De HSG Toan 820162017 225

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013-2014. Đề chính thức. Môn: Toán - Lớp 8 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1. (5,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi a, b, c thuộc tập hợp số thực thì a2 + b2 + c2 +3  2(a + b + c)  a2 + b2 + c2 +3 - 2(a + b + c)  0  a2 - 2a + 1 + b2 - 2b + 1 + c2 - 2c + 1  0  (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2  0 ( đúng)  đpcm. b) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x4 + 7x3 - 2x2 - 13x + 6 = 2x4 - 2x2 + 7x3 - 7x - 6x + 6 = 2x2( x2 - 1) + 7x( x2 - 1) – 6(x - 1) = (x - 1)( 2x3 + 9x2 + 7x – 6) = (x - 1)( 2x3 + 4x2 + 5x2 + 10x - 3x – 6) = (x - 1)(x +2)( 2x2 + 5x – 3) = (x - 1)(x +2) )(x +3)( 2x– 1). (0,75đ) (0,75đ) (0,5đ). (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ). Bài 2 (5,0 điểm) a) Giải phương trình:. x  241 x  220 x  195 x  166     10 17 19 21 23 x  241 x  220 x  195 x  166 (  1)  (  2)  (  3)  (  4)  0 (1đ) 17 19 21 23 x  258 x  258 x  258 x  258     0 (0,5đ) 17 19 21 23 1 1 1 1   x  258  (    )0 (0,5đ) 17 19 21 23   x  258   0 (0,25đ)  x  258 (0,25đ). b). 1 2 3 2012 2013    .......   2013 2012 2011 2 1 A 1 1 1 1 1 1     .....   2 3 4 5 2013 2014. Ta có: 1 2 3 2012 2013  1   2   2012     ........     1    1  ...    1  1 (1đ) 2013 2012 2011 2 1  2013   2012   2 . 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2014 2014 2014   ....  2013 2012 2 (1đ) 1 1 1  1  2014.    ....    3 2  2014 2013  1. 1 1 1  1 2014 .   .....    3 2  2014 2013 Vậy A =  2014 1 1 1 1 1 1     .....   2 3 4 5 2013 2014. (0,5 đ). Bài 3. ( 2,0 điểm) Gọi x, y, z là số cây trồng được của các lớp 8A, 8B, 8C. Điều kiện: x, y, z  N*. (0,25đ). x y x z x y x z   Ta có  và  hay và 6 11 7 10 42 77 42 60 x y z   Suy ra: và x + y + z = 358 42 77 60 x y z x yz 358     2 Suy ra: 42 77 60 42  77  60 179. (0,5đ). Lớp 8A trồng 42.2 = 84 cây. Lớp 8B trồng 77.2 = 154 cây. Lớp 8C trồng 60.2 = 120 cây.. (0,25đ). (0,5đ). (0,5đ). Bài 4. ( 4,0 điểm). B. Hình vẽ a) Xác định vị trí điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành. Từ P kẻ Px // MN cắt AD tại Q, suy ra Q là trung điểm AD. (0,5đ) Nối MQ ta có: MQ // BD// NP (do t/c đường trung bình) . (0,5đ) Suy ra, tứ giác MNPQ là hình bình hành. Vậy Q là trung điểm AD.. M N. A C x Q P. D. b) Với điều kiện nào của AC và BD thì tứ giác hình vuông? Giải thích. - Chứng minh được tứ giác MNPQ là hình vuông. - Để MNPQ là hình chữ nhật thì MNP  1v hay MN  NP tức AC  BD. (0,5đ) - Để MNPQ là hình thoi thì MN = NP mà MN = ½ AC, NP = ½ BD tức AC = BD. (0,5đ) - Để MNPQ là hình vuông thì AC, BD phải thỏa cả 2 điều kiện: AC  BD và AC = BD. (0,5đ) c) Tính tỷ số diện tích tứ giác MNPQ và diện tích tứ giác ABCD. Ta có: SAMQ = ¼ SABD; SBMN = ¼ SABC; SCNP = ¼ SCBD; SDPQ = ¼ SDCA (0,5đ) Suy ra: SAMQ + SBMN +SCNP + SDPQ = ¼ SABD + ¼ SABC + ¼ SCBD + ¼ SDCA = ¼ ( SABD + SABC + SCBD + SDCA) = ¼ ( 2 SABCD) = 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> (0,5đ) (0,5đ). = ½ SABCD SMNPQ = SABCD - ½ SABCD = ½ SABCD Bài 5. ( 4,0 điểm) Hình vẽ. (0,25đ). A. a) Chứng minh CPN  AMQ c.g.c   PN  MQ 1 (0,75đ) Chứng minh DQP  BNM c.g.c   QP  NM 2 (0,75đ) Từ (1) và (2): Tứ giác MNPQ là hình bình hành. (0,25đ). M. Q. O O'. B. N. D. P C. b) Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. (0,5đ) Tứ giác MNPQ là hình bình hành suy ra MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O’ của mỗi đường. (0,5đ) Chứng minh tứ giác AQCN hình bình hành. (0,5đ) Suy ra: hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (0,25đ) Suy ra: O  O' hay bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy. (0,25đ) Ghi chú: Thí sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui định của từng bài.. --- HẾT ---. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>