Ví dụ 4: Vẽ tia phân giác của một góc xOy bất kì.
Cách 1: Dùng compa. Đây là cách nhanh chóng và dễ vẽ.
Vẽ cung trịn tâm O bán kính bất kì cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A và B.
Vẽ hai cung tròn cùng bán kính có tâm lần lượt tại A và B.
Hai cung tròn cắt nhau tại một điểm C (khác O). Vẽ tia OC là tia phân giác cần vẽ.

Cách 2: Dùng thước thẳng (được sử dụng khi khơng có compa):
Trên tia Ox lấy hai điểm A và B (độ dài OA và OB dễ dàng đo được). Trên tia Oy lấy hai
điểm C và D sao cho OC = OA, OD = OB (bằng cách đo). Nối A và D, B và C cắt nhau
tại I. OI chính là tia phân giác.

9


b) Dùng êke vẽ hai đường thẳng vng góc, đường thẳng đi qua một điểm và vng

góc với một đường thẳng cho trước bằng êke hoặc thước thẳng và compa.
- Vẽ hai đường thẳng vng góc: Đặt êke sao cho một cạnh góc vng trùng với
đường thẳng. Vẽ đường thẳng theo cạnh góc vng cịn lại.

- Vẽ đường thẳng đi qua điểm A vng góc với đường thẳng a cho trước:
TH1: Điểm A thuộc đường thẳng a:
Đặt êke sao cho một cạnh góc vng trùng
với đường thẳng a, đỉnh góc vng trùng
với điểm A, vẽ đường thẳng theo cạnh góc
vng còn lại.

10


TH2: Điểm A nằm ngoài đường thẳng a:
Đặt êke sao cho một cạnh góc vng trùng
với đường thẳng a, cạnh góc vng cịn lại
đi qua điểm A. Vẽ đường thẳng theo cạnh
góc vng này.

c) Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng – kí hiệu bằng êke hoặc thước thẳng và
compa:
- Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB
bằng êke:
B1: Xác định trung điểm I của đoạn thẳng AB đó.
B2: Dùng êke vẽ đường thẳng qua I vng góc
với AB.
- Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng compa:
Vẽ cung trịn tâm A bán kính vừa phải (bán kính lớn hơn AB:2, nhỏ hơn AB).
Vẽ cung tròn tâm B cùng bán kính.

Hai cung trịn cắt nhau tại hai điểm CD.
Đường thẳng CD chính là đường trung trực của AB.

11


Chú ý: Khi vẽ xong đường trung trực của đoạn thẳng phải kí hiệu đầy đủ.
Đây cũng là cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng AB. Vì giao điểm của AB và CD chính là
trung điểm của AB.
d) Vẽ hai đường thẳng song song:
- Vẽ hai đường thẳng song song bằng đường chỉ của vở, độ nghiên của ô ly trong vở hoặc
thước hai lề

Hai cạnh của thước hai lề song song với nhau nên ta có thể vẽ hai đường thẳng theo hai lề
của một cây thước.

- Vẽ đường thẳng đi qua một điểm A song song với đường thẳng d cho trước bằng thước
và êke:

12


e) Vẽ tam giác biết hai cạnh và một góc, hai góc và một cạnh:
- Vẽ tam giác biết hai cạnh và một góc: Xem hướng dẫn cách vẽ ở toán 7 tập một. Ở đây
ta chỉ xét trường hợp độ dài các cạnh là hơi “khó vẽ” đối với khổ giấy cho phép.
Cách vẽ: Vẽ góc có độ lớn thỏa mãn yêu cầu. Vẽ hai cạnh trên hai tia của góc có độ dài tỉ
lệ với độ dài hai cạnh mà đề cho. Xác định cho đúng các đỉnh của tam giác. Cách vẽ này
dựa vào hai tam giác đồng dạng ở lớp 8.
Ví dụ 5: Vẽ tam giác ABC biết góc A bằng 720, AB = 8cm, AC = 12cm.
Giải: Rõ ràng các độ dài 8cm, 12cm là ‘khó vẽ” trên giấy.

Ta có 8 : 12 = 2 : 3.
Do đó ta có thể vẽ AB = 2cm, AC = 3cm
hoặc AB = 4cm, AC = 6cm.

3.2. Giải pháp 2 - Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở
và sơ đồ phân tích đi lên:
a. Phân tích hình vẽ và sử dụng giả thiết để tìm cách giải :
Sau khi đã vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã có thể hiện đầy đủ giả thiết trên
hình vẽ chưa (cần chú ý các kí hiệu theo quy ước). Trên cơ sở phân tích hình vẽ và huy
động vốn kiến thức đã có, học sinh sẽ định hướng được việc giải bài toán dưới sự dẫn dắt
của giáo viên bằng hệ thống câu hỏi.
13


Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
Gọi AD là phân giác của tam giác ABC, K là giao điểm của DE và AB. Tam giác DKC là
tam giác gì? Vì sao.
Hướng dẫn HS bằng hệ thống câu hỏi
- Hãy dự đoán tam giác DKC là tam giác gì?
- Hãy chỉ ra điều cần thiết để tam giác cân tại D?
-

∆

DEC và

∆

DBK đã có những yếu tố nào bằng nhau ?

- Để kết luận được

∆

DEC và

∆

DBK bằng nhau cần có thêm điều kiện gì ?

- Để chứng minh được các yếu tố đó ta cần ghép chúng vào các tam giác nào ?
Từ hệ thống câu hỏi trên học sinh suy ra cách chứng minh.
Ví dụ 7:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho
ME = MA. Chứng minh rằng
a) AB = CE
b) AC // BE.

Hướng dẫn tìm lời giải:
14


Sau khi hướng dẫn học sinh vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận. Giáo viên yêu cầu học sinh
trả lời các câu hỏi sau:
a) Để chứng minh AB = CE ta phải chứng minh điều gì? (GV gợi ý: Dựa vào
các tam giác bằng nhau có chứa hai cạnh là hai đoạn thẳng trên).
(

∆ABM = ∆ECM

)

- Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên bằng nhau chưa? Tại sao?
(

∆ABM = ∆ECM

(c – g – c))

- Sau đó giáo viên cho học sinh trình bày theo hướng ngược lại
b) Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dựa vào các dấu hiệu nào? (Học sinh nêu
các dấu hiệu – giáo viên hướng cho học sinh nên sử dụng cặp góc so le trong bằng nhau).
Để chứng minh AC//BE: Ta chứng minh cặp góc nào bằng nhau? (góc CAE bằng góc
BEA hoặc góc ACB bằng góc CBE).
- Muốn chứng minh góc ACB bằng góc CBE ta chứng minh hai tam giác nào bằng nhau?
(

∆AMC = ∆EMB

)

- Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên bằng nhau chưa? Tại sao?
(

∆AMC = ∆EMB

(c – g - c)).

Sau đó học sinh trình bày cách chứng minh theo hướng ngược lại.
Sơ đồ phân tích:

AC // BE  chứng minh góc ACB bằng góc CBE chứng minh

∆AMC = ∆EMB

.

b. Sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm hướng làm bài:
Trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình THCS, giải bài tập hình học
bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp HS dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán
hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này,
cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải
các bài tập từ dễ đến khó thì tơi tin rằng sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và kết
quả sẽ cao hơn.Vậy thế nào là phương pháp phân tích đi lên? Có thể khái niệm rằng, đây
là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho trong
15


một bài toán. Thường thì chứng minh trong một bài tốn ta phải suy xi theo sơ đồ: A =
A0 A1 A2 ... An = B
Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên có thể được khái quát như sau:
(1)

→

(2)

→

(3)

→

....

→

(n)

Cần chứng minh vấn đề A= A0 A1 A2 ... An.Trong mỗi bước suy luận (1), (2), (3), ...(n)
đều được suy luận ra từ cơ sở luận chứng trước nó, cụ
thể có được A đúng thì phải có A 1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2đúng... đến An là một
điều đã biết, đã được chứng minh là đúng hoặc đã có từ giả thiết.
Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, chúng tôi thấy phương pháp phân tích đi lên ln có
tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của HS (bao gồm tư duy phân tích và tư duy
tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên quan đã học trước
đó. Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại
những kiến thức mình đã học mà có khi khơng nhớ hết. Có thể nói trong khi giải bài tập
bằng phương pháp phân tích đi lên thì việc lập được sơ đồ chứng minh là đã thành cơng
được một nửa, phần việc cịn lại là bằng phương pháp tổng hợp sắp xếp các bước theo
một trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn cứ, luận chứng.
(Cũng là ví dụ trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh lập sơ đồ phân tích đi lên như
sau)
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
Gọi AD là phân giác của tam giác ABC, K là giao điểm của DE và AB. Tam giác DKC là
tam giác gì? Vì sao.
Hướng dẫn Lập sơ đồ chứng minh:

Chứng minh:

ΔDKC là tam giác gì? tại sao?

DKC là tam giác gì? tại sao?

- HS dự đốn thông qua quan sát: (ΔDKC
cân tại D)
Chứng minh: ΔDKC cân tại D
(?1)

⇑

KD = DC
16

ΔDKC cân tại D.


(?2)

⇑

ΔBKD = ΔECD?
(?3)

⇑

góc KBD = góc CED
(?4)

⇑

góc ABD = góc AED

Xét ΔABD và ΔAED có:

⇑

AB = AE (gt)
Góc BAD = góc EAD (gt)

ΔABD = ΔAED?

AD chung
(?1) Chứng minh ΔAMN cân bằng cách

Vậy ΔBKD = ΔECD (cgc)

nào?

Suy ra góc ABD = góc AED

(?2) Chứng minh như thế nào để có KD =

Mà :

DC?

Góc ABD + góc KBD = góc DEC +

(?3) Hai tam giác này đã có yếu tố nào bằng

góc AED = 1800 (kề bù)

nhau? Cần thêm điều kiện nào?

Suy ra : góc KBD = góc CED

(?4) Để góc KBD = góc CED cần có điều

Và BD = BE

gì?

Xét ΔKBD và ΔCED có:

Góc ABD + góc KBD = góc DEC + góc

góc KBD = góc CED (cmt)

AED = 1800 (kề bù)

BD =BE (cmt)

(?4) Để góc ABD = góc AED cần có điều

góc BDK = góc EDC (đđ)
Vậy ΔKBD = ΔCED (gcg)

gì?

Sau khi giải xong GV cho HS nhắc lại yêu cầu cách chứng minh mục đích:

* Củng cố kiến thức:
+ Hai tam giác bằng nhau theo các trường hợp c.c.c, c.g.c, g.c.g suy ra được các cặp cạnh
và các cặp góc tương ứng bằng nhau.
+ Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
* Củng cố phương pháp:
17


+ Phương pháp chứng minh tam giác cân.
+ Phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau.
+ Phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu.
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không
∈

chứa điểm B kẻ Ax vng góc với AC và lấy M Ax sao cho AM = AC. Trên nửa mặt
phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm C kẻ Ay vng góc với AB và lấy N thuộc
Ay sao cho AN = AB. Lấy P trên tia đối của tia KA sao cho AK = KP. CMR:
a) AC // BP
b)

∆AMN = ∆BPA

c) AK

⊥

MN.

Hướng dẫn tìm lời giải.
Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT, KL

a) Hướng dẫn như ví dụ 7:
b) Hướng dẫn theo sơ đồ ngược và các câu hỏi tương ứng:
ΔAMN = ΔBPA?
⇑

18


góc MAN + góc BAC = góc APB + góc BAC
⇑

góc MAN = góc APB
⇑

Góc ABP và góc BAC bù nhau
⇑

AC // BP
GV: Hai tam giác đã có những yếu tố nào bằng nhau? (c-c)
Ta sẽ chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp nào? Khi đó cần chứng minh
thêm điều kiện gì? (

·
MAN
= ·ABP

)

- Góc MAN và góc BAC có quan hệ gì với nhau? (bù nhau)
Vậy để CM:

·
MAN
= ·ABP

ta phải CM đều gì?

(Góc ABP và góc BAC bù nhau)
- Ta CM được góc ABP và góc BAC bù nhau dựa vào yếu tố nào? (AC//BP)
c) Giáo viên hướng dân học sinh chứng minh bằng hệ thống câu hỏi và sơ đồ ngược như
sau:
Để AK⊥MN
⇑

Góc AHN = 90o
⇑

Góc HNA + Góc NAH = 90o
⇑

Góc HNA = Góc PAB (vì ΔAMN = ΔBPA)
- Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc ta dựa vào các dấu hiệu nào
(Học sinh nhớ lại các dấu hiệu đã học)
19


- Giáo viên hướng cho học sinh sử dụng dấu hiệu hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một
góc vng).
- Nếu gọi H là giao điểm của AK và MN thì để chứng minh AK
gì?

(

·AHM = 900

hoặc

·AHN = 900

(HS nêu:

hoăc

·AHN = 900

·
·
HAN
+ HNA
= 90°

- Giáo viên hướng cho học sinh chứng minh
- Tính

·
·
HAN
+ BAK

- Vậy để chứng tỏ

MN ta phải chỉ ra điều

).

- Hãy chỉ ra các cách chứng minh
·AHM = ·AHN

⊥

).

·
·
HAN
+ HNA
= 90°

.

( = 900).

µA + N
µ = 900
1

ta phải chỉ ra được góc N và góc BAK có quan hệ gì với

nhau? (bằng nhau). Chứng minh được vì:

∆AMN = ∆BPA

.

- Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời giải bài toán trên theo hướng ngược
lại.

3.3. Giải pháp 3 - Kẻ thêm đường phụ và tìm nhiều cách giải cho một bài toán:
Khi giải một bài toán chứng minh hình học , trừ một số bài dễ cịn lại phần lớn các bài
tốn đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh dược . Vậy vẽ đường phụ như thế
nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà người học cần phải biết được đối với mỗi
bài toán cụ thể . Khơng thể có một phương pháp chung nào cho việc vẽ đường phụ trong
bài toán chứng minh hình học. Ngay đối với một bài tốn cũng có thể có những cách vẽ
đường phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải bài toán.
a. Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ :

20


-Vẽ đường phụ phải có mục đích , khơng vẽ tuỳ tiện . Phải nắm thật vững đề bài , định
hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục đích chứng
minh của mình.
-Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ bản
-Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau .
b. Một số loại đường phụ thường vẽ như sau :
- Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn
thẳng cho trước .
- Vẽ thêm một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho trước .
- Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước
- Nối 2 điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước .
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước .

- Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước
c. Các ví dụ minh họa
Bài tập : Cho tam giác ABC có

µA

= 600. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC

(Đề thi học sinh giỏi lớp 9, Tp. Hồ Chí Minh, 1993 – 1994)
GỢI Ý:
Ta vẽ đường phụ là đường cao CH (hoặc đường cao
BK).
Với CH: Tam giác HAC là nửa tam giác đều nên HA

=

AC : 2, tam giác HBC vng tại H.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông này
với HB = AB - AH, ta sẽ có điều phải chứng minh.
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, đánh giá
Trong chương trình giảng dạy năm học 2020-2021 ở học kì 1 và giữa học kì 2, tôi đã
vận dụng sáng kiến này trong giảng dạy học sinh lớp 7A. Kết quả cho thấy các em đã có
những tiến bộ rõ rệt về kĩ năng vẽ hình, khả năng phân tích hình vẽ, ý tưởng tìm hướng
giải và kĩ năng trình bày bài. Qua đó rèn luyện khả năng vẽ hình, phân tích, suy luận
21


chứng minh của học sinh trong học hình học nói riêng và mơn tốn nói chung. Do đó kết
quả học tập và thái độ u thích bộ mơn hình học của học sinh được nâng lên rõ rệt:
Kết quả điều tra qua 36 bài kiểm tra môn hình của HS lớp 7A trường THCS trong học kì

II năm 2021 cho thấy.
Giỏi
Điều tra 36

SL

bài kiểm tra
7

%
19.4
4

Khá

Trung bình

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

18

50

9

25

2

5,56

kém
S
L
0

%
0

III. Phần kết luận, khuyến nghị
1. Kết luận
Kết quả trên cho thấy người thầy với vai trò chủ đạo cần định hướng giúp học sinh rèn
kỹ năng vẽ hình, khả năng phân tích tìm lời giải và nhìn nhận bài tốn hình dưới nhiều
khía cạnh khác nhau. Học sinh được rèn luyện thường xuyên sẽ có kỹ năng vẽ hình, khả
năng phân tích tìm lời giải,tìm được phương pháp học tập bộ mơn, từ đó thấy hứng thú
hơn trong học tập và đạt được thành tích học tốn tốt hơn.
Để đạt được điều đó người thầy cần phải chú trọng đến phương pháp tổ chức học sinh
hoạt động trong quá trình dạy học. Điều rất quan trọng là phải gợi động cơ học tập của

học sinh trong các mơn học nói chung và trong phân mơn hình học nói riêng. Rèn luyện
cho các em có thói quen đọc kĩ đề bài, vẽ hình chính xác, phân tích hình vẽ để tìm hướng
giải bài tốn sau đó trình bày bài cho khoa học. Sau mỗi bài giải nên có lời bình và khai
thác bài tốn (nếu có thể)
Cuối cùng, người thầy phải hiểu được tâm lí của học sinh để truyền tải kiến thức cho
hợp lí vừa sức với học sinh, tạo ra bầu khơng khí thoả mái trong lớp, tránh sự gị bó, áp
đặt với học sinh.
2. Khuyến nghị

22


Đối với phòng GD&ĐT tổ chức các chuyên đề cấp huyện về rèn kĩ năng vẽ hình và kĩ
năng tìm lời giải môn hình học để các giáo viên được học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp
về chuyên môn và phương pháp giảng dạy.
Đối với tổ chuyên môn và nhà trường cần tổ chức các chuyên đề về “Rèn kỹ năng vẽ
hình và phân tích tìm lời giải hình học các khối 6 - 7 - 8 - 9” để các em được rèn luyện
thường xuyên, coi đây là nhiệm vụ góp phần quan trọng đến việc đổi mới phương pháp
giảng dạy, học tập bộ mơn tốn. Nhà trường cần có sự đầu tư hơn về đồ dùng và thiết bị
dạy học cho mơn tốn; mua sắm thêm máy chiếu đa năng, máy chiếu vật thể để giáo viên
có những điều kiện thuận lợi khi ứng dụng CNTT trong giảng dạy góp phần đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh.
Đối với giáo viên: cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học, phát huy năng lực học
tập của học sinh, ln có ý thức học hỏi và chia xẻ kinh nghiệm hay với đồng nghiệp.

23


24

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Toán 7 Tập 1, 2(2011) – NXBGD
[2]. Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học mơn Tốn (2014)- NXB ĐHSP
[3]. Nguyễn Đức Tấn – Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải tốn hình học
phẳng – NXB Thanh Hóa.
[4]. Tơn Thân (Chủ biên) – Sách bài tập tốn 7 Tập 1, 2 (2011) – NXB GDVN.
[5]. Lê Đình Trung, Phan Thị Thanh Hội – Dạy học theo định hướng hình thành
và phát triển năng lực người học ở trường phổ thông – NXB ĐHSP.
tt

25