TOM TAT KIEN THUC HE TOA DO OXYZ NGAN GON DAY DU

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHƯƠNG III – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TÓM TẮT KIẾN THỨC 1.. ⃗ AB = (xB-xA; yB-yA;zB-zA); zB − z A ¿2 y B − y A ¿ 2+ ¿ x B − x A ¿2 +¿ ¿ √¿. 2. AB =. 3. Cho. ⃗a = (a1;a2;a3), ⃗b = (b1;b2;b3) và số thực k. Thế thì:. ⃗a a) ± b2; a3 ± b3). =. ⇔ a1 = b1 và a2 = b2 và a3 = b3.. ⃗b. c). k. ⃗a. e). Độ dài véc tơ. f). Góc giữa hai véc tơ. g). = (ka1;ka2;ka3). ⃗a. 2. 2. ⃗a. ⃗b. = (a1 ±. b1; a2. ⃗b = a1b1 + a2b2 + a3b3. 2. ⃗a và ⃗b là : cos( ⃗a , ⃗b ) =. ⇔. ⃗a. Tích vô hướng. ±. √ a1 +a2 +a 3. ⃗a là : | ⃗a | =. ⃗b. 4. Tích có hướng : Cho. d). ⃗a. b). a1 b1 +a2 b2 +a 3 b 3 2 1. 2 2. 2 3. 2 1. 2 2. √a + a +a √ b +b +b. 2 3. ⃗b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0. ⃗a = (a1;a2;a3), ⃗b = (b1;b2;b3).Thế thì. ¿ a2 a 3 b 2 b3 ¿ rli ¿  ; ¿ a3 a1 b 3 b1 ⃗n = [ ⃗a , ⃗b ] = ¿ rli ¿  ; ¿ a1 a2 b 1 b2 ¿ || ¿ ¿. Lưu ý : Tích có hướng của 2 véctơ là một véctơ. Véctơ này vuông góc với cả 2 véctơ ban đầu. Tức là. ⃗n. ⃗a và. ⃗n. Như vậy, nếu thấy [ ⃗a , ⃗b ]. ⃗0 thì ⃗a , ⃗b không cùng phương. 5. Diện tích hình bình hành ABCD: S = |[ ⃗ AB , ⃗ AD ]|. 7. A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. ⇔ ⇔. A. B. 1 D |[ ⃗ AC ]| AB , ⃗ 2. Và do đó diện tích tam giác ABC : S = 6. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. ⇔ [ ⃗a , ⃗b ] = ⃗0. ⃗a và ⃗b cùng phương. ⃗b ;. C. ⃗ AC , ⃗ AC ] ⃗ AB , ⃗ AD đồng phẳng ⇔ [ ⃗ AB , ⃗ AD = 0 ⃗ AC , ⃗ AC ] ⃗ AB , ⃗ AD không đồng phẳng ⇔ [ ⃗ AB , ⃗ AD. 8. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V = |[ ⃗ AB , ⃗ AD ] ⃗ AA ' | (Cách nhớ: Từ một đỉnh bất kỳ phát ra 3 cạnh). B. 1 Và do đó, thể tích tứ diện ABCD là : V = |[ ⃗ AC ] ⃗ AB , ⃗ AD | 6. C A. D. 9. Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R là : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Hoặc. 2. 2. 2. (dạng 1). x + y + z - 2ax – 2by – 2cz + d = 0. B’. (dạng 2). Với lưu ý a2 + b2 + c2 – d > 0. D’ A’. 0.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phương trình mặt cầu ở dạng 2, có tâm là I(a;b;c), bán kính R =. √ a2 +b2 +c 2 −d. 10. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 * Mặt phẳng ( α ) qua M0(x0;y0;z0) và nhận. 0. ⃗n = (A;B;C) làm véctơ pháp tuyến (VTPT) phương trình là : A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0. * Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng ( α ) cắt 0x tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0) và cắt Oz tại C(0;0;c), a,b,c. x y z + + =1 a b c. 0, phương trình là :. * Các trường hợp riêng của mp ( α ):Ax + By + Cz +D = 0 a. Khuyết D : khi đó ( α ):Ax + By + Cz = 0, mp này qua gốc O 0) khi đó ( α ): By + Cz + D = 0, mp này song song với Ox. b. Khuyết A (B, C, D. 0) khi đó ( α ): Cz + D = 0, mp này song song với mp(Oxy). c. Khuyết A và B (C, D. Cách nhớ: Nhìn vào phương trình thấy không có D thì mp qua O; không thấy x thì // hoặc. Ox, …. 11. VTTĐ của 2 mặt phẳng: Cho 2 mp ( α 1 ): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, VTPT. n1 = (A1;B1;C1) ⃗. ( α 2 ): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, VTPT. n2 = (A2;B2;C2) ⃗. Nếu thấy. n1 = k ⃗ ⃗ n2 và D1. Nếu thấy. n1 = k ⃗ ⃗ n2 và D1 = kD2 thì ( α 1 ). Nếu thấy. n1 ⃗. n2 k ⃗. kD2 thì ( α 1 )//( α 2 ) ( α2 ). thì ( α 1 ) cắt ( α 2 ).. Đặc biệt : ( α 1 ). ( α 2 ) ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. 12. Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mp ( α ):Ax + By + Cz +D = 0 là : d(M0,(. α )) =. ¿ Ax 0+ By 0 +Cz 0+ D∨ ¿. 13. Phương trình tham số của đường thẳng (d) :. trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm mà (d) đi qua và. ¿ x=x 0 +at y= y 0 + bt z=z 0 +ct ¿{{ ¿. t. x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c. ¿ x=x 0 +at y= y 0 + bt 14. VTTĐ của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (d): z=z 0 +ct ¿{{ ¿ VTCP của (d):. (d) ; M’0(x’0;y’0;z’0). ⃗a = (a;b;c); VTCP của (d’): ⃗ a'. a. Nếu thấy 3 véctơ. ⃗a , ⃗ a'. và. ⃗a , ⃗ a'. (abc. và (d’):. ¿ x=x '0 +a' t ' y= y '0 +b ' t ' z=z '0 + c' t ' ¿{ { ¿. = (a’;b’;c’). ⃗ a ' ] = ⃗0. ⃗ a ' ] = ⃗0. (d’). và [ ⃗a , ⃗ M 0 M '0 ] =. cùng phương và chúng không cùng phương với. (Tức là [ ⃗a ,. 0). (d’);. ⃗ M 0 M '0 cùng phương thì kết luận (d). (Tức là [ ⃗a , b. Nếu thấy 2 véctơ. R. ⃗a = (a;b;c) là véctơ chỉ phương (VTCP) của (d).. * Phương trình chính tắc của đường thẳng (d):. Từ 2 phương trình đó, ta lấy ra M0(x0;y0;z0). ¿ √ A + B2 +C 2 2. ⃗0 ). ⃗ M 0 M '0 thì kết luận (d) // (d’). và [ ⃗a , ⃗ M 0 M '0 ]. ⃗0 ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> c. Nếu thấy 2 véctơ. ⃗a , ⃗ a'. (Tức là [ ⃗a , d. Nếu thấy 3 véctơ. ⃗a , ⃗ a' , ⃗ M 0 M '0 đồng phẳng thì kết luận (d) cắt (d’). không cùng phương và 3 véctơ. ⃗0. ⃗ a' ]. và [ ⃗a ,. ⃗ a ' ]. ⃗ M 0 M '0 = 0). ⃗a , ⃗ a' , ⃗ M 0 M '0 không đồng phẳng thì kết luận (d) và (d’) chéo nhau ⃗ a ' ]. ⃗ M 0 M '0. (Tức là [ ⃗a , 15. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng. ¿⃗ a Δ∨¿ Δ : d(A, Δ ) = ¿[⃗ M 0 A , a⃗Δ ]∨ ¿¿ ¿. a Δ là VTCP của ⃗. Trong đó. 0). Δ ; M0 là điểm thuộc. Δ .. (Cách nhớ: Tử số là diện tích hình bình hành, chia cho mẫu số là độ dài cạnh đáy ra chiều cao) 16. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau Trong đó. ⃗a. 1. ,. ⃗a. 2. Δ. là VTCP của. 1. Δ. và. Δ. 1. ,. 2. : d( Δ. Δ. 2. ,. 1. và M1. ¿[⃗ a1 , a⃗2 ]∨¿ Δ 2) = ¿[⃗ a1 , ⃗ a2 ].⃗ M 1 M2 ∨ ¿ ¿ ¿ Δ 1 , M2 Δ 2. (Cách nhớ: Tử số là thể tích khối hộp, chia cho mẫu số là diện tích đáy ra chiều cao hộp) 17. VTTĐ của đường thẳng và mặt phẳng:. ¿ x=x 0 +at y= y 0 + bt Cho đường thẳng (d): z=z 0 +ct ¿{{ ¿. và mặt phẳng ( α ): Ax + By + Cz + D = 0. Từ 2 phương trình này, ta lấy ra VTCP của (d) là và M0(x0;y0;z0) a. Nếu thấy. ⃗a = (a;b;c) và VTPT của ( α ) là ⃗n = (A;B;C). (d). ⃗a. ⃗n. và tọa độ của M0 không thỏa mãn phương trình ( α ) thì (d) // ( α ) (Tức là Aa+Bb+Cc = 0 và Ax0 + By0 + Cz0 + D. b. Nếu thấy. ⃗a. ⃗n. 0). và tọa độ của M0 thỏa mãn phương trình ( α ) thì (d) (Tức là Aa + Bb + Cc = 0 và Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0). c. Nếu thấy. ⃗a và ⃗n. không vuông góc thì (d) cắt ( α ) (Tức là Aa + Bb + Cc. Đặc biệt : Nếu thấy. 0 thì (d) cắt ( α )). ⃗a và ⃗n cùng phương (tức là ⃗a = k ⃗n ) thì (d). ( α ).. ………………………………………………………………………. ( α ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>