De HSG Toan 920162017 109

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PGD & ĐT TP HẢI DƯƠNG. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN HỌC. ĐỀ CHÍNH THỨC. (Thời gian làm bài: 150 phút) Ngày thi 10 tháng 01 năm 2013. Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: x4 x 4  x 4 x 4 8 16 1  2 x x. A= Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình: a. √ x2 −3 x+ 2+ √ x +3=√ x −2+ √ x 2+ 2 x −3 b.  4 x  2 . x  8 3 x 2  7 x  8. Bài 3 (1,5 điểm) 3 2013 a. Cho f ( x) ( x  12 x  31) . 3 3 Tính f (a) với a  16  8 5  16  8 5. 2. b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y  2 xy  3x  2 0 Bài 4 (1,5 điểm) a. Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 a b c a 2 b2 c2      2 2 2 b c a c a b và Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ. b. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3. a b c 3    2 2 2 Chứng minh rằng 1 b 1 c 1 a 2. Bài 5 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất. BE 3 CE  3 DF . c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và BF.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> d. Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp (K  EF; M BE và N BF) sao cho tỉ số giữa cạnh hình vuông với bán kính đường tròn nội tiếp 2 2 tam giác BEF là 2 . Hãy tính các góc nhọn của tam giác BEF?. …………………..Hết………………...

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐÁP ÁN Bài. Ý. Nội dung ĐKXĐ: x > 4. ( x  4  2) 2  ( x  4  2) 2 (1 . Rút gọn A = x 4 2 . 4 2 ) x. x 4 2   1. x 4  2 4 x. x 4  2. x 4 x. 4x - Nếu 4 < x 8 thì A = x  4 .. - Nếu x > 8 thì A =. 2x x 4. 4x 16 * Xét A = x  4 = 4 + x  4 với x  Z.. 1. A Z  x – 4 là ước của 16 và 4< x 8  x = 5; 6; 8. 2x x  4 và x  Z; x > 8. (1). * Xét A =. * Với x  Z . x  4 là số vô tỉ, hoặc. Do đó, từ (1)  A Z  x  4     a2 = x – 4  x = a2 + 4 2 a2  4  A=. a. =. 2a . x  4  x  4 = a (a  ; a > 2). 8 a (a  ; a > 2) (2). 8   a là ước của 8 và a > 2 Từ (2)  A Z  a  a  4; 8  x = 20; 68. 2. a. Vậy: x = 5; 6; 8; 20; 68. ĐKXĐ: x  2 √(x − 1)( x −2)+ √ x +3=√ x −2+ √( x −1)( x +3).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> √ x −1( √ x − 2− √ x+3)− √ x − 2+ √ x +3=0 ( √ x −2 − √ x +3)( √ x −1 −1)=0 √ x −2 − √ x +3=0 (1) hoặc √ x −1 −1=0 (2) PT (1) vô nghiệm; giải PT (2) được x = 2 (thỏa mãn). Vậy phương trình có một nghiệm x = 2 b. Điều kiện x  8   4 x  2  . x  8 3x 2  7 x  8  x  8  3 x. x  8   x  2  x  8  3 x  x  2  0 x 8.  . . . . x  8  3x   x  2 . x 8  x  2. .  x  8 x  2   x  8 3x. . . x  8  3x 0. . x  8  3 x 0.  1  2. Giải PT (1) và tìm được x = 1 là một nghiệm của PT đã cho. Giải PT (2 và tìm được x = 1 là một nghiệm của PT đã cho Kết luận: PT đã cho có một nghiệm là x = 1 a. a  3 16  8 5  3 16  8 5 3 3 3 3  a 32  3 (16  8 5)(16  8 5).( 16  8 5  16  8 5 ) 3  a 32  3.( 4).a  a 3 32  12a  a3  12a  32 0 2013  a3  12a  31 1  f (a) 1 1. 3. 2 2 2 2 Ta có: y  2 xy  3x  2 0  x  2 xy  y  x  3x  2. (*). 2.  ( x  y ) ( x  1)( x  2). VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên b phải có 1 số bằng 0  x  1 0    x  2 0. 4.  x  1  y 1  x  2  y 2 . Vậy có 2 cặp số nguyên ( x; y) (  1;1) hoặc ( x; y) ( 2; 2) a a b c a 2 b2 c2  2  2    2 b c a c a b Ta có: 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3  a c  b a  c b b c  c a  a b  do a b c abc 1   a 2b 2c 2  a 3c 2    b3a 2  a 3b    c 3b 2  c 3a    b3c  abc  0.  a 2c 2  b 2  a   ba 2  b 2  a   c 3  b 2  a   bc  b 2  a  0.   b 2  a    a 2c 2  ba 2    c 3  bc   0   b 2  a   c 2  b   a 2  c  0  a b 2. 2 2 hoặc b c hoặc c a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vậy ít nhất một trong ba số a, b, c phải là bình phương của một số hữu tỉ 2 Do a, b > 0 và 1 b 2b a, b nên: ab 2 ab 2 a ab a a  a  2 2 1 b 2b = 1 b = 2  Đẳng thức xảy ra b=1 Chứng minh tương tự ta cũng có: b c bc ca b  c  2 2 1 c  2 ; 1 a  2 . Đẳng thức xảy ra  c = 1; b = 1. a b c  ab  bc  ca     a  b  c     2 2 2 2    1 b 1 c 1 a a b c  ab  bc  ca    3    2 2 2 2   (1) b Hay 1 b 1 c 1 a Mặt khác, do a + b + c = 3  (a + b + c)2 = 9 2 2 2  a  b  c  2  ab  bc  ca  9 (2) 1 2 2 a  b    b 2  c 2    c 2  a 2    ab  bc  ca 2 2 2   a  b  c Mà = 2 (3) Đẳng thức xảy ra  a = b = c Từ (2)và (3)  9 3  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca  (4) a b c 3   3  2 2 2 2 Từ (1) và (4)  1 b 1 c 1 a. a b c 3    2 2 2 2 Dấu = sảy ra  a = b = c = 1  1 b 1 c 1  a 5 B 1. D I. O C. H 1. E. P. A. Q. a BA là đường cao của tam giác BPQ suy ra H thuộc BA. F.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Nối OE,  BEF vuông tại B; BA  EF nên AB2 = AE. AF AE AB AE AB AE AB      1 1 AB AF OA AQ AB AF  2 2     Vậy  AEO   ABQ(c.g.c). Suy ra ABQ  AEO mà ABQ P1 (góc có   các cạnh tương ứng vuông góc) nên AEO P1 , mà hai góc đồng vị => PH // OE. Trong  AEO có PE = PA (giả thiết); PH// OE suy ra H là trung điểm của OA. AB.PQ R.PQ R( AP  AQ) 2 Ta có R R  ( AE+AF)  .2 AE+AF R AB 2 R 4 R 2 2R 2 2 2 S BPQ . b. S BPQ 2R 2  AE = AF   BEF vuông cân tại B.   BCD vuông cân tại B  AB  CD.. Vậy SBPQ đạt giá trị nhỏ nhất là 2R2 khi AB  CD Ta có  ACB và  ADB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên ACB ADB 900 => ADBC là hình chữ nhật. Ta có: CD2 = AB2 = AE. AF => CD4 = AB4 = AE2. AF2 c. = (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF  AB3 = CE.DF.EF. Vậy CD3 = CE.DF.EF Ta có: BE 2 EA.EF AE BE 4 AE 2 CE.BE      BF 2 FA.EF AF BF 4 AF 2 DF .BF . BE 3 CE  BF 3 DF.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> B S J M. N O 1 2. E K. F.  . Gọi O là tâm đường Tứ giác BMKN là hình vuông nên BK là phân giác của B tròn nội tiếp  BEF thì O phải nằm trên BK. Kẻ OJ  BE và OS  BF. KN BK 2  2 2   1  2 2 Vì OS // KN nên OS BO BK BO  OK OK OK 2 1  1     BO OB OB 2 2 vì BO. d. OK KF   nên OB BF Mặt khác FO là phân giác F 1 KF Suy ra BF = 2 => BF = KF. 2 => BF2 = 2KF2 Lí luận tương tự ta có BE = EK. 2  BE2 = 2EK2 Vậy EF2 = BE2 + BF2 = 2 (KF2 + KE2)  (EK+KF)2 = 2(KF2 + EK2)  EK2 +2EK.KF + KF2 = 2KF2 + 2EK2  KF2 – 2EK.KF + KE2 = 0  (KF – KE)2 = 0  KF = KE. 0  0   Vậy  BEF vuông cân tại B nên EBF 90 , BEF BFE 45.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>