Cac bai Luyen tap

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Báo cáo chuyên đề tháng 1 Ngày: 17/ 01/2017 Giáo viên báo cáo: Trần Đình Phú CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT SỐ DẠNG BIỂU THỨC ÁP DỤNG VÀO BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 A. Các kiến thức thường sử dụng: a b  ab + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 2 ;. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”..  ac  bd  + Bất đẳng thức:. +. 2.  a 2  b 2   c 2  d 2 . (BĐT: Bunhiacopxki);. a b  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi c d . a  b a b. ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab. 0.. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 2. Nếu y a   f ( x) thì min y = a khi f(x) = 0. Nếu. y a   f ( x ). 2. thì max y = a khi f(x) = 0.. + Phương pháp “tìm miền giá trị” B. Các dạng toán và cách giải:  Dạng 1: Các bài toán mà biểu thức là một đa thức. Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: a) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) 2 2 b) C x  2 x  y  4 y  7. Giải: a) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36  -36  Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. 2 2 b) C x  2 x  y  4 y  7. = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2  2  Min C = 2 khi x = 1; y = 2.  Max A = 21 khi x = -4..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài toán 2: Tìm GTNN của các biểu thức a). M x 1  x 2  x 3  x 4. b). N  2 x  1  3 2 x  1  2. 2. Giải: a). M x 1  x 2  x 3  x 4. Ta có:. x  1  x  4  x  1  4  x  x  1  4  x 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)  0 hay 1  x 4 x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x 1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)  0 hay 2 x 3 Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3 . 2. 2. b) N  2 x  1  3 2 x  1  2  2 x  1  3 2 x  1  2 Đặt. t  2x  1. thì t  0. 1 1  N  4 4. Do đó N = t – 3t + 2 = 3 3 t  0  t  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 3  2x  1   3 3 2  t   2x  1    3 2 2  1 2 x  1  N   2 4 khi Do đó (t  32 ) 2 . 2. Vậy min. N . 5   x 4   x  1  4. 1 5 1  x x  4 4 hay 4.. Bài toán 3: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3. Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y 2 x2 y2 1 2 y   x     xy   ( x  y2 )     2 2 2 2 2 2  2 1  M  ( x2  y 2 ) 2. 2. Ngoài ra: x + y = 1  x2 + y2 + 2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1 => 2(x2 + y2) ≥ 1 1 1 1 x2  y 2   x  y  2 và 2 2 Do đó 1 1 1 1 1 M  (x2  y 2 ) ( x2  y 2 )   M  .  2 2 2 2 4 Ta có: và x2  y2 .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1  x y  4 và dấu “=” xảy ra 2 Do đó 1 1 M   x y  4 2 Vậy GTNN của M. Bài toán 4: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2. Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0  [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0  x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0  x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0  x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2  (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2. Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2 Suy ra:. t2 – 3t + 1 ≤ 0. 3 9 5  t 2  2. .t   0 2 4 4 2. 5 3 5  3  t     t   4 2 2  2 5 3 5 t   2 2 2 3 5 3 5  t  2 2 . Vì t = x2 + y2 nên : 3 5 GTLN của x2 + y2 = 2 3 5 2 2 GTNN của x + y = 2. Bài toán 5: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca. Giải: Ta có:. P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 a, b, c 1 ) Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0 Vậy GTNN của P = 0 Theo giả thiết ta có: 1 – a  0; 1 – b  0; 1 – c  0;  (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc  0  P = a + b + c – ab – bc – ac 1  abc 1  0;1 Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý  . Vậy GTLN của P = 1. Bài toán 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x + y. Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2  (x + y)2  2(x2 + y2)  (x + y)2. Mà. x2 + y2 = 1  (x + y)2  2  x  y  2   2 x  y  2. - Xét x  y  2  x  y 2   x y  2 Dấu “=” xảy ra  x  y  2. - Xét x  y  2  2  x  y   x y  2 Dấu “=” xảy ra  x  y  2  2  x y  2 . Vậy x + y đạt GTNN là  2. Bài toán 7: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2  27. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2  0  2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx  0  (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx)  3(x2 + y2 + z2)  81  x + y + z  9 (1). Mà xy + yz + zx  x2 + y2 + z2  27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx  36..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 A2  B ( A 1) 2 B  1 B 1  P A     2 2 2 2 B 1  2  -14  P  -14 Vì B  27   x  y  z  1  2 2 2 Vậy min P = -14 khi  x  y  z 27. Hay x  13; y  13; z  1 . Bài toán 8: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1 Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101. Do đó:. = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45  P 45 và dấu “=” xảy ra  x + y =. 10 và xy = 2.. Vậy GTNN của P = 45  x + y = 10 và xy = 2.  Dạng 2: Các bài toán mà biểu thức là một phân thức. Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của:. y. 4x  3 x2 1 .. Giải: * Cách 1: y. 4x  3  ax 2  4 x  3  a  a  x2 1 x2 1. 2 Ta cần tìm a để  ax  4 x  3  a là bình phương của nhị thức..  a  1  ' 4  a(3  a ) 0    a 4 Ta phải có:. - Với a = -1 ta có: y. 4x  3 x2  4x  4 ( x  2) 2  1   1  x 1 x 2 1 x2 1.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  y  1. Dấu “=” xảy ra khi x = -2.. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. - Với a = 4 ta có: 4x  3 -4x 2  4 x  1 (2 x  1) 2 y 4  4  4 x 1 x2 1 x2 1 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 2 . 1 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 2 .. * Cách 2: Vì x2 + 1 0 nên:. y. 4x  3  yx 2  4 x  y  3 0 2 x 1 (1). y là một giá trị của hàm số  (1) có nghiệm - Nếu y = 0 thì (1).  x . 3 4. - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm.   ' 4  y ( y  3) 0  ( y  1)( y  4) 0  y  1 0  y  1 0    y  4 0 hoặc  y  4 0   1  y 4. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. 1 Vậy GTLN của y = 4 khi x = 2 .. Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của:. A. x 2  x 1 x2  x 1 .. Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: a. x 2  x 1 x 2  x  1 (1) 2. 1 3  1 3 1   x    0 Do x2 + x + 1 = x2 + 2. 2 .x + 4 4  2  4. Nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x + 1  (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)  Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.  Trường hợp 2: Nếu a  1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là  0 , tức là:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> (a  1) 2  4(a  1)(a  1) 0  (a 1  2a  2)( a  1  2 a  2) 0 1  (3a  1)(a  3) 0  a 3( a 1) 3  (a  1) a 1 1 x  a 2(a  1) 2(1  a ) 3 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là Với 1 a 3 thì x = 1 Với. Với a = 3 thì x = -1 Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: A. GTNN của. 1 3 khi và chỉ khi x = 1. GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1 Bài toán 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: A ( a  b  1)( a 2  b 2 ) . 4 a b .. Giải: Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 a 2  b 2 2 a 2b 2 2ab 2 (vì ab = 1) 4 4 4  A (a  b  1)(a 2  b 2 )  2(a  b  1)  2  (a  b  )  ( a  b) a b a b a b 4 Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và a  b . 4 4 2 (a  b). 4 a b Ta có: (a + b) + a  b. Mặt khác: a  b 2 ab 2 Suy ra:. A 2  ( a  b . 4 )  ( a  b) 2  4  2 8 a b. Với a = b = 1 thì A = 8 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: A. x2  y2 x y .. Giải: 2. Ta có thể viết:. A. 2. 2. 2. x y x  2 xy  y  2 xy ( x  y ) 2  2 xy   x y x y x y.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ( x  y ) 2  2 xy 2 x y 2 x y A x  y     x y x y 2 x y 2 Do x > y và xy = 1 nên:. Vì x > y  x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: x y 2 x y .  2 x y 2 x y 2    ( x  y ) 2 4  ( x  y ) 2 2 x y Dấu “=” xảy ra (Do x – y > 0) A 2.. Từ đó:. A 2 . 2 3 2  x  y 2   xy 1. Vậy GTNN của A là 3.  x 1  2  x 1  2    y  1  2 hay  y  1  2 Thỏa điều kiện xy = 1 1 y 2 x  x 1 . Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số:. Giải: y. Ta có thể viết:. 1 1  2 x  x 1  1 3 x     2 4  2. 2. 1 3 3  4 1 y  x  x    3 . Dấu “=” xảy ra 2. Vì  2  4 4 . Do đó ta có: 4 1 y x 3 tại 2 Vậy: GTLN của 1 f (t ) t  4t . Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức:. Giải: 2. Ta có thể viết:. f (t ) t . 1 4t  1 (2t  1) 2  4t (2t  1) 2    1 4t 4t 4t 4t. Vì t > 0 nên ta có: f (t ) 1  2t  1 0  t . Dấu “=” xảy ra. Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại. t. 1 2. 1 2.. Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức:. g (t ) . t2  1 t 2 1 .. Giải: 2. Ta có thể viết:. g (t ) . t 1 2 1  2 2 t 1 t 1.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2 g(t) đạt GTNN khi biểu thức t  1 đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN 2. Ta có: t2 + 1  1  min (t2 + 1) = 1 tại t = 0  min g(t) = 1 – 2 = -1 Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0. Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của E. biểu thức:. 1 1 1  3  3 x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y) . 3. Giải: 1 1 1 1 a  ; b  ; c   abc  1 x y z xyz Đặt 1 1  a  b  x  y (a  b).xy  x  y c (a  b) Do đó: x y. Tương tự:. y + z = a(b + c) z + x = b(c + a).  E. 1 1 1 1 1 1 .  3.  3. 3 x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y ). 1 1 1 a2 b2 c2 3 3 a . b . c .    a(b  c) b( c  a ) c ( a  b) b  c c  a a  b a b c 3    Ta có: b  c c  a a  b 2 (1) 3. Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z x yz 2 yz x zx y x y z  a ;b  ;c  2 2 2 a b c yz x zx y x y z VT       b c c  a a b 2x 2y 2z  a b c . Khi đó,. 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3              1  1  1   2 x y 2 x z  2 y z  2 2 2. Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có: a ( a  b  c ) b( a  b  c ) c ( a  b  c ) 3    (a  b  c) bc ca a b 2 2 2 2 3 a b c a  b  c 3 abc 3 3        E b c c  a a b 2 2 2 2 3  GTNN của E là 2 khi a = b = c = 1.. Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1. (*)..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:. a. 2x  3y 2x  y  2 .. Giải: 2x  3y a 2x  y  2 Từ.  a(2x+y+z) = 2x+3y  2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0  2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] =>. 4a 2 ( a  1) 2  (a  3) 2 (vì 4x2+y2 = 1). 2 2 2 2 2 Do đó ta có: 4a (a  1)  (a  3) a  2a  1  a  6a  9.  2a 2  8a  10 0  a 2  4a  5 0 a  5 0  (a  1)(a  5) 0   a  1 0 (Vì a + 5 > a – 1)  1 a 5. * Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2  y = 1 Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0  (x; y) = (0;1) * Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)   12 x  8 y 10  6 x  4 y  5  y .  6x  5 4. 2.   6x  5  4x    1  4  2. Thay vào (*) ta được:.  100 x 2  60 x  9 0  x . 3 4  ( x; y )   3 ;  4   y     10 5  10 5. Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1. x . GTNN của a là -5 khi. 3 4 ; y  10 5.. Bài toán 10: Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức: 2. 1  1   x    y   y M =  x . 2. Giải: 2. 1  1   x    y   y Ta có: M =  x  . 2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> =. x2 . 1 1  2  y2  2  2 2 x y.  x2  y 2 1  4   x 2  y 2   1  2 2  2 2 x y   = 4 + x 2 + y2 + x y. Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:. . x. y. . 2. 0  x  y 2 xy. 1 1 2  2 2 16 x y xy Mà x + y = 1 nên 1 (1) 1 x y  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 xy . Ngoài ra ta cũng có: ( x  y ) 2 0  x 2  y 2 2 xy  2( x 2  y 2 ) 2 xy  x 2  y 2  2( x 2  y 2 ) ( x  y )2  2( x 2  y 2 ) 1 (vì x + y = 1) 1  x2  y2  2 (2) 1 x y  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. Từ (1) và (2) cho ta: M 4  ( x 2  y 2 )(1 . Do đó:. M. 1 1 25 ) 4  (1 16)  2 x y 2 2 2. 25 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi x y . 1 2. Vậy GTNN của. M. 25 1 x y  2 khi và chỉ khi 2.. C. Một số bài tập tự luyện: Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2 Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4 Bài toán 2: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y. Bài tóan 3: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức: x y  2 2 4 A= x y x y 4.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài toán 4:Tìm GTNN của biểu thức sau: x2 1 a) A = x  2 8 2 b) B = 3x  2 x2  1 2 c) C = x  1. Với x 0 Với mọi x Với mọi x.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>