Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (138.35 KB, 7 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>N m1-Tìm giới hạn dạng xác định Bài 28: Tính các giới hạn sau: 2. 1). lim ( x 2 x 1). x 1. 2). 1 6) lim x 1 ; x 0 x. lim 3 4 x 3) x 3. lim( x 2 x 1) x 1. 1 x; 7) lim x 0 1 1 x 1. x 2 x 1 ; 5 5) x 1 2 x 3. x 1 4) x 1 2 x 1 ;. 2. lim. x x3 ; x 1 (2x 1)(x 4 3). lim. 9) lim x 2 4 ;. 8) lim. x 4 3x 1 . 2x 2 1. 10) lim x 2. x 3. 0 2-Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số Bài 29: Tính các giới hạn sau. x2 1 ; x 1 x 1. x 3 ; 2 x 3 x 2x 15. 1) lim. 2) lim. 3) lim. x2 x 5) lim ; x 1 x1 2x 2 3x 1 9) lim 3 ; x 1 x x 2 x 1. 3 1 6) lim ; x 1 1 x 1 x3 x 3 x 2 2x 8 10) lim ; x 2 x 2 3x 2. x 2 3x 2 2. ;. x 2 3 x 2 8 7) lim ; x 2. x 0. x. x4 1 ; x 1 x 2 2x 3. 4) lim. 3. 2 x h 2x 3 8) lim ; h 0 h. x 3 4x 2 4x 3 8x 3 1 ; 12) lim ; 2 1 x 3 x 2 3x x 6x 5x 1. 11) lim. 2. 2x 4 5x 3 3x 2 x 1 ; x 1 3x 4 8x 3 6x 2 1 x 3 3x 9x 2 16) lim ; x 2 x3 x 6 x x 2 ... x n n 19) lim ; x 1 x 1. x 2 5x 6 ; x 3 x 2 8x 15 1 x 1 2x 1 3x 1 ; 17) lim x 0 x m x 1 20) lim n ; x 1 x 1. x 3 3x 2 ; x 1 x 4 4x 3 x100 2x 1 18) lim 50 ; x 1 x 2x 1 n m 21) lim m x 1 1 x 1 xn . xn an 22) lim ; x a x a. x 23) lim. 24) lim. 13) lim. 25) lim x 4. 3 x 1 ; x 2 2. 14) lim. x a. n. a n n.a n 1 x a . x a. 2. ;. 1 sin 2x cos2x ; x 0 1 sin 2x cos2x. 26) lim. 15) lim. (1 mx) n (1 nx) m ; x 0 x2. 2 28) lim c otx . x 0 sin 2x . 0 3-Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai Bài 30: Tính các giới hạn sau. 0 4-Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao Bài 31: Tính các giới hạn sau. ; .
<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3. 1) lim x 2. 3. 4x 2 ; x 2. 2) lim. 2x 1 3 x ; x1. 6) lim. 3. 5) lim x1. x 0. 3 x 0. 5. 3. 1 x 1 ; x. x 1. x 1 3 x 1 ; 2x 1 x 1. 3. 7) lim. x 1. 4) lim. x1 3. x x 2 x 1 ; x 1. 8) lim x 8. x1 ; x 2 1 9 2x 5 ; 3 x 2. 7 4x 3 1 2 x 1 ; 12) lim ; x 1 x1 x 1 x 1 (1 x )(1 3 x )...(1 n x ) 15) lim . (1 x) n 1. 4. 5x 1 1 ; x 0 x n 1 x 1 13) lim ; x 0 x. 4. 4x 3 1 ; x1 x1 m x1 14) lim n ; x 1 x1. 9) lim. 3. 2x 1 1 ; x 1. 3) lim. 10) lim. 11) lim. 0 5-Tính giới hạn dạng 0 của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng Bài 32: Tính các giới hạn sau. 2 1 x x 0 x. 3. 1) lim. 8 x. 4. ;. 2) lim x1. 2 5 x3 3 x2 7 ; x1 x2 1. 5) lim. 6) lim. x 7. x. 2. 2x 2 3 7x 1 ; x 1. 3) lim x1. 2009 7 1 2x 2009. x 1 x 1 x 1 9) lim ; x 0 x x 0. m. 3. 8) lim. 2x 1 5 x 2 ; x 1. x 2 x 20 ; 4 x 9 2. ;. x 0. 1 2x 3 1 3x ; x2. 1 2x 3 1 3x 3 1 4x 1 ; x. 7) lim x 0. n. 4) lim. 2x 1 x 2 3x 1 . 3 x 2 x 2 x 1. 10) lim x1. 3 2 x 1. 3 5 x 3 3x 2 x 2 12) lim ; x 1 x 2 x 1 x2 x 2 4 x 5 3x 1 5 13) lim x 1 x 1 6-Tính giới hạn dạng của hàm số. 11) lim. 2. Bài 33: Tính các giới hạn sau. . 3x 2 2 x 1 3 x 2 x 1 2) lim x 2 x 1 4x2 . 6 x5 7 x3 4 x 3 ; x 8 x 5 5 x 4 2 x 2 1. 1) lim. 1 x 4) lim. 100. 2 x. x . 100. ... 100 x . 100. 2. ;. x 100 10 x 10 100. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ; 5 x 5 x 1. 7) lim. 10) lim. x . 4x 1 4x2 3. ;. 11) lim. x . 2x2 x 1 x x2 1. 3x. x . x . ;. 2 x 3 4 x 7. 5) lim. 8) lim. ;. 2. . . 2x x 1. 8x 2 5 x 2. x . 3. 1 10 x 2 9. x x2 1. x x2 2. 3) lim. . ;. x 2 2 x 3x. 6) lim. 4x2 1 x 2. x . ;. x x2 x. 9) lim. x . 5x 3 1 x ; x 1 x. 12) lim. 13) lim. x2 1. 3x . x . 15) lim. x 6 3x ; 2x 2 1. 16) lim. 18) lim. x 2 7x 12 ; 3 x 17. 19) lim. x4 4 ; x 4. 20) lim. x 5 x 11 ; 2x 2 x 1. 21) lim. 24) lim. x2 x 5 ; 2x 1. 25) lim. x . x x2 x. x . 2x 4 x 2 1 ; x x x 10 1 2x 7-Tính giới hạn dạng của hàm số Bài 34: Tính các giới hạn sau 22) lim. ;. 23) lim. x . x . ;. 3x2 2 x 7 x. x 6 3x ; 2x 2 1. x . ;. x2 4x 5 2x 1. 14) lim. x . x 4 x 3 11 ; x 2x 7. ;. ;. 2x 2 x 10 ; x 9 3x 3. 17) lim. x . 3x 1 1 x 4x 2 x. x x 2 1 . x x. ;.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1) lim. x . . x . 10) lim. . 13) lim. . 3. n. x . . x2 x . x . x2 4 ;. x . . x 3 3x . . 3x x 1 x 3 ; 6) lim x 2x 4 x 2x 4 ; 9) lim . x 2 x 1 x ;. 19) lim x 2 x . . x . 2. 2. x . . . 15) lim. x . . 20) lim x . 4x 2 9 2x ;. x . 3x 4 2 ;. x ;. . x . . . . n. x a x b . x 2 2x x 2 x 2 x ;. x . n. x. . 18) lim x. x 2 7x 4 ;. x2 1 x x2 1. x. x . . x x . 17) lim x. . 3x 4 5 . x . . 12) lim. . x 2 8x 4 . x . x 2 2x ; 11) lim x( x 2 2x 2 x 2 x x);. 4x 2 4x 1 ;. . 2x 2 1 x ;. x . . . . x 2 1 x 1 ;. 3) lim. 2. (x a1 )(x a 2 )...(x a n ) x ; 14) lim. 16) lim 2x 5 x . 2) lim. 3x 2 x 1 x 3 ;. x . x . x ;. . 7) lim 4) lim. x . 5) lim 8) lim . . x 1 . . x ;. . x 2 1 x ; 21) lim. x . . 3. . x 3 1 x .. 8-Tính giới hạn dạng 0. của hàm số Bài 35: Tính các giới hạn sau. 1) lim x 2 x 2. x ; x 4. 5) lim 1 2x x . 2) lim x 3 1. 2. x 1. 3x 1 ; x 3 1. 6) lim x x . x ; x 1. 3) lim x 2 . 2. x . 2x 3 x ; x5 x 2 3. 7) lim x 2. 3. x 2. 2. x1 ; x3 x. 4) lim x 1 x . x 4 . 4 x. VIII. Giới hạn một bên Bài 36: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau. 1 1 a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim . 2 2 x 1 x 5 x 3 x 3 x 2 x 4 x x 7x 12 x 1 x 3 x 2 3x 2 1) lim limsau ; 3) lim ; 4) lim ; Bài 37: Tính các; giới2)hạn x 0 x x 2 x 3 x 1 x 2 x 9 x2 x5 x 4. . 5) lim x 2. 9) lim x 2. 3x 6 ; x 2. 6) lim x 2. x2 4. x. 2. . 1 2 x . 3x 6 x 2 3x 2 ; 7) lim ; x 1 x 2 x 1. ; 10) lim. Bài 38: Gọi d là hàm dấu:. x 1. x3 1 x2 1. ; 11) lim. 1víi x 0 d x 0 víi x 0 1 víi x 0 . x 1. 1 x x 1 x 2 x3. x 1. . Tìm. 8) lim . x 2 3x 2 ; x 1. 9 x2 ; 12) lim x 3 2x 2 7x 3. lim d x , lim d x vµ lim d x . x 0. x 0. x 0. (nếu có).. 3. x víi x<-1 f x 2 f x , lim f x vµ lim f x 2x 3 víi x 1 . Tìm xlim x 1 1 x 1 Bài 39: Cho hàm số (nếu có). 2 x 1 víi x -2 f x lim f x , lim f x vµ lim f x 2 x 2 2x 1 víi x 2 x 2 x 2 Bài 40: Cho hàm số. . Tìm. 2. (nếu có).. x 2x 3 víi x 2 f x lim f x , lim f x vµ lim f x 4x 3 víi x 2 . Tìm x 2 x 2 x 2 Bài 41: Cho hàm số (nếu có).. 2x 1 ; x x 2 3. n. ;.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> 9 x 2 víi -3 x<3 f x 1 víi x 3 2 f x , lim f x vµ lim f x x 9 víi x 3 . Tìm xlim x 3 3 x 3 Bài 42: Cho hàm số (nếu có). 2x 2 3 víi x 1 5 f x 6-5x víi 1<x<3 x-3 2 víi x 3 x 9 Bài 43: Tìm giới hạn một bên của hàm số khi x 1 vµ x 3 . Bài 44: Ta gọi phần nguyênn của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là [x]. Chẳng hạn [5]=5; [3,12]=3; [-2,587]=-3. Vẽ đồ thị hàm số y=[x] và tìm IX. Một vài qui tắc tìm giới hạn 2 Bài 45: Tìm 1) lim 3x 3 các 5xgiới 7hạn ; sau 2) lim 2x 2 3x 12; x . 4) lim. . x . . x . 1 ; 2x x 3x 5 3. 2x 1 ; x 2 x 2 x2 3 5) lim 3 ; x 0 x x2. x . 2) lim x 2. 6) lim x 2. 2x 1 ; x 2 2 x. x 2. 2. ;. x 3. x 3. (nếu có).. 3) lim 3 1000 x 3 ; x . 6) lim 3 x 2 3x 3 ;. 5) lim 3x 2 5x;. 2. Bài 46: Tìm các giới hạn sau. 1) lim. lim x , lim x vµ lim x . x 3. x . 1 1 3) lim 2 ; x 0 x x 1 2x 2 7) lim ; x 3 x 3. 1 1 4) lim 2 ; x 2 x 2 x 4 x2 4 8) lim . x 2 x 2. Bài 47: Tìm các giới hạn sau. x3 5 x4 x ; 2) lim ; x x 2 1 x 1 2x. 1) lim. 2x 4 x 1 ; x x 2 x 1. x 2 5x 2 . x 2 | x | 1. 3) lim. 4) lim. Bài 48: Tìm các giới hạn sau. 1 2x 3 5 1 4x 4 3 1 1 1) lim . ; 3)lim . ; 4) lim 2 . ; 2)lim 2 x1 x 1 x 1 x 2 3x 2 x1 x x 2 2x 3x 2 3 x 3 3 x 1 2x 3 X. Hàm số liên tục tại một điểm Bài 49: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước. 1)f x x 3 x 3 vµ g x . x3 1 x 2 1 tại điểm x 0 .. x 2 3x 2 víi x 2 2)f x x 2 t¹i ®iÓm x=2; 1 víi x=2 1 víi x 0 4)f x x t¹i ®iÓm x=0; 0 víi x=1. 1 1 x víi x 0 x 6)f x t¹i ®iÓm x=0; 1 víi x=0 2 x2 4 víi x -2 8)f x x 2 t¹i ®iÓm x=-2. 4 víi x=-2 . x3 1 víi x 1 3)f x x 1 2 víi x=1 . t¹i ®iÓm x=1;. 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0;. x 2 1 víi x 1 7)f x 1 víi x=-1 2. t¹i ®iÓm x=-1;.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 50: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1. x a víi x=1 1)f x x 2 1 ; víi x 1 x 1. x3 x 2 2x 2 2)f x x 1 3x a . víi x 1. .. víi x=1. víi x=0 a 2 x x 6 f x 2 víi x 2 3x 0 . x 3x víi x=3 b Bài 51: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 Bài 52: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước. x 2 1víi x 1 x 2 4 víi x 2 1)f x t¹i ®iÓm x=1; 2)f x t¹i ®iÓm x=2; x 1 víi x>1 2x 1 víi x 2 2 x 2 víi x<0 4 3x víi x -2 3)f x t¹i ®iÓm x=0; 4) f x 3 t¹i ®iÓm x=-2. víi x>-2 x 1 x víi x 0 . Bài 53: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0. khi x 0 x a khi x 0 x 2a a)f x 2 ; b)f x 2 . x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0 x 2 3x 2 khi x 1 f x x 1 a khi x 1 . Bài 54: Cho hàm số a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1; R . c)Tìm a để hàm số liên tục trên Bài 55: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x 0 đã cho hay không nếu: a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x0. b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm x 0. Nêu ví dụ tương ứng. XI. Hàm số liên tục trên một khoảng Bài 56: Chứng minh rằng:. f x . 4 2 a)Hàm số f(x)= x x 2 liên tục trên R.. b)Hàm số. 1 1 x 2 liên tục trên khoảng (-1; 1).. 1 [ ; ) 2 8 2x c)Hàm số f(x)= liên tục trên nửa khoảng 2 . Bài 57: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:. a)f x . x 2 3x 4 ; 2x 1. b)f x 1 x 2 x;. c)f x x 2 x 3 . 1 . x 2. Bài 58: Giải thích vì sao: 2 2 a)Hàm số f(x)= x sinx-2cos x+3 liên tục trên R.. b)Hàm số. 3. x xcosx+sinx liªn tôc trªn R. 2 s inx+3 2x 1 s inx-cosx liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k, k R. h x x s inx c)Hàm số g x . Bài 59: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:. a)f x . x 1 ; b)f x 3x 2; x 7x 10 2. c)f x x 2 2 x 3; d)f x x 1 sinx..
<span class='text_page_counter'>(6)</span> x3 8 víi x 2 f x 4x 8 3 víi x=2 có liên tục trên R không? Bài 60: Hàm số Bài 61: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó. x 2 x khi x 1 1)f x ; ax+1 khi x 1. x 2 víi x<1 2)f x ; 2ax+3 víi x 1. a 2 x 2 víi x 2 3)f x ; 1 a x víi x>2. x 2 3x 2 víi x<2 4)f x x 2 2x ; mx+m+1 víi x 2 . x 2 víi 0 x 1 5)f x ; 2-x víi 1<x 2. 2x a víi 0 x<1 6)f x 2 . ax 2 víi 1 x 2. 2 2x 1 2x 2 x 1 f(x) mx 2 x 2 Bài 62: Xét tính liên tục của hàm số. nÕu x > 1 nÕu x 1. trên .. XII. Ứng dụng hàm số liên tục Bài 63: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao cho f(c)=c. Bài 64: Chứng minh rằng: 5. 1)Phương trình x x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). 2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm. 3 2 3)Phương trình x 1000x 0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm.. 4)Phương trình 5)Phương trình 6)Phương trình 7)Phương trình. 1 0 100 có ít nhất một nghiệm dương. 4 2 x 3x 5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). x3 x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. 4x 4 2x 2 x 3 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1). x3 1000x 2 . 3 8)Phương trình 2x+ 6 1 x =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9).. 3 9)Phương trình 2x 6x 1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2). 3 2 10)Phương trình x mx 1 0 luôn có nghiệm dương. 3 2 11)Phương trình x ax bx c 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c. 2 12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình atan x+btanx+c=0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng. k; k , k R. 4 . 1 víi x 0 f x x . 1 víi x=0 Bài 65: Cho hàm số a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0. b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2). c)Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục không? Bài 66: Cho a, b là hai số dương khác nhau. Người ta lập hai dãy (un) và (vn) bằng cách đặt. u1 a, v1 b, u n 1 . u n vn , v n 1 u n v n (n 1, 2,3,...) lim u n lim v n . 2 . Chứng minh rằng. Bài 67: Cho dãy (sn) với. sn . n 1 n 2k , n *. lim s n . 2n 1 k 1 k Tính.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 68: Tính các giới hạn. n! a) lim ; (2n 1)!!. 1p 2p ... n p b) lim , p *. n p1.
<span class='text_page_counter'>(8)</span>