TOM TAT CONG THUC TOAN THPT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1.Dấu của nhị thức bậc nhất: f ( x ) ax  b(a 0) x b    a  trái dấu a0 cùng dấu a ax  b. BÍ KÍP ÔN THI QUỐC GIA MÔN TOÁN GV Đoàn Quốc Đông. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I.Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. (a  b)2 a2  2ab  b2. 4. (a  b)3 a3  3a2 b  3ab2  b3. 2. (a  b) a  2ab  b. 5. (a  b)3 a3  3a2 b  3ab2  b3. 2. 2. 2. 3. a  b (a  b)(a  b) 2. 2. “Phải cùng, trái trái” 2 2.Dấu của tam thức bậc hai: f ( x) ax  bx  c(a 0). 6. a  b (a  b)(a  ab  b ) 3. 3. 2. 2. 7. a3  b3 (a  b)(a2  ab  b2 ). x. 0. 2 II.Phương trình bậc hai: ax  bx  c 0(a 0). f (x). .  cùng dấu a. 2. 1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:  b  4ac    0 : Phương trình vô nghiệm. x1  x2 .   0 : Phương trình có nghiệm kép:    0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:. b 2a. b  b  x2  2a 2a ; 2.Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: x1 .  0. f (x) 0.   ' 0 : Phương trình có nghiệm kép:   '  0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:. b    2a  cùng dấu a 0.   x1 cùng dấu a. cùng dấu a x2. 0. . trái dấu a 0. “Trong trái, ngoài cùng”  3.Dấu của đa thức bậc 3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với hệ số a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu. IV.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R ..  '  0 : Phương trình vô nghiệm. x1  x2 . x f (x). Nếu “b chẵn” (ví dụ b 4;2 3;2m;  2(m  1);... ) ta dùng công thức nghiệm thu gọn.  b  b'   2 2  ' b '  ac   . x. 2 Cho tam thức bậc hai: f ( x ) ax  bx  c (a 0) a  0 a  0 f ( x )  0x  R   f ( x ) 0x  R     0   0. b' a. a  0 a  0  b '  '  b '  ' f ( x )  0x  R   f ( x ) 0x  R   x1  a a   0  0 ; 2 V.Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối ax  bx  c 0 a( x  x1 )( x  x2 ) x ,x  Chú ý: với 1 2 là hai nghiệm A , khi A 0 2 A  của phương trình bậc 2: ax  bx  c 0  A , khi A  0  1.Phương trình : 2   A 0 3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2 ax  bx  c 0 có 2 nghiệm   A B x1 , x2 A B   thì:   A  0  b   A B S x1  x2  a    B 0  P  x .x  c 1 2   a A  B   “Tổng bà, tích ca”   A B   A  B 4.Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:    x1 1  A B  A B    x c  A  B  2 a   Nếu a  b  c 0 thì phương trình có nghiệm:  2.Bất phương trình:  x1  1 A  B  A B   x  c 2 A   B   a  Nếu a  b  c 0 thì phương trình có nghiệm:   A B 2 A B   5.Dấu của nghiệm số: ax  bx  c 0(a 0)  A  B x  0  x2  P  0  Phương trình có 2 nghiệm trái dấu 1 A B A B  0  x1  x2  Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt AB    0  A  B  A B    P  0  A B S  0  A  B  A 2  B 2  A 2  B 2  0  ( A  B )( A  B )  0 x1  x2  0   Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt A  B  A 2  B 2  A 2  B 2 0   0  VI.Phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai  P  0 1.Phương trình: S  0  III.Dấu của đa thức: x1 . 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> . cos(a  b) cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b) sin a cos b  sin b cos a cos(a  b ) cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b) sin a cos b  sin b cos a tan a  tan b tan a  tan b tan(a  b)  ;tan(a  b)  1  tan a tan b 1  tan a tan b 5.Công thức nhân đôi: sin 2a 2sin a cos a.  B 0 A B   2  A B  A 0( B 0) A B  A B.  2.Bất phương trình:. .  B  0    A 0 A B     B 0   A  B 2. cos2 a cos2 a  sin 2 a 2 cos2 a  1 1  2sin 2 a 2 tan a tan 2a  1  tan 2 a 1 sin x.cos x  sin 2 x 2 Hệ quả:.  B  0    A 0 A B      B 0   A B 2. . 6.Công thức hạ bậc: 1  cos2 x 1  cos2 x 1  cos2 x sin 2 x  ;cos2 x  ; tan 2 x  2 2 1  cos2 x 7.Công thức nhân ba:.  A 0  A  B  B  0  A  B2 . sin 3a 3sin a  4sin3 a;cos3a 4 cos 3 a  3cos a. 8.Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos a cos b   cos(a  b)  cos(a  b) 2 1 sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 2 1 sin a cos b   sin(a  b)  sin(a  b) 2 9.Công thức biến đổi tổng thành tích:.  A 0  A B   B 0  A B 2 . .  A 0 A B A  B. ab a b cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 ab a b sin a  sin b 2sin cos 2 2 ab a b sin a  sin b 2 cos sin 2 2 cos a  cos b 2 cos.  A 0 A B  A B VII. LƯỢNG GIÁC 1.Định nghĩa giá trị lượng giác:. 10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; hơn kém  - tan, cot.  Hai cung bù nhau:  và   . sin  OK cos OH tan   AT. . cot  BS 2.Các công thức lượng giác cơ bản: sin  3)sin 2   cos2  1 cos cos 1 2)cot   4)1  tan 2   2 sin  cos  3.Các giá trị lượng giác đặc biệt: 1)tan  . 5)1  cot 2  . 1 sin 2 . 6)tan  .cot  1 . sin(   ). sin . cos(   ).  cos. tan(   ).  tan . cot(   ).  cot .   Hai cung đối nhau: và cos(  ) cos sin(  )  sin  tan(  )  tan  cot(  )  cot     Hai cung phụ nhau: và 2   sin     cos 2    cos     sin  2     tan     cot  2 . . 4.Công thức cộng: 2.   cot     tan  2   Hai cung hơn kém  :  và  . sin    .  sin . cos    .  cos. tan    . tan . cot    . cot .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hệ quả:  sin x   sin x  cos x   cos x tan x cot x. sin( x  k ) cos( x  k ) tan( x  k ) cot( x  k ). , k chaün , k leû. một trong hai trường hợp sau: TH1: Phương trình có chứa hàm số tang hoặc cotang (trừ phương trình bậc nhất và bậc hai theo 1 hàm số tang hoặc cotang)  x   k 2  Phương trình có chứa tan x : Điều kiện. k Z. , k chaün. k Z. , k leû. . k Z k Z.  Phương trình có chứa cả tan x và cot x : Điều kiện TH2: Phương trình có chứa ẩn ở mẫu  Điều kiện: mẫu 0.     2 2 Hai cung hơn kém : và   sin     cos 2 . .   cos     2    tan     2    cot     2 .  .  sin . 11.Công thức tính sin x,cos x,tan x theo. tan. x 2:. 2t 1  t2 2t x sin x  ;cos x  tan x  2 2 2 thì: 1 t 1 t 1  t2 Nếu đặt 12.Một số công thức khác:. .     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4  . .     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4  .  . .  .  tan  tan(  )  cot  cot(   ) Ngoại lệ:  cos cos(   ) 14. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng. 2. a sin 2 x  b sin x  c 0. sin x  cos x  sin x  cos x 4.  2. c) Cách loại dấu trừ:  sin  sin(  ). cot x  tan x 2 cot 2 x. 4. cot x 0  x k.   cot  tan     2  . 2 sin2x. 1 sin2x  sin x cos x .  2.   sin  cos     2    cos sin     2    tan  cot     2 . t tan. . tan x 0  x k.  b) Cách chuyển hàm:.  tan .  2.   k 2.   cot . x k. sin x 0  x k cos x 0  x . “Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ”. cot x  tan x . Phương trình có chứa cot x : Điều kiện x k. 2. 2. . 2. 2. sin6 x  cos6  sin 2 x  cos2 x sin 4 x  sin 2 x cos2 x  cos4 x. . . a cos2 x  b cos x  c 0. 1  2sin x cos x 1  sin 2 2 x 2 2. a tan2 x  b tan x  c 0 a cot 2 x  b cot x  c 0. . Đặt:. t sin x  t cos x  . 3 2 sin 2 x 4 13.Phương trình lượng giác cơ bản 1 . t tan x  t cot x  . Điều kiện  1 t 1. Không có điều kiện t.  u arcsin a  k 2 Các công thức cần nhớ: sin u a   2 2 u    arcsin a  k 2   sin x 1  cos x sin 2 x  cos2 x 1   2 2 Đặc biệt: cos x 1  sin x   sin u 1  u   k 2 2 2 2  cos2 x 2 cos x  1 1  2sin x sin u 0  u k 15. Phương trình bậc nhất đối vối sinx và cosx : Là phương trình có  dạng a sin x  b cos x c . sin u  1  u   k 2 2 2 2 Chia 2 vế của phương trình cho a  b ta được:  u v  k 2  u arccos a  k 2 cos u cos v   cos u a   a b c sin x  cos x   u  v  k 2  u  arccos a  k 2 2 2 2 2 2 a b a b a  b2 Đặc biệt: 2 2 cos u 1  u k 2     a b       1 2 2  2 2  cos u 0  u   k Vì  a  b   a  b  nên tồn tại 1 cung  sao cho 2 cos u  1  u   k 2  a cos  2 tan u tan v  u v  k tan u a  u arctan a  k  a  b2  cot u cot v  u v  k cot u a  u arccot a  k b sin    2 Lưu ý: a  b2 .  a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện nếu gặp.  u v  k 2 sin u sin v    u   v  k 2. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Khi đó phương trình trở thành: sin x.cos   sin  .cos x . c a2  b2.  sin( x   ) . c 2. . 2. 1 . a b '  ax  b  c d ad  cb     2 (cx  d )2  cx  d  (cx  d ). c a2  b 2. a b 2 a c b c x 2 x '  ax 2  bx  c  a' b' a' c' b' c'    2 (a ' x 2  b ' x  c ')2  a' x  b' x  c' . a  b c Điều kiện có nghiệm: a  b Công thức cần nhớ: sin  cos  sin  cos  sin(  ) 2. 2. 2.  16.Phương trình thuần nhất bậc hai: là phương trình có dạng 2. “anh bạn ăn cơm bằng chén”. 2. a sin x  b sin x.cos x  c cos x 0 (*).  cos x 0  x   k 2 TH1:.  sin. IX.Các dạng toán về hàm số: 1.Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)  Tập xác định:. x 1. 2.  thế vào (*). 2 TH2: cos x 0 . Chia 2 vế (*) cho cos x ta được phương trình bậc 2 theo tan x. Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức Đạo hàm: y '.  . 2 2 Lưu ý: Phương trình a sin x  b sin x .cos x  c cos x d với d 0 có thể đưa về dạng (*) bằng cách:. . a sin 2 x  b sin x.cos x  c cos2 x d  a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x d (sin 2 x  cos2 x ) . 17. Phương trình đối xứng và phản xứng : là phương trình có dạng a(sin x cos x )  b sin x cos x  c 0. . .  . Số. (c) 0. n g h i ệ m. ( x )' 1. (ku)' k.u '.  u v . '. u 'v '.  uv . '. u ' v  uv '. '.  u  u ' v  uv '    v2  v ( x )' n.x n.  uvw  (u )' n.u. n 1. n. '. n 1. '. u ' vw  uv ' w  uvw ' c ủ a. .u '. '.  1 1    2 x x   ' 1 x  2 x.  1 1    2 .v ' v v   ' u' u  2 u.  . (sin u)' cos u.u '. (cos x )  sin x. (cos u)'  sin u.u '. '. (tan x )' 1  tan 2 x . 1 cos2 x. (cot x )'  (1  cot 2 x ) . 1 sin2 x. (tan u)' (1  tan 2 u).u ' . (eu )' eu .u '. (a x )' a x .ln a. (a u )' au .ln a.u '. 1 x. (log a x )' . 1 .u ' cos2 u. t r ì 1 ' 2 (cot u)  .u '  (1  cot u).u ' n sin 2 u h. (e x )' e x. (ln x )' . p h ư ơ n g.  . (sin x )' cos x. y ' 0. y ' 0. 1 (ln u)'  .u ' u 1 x ln a. (loga u)' . Đối với hàm phân thức. c ó. 1 .u ' u ln a. 2 n 4. y. ax  b cx  d :. ax  b cx  d ). hàm phân thức Vẽ đồ thị: Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba y ax 3  bx 2  cx  d (a 0). . VIII.Công thức tính đạo hàm: '. Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y ' 0 tìm nghiệm.. y.   t sin x  cos x  2 sin  x   4   Điều kiện  2 t  2 2 1 t  sin x cos x  2. ax  b cx  d ). a b c d ad  bc y'   0 2 (cx  d ) (cx  d )2 (hoặc  0 ) x  D Bảng biến thiên: Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị. Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với. Đặt :   t sin x  cos x  2 sin  x   4   Điều kiện  2 t  2 2 t 1  sin x cos x  2. y. a0. a0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> y ' 0. g h i ệ m. c ó 1. p h â n. n g h i ệ m. b i ệ t y ' 0. d u y. c ó. n h ấ t. n g h i ệ m. Các dạng đồ thị của hàm số phân thức. y. ax  b (c 0, ad  bc 0) cx  d. y'  0. y'  0. k é p y ' 0 v ô n g h i ệ m. 2.Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định: 3 2 a.Hàm bậc 3: y ax  bx  cx  d Tập xác định D R .. Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y ax 4  bx 2  c(a 0). a0. 2 Đạo hàm y ' 3ax  2bx  c là 1 tam thức bậc 2.. a0. y ' 0. . c ó. . 3.   y ' 0  y ' 0, x  R   ay '  0 Hàm số đồng biến trên R   y ' 0  y ' 0,x  R   ay '  0 Hàm số nghịch biến trên R y. b.Hàm nhất biến:. n g h i ệ m. ax  b cx  d.  d D R \     c Tập xác định y' . ad  cb (cx  d )2. Đạo hàm có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.  Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  cb  0 (Không có dấu “=”). p h â n. . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  cb  0 (Không có dấu “=”). 3.Cực trị của hàm số: b i ệ t. . .  5.   y '( x0 ) 0  x0   y  f ( x )  y ''( x0 ) 0 Hàm số đạt cực trị tại  y '( x0 ) 0   y ''( x0 )  0 x Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại 0     y '( x0 ) 0  x0   y  f ( x )  y ''( x0 )  0 Hàm số đạt cực tiểu tại.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> phương trình (*) có n nghiệm phân biệt. Lưu ý : Trục hoành có phương trình y 0. 3 2 a.Hàm bậc 3: y ax  bx  cx  d (a 0).  y ' 3ax 2  2bx  c. . . 7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình. Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm. Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)  phương trình   y'  0  ay ' 0 y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm số không có cực trị  Phương trình y ' 0 vô nghiệm. của phương trình h( x , m ) 0 . Biến đổi phương trình h( x , m ) 0 về dạng f ( x ) g(m ) (*). Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ  y  f ( x ) (C )  y  g(m) (d ) thị :   Bảng kết quả : Số Số gi n a g m g( m ) o h đi i ể ệ m m … … … … Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm …) 8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp  .  y ' 0  ay ' 0 hoặc có nghiệm kép 4 2 b.Hàm bậc 4 trùng phương: y ax  bx  c(a 0).  y ' 4 ax 3  2 bx 3 Ta có: y ' 0  4ax  2 bx 0.  2 x (2 ax 2  b) 0.  x 0  2  2ax  b 0  x 0   2 b x   2a. . (1) (2). Hàm số có 3 cực trị  Phương trình y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 b  0 2a .. tuyến của đồ thị tại điểm. Hàm số có 1 cực trị  Phương trình y ' 0 có 1 nghiệm  Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 b  0 2a . 4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) xác. M 0 ( x 0 ; y0 ). là:. . Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:.  .  . . Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Tính đạo hàm y ' . Giải phương trình xi  [a; b](i 1,2,3...). y ' 0 ..   Tìm. các. y ( xi ) Tính y(a) , y (b ) , So sánh và kết luận.. Tìm tập xác định. Tính đạo hàm y '. . x0. y vào y tính 0 x f '( x0 ) Thay 0 vào y ' tính y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 Phương trình tiếp tuyến:. Thay. x0. Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm f ( x0 ) y0 x  Giải phương trình tìm 0 . x f '( x0 )  Thay 0 vào y ' tính y  f '( x0 )( x  x0 )  y0  Phương trình tiếp tuyến: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k .. nghiệm. b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1 khoảng hoặc nửa khoảng (a; b),(a; ),( ; b),[a; b),(a; b] … .  x0   y0  f ( x0 )  f '( x ) 0 . Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm  Tính đạo hàm y '. định trên 1 đoạn [a; b] . y  f '( x0 )( x  x0 )  y0. Giả sử tiếp điểm là. y0. .. M 0 ( x 0 ; y0 ). f '( x0 ) k x   Giải phương trình tìm 0 .  Lập bảng biến thiên x y  Thay 0 vào y ta tìm được 0 .  Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận. y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 5.Tìm giao điểm của hai đường.  Phương trình tiếp tuyến: Lưu ý: (C1 ) : y  f1 ( x ) (C2 ) : y  f2 ( x )  Cho hai đồ thị và .  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax  b thì (C1 ) (C2 )  Phương trình hoành độ giao điểm của và là : f '( x0 ) a . f1 ( x )  f2 ( x ) (*)  Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax  b(a  0)  Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào 1 y  f1 ( x ) y  f2 ( x ) f '( x0 ).a  1  f '( x0 )  1 trong 2 hàm số hoặc được tung độ a. thì giao điểm. 6.Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số điểm X.Các công thức về lũy thừa và lôgarit: 1.Công thức lũy thừa: cho trước. (C1 ) : y  f1 ( x ) (C2 ) : y  f2 ( x ) am  Cho hai đồ thị và . a m  n a 0 1 am .an a m n an (C1 ) (C2 )  Phương trình hoành độ giao điểm của và là : 1 n n f1 ( x )  f2 ( x ) a n  n a m a m .n (*)  ab  a n .b n a (C1 ) (C )  và 2 cắt nhau tại n điểm phân biệt khi và chỉ khi.  . 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> log a f ( x )  log a g( x )  f ( x )  g( x )  nếu 0  a  1 Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:. n.  a an    n b  b. m n. n. a  a. 1 n. m. n. a  a. Các tính chất quan trọng:. .   Nếu a  1 thì a  a       Nếu 0  a  1 thì a  a    . .  2. Công thức lôgarit: loga 1 0 1) loga a 1 2).  . 3) 4). 1 loga b  loga b . 5). log a (bc) log a b  log a c. (lôgarit của tích bằng tổng các. 8). lôgarit) b loga loga b  loga c c (lôgarit của thương bằng hiệu các lôgarit) log b log a b  c logc a (đổi cơ số) 1 loga b  log b a. 9). log a b.logb c log a c. 6). 7). t log a x   Đặt Không có điều kiện t XIII.Công thức nguyên hàm-tích phân  Công thức nguyên hàm:. 1 loga n b  loga b n Đặc biệt:. loga b  log a b. . . (ax  b). . dx . 2. 1. . loga f ( x ) b  f ( x ) a b. 1. 1 C x. (ax  b). 2. dx . ax  b  C. 1 1 . C a ax  b 1. cos xdx sin x  C. cos(ax  b)dx  a .sin(ax  b)  C. sin xdx  cos x  C. sin(ax  b)dx  a .cos(ax  b)  C. 1 2. x. 1. dx tan x  C. 1. 1. cos (ax  b) dx  a .tan(ax  b)  C 2. 1. 1. 1 sin2 x dx  cot x  C. sin (ax  b) dx  a .cot(ax  b)  C. e dx e. e. x. x. C. 2. ax  b. 1 dx  .e ax  b  C a.  e  x dx  e  x  C.  . x. dx . x C ln . . Phương pháp đổi biến số dạng 1: Một số cách đổi biến thường gặp:. ax  b. 1  ax  b dx  . C a ln . b. t ( b). a. t(a). I f [t ( x )].t '( x )dx   f (t )dt. 1. . f (ln x ) x dx . . f (e )e dx . . f (sin x )cos xdx . Đặt t sin x. . f (cos x )sin xdx . Đặt t cos x. . f (tan x ) cos. . f (cot x ) sin. . Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa. x. x. Đặt t ln x x Đặt t e. 1. log a f ( x ) log a g( x )  f ( x ) g( x )  2.Bất phương trình lôgarit:. log a x  b  x  a. 1.  ax  b dx  a .2. dx 2 x  C. x. cos. nếu a  1 f (x) a  b  f ( x )  log a b nếu a  1 x a  b  x  log a b nếu 0  a  1 f (x) a  b  f ( x )  log a b nếu 0  a  1 f (x) g( x ) a  a  f ( x )  g( x ) nếu a  1. log a x b  x a b. . 1 (ax  b) 1 dx  . C a  1 1 1 ax  b dx  a .ln ax  b  C. x 1 C  1. a x  b  x  loga b. . . 1. 1. f (x)  a g ( x )  f ( x )  g( x ) nếu 0  a  1  a XII.Phương trình và bất phương trình lôgarit: 1.Phương trình lôgarit:. . dx . . x. f (x) a g ( x )  f ( x ) g ( x )  a 2.Bất phương trình mũ:. . a.dx ax  C. . loga   log a      Nếu a  1 thì log a   log a       Nếu 0  a  1 thì XI.Phương trình và bất phương trình mũ: 1.Phương trình mũ:. a f ( x ) b  f ( x ) log a b. bản 1.dx  x  C. 1. . . Nguyên hàm mở rộng. x dx ln x  C. Các tính chất quan trọng:. . Nguyên hàm cơ. x. logb c c logb a Đặc biệt: a loga b b 10) a. a x b  x loga b. a f ( x )  Không có điều kiện.  f ( x)  0   f ( x ) 1  g( x )  0 log f ( x ) g( x )  Điều kiện:  x Đặt t a  Điều kiện: t  0. 2. x. 1. b. nếu a  1 loga f ( x )  b  f ( x )  a b nếu a  1 b log a x  b  x  a nếu 0  a  1 log a f ( x)  b  f ( x )  a b nếu 0  a  1 log a f ( x )  log a g( x )  f ( x )  g( x ) nếu a  1. . x. dx . Đặt t tan x Đặt t cot x n. A thì đặt t  n A. sin m x cosn xdx Khi tính tích phân dạng  : o Nếu m và n chẵn ta dùng công thức hạ bậc. o Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t sin x . o. 7. 2. dx . Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t cos x ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> . Phương pháp đổi biến số dạng 2: . Hàm có chứa. . Hàm có chứa. . Hàm có chứa. a2  x 2 hay a2  x 2 thì đặt x a tan t b. . z1 z1.z2  z2 z2 .z2. a 2  x 2 thì đặt x a sin t a x x 2  a 2 thì đặt sin t. Tích phân từng phần:. Thứ thự ưu tiên:. u.dv uv a. b. )..  Số phưc nghịch đảo của z là: 2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:. b. 2 Cho phương trình bậc hai az  bz  c 0 ( a, b, c  R và a 0 )  b2  4 ac    0 : Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:.  v.du a a.  sin x    ln x  P( x )   cos x   ex   . x1 .  b   i  b   i x2  2a 2a ;. b x1  x2  2 a  0  : Phương trình có nghiệm kép thực :    0 : Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt:. Q( x ) dx. Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ:  Bậc của P ( x )  Bậc của Q( x ) : Chia đa thức tử cho mẫu. . z2. 1 z  z z.z. P( x ). . (nhân cả tử và mẫu cho. Bậc của P ( x )  Bậc của Q( x ) :  Phân tích mẫu thành tích và biến đổi theo cách sau:. x1 . b  b  x2  2a 2a ;. Chú ý: 4 2  Khi giải phương trình trùng phương az  bz  c 0 trên tập số. Ñaët P( x ) P( x ) A B C     2 2 Q( x ) ( x  a ) ( x  b ) ( x  a ) x a x b. 2 phức C , ta đặt t z (không cần điều kiện cho t ). 1 1  1 1      ( x  a)( x  b) a  b  x  a x  b . . 2  z  a(a  0)  z  ai. Đặc biệt: Tính diện tích hình phẳng . TỔ HỢP – XÁC SUẤT I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án A hoặc B. Nếu có m cách thực hiện phương án A, n cách thực hiện phương án B thì sẽ có m+n cách hoàn thành công việc. 2. Quy tắc nhân: Một công việc được thực hiện qua hai hành động liên tiếp A và B. Nếu có m cách thực hiện hành động A, n cách thực hiện hành động B thì sẽ có m n cách hoàn thành công việc. Lưu ý: Đối với bài toán thành lập số ta phải xét hai trường hợp nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:  Đề cho có chữ số 0.  Số cần tìm có các chữ số khác nhau.  Số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) hoặc số chia hết cho 5. II.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1. Hoán vị: Từ n phần tử  sắp thứ tự. Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x a, x b . b. S f ( x ) dx. . a Công thức: Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số y  f ( x ), y g( x ) , hai đường thẳng x a, x b b. S f ( x )  g( x ) dx. . a Công thức: Tính thể tích vật thể tròn xoay: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là: b. V  [ f ( x )]2 dx. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1 ). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n XIV.Số Phức phần tử đó. 1.Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức có dạng z a  bi , trong đó P n! n(n  1)...2.1  Số hoán vị của n phần tử: n a, b là các số thực, i 2  1 . n!: đọc là “n giai thừa” 2. Chỉnh hợp: Từ n  lấy k  sắp thứ tự a: được gọi là phần thực . a.  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1 ). Lấy ra k phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi kết quả C Tập hợp các số phức được ký hiệu là thu được được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.  Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi có phần thực bằng nhau n! a a ' Ank  n(n  1)...(n  k  1) a  bi a ' b ' i   (0 k n) ( n  k )! b b '  và phần ảo bằng nhau. “Thực  3. Tổ hợp: Từ n lấy k bằng thực, ảo bằng ảo”  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1 ). Lấy ra k z  a 2  b2 z  a  bi phần tử, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh hợp chập Môđun của số phức : k của n phần tử. z  a  bi z  a  bi Số phức liên hợp: của số phức là  Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Phép cộng hai số phức: n! Cnk  (a  bi )  (a ' b ' i) (a  a ')  (b  b ')i k !(n  k )! (0 k n) III.Nhị thức Niu-tơn Phép trừ hai số phức: (a  bi)  (a ' b ' i) (a  a ')  (b  b ')i  Công thức nhị thức Niu – tơn: Phép nhân hai số phức: (a  bi).(a ' b ' i) ( aa ' bb ')  (ab ' ba ')i. b: được gọi là phần ảo   .   .   . Phép chia hai số phức: 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  a  b. n. 2 2 2  BC  AB  AC (ñònh lí Pitago). Cn0 a n  Cn1a n  1b  Cn2a n  2 b2    Cnk a n  k b k  ...  Cnn  1ab n  1  Cnn b n. 2  AB BH .BC. n  n   Cnk a n  k b k   Cnk ak b n  k  k 0  k 0 . 2  AH BH .CH  AH .BC  AB. AC. C k an  k bk C k a k bn  k  Số hạng tổng quát: n hoặc n IV.Xác suất  Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tương nào đó mà: Kết quả của nó không đoán trước được. Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.  Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Kí hiệu  (ô-mê-ga).  Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu.. . 1 1 1  2 2 AB AC 2  AH 3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn:. Biến cố không  là biến cố không bao giờ xảy ra. Biến cố chắc chắn  là biến cố luôn xảy ra Phép toán trên các biến cố: A  B : Hợp của các biến cố A và B ( A  B xảy ra  A xảy ra hoặc B xảy ra). A  B (hay A.B ): Giao của các biến cố A và B ( A  B xảy ra  A và B đồng thời xảy ra). -. sin  cos tan . A  B  thì ta nói A và B là 2 biến cố xung. khắc (không đồng thời xảy ra). -. . -. . cot . A  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A.. 4. Lưu ý: . (A và A xung khắc và A  A  ) n( A) P( A)  n ( ) Xác suất của biến cố: Trong đó:.  . n( A) : Số kết quả thuận lợi cho biến cố A.. -.  . Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông có độ dài bằng ½ cạnh huyền Hình vuông có độ dài đường chéo bằng cạnh x 2 . Cạnh huyển của tam giác vuông cân có độ dài bằng. 1 1 1 S  aha  bhb  chc h , h ,h 2 2 2  ( a b c : độ dài 3 đường cao). Nếu A và B xung khắc thì: P( A  B) P( A)  P( B) (công thức cộng xác suất). 1 1 1 S  ab sin C  ac sin B  bc sin A 2 2 2 .  . P A 1  P( A). S. . abc 4R.  S  pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp,. a, b, c: độ dài 3 cạnh R: bán kính đường tròn ngoại tiếp. Định lí côsin:. Đối ( Ñi hoïc) Huyeàn Keà  ( Khóc hoài) Huyeàn Đối  ( Đừng khóc) Keà Keà  ( Keïo ñaây ) Đối . caïnh 3 2  Đường cao của tam giác đều có độ dài bằng . 5.Các công thức tính diện tích:  Tam giác thường:. , với mọi biến cố A. HÌNH HỌC PHẲNG I. Một số công thức thường dùng trong hình học phẳng: 1. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho ABC , ký hiệu -. AC BC AB  BC AC  AB AB  AC . cạnh góc vuông x 2 .. n() : Số phần tử của không gian mẫu. Tính chất của xác suất: P( ) 0, P() 1 0 P( A) 1 , với mọi biến cố A. -. AC 2 CH .BC. . a2 b 2  c2  2bc cos A  2 2 2 b a  c  2ac cos B c2 a 2  b2  2ab cos C .     . (Công thức Hê-rông) 1 S 2 x tích 2 cạnh góc vuông Tam giác vuông: Tam giác đều:. . S. caïnh 2 . 3 4. 2 Hình vuông: S Caïnh Hình chữ nhật: S daøi roäng. Hình bình hành: S đáy cao hoặc S  AB. AD.sin A Hình thoi: S đáy cao hoặc S  AB.AD.sin A hoặc S.  2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:. 1 2 x tích 2 đường chéo. Hình thang:. S. (đáy lớn  đáy bé) cao 2. 2  Hình tròn: S  R II.Các đường trong tam giác: 1.Đường trung tuyến_Trọng tâm  Xuất phát từ đỉnh. 9. abc 2 : nửa chu vi). S  p( p  a)( p  b)( p  c). . a b c   2 R sin A sin B sin C Định lí sin:  2 2 b 2  2c 2  a 2  ma  4   2 2 a 2  2c 2  b 2  mb  4   2 2 a2  2b 2  c 2  mc  4 Công thức tính độ dài trung tuyến: . p.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Song song với cạnh đáy 1  Có độ dài bằng 2 cạnh đáy III.Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác G  Cạnh – Góc – Cạnh 2 1 AG  AM ; GM  AM C  Góc – Cạnh – Góc M B 3 3  Cạnh – Cạnh – Cạnh * Tính chất: Nếu là tam giác vuông:  Ba đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm và  Cạnh huyền – Góc nhọn điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.  Cạnh huyền – Cạnh góc vuông IV.Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác 2  2 góc bằng nhau  Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng 3 độ dài đường  1 góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tỉ lệ trung tuyến.  3 cạnh tỉ lệ 2.Đường cao_Trực tâm Nếu là tam giác vuông:  Xuất phát từ đỉnh  1 góc nhọn bằng nhau  Vuông góc cạnh đối diện  2 cạnh tỉ lệ A HÌNH HỌC KHÔNG GIAN J I. Quan hệ song song: H 1) Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. C B I 2) Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) nếu d không nằm . Qua trung điểm cạnh đối diện. . A. trong ( ) và d song song với một đường thẳng d ' nằm trong ( ) .. * Tính chất:  Ba đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm và điểm này được gọi là trực tâm của tam giác. 3.Đường trung trực_Tâm đường tròn ngoại tiếp  Qua trung điểm một cạnh  Vuông góc với cạnh đó. d d'. A. . d  ( )   d  d '   d  ( ) d '  ( ) . I B. C. 3) * Tính chất:  Ba đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác và đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4.Đường phân giác_Tâm đường tròn nội tiếp  Xuất phát từ một đỉnh  Chia góc ứng với đỉnh đó thành 2 góc bằng nhau * Tính chất:  Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác và đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.. Hai mặt phẳng song song với nhau nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. a. . . a, b  ( )   a  b M   ( )  (  ) a, b  (  ) . A. II. Quan hệ vuông góc:. J. 1). B. . Đường phân giác của tam chia cạnh đối diện thành 2 đoạn tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy A. D. B. DB AB  ; DC AC. Hai đường thẳng d và d ' vuông góc với nhau nếu góc giữa 0 chúng bằng 90 .. C. E. 2). Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( ) .. C. EB AB  EC AC. 5.Đường trung bình  Qua trung điểm hai cạnh. d a d b a  b I.      d  ( )  a, b  ( ) . A M B. M. b. N C.  MN / / BC   1  MN  BC  2. Tính chất:. * Tính chất: 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> . . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) thì d sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) .. (Định lý 3 đường vuông góc) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( ) và đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( ) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để a vuông góc với d là a vuông góc với hình chiếu d ' của d trên ( ) .. (a, b) (a ', b '). 2). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) là góc giữa d và hình chiếu d’ của d trên ( ) .. a d  a  d' 3). Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt kia.. (d ,( )) (d , d '). Cách tìm góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) :  Tìm hình chiếu d’ của d trên ( ) .  Khi đó góc giữa d và ( ) bằng góc giữa d và d’:.  d. Ta có thể trình bày như sau: - Vì O  ( ) nên hình chiếu của O trên ( ) là O.. . - Vì AH  ( ) nên hình chiếu của A trên ( ) là H.  Hình chiếu của AO trên là HO. d  ( )    ( )  ( ) d  (  ) Tính chất:  Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia..  , HO)  AOH  ( AO,( )) ( AO. 3). Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng, cùng vuông góc với giao tuyến. . b d I. ( )  ( ) d   a  ( ), a  d   (( ),( )) ( a, b) b  (  ), b  d .  ( )  ( )  ( )  ( ) d   a  ( ) a  (  ), a  d . .  a. . Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.. . Cách tìm góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) : Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) và (  ) Tìm 2 đường thẳng a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( ) và (  ) mà cùng vuông góc với giao tuyến d.. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b. IV. Khoảng cách: 1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:. . ( )  ( ) ( )  ( ).     d  ( ) ( )  (  ) d  III. Góc: 1) Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.. 11. -. AH  ( )  d ( A,( ))  AH Từ A kẻ Phương pháp tìm đoạn AH: Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ (  ) chứa A và vuông góc. với mặt phẳng ( ) theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong mặt phẳng ( ) , kẻ AH  a.  AH  ( )  d ( A,( ))  AH.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> VI. Các khối hình chóp thường gặp: 1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.. . 2). d ( A,( )) AO  AO  (  )  O Lưu ý: Nếu thì d (I ,( )) IO. Tính chất của hình chóp đều:  Đường cao đi qua tâm của đáy.  Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau.  Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:  Cách 1: Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.. Chú ý:  Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có tâm là giao điểm của 2 đường chéo.  Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao điểm hai đường trung tuyến.  Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau. 2) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:. MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a M  a  N  b  MN  a, MN  b . . và b nếu Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.. Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau:  SA  ( ABCD). (SAB) và (SAD ) cùng vuông góc với ( ABCD ) (SAB)  ( ABCD )  (SAD )  ( ABCD )  SA  ( ABCD ) (SAB)  (SAD ) SA  Ta có: Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó” Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao của mặt bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.. . d (a, b) d (b,( )) d ( M ,( )) d ( M ,( ABC )) . 3VM . ABC SABC. Trong đó ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b và M là điểm tùy ý trên đường thẳng b. V. Hình chóp – khối chóp: Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao 1 V  Sđáy cao 3 Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:  Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có: SABM BM  SABC BC.  . Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4 phần có diện tích bằng nhau. 12. 3). Chú ý:  Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”  Đường cao SH của SAB chính là đường cao của hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng.  Thường bài toán cho “ SAB là tam giác đều là nằm trong.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau: - Gọi H là trung điểm AB - Vì SAB đều  SH là đường cao của SAB. V VB .SAC VC .SAB VS . ABC Trong đó: A.SBC IX. Hình lăng trụ - khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao.  SH  AB. Ta có:. (SAB)  ( ABCD )  (SAB)  ( ABCD )  AB  SH  ( ABCD ) SH  (SAB ), SH  AB . VII. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S.. V Sđáy cao Tính chất của hình lăng trụ:  Các cạnh bên song song và bằng nhau.  Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.  Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. 1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Đối với hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên cũng là đường cao. VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  . .  Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng VS . ABC SA SB SC Ta có: (Công thức này chỉ được dùng cho vuông góc với đáy. 2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều khối chóp tam giác) Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng Các trường hợp đặc biệt: nhau. C  C '  3) Hình hộp:  Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.  Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.  Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Thể tích hình hộp chữ nhật V abc (a, b, c: 3 kích thước)  Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. 3 Thể tích hình lập phương V a (a: độ dài cạnh) X. Mặt cầu – Khối cầu: 1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một  . VS . ABC SA SB khoảng R không đổi. Mặt cầu cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối  C C '; B B ' cầu.. VS . A ' B ' C ' SA '  VS . ABC SA. 2). 2 Diện tích mặt cầu: S 4 R 4 V   R3 3  Thể tích khối cầu: XI. Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ: 1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi đó cạnh CD vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ.. . VIII. Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: 1 1 VS . ABC  SABC .cao  SABC .d (S,( ABC )) 3 3 Ta có:.  d (S,( ABC )) . Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:. 3VS . ABC SABC. Tương tự: d ( A,(SBC )) . 3VA.SBC SSBC. d ( B,(SAC )) . 3VB .SAC S ABC. d (C ,(SAB)) . 3VC .SAB SSAB  13. Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, hình.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 2). tạo thành bởi mặt trụ và hai hình tròn này được gọi hình trụ. Hai hình tròn này được gọi là hai đáy của hình trụ.  Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.  Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ.  Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ.  Hình trụ cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối trụ. Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ: S 2 rl l  Diện tích xung quanh mặt trụ: xq ( : độ dài đường r sinh, : bán kính đáy ). S Sxq  2Sđáy 2 rl  2 r 2 Diện tích toàn phần hình trụ: tp V Sđáy .cao  r 2 h h  Thể tích khối trụ: ( : chiều cao) XII. Mặt nón – Hình nón - Khối nón: 1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông tại I quay quanh cạnh IO khi đó cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón.. . BC  AB    BC  (SAB) BC  SA   BC  SB.  SBC vuông tại B  IB IS IC (2) Từ (1) và (2)  IA IB IC IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 1 R IS  SC 2 Bán kính:. Hình 2: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, SA  ( ABC ) .. Gọi O là trung điểm của BC  O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Qua O dựng đường thẳng  vuông góc với mp(ABC)   là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC . Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Gọi I d  .  I  d  IA IS  I    IA IB IC Ta có:   IA IB IC IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2. Cạnh IM vạch ra một hình tròn, hình tạo thành bởi mặt nón và hình tròn này được gọi là hình nón. Hình tròn này được gọi là mặt đáy của hình nón.  Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón.  Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón.  Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón. Diện tích mặt nón và thể tích khối nón: . 2). S  rl l Diện tích xung quanh mặt nón: xq ( : độ dài đường r sinh, : bán kính đáy ) S Sxq  Sđáy  rl   r 2  Diện tích toàn phần hình nón: tp 1 1 V  Sđáy .cao   r 2 h 3 3  Thể tích khối nón: ( h : chiều cao) XIII. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp thường gặp Hình 1: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại B, SA  ( ABC ) .. 1  R IA  AO 2  OI 2   BC   AM 2 2   Bán kính: Hình 3: Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA  ( ABC ) .. . Cách đặc biệt. Gọi J là trung điểm BC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Qua O dựng đường thẳng  vuông góc với mp(ABC)   là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC . Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Gọi I d  .  I  d  IA IS   I    IA IB IC. Ta có:  IA IB IC IS. Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2. 2  R IA  AO 2  OI 2   AJ   AM 2 3  Bán kính: Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.. Gọi I là trung điểm của SC. SAC vuông tại A  IA IS IC (1) 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Gọi I d  SO.  I  d  IA IS  I  SO  IA IB IC ID Ta có:   IA IB IC ID IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính: R IS Cách tính bán kính: SMI #SOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  SO là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Gọi I d  SO.  I  d  IA IS  I  SO  IA IB IC Ta có:   IA IB IC IS. . IS SM SA.SM   IS  SA SO SO. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ   đơn vị lần lượt là: i, j , k. Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính: R IS Cách tính bán kính: SMI #SOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S) . IS SM SA.SM   IS  SA SO SO.      u  x; y; z   u  xi  y j  zk II.Tọa độ của vectơ: Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc     Đặc biệt: 0 (0; 0; 0), i (1; 0; 0), j (0;1;0), k (0;0;1) hình chữ nhật), SA  ( ABCD)  Cách đặc biệt M ( x ; y ; z )  OM ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung III.Tọa độ của điểm: độ, z : cao độ) Đặc biệt: z 0  M  (Oxy)  M x 0  M  (Oyz)  M y 0  M  (Oxz)  M y zM 0  M  Ox  M x zM 0 Gọi I là trung điểm của SC.  M  Oy  M SAC vuông tại A  IA IS IC (1) x yM 0  M  Oz  M BC  AB  M ( x M ; y M ; zM )   BC  (SAB ) Hình chiếu vuông góc của điểm lên: BC  SA   BC  SB M1 ( x M ; 0;0)  Trục Ox là:  SBC vuông tại B  IB IS IC (2) M (0; yM ;0)  Trục Oy là: 2 CD  AD  M (0;0; zM )   CD  (SAD )  Trục Oz là: 3 CD  SA   CD  SD M ( x ; y ;0)  mp(Oxy) là: 12 M M  SCD vuông tại D  ID IS IC (3) M ( x ; 0; zM )  mp(Oxz) là: 13 M Từ (1), (2) và (3)  IA IB IC ID IS M (0; yM ; zM ) Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.  mp(Oyz) là: 23   1 R IS  SC a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) IV.Các công thức về tọa độ: Nếu thì: 2 Bán kính:   a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.   ka (ka1; ka2 ; ka3 ), k  R . . Gọi O là giao điểm 2 đường chéo  SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. 15. . a1 b1    a b  a2 b2 a b 3  3 “Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao bằng cao”       a cùng phương b (b 0)  tồn tại một số k sao cho: a kb.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a1 kb1   a2 kb2 a kb 3  3. 3.Máy 570MS. . a a a  1  2  3 , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3 AB ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA ). . Tọa độ vectơ. .  x A  xB  xI  2  y A  yB   yI  2   zA  zB  zI  2 Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: . ON  SHIFT  5  1  1  3: Nhập tọa độ  Vectơ a  AC  SHIFT  5  1  2  3: Nhập tọa độ  Vectơ b  AC  SHIFT  5  3  1  X  SHIFT  5  3 2  = Tính chất của tích có hướng:       n   a, b    thì n  a và n  b  Nếu       Hai vectơ a và b cùng phương với nhau  [a, b] 0        Ba vectơ a , b và c đồng phẳng với nhau  [a, b].c 0    [ a ( , b].c được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ) Ứng dụng của tích có hướng:      AB, AC  0    A, B, C thẳng hàng     AB, AC  . AD 0    A, B, C, D đồng phẳng Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng)     AB, AC  . AD 0     SABCD   AB, AD   Diện tích hình bình hành ABCD: . .  x A  xB  xC  xG  3  y A  yB  yC   yG  3   zA  zB  zC  zG  3  Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:  V.Tích vô hướng của hai vectơ:  a (a1; a2 ; a3 ),  Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Nếu   b (b1; b2 ; b3 ) a.b a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 thì: “Hoành nhân hoành+ tung nhân tung + cao nhân cao”  Ứng dụng:   a  a12  a22  a22 a (a1; a2 ; a3 )  Độ dài vectơ: Nếu thì  Độ dài đoạn thẳng AB:. .  . AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  (zB  zA )2. . Góc giữa hai vectơ:  a1b1  a2 b2  a3b3 a.b   cos(a , b )     2 a.b a1  a22  a32 . b12  b22  b32. . Điều kiện hai vectơ vuông góc:    a  b  a.b 0  a1b1  a2 b2  a3b3 0. 1    VABCD  [ AB, AC ].AD 6  Thể tích tứ diện ABCD: VII.Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi  M (x ; y ; z ) qua 0 0 0 0 và có VTPT n ( A; B; C ) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C (z  z0 ) 0. VI.Tích có hướng của hai vectơ:.  a, b   a2 . .  a (a , a , a ) 1 2 3  b (b1 , b2 , b3 ) Định nghĩa: Cho hai vectơ . Tích có hướng của hai   vectơ a và b là 1 vectơ được xác định như sau:. . .  b2. a3 a3 ; b3 b3. a1 a1 ; b1 b1. a2 b2. 1   SABC   AB, AC  2 Diện tích tam giác ABC: Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:    VABCD . A ' B ' C ' D '  [ AB, AD ]. AA '.    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3; a1b2  a2b1   Quy. Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D 0 thì () có VTPT  là n ( A; B; C ). . Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT của mặt này là VTCP của mặt kia.. . Khoảng. cách. từ. ( ) : Ax  By  Cz  D 0 :. tắc: 23-31-12  Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính 1.Máy 570VN PLUS  ON  MODE  8  1  1: Nhập tọa độ Vectơ  a  AC  MODE  8  2  1: Nhập tọa độ Vectơ  b  AC  SHIFT  5  3  X  SHIFT  5  4  = 2.Máy 570ES PLUS  ON  MODE  8  1  1: Nhập tọa độ Vectơ  a  AC  SHIFT  5  2  2  1: Nhập tọa độ  Vectơ b  AC  SHIFT  5  3  X  SHIFT  5  4  =. M0  x 0 ; y0 ; z0 . điểm. d  M0 ,( ) .  mp(Oxy ) : z 0   mp(Oxz) : y 0  mp(Oyz) : x 0 . đến. mặt. phẳng. Ax0  By0  Cz0  D A2  B2  C 2.  Đặc biệt: Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó.  M x0 ; y0 ; z0 n  A; B;C  Dạng 1: () đi qua điểm có VTPT : A x  x0  B y  y0  C z  z0 0 ():  M x0 ; y0 ; z0 Dạng 2: () đi qua điểm có cặp VTCP a , b :. . . . . . 16. . . . . .

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  Khi đó VTPT của () là.   n  a, b . này ta tìm được m .. .. M  x0 ; y0 ; z0 . Dạng 3: () đi qua điểm Ax + By + Cz + D = 0:. M  x0 ; y0 ; z0 . Dạng 9: () đi qua điểm AB:. và song song với mặt phẳng ():.   VTPT n  VTPT n  ( A; B; C ) Khi đó . Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:. Khi đó VTPT của () là.   n  AB. Dạng 10: () đi qua điểm  x  x0  at  d :  y y0  bt  y z  ct 0  :.    n  AB, AC   Khi đó VTPT của () là   Dạng 5: () là mặt phẳng trung trực của MN:. và vuông góc với đường thẳng. M  x0 ; y0 ; z0 . và vuông góc với đường thẳng.   n VTCP u d (a; b; c ).  Khi đó VTPT của () là Dạng 11: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d 1, d2 chéo nhau (hoặc cắt nhau):. ():. Qua trung đ iể m I c ủ a MN VTPT nα = MN. {. Dạng 6: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), ():. Qua M    ( ) :    VTPT n  VTCPud1 ,VTCPud2  Dạng 12: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):.    n( )  VTPT n  ,VTPT n   Khi đó VTPT của () là Dạng 7: () tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H (() là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H): Qua M1  d1     ( ) :  VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2     Dạng 13: () chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d: – Tìm tâm I của mặt cầu (S) Qua H    ( ) :  VTPT n( ) IH –. - Trên d lấy 1 điểm A. Dạng 8: () song song với mặt phẳng (  ) : Ax  By  Cz  D 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S):. Qua M     ( ) :    VTPT n  AM ,VTCPu d  Dạng 14: () chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:. – Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  ().. ) song song với (  ) nên phương trình mp() có dạng. – Vì ( Ax  By  Cz  m 0(m D ) – Vì (. ) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d ( I ,( )) R  Giải phương trình 17. Qua M    ( ) :  VTPT n    VTCPu d1 ,VTCPu d2     – Dạng 15: () chứa 2 đường thẳng song song d1, d2:.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D 0 :. – Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2 Qua M1      ( ) :  VTPT n  M1M2 ,VTCPu d 1      –. Dạng 16: () chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ():. R d (I ,( P ))  – Bán kính:. Aa  Bb  Cc  D A2  B 2  C 2. IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm  M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) u và có VTCP (a; b; c) thì d có. – Lấy một điểm M thuộc d  M  (). Qua M    ( ) :    VTPT n  VTCPu d ,VTPT n   – VIII.Phương trình mặt cầu:  Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x  a )2  ( y  b )2  ( z  c )2  R 2 . 2 2 2 Dạng 2: Phương trình x  y  z  2 ax  2by  2cz  d 0 với 2 2 2 điều kiện a  b  c  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b;. c) và bán kính R =. a 2  b2  c2  d. Điều kiện mặt cầu S ( I , R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: d ( I ,( P)) R Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: 2 2 2 2 (S): ( x  a)  ( y  b)  (z  c) R .  x  xo  at  (t  R)  y yo  bt  z z  ct o  Phương trình tham số là:  x  x0 y  y0 z  z0   a b c  Phương trình chính là: (nếu a, b, c đều khác 0) Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.  M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) u (a; b; c) : Dạng 1: d đi qua điểm và có VTCP  x xo  at  d :  y yo  bt ( t  R)  z z  ct o  Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:. Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:. Qua A    d : VTCP u d  AB Dạng 3: d đi qua điểm trước:. M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ). và song song với đường thẳng  cho. Qua M 0   d : VTCP u d VTCP u. – Bán kính R = IM Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:. Dạng 4: d đi qua điểm trước:.  x A  xB  xI  2  y A  yB   yI  2   zA  zB  zI  2 . M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 ). và vuông góc với mặt phẳng (P) cho. Qua M 0   d : VTCP u d VTPT n P Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):. – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: . AB – Bán kính R = IA = 2 . Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d 0 (S). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S).. – 18. Tìm toạ độ một điểm M  d: bằng cách giải hệ phương trình. (P )  (Q).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> (với việc chọn giá trị cho một ẩn, thường cho x 0 ). –. Qua M    d : VTCP u d  VTPT n P ,VTPT nQ . Dạng 6: d đi qua điểm d1, d2:. M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ). và vuông góc với hai đường thẳng. Qua M 0    d : VTCP u d  VTCP u d1 ,VTCP u d2  Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với đường thằng :. Qua M    d : VTCP u d  VTPT n P ,VTCPu  . –. Gọi. (P). là. mặt. phẳng. chứa. d1. song. song. :. –. Qua M1  d1     (P) :    VTPT n p  u  , u d1  Gọi (Q) là mặt phẳng. chứa. d2. song. song. :. Qua M 2  d2     (Q) :    VTPT nQ  u  , u d2  – Khi đó d = (P)  (Q). Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng  x  x1  a1t  x  x2  a2 t   d1 :  y y1  b1t d2 :  y y2  b2t  z z  c t  z z  c t 1 1 2 2   và chéo nhau:. Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:. –. Giả sử d cắt. d1. tại I, d cắt. d2. tại J..  I  d1  I ( x1  a1t1; y1  a1t1; z1  c1t1 )   J  d2  I ( x 2  a2t2 ; y2  a2t2 ; z2  c2t2 ) – Vì  ,    IJ .u d1 0    IJ .u d2 0 t ,t – Giải hệ phương trình:  ta tìm được 1 2 từ đó suy ra tọa độ I, J. – d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J. Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng (P):. – –. Tìm các giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB. M (x ; y ; z ) Dạng 9: d đi qua điểm 0 0 0 0 , vuông góc và cắt đường thẳng :. M và hình chiếu H của 0 trên đường thẳng  M (x ; y ; z ) Dạng 10: d đi qua điểm 0 0 0 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2:. d qua. M0. –. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách: Qua M      (Q) :  VTPT nQ  n P , u     . –. Gọi (P) =. ( M 0 , d1 ). , (Q) =. ( M 0 , d2 ). – Khi đó d = (P)  (Q). Dạng 14: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:. ..    u d  nP , nQ  – Khi đó d = (P)  (Q). Do đó, VTCP của d là . Dạng 11: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Cho mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D 0 và đường thẳng d:  x x 0  ta   y y0  tb   z z0  tc Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 1 phương trình bậc nhất ẩn t: A( x0  at )  B( y0  bt )  C (z0  ct )  D 0 (*)  TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P)  TH2: (*) vô nghiệm thì d // (P)  TH3: (*) có vô số nghiệm thì d  (P)        n P , u d  0 d  ( P)  n p cùng phương u d   Đặc biệt: XIII.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:. – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1. – Tìm giao điểm N của (P) và d2 – Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN X.Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng.  Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):. –. – . Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với Qua M   d : VTCP u d VTPT n p mp(P) bằng cách: Khi đó: H d  (P ) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H là trung điểm của MM’ nên:.  x M ' 2 xH  x M   yM ' 2 yH  yM  z 2 z  z H M  M' .  x  x1  a1t  x  x2  a2t   d1 :  y y1  b1t d2 :  y y2  b2t  z z  c t  z z  c t 1 1 2 2   Cho hai đường thẳng và  d1 A( x1; y1 ; z1 ) u (a1; b1; c1 ) qua có VTCP 1  d2 B( x2 ; y2 ; z2 ) u (a2 ; b2 ; c2 ) qua có VTCP 2. . Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d:. .      d2   u1 , u 2  .AB 0 chéo      u1 , u2  0         u1 , u2  . AB 0  d1 d2   cắt hoặc d1. hệ. phương. trình.  x1  a1t1  x2  a2t2   y1  b1t1 y2  b2t2  z  c t z  c t  1 11 2 2 2. có 1 nghiệm.      u1 , u2  0  Qua M     (P ) :   d1 d2 VTPT n p VTCP u d  A  d2  // bằng cách:      u1 , u2  0 – Khi đó: H d  (P )     Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H  A  d2 d1 d2  là trung điểm của MM’ nên:   d1  d2  u d1 .u d2 0  a1a2  b1b2  c1c2 0  x M ' 2 xH  x M Đặc biệt:  XIV.Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:  yM ' 2 yH  yM  z 2 z  z Cho mặt phẳng () và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R. H M  M'  d ( I ,( ))  R thì () và (S) không có điểm chung. XI.Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: –. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d. ( P ) : A1 x  B1y  C1z  D1 0 Cho hai mặt phẳng và (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 A : B : C  A2 : B2 : C2 (P), (Q) cắt nhau  1 1 1 A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2  (P) // (Q)  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2  (P)  (Q)      n  nQ  n P .nQ 0  A1 A2  B1B2  C1C2 0 (P)  (Q)  P Đặc biệt: XII.Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:. . . 20. d ( I ,( ))  R thì () và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó ta nói () tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P) được gọi là tiếp diện của (S) tại H..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> .  Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp(). d (I ,( ))  R thì () và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường. d (1 ,  2 ) d ( M1 , 2 ) MH. tròn (C). Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của I trên 2. mp(), bán kính của (C) là r  R  d. 2. . với d d (I ,( )) .. XV.Khoảng cách:  Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0.   Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 :  M  Cách 1: Giả sử đường thẳng 1 qua điểm 1 và có vectơ  u  M chỉ phương là 1 , đường thẳng 2 qua điểm 2 và có  u vectơ chỉ phương là 2 . Ta có:     u , u  .M M  1 2  1 2 d (1 , 2 )   u ,u   1 2. . Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 1.  và 2 bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia.. d  M 0 ,( )   . Ax 0  By0  Cz0  D. A2  B2  C 2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.. –.  Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 và song. song với . . bằng cách:. Qua  ( ) :  VTPT . M1   n( )  VTCP u1 ,VTCP  d (1 , 2 ) d ( M2 ,( )). Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng..  u 2  . – Khi đó: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY I.Các công thức tọa độ:   a (a1; a2 ); b (b1; b2 ) Cho hai vectơ    a b a b   1 1  a2 b2 Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thằng  :  Hai vectơ bằng nhau: “hoành bằng hoành, tung bằng tung” M     Cách 1: Giả sử đường thẳng  đi qua 0 và có vectơ chỉ   Tọa độ của a b, ka :   phương là u . Ta có: a b (a1 b1; a2 b2 )     M M,u ka (ka1; ka2 )  0  d  M,    u AB ( x B  x A ; yB  y A )  Công thức tính tọa độ của vectơ:  Cách 2:  x A  xB  x I  2   y  y A  yB  I 2  I là trung điểm AB. – Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng  . – Khi đó d ( M , ) MH . 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. 1. Bằng khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng đường thẳng.  . và 1. 2.  . :. đến . 2. 21.  x  x B  xC x  A   G 3  y  y  yC y  A B G   3 G là trọng tâm ABC Tích vô hướng của hai vectơ:     a.b  a . b .cos a, b   a.b a1 .b1  a2 .b2  “hoành x hoành + tung x tung” Điều kiện vuông góc giữa hai vectơ:    a  b  a.b 0  a1.b1  a2 .b2 0.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> . Độ dài của vectơ - khoảng cách giữa hai điểm:   a ( a1; a2 )  a  a12  a22   AB  AB  ( xB  x A )2  ( y B  y A )2    a1.b1  a2 .b2 a.b cos a, b     2 a.b a1  a22 . b12  b22 Góc giữa hai vectơ: Công thức tính diện tích tam giác:   AB ( x; y )   AC ( x '; y ').  .  . SABC . 1 x y 1  xy ' x ' y 2 x' y' 2. II.Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 1.Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng:  M (x ; y ) Đường thẳng d qua điểm 0 0 0 , nhận u (a; b) làm vectơ chỉ phương có:. . Phương trình tham số là:.  x  x0  at  t  R   y  y0  bt. x  x 0 y  y0   a 0, b 0  a b. Qua A     AB :  VTCP u  AB  VTPT n Dạng 2: Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC. Qua A    AH :  VTPT n BC Dạng 3: Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC..  x  xC yB  yC  M B ;  2 2   Vì M là trung điểm của BC nên Qua A    AM :  VTCP u  AM  VTPT n Dạng 4: Viết phương trình đường trung trực của AB..  x  x B y A  yB   M A ;  2   2 Gọi M là trung điểm AB  Qua M    d :  VTPT n  AB.  Phương trình chính tắc: V.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: 2.Phương trình tổng quát của đường thẳng:  : A x  B1 y  C1 0  : A x  B2 y  C2 0  Phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm Cho hai đường thẳng 1 1 và 2 2  M 0 ( x 0 ; y0 ) Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình: , nhận n ( A; B ) làm vectơ pháp tuyến là:  A1 x  B1y  C1 0 A( x  x0 )  B( y  y 0 ) 0   A2 x  B2 y  C2 0 (1) A1 B1  Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát   A B2 Ax  By  C 0 , thì vectơ pháp tuyến của (d) là n ( A; B) . 2  1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm (nếu  A2 , B2 , C2 0 n  ( A ; B ) )  Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là thì d có   A1 B1 C1 vectơ chỉ phương là u ( B; A) hay u ( B;  A)    A2 B2 C2  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm (nếu u  ( a ; b )  Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương thì d có   A2 , B2 , C2 0 ) vectơ pháp tuyến là n ( b; a) hay n (b;  a) A1 B1 C1  Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát   A B2 C2 Ax  By  C 0 :  1  2  hệ (1) có vô số nghiệm 2 (nếu  Nếu d’ song song với d thì d’ có phương trình là A2 , B2 , C2 0 ) Ax  By  m 0 (m  D )    Nếu d’ vuông góc với d thì d’ có phương trình là  Đặc biệt: 1   2  n1  n2  A1 A2  B1B2 0  Bx  Ay  m 0 VI.Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng 3.Phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có hệ số góc cho trước: Cho đường thẳng : Ax  By  C 0 và hai điểm M 0 ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng d qua điểm , có hệ số góc k là: M ( xM ; yM ), N ( xN ; yN )  . y  y0 k ( x  x 0 )  M, N nằm cùng phía đối với   ( Ax M  By M  C )( Ax N  By N  C )  0 . 4.Các dạng toán viết phương trình đường thẳng:  M, N nằm khác phía đối với    Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của ( Ax M  By M  C )( Ax N  By N  C )  0 M 0 ( x 0 ; y0 ) . đường thẳng  ta cần xác định một điểm   và  VII.Góc giữa hai đường thẳng: u  ( a ; b ) một VTCP của . Cho hai đường thằng  x  x0  at 1 : A1x  B1y  C1 0   y y0  bt  : A x  B y  C 0 PTTS của : 2. 2. 2. 2. x  x 0 y  y0 A1 A2  B1B2  (a, b 0) cos  1 , 2   b PTCT của : a A12  A22 B12  B22  Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác  VII.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: M (x ; y ) định một điểm 0 0 0   và một VTPT n ( A; B) của M (x ; y ) . Cho 0 0 0 và  : Ax  By  C 0 A( x  x 0 )  B ( y  y 0 )  0 PTTQ của : Ax0  By0  C d ( M0 , )  Dạng 1: Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: A2  B 2 IX.Tìm hình chiếu và điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d. Để tìm điểm H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d, ta thực hiện như sau:  Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d, bằng cách: Qua M   : VTCP u VTPT nd  Khi đó H = d   Nếu bài toán yêu cầu tìm M đối xứng với M qua d, ta có H là trung điểm của MM nên:  x M ' 2 xH  xM   x M ' 2 yH  yM X.Phương trình đường tròn trong mặt phẳng  Dạng 1: Đường tròn tâm I(a;b) bán kính R: ( x  a)2  ( y  b)2 R 2 (C). x 2  y 2  2ax  2by  c 0 * Dạng 2: Cho phương trình * 2 2 Nếu a  b  c  0 thì là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán. . . . d (I , 1 ) d ( I ,  2 )   I  d. – Tâm I của (C) thoả mãn: . d ( I , 1 ) – Bán kính R = . Dạng 7: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.. I  d  d ( I , ) IA – Tâm I của (C) thoả mãn:  . – Bán kính R = IA. Dạng 8: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. XII.Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn M ( x 0 ; y0 )  Dạng 1: Tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm thuộc đường tròn.. 2 2 kính R  a  b  c . XI.Các dạng toán viết phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là:. ( x  a)2  ( y  b)2 R 2. Qua M    : Vtpt n  IM. Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. . Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : Ax  By  C 0. – Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có đường kính AB. -. Giả sử  là tiếp tuyến của đường tròn.  / /d Vì nên phương trình  : Ax  By  m 0(m C ).  d I ,  R   là tiếp tuyến với (C) Tìm m Dạng 3: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : Ax  By  C 0. .  x  xB y A  yB   I A ;  2   2 – Tâm I là trung điểm của AB. . của. . ( x B  x A ) 2  ( y B  y A )2 AB  2 – Bán kính R = 2 . Dạng 3: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . -. – Bán kính R = d (I ,  ) . Dạng 4: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác)..  :  Bx  Ay  m 0. . . 2 2 – Phương trình của (C) có dạng: x  y  2ax  2by  c 0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của. (C). Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng .. 23. của.  d I ,  R   là tiếp tuyến với (C) Tìm m M ( x 0 ; y0 ) Dạng 4: Tiếp tuyến đi qua điểm -. . Giả sử  là tiếp tuyến của đường tròn.  d Vì nên phương trình. Giả sử  là tiếp tuyến qua M và có hệ số góc k..

<span class='text_page_counter'>(24)</span>  : y k ( x  x0 )  y0. d I ,  R   là tiếp xúc với (C) nên Tìm k Lưu ý: Nếu không tìm được 2 tiếp tuyến ta phải xét đường thẳng  : x  x0 (là đường thẳng qua M và không có hệ số góc) d I ,  R Kiểm tra điều kiện tiếp xúc. . . . . 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span>