Tải bản đầy đủ (.docx) (4 trang)

DANG TOAN DAY TRUY HOI

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.65 KB, 4 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span>DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI (Phibonacci) Bài 1:. Cho dãy số: u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …) a) Tính u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của un với u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …) c) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị của u22 ; u23 ; u24 ; u25 Bài 2: cho dãy số u0 = 2 ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, 3 …) a) Lập một quy trình tính un+1 b) Tính u2, u3, u4 , u5, u6 c) Tìm công thức tổng quát của un Bài 3: Cho dãy số u0 = 2 ; u1 = 3 ; un+1 = un2 + un-12 a) Lập quy trình tính un b) Tính u2 , u3, u4 , u5. Bài 4: Cho dãy số sắp thứ tự u1 , u2 , u3 , …, un, un + 1…. Biết u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3 và un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3 a) Tính u4 , u5 ; u6 ; u7. b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với n 4 c) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị của u22 , u25 ; u28 ; u30 n 3 −√5 ¿ ¿ Bài 5: Cho dãy số: Un = 3+ √ 5 ¿n − ¿ ¿ ¿ a) Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy số. b) Chứng minh: Un + 2 = 6Un + 1 – 4Un Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio n n 5+ √ 2 5 −√2 + −3 Với n = 1; 2; 3; …. Bài 6: Cho dãy số : Un = 2 2 a) Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy. b) Lập công thức truy hồi để tính Un + 2 theo Un và Un + 1 Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + 2 trên máy casio Bài 7: Cho dãy số u1 = 8 ; u2 = 13 , un+1 = un + un-1 (n = 2; 3; 4 …) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un+1 với mọi n 2 b) Sử dụng quy trình trên tính giá trị u13 ; u17 2 − √ 3 ¿n ¿ Bài 8: Cho dãy số un = 2+ √ 3¿ n − ¿ n = 0; 1; 2; 3 … ¿ ¿ a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy số này. b) Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un c) Lập một quy trình tính un trên máy casio d) Tìm tất cả các số tự nhiên n để un chia hết cho 3 n n 3+ √ 5 3 − √5 + −2 n = 0; 1; 2; 3 … Bài 9: Cho dãy số un = 2 2 a) Tính 5 số hạng đầu tiên b) Lập một công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un-1 c) Lập một quy trình tính un+1 trên máy casio d) Chứng minh rằng un = 5m2 khi n chẳn và un = m2 khi n lẻ Bài 10: cho un với u1 = 0 ; u2 = 14 ; u3 = -18 và un+1 = 7un-1 – 6un-2 với n = 3; 4 … a) Lập công thức tính un và tính u4; u5 ; u6 … u20. (. (. )(. )(. ). ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b) Lập và chứng minh công thức tổng quát của un c) Chứng minh với mọi số nguyên tố p thì up chia hết cho p n 5 −√7 ¿ ¿ Bài 11: Cho dãy số: un = 5+ √ 7 ¿n −¿ (1) ¿ ¿ a) Lập công thức truy hồi. b) Lập quy trình tính trên máy casio để tính un và tính u1; u2 ; u3 … u10 n n 3+ √ 5 3 − √5 + Bài 12: Cho dãy số un = 2 2 a) Lập công thức truy hồi. b) Lập công thức tính trên máy casio để tính un và tính u0 đến u4 Bài 13: Cho u1 = 1 ; u2 = 2 và dãy số được xác định Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - 1 Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1 a) Lập quy trình tính trên máy casio để tính u12, u13 , S12 ; S13 (S12 bằng tổng các số hạng của dãy ứng n = 12) b) Tính u12 ; u13 và tính tổng S12 ; S13. (. )(. ). Chú ý1: Dãy số un = aun-1 + bun-2 (1) gọi là công thức truy hồi để tính un. Dãy số : un = c1u1n + c2u2n (2) gọi là công thức tổng quát để tính của un Công thức (1) và (2) cùng biểu diễn để tính giá trị của un và có quan hệ với nhau. Ở công thức (2) u1 và u2 là nghiệm của phương trình: u2 = au + b hay u2 – au – b = 0 Do vậy nếu biết được công thức truy hồi ta tìm được công thức tổng quát và ngược lại. HƯỚNG DẪN Ví dụ1: (Bài 2) cho dãy số u0 = 2 ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, 3 …) Tìm công thức tổng quát của un Giải: Công thức tổng quát có dạng: un = c1x1n + c2x2n Trong dó x1 và x2 là nghiệm của phương trình: x2 – 10x + 1 = 0 (*) Giải pt (*) có x1 = 5+2 √6 ; x2 = 5 - 2 √ 6 ⇒ un = c1( 5+2 √ 6 )n + c2(5 - 2 √ 6 )n do u0 = 2 ; u1 = 10 nên ta có: ¿ c 1+ c2 =2 ⇔ c1 = c2 = 1 (5+2 √ 6) c 1 +(5 − 2 √ 6)c 2=10 ¿{ ¿ Vậy công thức tổng quát: un = ( 5+2 √ 6 )n + (5 - 2 √ 6 )n Ví dụ 2: (Bài 8) 2 − √ 3 ¿n ¿ Cho dãy số : Un = 2+ √ 3¿ n − ¿ Với n = 0; 1; 2; 3; …. ¿ ¿ Lập công thức truy hồi để tính Un + 2 theo Un và Un + 1 Giải: Cách 1: Ta biểu diễn Un dưới dạng tổng quát un = c1u1n + c2u2n như sau:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 − √ 3 ¿n 1 2+ √ 3¿ n − ¿ 1 1 ⇒ c1 = Un = ; c2 = ; u1 = 2+ √ 3 ;u2 = 2- √ 3 2 √3 2 √3 2 √3 1 ¿ 2 √3 Trong đó u1; u2 là nghiệm của pt: (u – 2- √ 3 )(u – 2+ √ 3 ) = 0 Hay: u2 – 4u + 1 = 0 ⇔ u2 = 4u – 1 Vậy công thức truy hồi: un+2 = 4un + 1 - un với u1 = 1 ; u2 = 4 Cách 2: Đặt a = 2 + √ 3 ; b = 2 - √ 3 Ta có: un = an / 2 √ 3 - bn / 2 √ 3 ; un + 2 = an(2 + √ 3 )2 /2 √ 3 – bn(2 - √ 3 )2 / 2 √ 3 = an(4 + 4 √ 3 + 3) / 2 √ 3 - bn(4 - 4 √ 3 + 3) /2 √ 3 = an (8 + 4 √ 3 - 1)/2 √ 3 - bn (8 - 4 √ 3 - 1) / 2 √ 3 = 4an(2 + √ 3 ) / 2 √ 3 - 4bn(2 - √ 3 ) / 2 √ 3 - (an /2 √ 3 - bn/2 √ 3 ) = 4 un+1 - un Vậy ta có công thức truy hồi: un+2 = 4un + 1 - un Chú ý 2: Để lập quy trình tính trên máy casio f x 570 MS có nhiều quy trình ta nên sử dụng theo quy trình sau là ngắn gọn nhất: Ví dụ 1: Cho dãy số: u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị của un với u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …) Giải: 2 /shift / sto A (gán u1 vào A) 20 /shift / sto B (gán u2 vào B) Alpha /A / Alpha / = /2 /Alpha /B / + / Alpha / A / Alpha / : Alpha /B / Alpha / = /2 /Alpha /A / + / Alpha / B / Alpha / = (được u3) Lặp lại dấu “ =” ta được các số hạng tiếp theo …. Ví dụ 2: Cho dãy số un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3 Biết u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3 Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với n 4 1 /shift / sto A (gán u1 vào A) 2 /shift / sto B (gán u2 vào B) 3 /shift / sto C (gán u3 vào C) Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / 2 / Alpha / B / + / 3 /Alpha /A / Alpha /: Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / 2 / Alpha / C / + / 3 /Alpha /B / Alpha /: Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / 2 / Alpha / A / + / 3 /Alpha /C / Alpha / = (u4) Lặp lại dấu “ =” ta được các số hạng tiếp theo …. Ví dụ 3: Cho u1 = 1 ; u2 = 2 và dãy số được xác định Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - 1 Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1 a)Lập quy trình tính trên máy casio để tính u12 ; u13 ; S12 ; S13 (S12 bằng tổng các số hạng của dãy ứng n = 12) b) Tính u12 ; u13 và tính tổng S12 ; S13 Giải : Thiết lập quy trình tính trên máy như sau. Gán u1 = 1 vào A (lẻ) ( 1 /shift / sto/ A ) u2 = 2 vào B (chẳn) (2 /shift / sto/ B) S2 = 3 vào C (3 /shift / sto /C) Nhập: A = 5B + 3A : (u3) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/) C = C + A : (S3) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/) B = 3A + 5B - 1: (u4) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> C=C+B (S4) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/… Ấn liên tiếp các dấu bằng: Lần 1 “=” (được u3) Lần 2 “=” (được S3) Lần 3 “=” (được u4) Lần 4 “=” (được S4) Lặp lại dấu “=” cứ thế ta tìm được dãy số theo chu kì: (u 3, S3, u4, S4) ; (u5, S5, u6, S6) (u7, S7, u8, S8) …. Như vậy ta dễ dàng giải quyết được bài toán: u12 =11980248 ; S12 =15786430 ; u13 =69198729 ; S13 =84985159.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×