De HSG Toan 820162017 90

<span class='text_page_counter'>(1)</span>phßng gd & ®t tam d¬ng đề chính thức. §Ò thi chän häc sinh giái líp 8 n¨m häc 2008-2009 M«n thi: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút – Không kể thời gian giao đề. Bµi 1. §a thøc bËc 4 cã hÖ sè bËc cao nhÊt lµ 1 vµ tho¶ m·n f(1) = 5; f(2) =11; f(3) = 21. TÝnh f(-1) + f(5). Bµi 2. a)T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n sao cho : n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 lµ sè chÝnh ph¬ng. b)T×m nghiÖm nguyªn cña cña ph¬ng tr×nh x2+ xy+y2=x2y2 Bµi 3. Chøng minh r»ng : (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 > 0 víi mäi x Bµi 4. a) Cho tam gi¸c ABC gäi M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, AC. Gäi O,H,G lÇn lît là giao ba đờng trung trực, ba đờng cao, ba đờng trung tuyến của tam giác ABC. TÝnh tØ sè GH : GO b)Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 2a, CD= a, Hãy dựng điểm M trên đờng thẳng CD sao cho đờng thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau. Bµi 5. Cho x 0,y 0,z 0 vµ x+y+ z =1 Chøng minh r»ng xy+yz+zx-2xyz. . 7 27. ------------- Gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm --------------. Phßng GD-§T Tam D¬ng Híng dÉn chÊm chän Hoc sinh giái líp 8 : 2008-2009 M«n: To¸n C. C©u. §iÓm toµn bµi. 1. 2 ®iÓm. Néi dung. §iÓm thµnh phÇn. 0,5 NhËn xÐt: g(x) = 2x2 + 3 tho¶ m·n g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21. Q(x) = f(x) - g(x) lµ ®a thøc bËc 4 cã 3 nghiÖm x = 1,x = 2, x = 3. 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> VËy Q(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 3)(x - a); ta cã: f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + 3 = 29 + 24a. f(5) = Q(5) + 2.52 + 3 = 173 - 24a. => f(-1) + f(5) = 202 a) (0,75 ®iÓm) Gi¶ sö n4+ 2n3 + 2n2+ n +7= y2 ( y N) Ta cã y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7  y2 > (n2+ n)2. 0,5. n2  n. . y>. . n2  n y +1. V× ( y  N). 0,25. 2. n  n 1. y2   y2  (n2+ n +1)2 2 thay y = (n2+ n)2 + n2+ n +7  n2 + n -6 < 0 . 2. 3.  (n-2) (n+3). 1, 5 ®iÓm. 1,5 ®iÓm. 0,25. 0.  -3  n  2 Thö trùc tiÕp n = 2, n=-3 tháa m·n VËy sè nguyªn n cÇn t×m lµ n = 2;-3 b) (0,75 ®iÓm) Thªm xy vµo hai vÕ cña PT ta cã x2 + 2xy + y2 = x2y2 + xy  (x+y)2 = xy(xy+1) Ta thÊy xy vµ xy+1 lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph¬ng nªn tån t¹i mét sè b»ng 0 TH1 xy =0 => x2 + y2 = 0 => x=y = 0 TH2 xy+1 = 0 ta cã xy = -1 nªn (x,y) b»ng (1;-1) hoÆc (-1;1) Thử lại ba cặp số (0;0); (-1;1), (1;-1) đều là nghiệm của phơng trình đã cho Ta cã (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 = (x-1) (x-6) (x-3)(x-4) + 10 = (x2 - 7x+6)(x2 -7x +12) +10 = (x2 - 7x+ 9 -3)(x2 -7x + 9 +3) +10 = (x2 - 7x+ 9)2 -9 +10 = (x2 - 7x+ 9)2 + 1 > 0 víi mäi x 2. 0,25. 0,25 0,25 0,25. 0,25 0,5 0,25. 2. V× ( x  7 x  9) 0 víi mäi x Do đó (x2 - 7x+ 9)2 + 1 > 0 với mọi x (bài toán đợc chứng minh) Ta cã OM//AH ( v× cïng vu«ng gãc víi BC) ON//BH ( v× cïng vu«ng gãc víi AC) NM//AB ( đờng trung bình của tam giác) XÐt  ABH vµ  MNO. 0,5.   Cã BAH  NMO ( gãc cã c¹nh t¬ng øng song song). 4. 3®iÓm. ABH MNO  ( gãc cã c¹nh t¬ng øng song song) =>  ABH   MNO ( gãc - gãc) NM OM 1   => BA AH 2 XÐt  AGH vµ  MOG   GAH GMO. Cã. ( So le trong). (1). 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> GM 1  GA 2 OM 1  AH 2. 0,5 ( TÝnh chÊt träng t©m) (2) 0,25 0,25. (Cmt) (3) Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra  AHG   MOG ( c-g-c) . . => AGH MGO (4) M¨t kh¸c A,G,M th¼ng hµng (5) GH AH  2 Tõ (4) vµ (5) => H,G,O th¼ng hµng vµ GO OM. b)Gọi h là đờng cao của hình thang ABCD Giả sử đã dựng đợc điểm M thuộc CD sao cho đờng thẳng AM cắt h×nh thang thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau. Gäi N lµ giao ®iÓm cña AM vµ BC. §¨t S1 = SADCN ; S2 = SANB;; S = SABCD  s1  s2 s  s1 s2 Ta cã  => S2 = S: 2 (1). Kẻ đờng cao NH của tam giác ANB và đặt NH= x ta có: 1 3ah  2a  a  h  2 2 1 s2  .2a.x ax 2. 0,5. 0,5 0,25. s. 0,25. 1 3ah 3h ax  .  x  2 2 4 Thay vµo (1) : NB 1  áp dụng định lí ta lét => NC 3 suy ra cách dựng:. Chia ®o¹n BC lµm 4 phÇn b»ng nhau, LÊy ®iÓm N trªn BC sao cho 1 NC  BC 4. Đờng thẳng AN cắt đờng thẳng CD tại điểm M cần dựng 3. áp dụng bất đẳng thức cô si ta có xyz MÆt kh¸c :. 5. 2 ®iÓm.  xyz  (x+y-z)(y+ z-x)(z+x-y)  xyz  (1-2z)(1-2x)(1-2y)  xyz  1- 2(x+y+z)+ 4 (xy+yz+zx)-8xyz  xyz  1- 2 + 4 (xy+yz+zx)-8xyz  1+ xyz  4 (xy+yz+zx)-8xyz  1+ . H×nh bµi 4a. . 1  x yz     3 27  . 1 27 . 7 27 . 4 (xy+yz+zx)-8xyz. xy+yz+zx-2xyz (§PCM) A. 0,5. 0,5. 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> H N G. O B. H×nh bµi 4b. C. M. D. a. C K. M N. x. A 2a H Ghi chú: HS giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm ( câu hoặc phần đó ). h. B.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>