De HSG Toan 820162017 59

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (399.57 KB, 47 trang )

(1)A - phÇn më ®Çu I- Lý do chọn đề tài 1- C¬ së khoa häc: Nh chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào c¸c m«n häc kh¸c nhÊt lµ c¸c m«n khoa häc tù nhiªn. H¬n n÷a to¸n häc cßn lµ c¬ së cña mäi ngµnh khoa häc kh¸c, chÝnh v× thÕ to¸n häc cã vai trß quan trọng trong nhà trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n. Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức kh«ng nh÷ng gióp häc sinh häc tèt bé m«n to¸n mµ cßn cã t¸c dông hç trî cho nhiÒu m«n häc kh¸c nh ho¸ häc, vËt lý, tin häc. §Æc biÖt viÖc ph¸t triÓn t duy sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi gi¸o viªn to¸n hiÖn nay lµ gióp häc sinh häc tèt bé m«n to¸n nãi chung v à BÊt đẳng thức nói riêng. Trong qu¸ tr×nh d¹y to¸n ë THCS, qua kinh nghiÖm gi¶ng d¹y vµ t×m tßi tài liệu nhóm chúng em đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức mµ chóng em thiÕt nghÜ mçi gi¸o viªn to¸n cÇn trang bÞ cho häc sinh cã nh vậy học sinh mới giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán häc, t¹o ®iÒu kiÖn cho viÖc häc to¸n ë THCS vµ häc c¸c m«n häc kh¸c. 2- C¬ së thùc tiÔn: Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp giải toán Bất đẳng thức nh thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất đẳng thức. Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT..

(2) Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung kho kiÕn thøc cho hä. Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học sinh cã tinh thÇn tù tin trong häc tËp bé m«n to¸n. II - Mục đích nghiên cứu: Gãp phÇn quan träng trong viÖc gi¶ng d¹y to¸n häc nãi chung vµ BÊt đẳng thức nói riêng. Đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào líp 10 THPH chuyªn. Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy đợc tính tích cực, chủ động s¸ng t¹o cña häc sinh trong qu¸ tr×nh häc tËp. III - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: - Nhãm chia mçi ph¬ng ph¸p cho mét häc viªn nghiªn cøu vµ qua thùc nghiÖm, rót ra bµi häc kinh nghiÖm cña tõng ph¬ng ph¸p. - Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức. - Th«ng qua néi dung ph¬ng ph¸p vµ c¸c bµi tËp mÉu nh»m cñng cè Lý thuyÕt vµ ph¸t triÓn trÝ tuÖ cho häc sinh. - Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị. IV - Ph¹m vi nghiªn cøu vµ sö dông: - Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS. - Båi dìng cho gi¸o viªn vµ häc sinh THCS. B - Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức I - §Þnh nghÜa: Cho hai sè: a, b ta nãi sè a lín h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a > b nÕu a - b > 0 sè a nhá h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a b ⇔ b < a 2) a < b, b < c ⇒ a < c (tÝnh chÊt b¾c cÇu) 3) a (3) 5) a < b, c > d ⇒ a - c 0 a . m> b. m , m< 0 ¿{. 7) Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d ⇒ a.c<b.d 8) a> b >0 ⇒ an> b n; 0>a>b ⇒ an+1>b2n+1 vµ an<b2n 9) so s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè: m>n>0; a>1 ⇒ am > an; am < an víi 0 < a <1 10) Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng thức đổi chiều: a. b ⇒. 1 1 ≥ a b. Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc. III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ: 1) A 2k 0 víi mäi A, DÊu"=" x¶y ra khi A=0 2) | A|≥ 0, ∀ A DÊu "=" x¶y ra khi A=0. 3) −| A|≤ A ≤|A| 4) | A+ B|≤|A|+|B| DÊu "=" x¶y ra khi A.B 0 5) | A − B|≥|A|−|B| DÊu "=" x¶y ra khi A.B 0 vµ | A|≥|B| Chó ý: - Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang tÝnh tæng qu¸t h¬n nªn khi gi¶i bµi tËp cÇn chó ý. - Khi chứng minh song Bất đẳng thức a b ta phải xét trờng hợp Dấu “=” xảy ra khi nµo. c- các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức I -Phơng pháp 1: phơng pháp dùng định nghĩa: (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn M¹nh Hëng) 1-Néi dung ph¬ng ph¸p: Để chứng minh Bất đẳng thức A>B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0.

(4) 2- KiÕn thøc cÇn vËn dông - Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B)2=A+2AB+B2 n. n. n. Ai ¿2=∑ Ai 2+ 2 ∑ Ai . Aj ; i< j - Tæng qu¸t: ∑ i=1 i=1 i , j=1 .,2 ¿. Các kỹ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài: 3-Bµi tËp ¸p dông Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a2+b2 Gi¶i. ab. XÐt hiÖu: a2+b2- ab = (a2+ 1 b2- 2. 1 ab)+. 3 2 b =( a4. đúng với mọi a, b vì ( a- 1 b)2. 0 DÊu "=" x¶y ra khi (a- 1. 4. 2. 2. 0;. 3 2 b 4. 1 b)2+ 3 b2 2 4 2. b)2= 3 b2=0 suy ra a = b = 0 4. Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh. Chøng minh t¬ng tù cho Bµi a2+b2 ab Ta cã thÓ chøng minh cho Bµi to¸n tæng qu¸t: (an)2+(bn)2 Bµi 2 - Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0<a. b. |a n . bn|. c chøng minh r»ng:. a b c b a c + + ≥ + + b c a a c b. Gi¶i XÐt hiÖu: a + b + c − b − a − c = 1 ( a2 c +ab 2+ bc 2 − b2 c − ba 2 − ac2 ) b c a. ¿. a. c. b abc. 1 2 2 2 2 2 2 [(a c −b c )+(b a − a b)+(c b− ac )] abc. =. 1 [c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c2(a-b)]= abc. 1 (a-b)[c(a+b)-ab-c2] abc. =. 1 (a-b)(b-c)(c-a) abc. b. 0 (do 0<a. DÊu "=" x¶y ra khi a=b hoÆc b=c hoÆc a=c Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.. c). 0.

(5) Bµi 3: Cho a. b. c vµ x. y. z h·y chøng minh r»ng:. a+b x+ y ax+ by . ≤ 2 2 2. Gi¶i XÐt hiÖu: a+b . x+ y − ax + by = 1 (ax+ay+by+bx-2ax-2by) 2. 2. 2. 4. = 1 [(ay-ax)+(bx-by)]= 1 (x-y)(b-a) 4. 4. 0 ( do x. y vµ a. b). DÊu "=" x¶y ra khi x=y hoÆc a=b Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức: a+b+ c x+ y+ z ax + by+ cz . ≤ 3 3 3. Bạn đọc có thể tổng quát bài toán. Bµi 4: Cho a, b, c, d ,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d +e) Gi¶i XÐt hiÖu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae = 1 ( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae) 4. = 1 [(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)]. 4 1 = [(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] 4. Do (a+2b)2 0 vµ (a+2c)2 0 vµ (a+2d)2 DÊu "=" x¶y ra khi b = c = d = e = a 2 Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh. Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.. 0 0 vµ (a+2e )2. Bµi 5: Tæng qu¸t bµi 4 Cho ai i=1,2,..,n lµ c¸c sæ thùc. chøng minh r»ng: n. n. ∑ ai ≥ √n2−1 a1 ∑ ai i=1 i=2 2. Chøng minh t¬ng tù bµi 4 4- Bµi tËp ¸p dông:. 0.

(6) Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau: 1/ 4.x2+y 2 4xy 2/ x2+y2 +1 xy +x+y 3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7) 4(x11+y11) 4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995) (x+y+z):3 5/ (a3+b3+c3) (a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >0 6/ Cho c¸c sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng: a/. abc ¿3 ¿ ¿ a8 +b 8+ c 8 ¿. 3 3 3 3 3 3 b/ a b + b c + c a + a c + b a + c b ≥6 abc. c. a. b. b. c. a. II - Phơng pháp 2: Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng: (Ngời thực hiện: Đào Trung Tuyến) 1) Néi dung ph¬ng ph¸p: Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài. 2) KiÕn thøc c¬ b¶n: Các tính chất của Bất đẳng thức. Các Bất đẳng thức thờng dùng. Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức. C¸c H§ thøc 3- Bµi tËp mÉu Bµi 1: Chøng minh r»ng: x2+2y2+2z2 2xy +2yz+2z-1 (*) Gi¶i (*) ⇔ x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 0 ⇔ (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1) ⇔ (x-y)2+(y-z)2+(z-1)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z DÊu "=" x¶y ra khi x=y=z=1 Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh. Bài 2: Chứng minh Bất đẳng thức: (a10+b10) (a2+b2) (a8+b8) (a4+b4).

(7) Gi¶i (a10+b10) (a2+b2) (a8+b8) (a4+b4) ⇔ (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4) 0 ⇔ a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 -a8 b4- a4 b8-b12 ( a10 b2-a8 b4) +( a2 b10- a4 b8 0 ⇔ a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) 0 ⇔ 0 ⇔ a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) 0 đúng với mọi a, b ⇔ a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) DÊu "=" x¶y ra khi a2=b2 ⇔ a=b hoÆc a=-b vµ a=0 hoÆc b=0 Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh. *NhËn xÐt: Tõ kÕt qña bµi to¸n trªn ta cã bµi to¸n t¬ng tù: Cho 0 a b Chứng minh Bất đẳng thức: (a5+b5) (a+b) (a2+b2) (a4+b4) Bài 3: Chứng minh các Bất đẳng thức (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 a) Cho a c 0 vµ b c chøng minh √ ab √ c (a − c) + √ c (b −c ) Gi¶i a) NhËn xÐt: Ta thÊy 3+4=1+6 nªn ta nh©n (x-1)( x-6) vµ (x-3)(x-4 ) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6). - 9  (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9.  (x2-7x +6)(x2-7x+12)+9. 0  (x2-7x +6)(x2-7x+6+6)+9. 0 0.  (x2-7x +6)2+6(x2-7x+6) +9 0  (x2-7x +9)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x => (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 DÊu "=" x¶y ra khi x2-7x +9 =0  x=. √ ab ( √ c (a − c) + √ c (b −c ) )2. b ) √ c (a − c) + √ c (b −c ) √ ab )2  c(a-c)+c(b-c) +2 √ c (a − c)  c2 +2c √(a − c) ( c- √ (a − c). 7 ± √ 13 2. √ c (b −c ). √(b − c) +(a-c)(b-c). √(b − c) )2. 0. ab 0. (. 0.

(8) Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của đề bài vậy √ c (a − c) + √ c (b −c ) Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức: 3 + 3 + 3 ab cb ac. 4(. √ ab víi a. c. 0 vµ b. c. 1 + 1 + 1 )2. biÕt a,b,c >0 a+b c+ b a+c. Gi¶i 1 + 1 + 1 ab cb ac. Ta cã. = (a+ b+c ) . Do a, b, c >0 vµ (a+b)(b+c)(c+a) abc. 8abc 8 .( a+b+ c) (a+ b)(b+c )(c +a). => 1 + 1 + 1 ab. cb. ac. 4(a+b)+ 4( b+c)+ 4( c+ a) ( a+b)(b+ c)(c+ a). 1 + 1 + 1 ab cb ac 1. 1. Hay. 8. 1. 8. 8.  2( ab + cb + ac ) + (a+ b)(a+c ) + (a+ b)(b+c ) (a+ c)(b+ c) (1) Trong (1) DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c. 4 (c +b). 1 cb. suy ra. 1 ab. 1 cb. +. 1 ac. vµ +. 4 (a+ b). 1 ab. 4ab ⇒. MÆt kh¸c ta cã (a+b)2. t¬ng tù ta cã. 4 (a+ c). 1 ac. 4 (a+ b). 4 (c +b). +. +. 4 (a+ c). (2). Trong (2) DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c 3 + 3 + 3 ab cb ac. Tõ (1) vµ (2) Ta cã. 4(. 1 + 1 + 1 )2 a+b c+ b a+c. DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây lµ mét vÝ dô n÷a kiÓu nh vËy. Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau: 1 3 a +b +1 3. Do 0. +. 1 1 + 3 3 3 c +b +1 a +c +1 3. a. b. 1. Gi¶i c => (a-b)2(a+b). 0 DÊu "=" x¶y ra khi a=b.

(9)  (a-b)(a+b)(a-b)  (a2-b2)(a-b)  a3 +b3 +1. 0  a3-a 2b-ab2+b3. 1 a +b3 +1. suy ra. 1 c +b 3 +1. a (a+ b+c ). 3. 1 a +c 3 +1 3. 1. (do abc= 1 => ab =c ). c (a+ b+c ). 3. T¬ng tù ta cã. a 2b+ab2. (a+b+c)ab. 1 c = ab(a+b+ c) (a+ b+c ). 3. vµ. 0  a3 +b3. a 2b+ab2+abc  a3 +b3 +1. 1 a +b3 +1. . 0. b (a+ b+c ). DÊu "=" x¶y ra khi b=c. DÊu "=" x¶y ra khi a=c. Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: 1 a +b3 +1 3. +. 1 1 + 3 3 3 c +b +1 a +c +1. 1. 3. DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c =1 4 - Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: Cho 0 x,y,z 1 chøng minh: A) 0 x+y+z -xy-yz-zx 1 B) x2+y2+z2 1+x 2 y +y2 z +z2 x C). x + y + z yz +1 xz +1 yx +1. 2. Bài 2: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, có chu vi bằng 2. Chứng minh r»ng: a2+b2+c2+2abc < 2 Bµi 3: Chøng minh víi mäi x, y > √ 2 ta cã: x4 - x 3y +x2 y2 -xy3 +y4 >x2+y2 Bµi 4: Cho a, b ,c lµ ba sè tuú ý thuéc ®o¹n [0,1]. Chøng minh: 1- a2+b2+c2 1+ a ❑2 b +b2 c +c2 a 2- 2(a3+b3+c3) -(a2 b+b2 c+c2 a) 3 3-. a + b +¿ bc+1 ac+1. c ba+1. 2. III - Ph¬ng ph¸p 3: Dïng tÝnh chÊt cña tØ sè (Ngêi thùc hiÖn: §µo Thuû Chung) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p:.

(10) Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở nªn rÊt nhanh vµ gän. 2- KiÕn thøc cÇn vËn dông: - Víi ba sè d¬ng a,b.c NÕu a. 1 Th×. a b. a+c b+c. DÊu "=" x¶y ra khi a=b. NÕu a. 1 Th×. a b. a+c b+c. DÊu "=" x¶y ra khi a=b. ⇒. a b. b b. a b. NÕu b, d >0 vµ. c d. a+ c b+d. c d. DÊu "=". x¶y ra khi ad=bc 3- Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Cho a,b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c: a + b + c <2 b+c a+c b+a. Chøng minh r»ng:1<. Gi¶i Do a, b, c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã: a, b, c >0 vµ a+b > c; b+c > a Vµ c+a >b. Tõ a+b > c. ⇒. c a+b. c a+b. ⇒. < 1. <. c+ c a+b+ c. =. 2c a+b+ c. ⇒. c < 2c a+b a+b+ c b < 2b a+c a+b+ c. Chøng minh t¬ng tù ta cã:. vµ. a < 2a c+ b a+b+ c. Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc a + b + c < 2a + 2b + 2c =2 b+c a+c b+a a+b+ c a+b+ c a+b+ c. - Ta cã. a + b + c b+c a+c b+a. >. a b c + + =1 Do a, b, a+b+ c a+b+ c a+b+ c. c d¬ng VËy 1<. a + b + c < 2 (®pcm) b+c a+c b+a. Nhận xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất: - Víi ba sè d¬ng a,b,c NÕu a b. 1 Th×. a b. a+c b+c. DÊu "=" x¶y ra khi a=b.

(11) a1 +a2 +. .. ..+ an b 1+ b2 +.. . .+ bn. Bµi 2: Chøng minh r»ng a1 , b1. trÞ lín nhÊt cña (. a2 , …, b2. N»m gi÷a gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gÝ. an ) ở đó bi là các số dơng i=1,2,..,n bn. Gi¶i a1 , b1. Gäi gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña (. a2 , …, b2. an ) thø tù lµ m bn. vµ M ai bi. Khi đó ta có m. M víi mäi i=1,2,…,n. mbi ai bi.M Do bi>0 víi mäi i=1,2,…,n Lần lợt cho i+ 1,2,..,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc: m( b1+b2+…+bn) < a1+a2+…+an < M( b1+b2+…+bn) ⇒. ⇔. m<. a1 +a2 +. .. ..+ an < M Do ( b1+b2+…+bn) >0 (®fcm) b 1+ b2 +.. . .+ bn. Bµi 3: Cho a>0 ,b>0 chøng minh r»ng: 1 ( a + b )< 2 a+1 b+1. a+ b < a + b a+b+1 a+1 b+1. Gi¶i Ta chøng minh 1 ( 2. Do a > 0 ta cã. a a+1. a + b )< a+1 b+1. <1 ⇒. a a+1. <. a+ b a+b+1 a+ b a+b+1. T¬ng tù ta cã:. b b+1. <. a+ b a+b+1. Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối ta đợc: (. a + b ) < 2 a+ b a+1 b+1 a+b+1. *) Ta chøng minh Do a, b d¬ng ta cã. ⇒. 1 ( a + b )< 2 a+1 b+1. a+ b a+b+1. (1). a+ b < a + b a+b+1 a+1 b+1 a a > a+1 a+b+1. của hai Bất đẳng thức này ta đợc:. vµ. b b+1. >. a a+b+1. a+ b < a + b a+b+1 a+1 b+1. Céng vÕ víi vÕ (2).

(12) Từ (1) Và ( 2) Ta đợc: 1 ( 2. a + b )< a+1 b+1. a+ b < a + b a+b+1 a+1 b+1. 4- Bµi tËp ¸p dông: 2004 2 2+ 4+ 6+.. .+2004 < < 2005 3 3+5+7+ .. .+2005 ¿❑ ❑. Bµi 1: Chøng minh r»ng. Bµi 2: Cho a, b lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ab =1 chøng minh r»ng: 1 + 1 < a+ b < 1 + 1 2 a+ 2 2 b+ 2 1+ a+b a+1 b+1. Bµi 3: Cho. x y. x +2004 a+2005 m a+2004 b+ 2005n. a b. m n. chøng minh r»ng. x y. m n. IV - Ph¬ng ph¸p 4 Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng (Ngêi thùc hiÖn: §ç V¨n Thµnh) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p §Ó chøng minh A B ta gi¶ sö ph¶n chøng A<B råi ⇒ ®iÒu v« lý víi giả thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A B là đúng. 2- KiÕn thøc cÇn nhí: Các tính chất của Bất đẳng thức. Các Bất đẳng thức có sẵn. Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức. Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức. 3- Bµi tËp mÉu: Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh rằng có ít nhất một trong các Bất đẳng thøc sau sai: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 Gi¶i Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 đều đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 3 (1) MÆt kh¸c ta cã a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2. a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 0,25 a(1-a) 0.25 T¬ng tù ta cã b(1-b) 0,25 vµ c(1-c) 0,25 ⇒ Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:.

(13) a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25 3 (2) ta nhËn thÊy (1) m©u thuÉn víi (2) vËy ®iÒu giả sử là sai suy ra: trong các Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai. Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức sau: |x| < | y − z| , | y|<|x − z| , |z|<| y − x| Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng thức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có: : |x| < | y − z| ⇔ x2 < (y-z )2 ⇔ x2 -(y-z )2 <0 ⇔ (x-y+z) (x+y-z) < 0 T¬ng tù ta cã (y-x+z)( y+x-z)<0 vµ (z-y+x)(z+y-x )<0 Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: [(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]2 <0 v« lý. Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức: |x| < | y − z| , | y|<|x − z|. ,. |z|<| y − x|. Bµi 3: Cho c¸c sè thùc a,b,c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. ¿ a+b+ c> 0 ab+ bc+ ca> 0 abc> 0 ¿{{ ¿. H·y chøng minh r»ng: a,b,c > 0 (*) Giải: Giả sử (*) không đúng ⇒ có ít nhất một trong các số a,b,c phải 0 Kh«ng mÊt t×nh tæng qu¸t gi¶ sö a 0. do abc >0 ⇒ bc <0 XÐt trêng hîp a 0 b>0 c<0 ⇒ a+c<0 tõ gØa thiÕt ta cã b >-a-c ⇒ b(a+c) < -(a+c)2 ⇒ ac + b(a+c) < ac(a+c)2 ac + b(a+c) < -(-ac+a2+c2) ⇔ ac +ba +bc < -(a-0.5c)2- 0.75c2 ⇔ 0 Tr¸i gi¶ thiÕt ab +bc +ca >0 ⇔ Tơng tự đồi với trờng hợp A 0 b<0 ,c>0 ta còng ⇒ ®iÒu v« lÝ. Vậy (*) đợc chứng minh. Bài 4: Chứng minh rằng: Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo cña nã kh«ng nhá h¬n 2. Gi¶i:.

(14) Gi¶ sö ph¶n chøng. a >0 ta cã b. a + b b a. <2. ⇔. a + b b a. -2. <0 ⇔. + b a. a2 +b2 −2 ab <0 ba. ⇔. a+b ¿ ¿ ¿ ¿. 2. < 0 §iªï nµy lµ v« lý ⇒. a b. 2. Vậy Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2. 4-Bµi TËp ¸p dông: Bµi1 Cho ba sè d¬ng nhá h¬n 2 a,b,c: chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong các Bất đẳng thức sau là sai: a(2-b)>1; b(2-c) >1; c(2-a)>1 Bµi 2 Cho a,b,c lµ ba sè d¬ng tho¶ m·n abc =1 chøng minh r»ng: S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) 1 Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau đúng: c2> a: d2 > b. Bµi 4: Cho a,b,c,x,y,z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n:. a>0 2 b −1 ¿ −4 ac< 0 ¿ ¿ ¿{ ¿. Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng thøc sai ax2+bx +c y ; ay2+by +c z ; az2 + bz +c x V- Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p quy n¹p; (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn V¨n Thµnh) 1) Néi dung ph¬ng ph¸p; Có rất nhiều các Bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng thì không thể chứng minh đợc. Thờng các Bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những Bất đẳng thức tổng quát. Thông thờng để chứng minh các Bất đẳng thức kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp. Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp chøng ta thùc hiÖn c¸c bíc sau;.

(15) Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với chän n0 =0 hoÆc 1) Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với k Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi 2- KiÕn thøc cÇn v©n dông: Các tình chất của Bất đẳng thức: Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức. 3 Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Chøng minh r»ng: a) [(a+b):2]n (an+bn):2 víi a+b 0 vµ N b). √ a+ √ a+.. .. .+√ a ⏟ n , dau √❑. <. 1+ √ 4 a+1 2. a. n0 nµo ®o ( th«ng thêng ta. k+1. n. 0. Gi¶i a) +) Víi n =1 ta cã (a+b):2 (a+b):2 đúng +) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]k (ak+bk):2 +) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là: [(a+b):2]K+1 (ak+1+bk+1):2 ThËt vËy: xÐt [(a+b):2]K+1=[(a+b):2]K[(a+b):2] [(ak+bk):2][ (a+b):2] Ta chøng minh (ak+bk) (a+b) 2(ak+1+bk+1) ⇔ ak+1+bk+1+ak b+abk 2(ak+1+bk+1) 0* ⇔ ak+1+bk+1-ak bb - abk 0 ⇔ (a-b)( ak - bk) NÕu a,b 0 thì * đúng. NÕu a 0 b ⇒ a-b 0 mµ a+b 0 (gt) ⇒ a -b ⇒ a b k ak - bk ⇒ ak |b| 0 * đúng ⇒ Chøng minh t¬ng tù cho trêng hîp a 0 b ta đợc * đúng Do a+b 0 nªn a, b kh«ng cïng <0. Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài. +) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]n (an+bn):2 víi a+b 0 vµ N n đợc chứng minh..

(16) b) + Víi. 1 Bất đẳng thức trở thành. 1+ √ 4 a+1 2. √a <. ❑. ⇔. 2. √ a < 1+ √ 4 a+ 1 Ta có: 1+ √ 4 a+ 1 >1 +2 ❑√ a >2 ❑√ a đúng ∀ a + Giả sử Bất đẳng thức đúng với k tức là: ❑. a+ √ a+.. .. .+ √ a √⏟. 1+ √ 4 a+1 2. <. k , dau √❑. a. 0. + Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với a+ √ a+.. .. .+ √ a √⏟. 1+ √ 4 a+1 2. <. (k++ 1), dau √❑. §Æt. xn. =. a+ √ a+.. .. .+ √ a √⏟. k+1 tøc lµ. a. 0. ⇒. xk=. a+ √ a+.. .. .+ √ a √⏟. n , dau √❑. √ a+ √ a+.. .. .+√ a ⏟ (k++ 1), dau √❑. Ta chøng minh. xk+1=. k , dau √❑. = √ a+ x k 1+ √ 4 a+1 2. √ a+ x k <. a. 0. ⇔. ( √ a+ x k )2<. (. 1+ √ 4 a+1 )2 2 ⇔. a+xk <. 2+ 4 a+ 2 √ 4 a+1 4. ⇔. 4xk <2= 2 √ 4 a+1. ⇔. xk <. 1+ √ 4 a+1 2. Đúng do giả thiết quy nạp ⇒ Bất đẳng thức đúng với n = k+1. + VËy. √ a+ √ a+.. .. .+√ a ⏟ n , dau √❑. <. 1+ √ 4 a+1 2. a. 0. Bài 2: cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh huyền của tam giác đó chứng minh rằng: b2n+a2n c2n Gi¶i: + Với 1 theo định lí Pithago ta có b2+a2 = c2 Bất đẳng thức đúng. + Giả sử Bất đẳng thức đúng với k tức là b2k+a2k c2k + Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1 hay: b2(k+1)+a2(k+1) c2(k+1) ThËt vËy: Ta cã c2(k+1) = c2k+2=c2k. c2 (a2k+b2k)(a2+b2) =a2k+2 + a2k. b2 +b2ka2 +b2k+2 a2k+2 + b2k+2 ⇒ b2(k+1)+a2(k+1) c2(k+1) (®fcm).

(17) Vậy cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh huyền của tam giác đó ta có; b2n+a2n c2n Bµi 3 cho m,n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng. Chøng minh r»ng trong c¸c sè √n m , m √ n cã Ýt nhÊt mét sè kh«ng vît qu¸ √3 3 Gi¶i: Tríc hÕt ta chøng minh 3 n n3 * ∀ n, Z+ n b»ng quy n¹p. + Víi n =1: ta cã 3 1 * đúng + Víi n =2: ta cã 9 8 * đúng + Víi n =3: ta cã 27 27 * đúng + Víi n = 4: ta cã 81 64 * đúng Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k 4 tøc lµ 3 k k3 Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3 k+1 (k+1)3 ThËt vËy: Ta cã 3k+1 = 3. 3k 3 k3=k3 +3k2+ 3k +1 +k3-3k2 +k3 -3k -1 = =(k+1)3 +k2(k-3) +k(k2-3) -1 > (k+1)3 do k 4 nªn k2(k-3) +k(k2-3) >1 ⇒ 3k+1> (k+1)3 ⇒ Bất đẳng thức * đúng với n = k+1 VËy 3 n n3 ∀ n, Z+ n ⇒. 3n. 3n. √3 n. ⇔. √n 3. √3 3. √n n. ∀. n, Z+. n. - Víi m lµ sè tù nhiªn - NÕu m. n ⇒. - NÕu m. n. √n m. √n n. ⇒. √n m. m √m √ n ⇒ m√ n √3 3 VËy víi m,n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng trong c¸c sè √n m , m√ n cã Ýt nhÊt mét sè kh«ng vît qu¸ √3 3 . 4- Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: a) Chøng minh r»ng víi n 3 ta cã 2n >2n +1 b) Chøng minh 1.2.3….n < 2-n. (n+1 )n c) ∀ n 1, Chøng minh:. d) 1+. ⇒. m. √3 3. 1 1 1 + +.. . .. .. .+ ≥ 2 ❑√ n+1− 2 √2 √3 √n. Bài 2: Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a) 2n+2 >2n+5 ∀ n 1, N n b) [(n+1)!]n 2!.4!….(2n)! ∀ n , N* n c) (2n)! < 22n(n!)2 ∀ n , N* n VI-Phơng pháp 6 Dùng Bất đẳng thức trong tam giác:.

(18) (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Quang HiÒn) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của Bất đẳng thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học đặc biệt là Bất đẳng thức trong tam giác. 2- C¸c kiÕn thøc cÇn vËn dông: NÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× ta cã - a, b, c >0 - |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c vµ |c-a| < b < a+c - Mét sè quan hÖ kh¸c trong tam gi¸c: 3- Bµi tËp mÉu: Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác chứng minh rằng (a+b+c)2 9bc. BiÕt a b c Gi¶i: Ta cã a+b+c 2b+c do a b Ta ®i chøng minh (2b+c)2 9bc (1) (1) ⇔ 4b2 + 4 bc + c2 9bc ⇔ 4b2 - 5 bc + c2 0 ⇔ 4b2 -4bc -bc+ c2 0 4b(b-c) -c(b-c) 0 ⇔ ( b-c)(4b-c) 0 (2) ⇔ ta thÊy b c ⇒ b-c 0 vµ 4b-c a+b-c +2b 0 ⇒ (2) đúng Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh. Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 < 2 (ab+bc+ca) Gi¶i: Do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên ta có: 0<a<b+c ⇔ a2< ab + ac t¬ng tù ta cã b2 < ba+bc vµ c2 < ca +cb Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: a2 + b2 +c2 < 2 (ab+bc+ca) (§fcm) Bài 3: Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 + c3 Gi¶i: a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 + c3 ⇔ a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 - a3 - b3 - c3 > 0 ⇔ a[(b-c)2 - a 2] + b[(c-a)2 - b2] + c[(a-b)2 -c2] > 0.

(19) ⇔. a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) >0 ⇔ ( a+b-c)( ab-ac-a2 -bc-b2+ab+ac+bc+c2) >0 (a+b-c)(c2 - a2- b2+2ab) > 0 ⇔ (a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) >. 0 đúng ⇔ do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một ram giác Vậy a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác ta có: a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 + c3 4- Bµi tËp ¸p dông: Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: a2(b+c)+ b2(+-a) +c2(a+b ) >2abc + a3 + b3 + c3 Bài 2 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: a2(b+c)+ b2(c+a) +c2(a+b ) < 3abc + a3 + b3 + c3 bai3 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: 2a2 b2+2b2 c2 + 2a2 c2-a4 -b4 -c4 > 0 VII - Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p lµm tréi: (NguyÔn Ngäc ChiÕn) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p: Dùng các tính chất của Bất đẳng thức để đa một vế của Bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn tức là biến Tæng Sn = u1 + u2 +…..+ un =(a1 -a2) + (a2-a3) +( a3 -a4 )+….+(an-an+1) Tich T= u1. u2. …… un =. a1 a2 . .. . .. .. . an a2 a3 . . .. .. . .a n+1. 2- KiÕn thøc cÇn vËn dông: Các tính chất của Bất đẳng thức. Kỹ năng biến đổi tơng đơng …… 3- Bµi tËp mÉu: Bµi 1: cho c¸c sè tù nhiªn ph©n biÖt u1 , u2 ,…., un kh¸c >1 Chøng minh r»ng: (1-. 1 1 1 )(1- 2 )…..(1- 2 ). > 0,5 2 u u u 1. 2. n. Gi¶i: kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö 2 u1 < u2 <….< un ⇒ u i > i +1 ( Do c¸c ui ph©n biÖt ) ⇒. (1-. 1 1 1 )(1- 2 )…..(1- 2 2 u u u 1. 2. n. n+1 ¿2 1 1 ¿ ) > (1- 2 )(1- 2 )…..(1) 1 2 3 ¿.

(20) =(1- 1 )(1- 1 )…..(12. =. 3. 1 1 )(1+ 1 )(1+ 1 )…..(1+ ) 2 3 (n+1) (n+1). 1 . 2. 3 .. .. . .n 1 1 34 . .. .. .(n+2) ( n+2) . = = + 2 2 . 3. 4 .. .. (n+1) 2(n+1) 2 . 3. 4 .. .. (n+1) 2 .(n+1). VËy (1-. >0,5. 1 1 1 )(1- 2 )…..(1- 2 ). > 0,5 2 u u u 1. 2. n. Nhận xét ở đây ta thay các ui bởi các i+1 để đợc giá tri nhỏ hơn VT v× u i > i +1 ∀. Bµi 2 Chøng minh r»ng. n tù nhiªn ta cã. 1 . 3. 5 .7 . .. . .. .(2 n −1) 2. 4 .6 . 8 .. . .. ..(2n). 1 √ 2 n+1. Gi¶i:. ta cã. (2 n −1) (2 n). 2 n+1¿ ¿ 2 n ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ √¿. =. 2. 2. 2 n+1 ¿ ¿ 2 n¿ 2 − 1 = ¿ ¿ ¿ ¿ √¿. √. 2n+ 1 2 n −1. Lần lợt thay n= 1,2,3,… rồi nhân vế với vế của các Bất đẳng thức đó ta đợc: 1 . 3. 5 .7 . .. . .. .(2 n −1) 2. 4 .6 . 8 .. . .. ..(2n). <. 1 √ 2 n+1. Bµi 3 Cho hn =1+ 1 + 1 +….+ 3. 5. (§fcm) 1 2 n −1. Chøng minh r»ng ∀ n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ta cã 1 1 1 1 + + +…….+ 2 2 2 (2 n −1) hn h 3h 5h 1. 2. 3. <2 2. Gi¶i:. <.

(21) ∀. 1. 1 =¿ (2 n −1) h k. n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ta cã. (2 k −1)(hk −1 +. 2. 1. <. hk −1. 1 hk. -. 1 (2 n −1)hn. 2. (Do hk = hk-1 +. 1 < 1+ ( h1. 1 1 1 + + +…….+ 2 2 h 3h 5 h2. ⇒. 1 1 ) +( h2 h2 ¿. 1. 2. 1. 2. 3. 1 1 1 1 + + +…….+ 2 2 2 (2 n −1) hn h 3h 5h. ⇔. 1. 2. 3. 1 1 1 1 + + +…….+ 2 2 2 (2 n −1) hn h 3h 5h 1. 2. 3. ¿ 3 1 1 )+…..+( 1 hk −1 hk halignl ¿❑. 1 1 1 1 + + +…….+ 2 2 2 (2 n −1) hn h 3h 5h. ⇔. VËy. 1 ) 2 n −1. 1 )h 2 n− 1 k. 3. < 1+. 1 h1. < 1+. 1 =2 h1. 2. 2. 1 hk −1. < 2 (®fcm) 2. Bµi 4 Chøng minh r»ng: 2. n+1 ¿ ¿ 1 + ¿ ❑ 1+ 2 1 n 1+ ¿ ❑ √¿. √. n+k ¿ ¿ ¿ +…..+ 1 1+ ¿ ❑ √¿. 2. < kn +n+1 n. Gi¶i: Tríc tiªn ta chøng minh Víi ba sè x,y,z tho¶. √. |1x + 1y + 1z|. 1 1 1 + 2+ 2 = 2 x y z. m·n x+y+z =0 ta cã:. * ThËt vËy:. 1 1 1 XÐt ( 1 + 1 + 1 )2 = 2 + 2 + 2 +2( 1 + 1 + 1 ). |x. =. |. y z. |. 1 1 1 + 2 + 2 2 x y z 1 1 1 + + x y z. x. y. xy. z. xz. 1 1 1 +2( x + y + z )= 2 + 2 + 2 xy. |. ¸p dông * víi x=1, y=n, z= -(n+1). x. y. z. zy. ⇒. √. 1 1 1 = + + x2 y2 z2. ).

(22) 2. Ta cã. √. ❑. 1+. 1 2 n. n+1 ¿ ¿ ¿ < 1 1 1+ 2 + ¿ n ❑ √¿. =1+ 1 n. 1 n+1. n+1 ¿2 n+k ¿ 2 ¿ ¿ 1 ¿ ¿ ❑ +…..+ <1+ 1 - 1 +1 + 1 ⇒ 1+ 2 + 1 1 n n+1 n+1 n 1+ ¿ 1+ ¿ ❑ ❑ √¿ √¿ 1 1 1 1 +…..+1 + =k+1+ 1 < k+1+ 1 = n+2 n+k n+k +1 n n+k +1 n kn +n+1 n. √. 4 - Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1 Chøng minh r»ng: a) Tæng qu¸t b). 1 + 10. 1 +….+ 1 >1 11 100. 1 1 +….+ 2 >1 n+1 n. 1 + n. n nguyªn d¬ng. Bµi 2 Cho n lµ sè tù nhiªn chøng minh r»ng:. .a). .b) 1+. n(n+1) ¿ ¿ 1 1 1 + +.. . .. .. .. .+ ¿ 1 . 2 2. 3 1 1 1 1 + 2 +. ..+ 2 < 2− 2 n 2 3 n. Bµi 3 Chøng minh. 1 1 1 + 2 +. ..+ < 2 trong đó N* 2 na a 2a n 1. 2. 2. 1 1 1 + +. . .+ 2 3 k. Bµi 4: Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n>1 ta cã: 1 1 1 1 3 < + +. .. ..+ < 2 n+1 n+2 n+n 4. , n ak =.

(23) VIII- Phơng pháp 8: Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bất đẳng thức Bunhiacopxky (Ngêi thùc hiÖn: §ç Ngäc Ngµ) 1 - KiÕn thøc c¬ b¶n Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức - Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b a+b ≥ √ ab 2. 0:. DÊu "=" x¶y ra khi a=b. - Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1, a2, …, an a1 +a2 +. ..+ an n. √ a1 . a 2 . .. an DÊu "=" x¶y ra khi a1 = a2 = …= an. 2- Bµi tËp mÉu: Bµi 1 Cho n sè d¬ng a1 ,, a2, …, an vµ a1, a2. … a n =1 Chøng minh r»ng: (1+ a1), (1+a2 ). … (1+a n). 2n. Gi¶i: áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và ai, i=1,2,3…,n ta đợc (1+a1). 2 √ a1 , (1+a2). 2 √ a2 ,…….,(1+an). 2 √ an. Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta đợc: (1+ a1), (1+a2 ). … (1+a n). 2 √ a1 .2 √ a2 …….2 √ an. (1+ a1), (1+a2 ). … (1+a n) 2n do a1, a2. … a n =1 DÊu "=" x¶y ra khi 1= a1 ,1=a2 ,. … ,1=a n. ⇔ a1 = a2 =…..=an =1 ⇔. Bµi 2 Cho a,b. 0 chøng minh r»ng 3a3+72 b3 18 ab2 Gi¶i: Do a, b 0 ⇒ 3a3, 9b3, 8b3 0 áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số 3a3, 9b3, 8b3 Ta đợc 3a3+ 9b3+8b3 3 √3 3a3 9 b3 8 b3 = 18ab2 DÊu "=" x¶y ra khi 3a3= 9b3= 8b3 ⇔ a=b=0.

(24) 1 b(a − b). Bµi 3: Cho a>b >0 Chøng minh r»ng a +. 3. Gi¶i Ta thÊy a = b +( a-b ) do a>b ⇒ a-b >0. áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a-b, 1 =b+(a-b) + b(a − b). a+. 33. 1 b(a − b). VËy a>b >0 ta cã a + ⇔. 1 b(a − b). b= 0,5 a =. √. b(a-b ). 1 b(a − b). 1 =3 b(a-b). 3 DÊu "=" x¶y ra khi b=a-b=. 1 b(a − b). ⇔. ta đợc:. 1 b(a − b). a=2 vµ b=1. 0 p,q lµ c¸c sè h÷u tû d¬ng tho¶ m·n 1 + 1 =1. Bµi 3: Cho a,b. p. p. q. a b + p q. Chøng minh r»ng:. q. ab. * Gi¶i:. Do p,q là các số hữu tỉ nên 1 , 1 cũng là các số hữu tỉ, do đó từ giả p. q. thiÕt tån t¹i c¸c sè tù nhiªn m,n,k sao cho 1 = m , 1 = n vµ m+ p. k. q. k. k. k. 1 m k. Khi đó * ⇔. + n. k. am. k. bn. k. ab. Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có m k. a. k m. k m. + n. b. k. k m. k n. k n. √ a .. .. a . b .. . .b k. VËy ⇒. m k. k. am. k. k. k. k n. = ab + n k. k. bn. k. √ a= √n b Bµi 4: Cho c¸c sè a1, a2,…., an tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 0< a ai b víi i = 1, 2,. …., n Chøng minh r»ng: 1 1 1 + +.. . ..+ ) a1 a2 an. k. ab DÊu "=" x¶y ra khi a m = b n. m. (a1+a2+…..+an ) (. k. = ( a m + a m +….+ a m + b n + b n +…..+ b n ): k. n2 (a2 +b 2) 2ab. ⇔.

(25) Gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ta cã 0<a. ai. b. ⇒. ⇔. ai +. ab ai. ai2 -(a+b) ai +ab. 0 víi. i=1,2…. ,n ⇔. ai2 +ab. (a+b) ai. a+b do ai >0 víi i=1,2…. ,n. Lần lợt cho i =1,2,3,…,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc (a1+a2+…..+an ) + (. ab ab ab + +. .. ..+ ) a1 a 2 an. n(a+b) (1). áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta đợc (a1+a2+…..+an ) + (. ab ab ab + +. .. ..+ ) a1 a 2 an. ab ab ab + +. .. ..+ )] ❑12 a1 a 2 an. 2[(a1+a2+…..+an ) (. (2) ab ab. ab. + +. .. ..+ Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2[(a1+a2+…..+an ) ( )] ❑12 a1 a 2 an ⇔. 4[(a1+a2+…..+an ) (. ⇔. (a1+a2+…..+an ) (. ab ab ab + +. .. ..+ )] a1 a 2 an 1 1 1 + +.. . ..+ ) a1 a2 an. n2(a+b)2 2. 2. 2. n (a +b ) 4 ab. n2 (a2 +b 2) 2ab ⇔. (a1+a2+…..+an ) (. 1 1 1 + +.. . ..+ ) a1 a2 an. n2 (a2 +b 2) 2ab. 3-Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: Cho a,b,c >0 vµ a+b+c =1. Chøng minh (1+a-1)(1+b-1)(1+c-1) 64 Bµi 2: Cho a,b,e,c,d >0 vµ a+b+c +d+ e=1. Chøng minh (-1+a-1)(-1+b-1)(-1+c-1)(-1+d-1)(-1+e-1) Bài 3: Ch a,b,c Là độ dài ba cạnh của tam giác Chøng minh r»ng:. 1 8 a −b b −c c − a ❑ ¿ + + ≤ a+ b b+ c c +a ❑. |. |. ( ®pcm). 1024. n(a+b).

(26) Bµi 4: Cho h×nh thang ABCD cã AB//CD cã diÖn tÝch lµ S. Gäi E lµ giao ®iÓm của hai đờng chéo. Chứng minh rằng SABE 0,25 Dùng Bất đẳng thức Bunhiacopxky 1 - KiÕn thøc c¬ b¶n Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức Cho 2n sè a1, a2, …, an; b1, b2,…,bn ta lu«n cã (a1b1+a2b2 +….anbn)2 (a2 1 + a 22+ …+a 2n ). (b 21+ b 22+…+b 2n ) DÊu "=" x¶y ra khi. a1 a a = 2 =…..= n b1 b2 bn. Bµi tËp mÉu: 3 4. Bµi 1 Cho ba sè x,y,z tho¶ m·n: . x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) Chøng minh r»ng x+y+z. 4. Gi¶i: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky cho 6 số 1, 1, 1, x, y, z ta đợc: (x+y+z)2 (1+1+1) (x2+y2+z2) =3(x2+y2+z2) (1) 3 4. ta cã x(x-1)+y(y-1)+z(z-1). ⇔. Tõ (1) vµ (2) Ta cã 1 (x+y+z)2-(x+y+z). 3 4. 3. 1 2 S -S 3. 3 4. ⇔. 3 4. (x2+y2+z2)-(x+y+z). (S+1)(S-4) = 0 ⇔ -1. (2). §Æt S = x+y+z ta cã S. 4 VËy x+y+z. 4. DÊu "=" x¶y ra khi x=y=z = 4 3. Bµi 2 Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh: x4 + ax3 + bx2 + ax +1=0 cã nghiÖm th× a2+ (b-2)2 >3 Gi¶ sö x= t lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ta cã: t# 0 v× 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. vµ t4 + at3 + bt2 + at +1 =0 ⇔ t2 + 1 §Æt T = (t+ 1 ) ⇒ T2 = t2 + 2 +2 t. t. 1 t2. 4 do t2 +. +a(t+ 1 ) +b = 0 (1) t. 1 t2. khi đó (1) Trở thành T2+aT +b -2=0 ⇔ T2=-(aT +b -2) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:. 2.

(27) T4 =(aT +b -2)2 ⇔. [a2 + (b-2)2] (T2 +1). a2 + (b-2)2. VËy. 1 T4 =T2-1+ 2 2 T +1 T +1. > 4-1 =3. a2 + (b-2)2 > 3 (®fcm). Bµi TËp ¸p dông: A ) Cho a,b,c >0 vµ p=(a+b+c):2 Chøng minh r»ng:. √ p< √ p − a+ √ p − c+ √ p − b≤ √ 3 p b-Cho n sè bÊt kú a1 ,a2, …, an, Chøng minh r»ng: (a1 + a2 + …+ an)2. n(a21 + a22 + …+ a2n). c- Cho a,b,c Kh¸c 0 chøng minh r»ng:. a2 b2 c 2 a b c + + ≥ + + b2 c 2 a2 b c a. d- Cho a,b,c lµ dé dµi ba c¹nh trong mét tam gi¸c h·y chøng minh r»ng: a(2b+2c-a)-1 +b(2a+2c-b)-1 + c(2a+2b-c)-1 e- Cho ax- by. m Chøng minh r»ng ax2+by2. 1. m2: (a+b). .f- gi¶ sö Ph¬ng tr×nh x2 + ax + b =0 cã nghiÖm x = t. Chøng minh r»ng t<1+a2+b2 IX - Ph¬ng ph¸p 9: Ph¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai (Ngêi thùc hiÖn: Lª anh Xu©n) 1- KiÕn thøc cÇn vËn dông: - §Þnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai: Cho tam thøc bËc hai f(x) =ax2 +bx +c (a kh¸c 0 ) a)NÕu x Δ = b2-4ac <0 th× a.f(x) >0 ∀ x R b) NÕu Δ =0 Th× a.f(x) 0, ∀ xR x DÊu "=" x¶y ra khi x=b:2a c) NÕu Δ 0 th× f(x) cã 2 nghiÖm x1, x2 ta cã x . x1 x2 af(x) - 0 + 0 - NÕu tam thøc bËc hai f(x) =ax2 +bx +c (a kh¸c 0 ) tån tai sè t sao cho a.f(t) < 0 th× f(x) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 < t < x2.

(28) - NÕu tån t¹i t,k sao ch f(t)f(k) < 0 th× f(x) cã hai nghiÖm x1, x2 vµ trong hai sè t,k cã m«t sè n»m trong vµ mét sè n»m ngoµi hai nghiÖm. 2- Bµi tËp mÉu: a- D¹ng thø nhÊt: §Ó chøng minh ax2 + bx+ c 0 ta ®i chøng minh a >0 vµ Δ 0 Bµi 1: a Chøng minh r»ng: x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 4xy3 b) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 a (b + c + d + e ) Gi¶i: a) Ta cã x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 0. Biển đổi tơng đơng ta đợc: x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 0 ⇔ (y2+1)2. x2+ 4y (1-y2).x +4y2 0 Ta thấy (y2+1)2. x2+ 4y (1-y2).x +4y2 là tam thức bạc hai đối với biến x vì “a”= (y2+1)2 >0 XÐt Δ ’ =[2 (1-y2)]2-(y2+1)2.4y2= -16. y2 0 ∀ y 0 đúng ∀ x,y ⇒ x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 0 ⇒ x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 4xy3 ⇒ VËy x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 b ) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 a (b + c + d + e ) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) 0 ⇔ ⇔ Ta coi a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) là tam thức bậc hai đối víi biÕn a Ta cã “a”=1 > 0 Δ =(b + c + d + e )2 -4 (b2 + c2 + d2 + e 2) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta đợc: (1+1+1+1)(b2 + c2 + d2 + e 2 ) - 4 (b2 + c2 + d2 + e 2) =0 đúng ∀ Δ b,c,d,e 0 ∀ a, b,c,d,e ⇒ a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) a (b + c + d + e ) ⇒ VËy: a2 + b2 + c2 + d2 + e 2. DÊu "=" x¶y ra khi b = c = d = e , a=(b+c+d+e):2 b- D¹ng thø hai: §Ó chøng minh b2-4ac = 0 ta chøng minh a.f(x) Trong đó f(x) =ax2 +bx +c (a khác 0 ) Bµi 2: Cho -1 ,= x. 0,5; vµ − 5 < y< 2 Chøng minh r»ng x2 +3xy +1 >0 6. 3. Gi¶i: §Æt f(x) = x +3xy +1 ta cã Δ = 9y2 - 4 = (3y-2)(3y+2) 2. ⇒. Δ. <0 ⇔. 0. −2 2 < y< 3 3. ⇔. −4 2 < y< 6 3.

(29) Theo bµi ra ta cã:. −5 2 < y< 6 3. ⇒. Δ. < 0 ⇒ x2 +3xy +1 >0. Bµi 3: Cho c¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x+y+z=xyz vµ x2 =xy Chøng minh r»ng x2 3 Gi¶i: 2 Theo bµi ra ta cã x+y+z=xyz vµ x =xy ⇒ x+y+z = x3 ⇒ y+z =x(x2 -1) Vµ yz =x2 ⇒ y,z lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t2 +(x-x3) t + x2 =0 (1) XÐt Δ =(x-x3)2-4x2 =x2[(x2-1)2-4] 0 do (1) cã nghiÖm ⇒ (x2-1)2-4 0 (x2+1)(x2-3) 0 do (x2+1) 0 ⇔ x2 3 ⇔ 3-Bµi tËp ¸p dông: 1/ Cho c¸c sè thùc x,y,z tho¶ man ®iÒu kiÖn x+y+z =5 vµ xy+xz+yz =8 Chøng minh r»ng; 1. x,y,z. 7 3. 2/ Gi¶ sö x1 ,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2+k.x + a =0 (a kh¸c 0). t×m tÊt cả các giá trị của k để có Bất đẳng thức sau: (x1: x2 )3+(x2: x1 )3 52 3/ Gi¶ sö x1 ,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2+2k.x + 4 =0 (a kh¸c 0). t×m tÊt cả các giá trị của k để có Bất đẳng thức sau: (x1: x2 )2+(x2: x1 )2 3 X- Ph¬ng ph¸p 10: Ph¬ng Ph¸p h×nh häc (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh H¶i) 1- KiÕn thø c cÇn vËn dông: - Bất đẳng thức trong tam giác: - Víi ba ®iÓm bÊt kú A,B,C ta lu«n cã AB +BC DÊu "=" x¶y ra khi B n¨m gi÷a A vµ C. CA. - Tæng qu¸t: Cho n ®iÓm bÊt kh× A1,A2 ,….,An ta lu«n cã A1A2+A2A3+…+ An-1 An A1An DÊu "=" x¶y ra khi x¶y ra khi c¸c Ai i=1,2,….,n-1 liªn tiÕp n»m gi÷a A1 ,An 2- Bµi tËp mÉu: 2. Bµi 1: Chøng minh r»ng ∀ a,b ta cã. Gi¶i. a −b ¿ +1 ¿ b −3 ¿2 +1 ¿ ¿ 2 a +4 +√ ¿ √. 5.

(30) Trên mặt phẳng toạ độ lấy các điểm: A(0;-1) B(a;1 ), C(b,2) D(3,3) a− b ¿2 +1 ¿ b −3 ¿2 +1 Khi đó ta có: AB= , ¿ ¿ 2 a +4 , BC= √¿ √ 3+1 ¿2 2 AD= 3 −0 ¿ +¿ ¿ √¿. =5 mµ ta lu«n cã AB+BC+CD. AD. 2. VËy. a −b ¿ +1 ¿ b −3 ¿2 +1 ¿ ¿ 2 √ a +4 +√ ¿. 5. Dấu "=" xảy ra khi B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó. Bµi 2: Cho 0 < a,b,c 1 chøng minh a+b+c 1+ab +bc +ca Gi¶i: Xét tam giác đều ABC Gọi M, N, P lần lợt lµ c¸c ®iÓm trªn AB,AC,BC sao cho AM=a BP =b vµ CN =c Khi đó diện tích của tam giác AMN là S AMN = 0,5 AM.AN.sin A = 0,5 a (1-b) sin 60o = √3 a(1-c) 4. T¬ng tù ta cã SBMP = √3 b(1-a) vµ SCNP = √ 3 c(1-b) 4. MÆt kh¸c ta cã SAMN+S BMP +SCNP. 4. S =0,5.AB. AC Sin 60o= √ 3 4. √3 a(1-c)+ √ 3 b(1-a)+ √3 c(1-b). ⇔. 4. + c (1-b) ⇔. 4. 4. √3 4. ⇔. a (1-c)+ b (1-a). 1. a+b+c 1+ab +bc +ca Bµi 3: Cho x,y,z,t lµ c¸c sè d¬ng h·y chøng minh r»ng: (x+y)(z+t) √ x2 + z 2 . √ y 2+ z 2 + √ y 2+t 2 . √ x2 + z 2 Gi¶i: V× x, y, z, t lµ c¸c sè d¬ng nªn lu«n tån t¹i tø gi¸c ABCD cã AC vu«ng gãc víi BD t¹i O vµ OA=x , OC=y, OB =z, OD =t.

(31) √ x2 + z 2 , BC= √ y 2+ z 2 , DA= √ x2 + z 2. khi đó ta có AB= CD =. √ y 2+t 2. SABC= 0,5. AB. h 0,5 AB.BC SACD = 0,5 AD. l 0,5. AD.DC Ta cã SABCD=SABC+SACD 0,5 (AB.BC +AC.D C) SABCD 0,5 (AB.BC +AC.D C) ⇒ ⇔ ⇔. 0,5(x+y)(z+t). √ x2 + z 2 . √ y 2+ z 2 + √ y 2+t 2 . √ x2 + z 2 ) + √ y 2+t 2 . √ x2 + z 2 (x+y)(z+t) (®pcm). 0,5 (. √ x2 + z 2 . √ y 2+ z 2. 3- Bµi tËp ¸p dông: 1/ Chøng minh r»ng: |❑√ x 2 −6 x +34 − √ x 2 − 6 x+10| 4 2/Cho a,b ,c là đô dài ba cạnh của một tam giác a’,b’,c’ là ba chiều cao tơng ứng chứng minh rằng: (a+b+c)2: (a’2+b’2+c’2) 4 3/Cho x,y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2x+y 2, 2x-y 2 vµ x+4 2y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2+y2. 4/ Cho a b c>0 chøng minh r»ng: √ c (a −b)+ √ c (b − c) ≤ √ab. √ a2 +c 2 + √ b2 +c 2 6/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña √ x2 + x +1+ √ x 2 − x +1 5/ Cho a,b,c >0 chøng minh r»ng:. = (a+b).c. Trên đây là một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức mặc dù cha đợc đầy đủ. Nhng chúng ta đã biết trong chơng trình toán cấp II học sinh cha đợc học thật cụ thể và bài bản, mà chủ yếu Bất đẳng thức đợc tập chung ỏ các lớp luyện thi học sinh giỏi, các kỳ thi vào cấp III và thi vào đại học. Do vậy ngời giáo viên phải thấy rằng Bất đẳng thức đợc sử dụng rộng nªn gi¸o viªn híng dÉn cho häc sinh tæ chøc c¸c buæi häc ngo¹i kho¸ vµ tù học ở nhà. Tuỳ từng đối tợng mà giáo viên đa ra những phơng pháp, những bài toán phù hợp với trình độ học sinh để học sinh rễ cảm nhận ,tiếp thu làm cho học sinh không cảm thấy bị gò bó khi học Bất đẳng thức. CÇn t¹o cho häc sinh tÝnh linh ho¹t kh«ng m¸y mãc sö dông mét ph¬ng ph¸p mµ ph¶i t×m c¸c ph¬ng ph¸p cã lêi gi¶i nhanh nhÊt. Mét ®iÒu mµ chóng ta thấy rằng khi chứng minh Bất đẳng thức thì cần vận dụng linh hoạt, kết hơp c¸c c¸c ph¬ng ph¸p. d- Một số ứng dụng của Bất đẳng thức (Ngêi thùc hiÖn: Vò M¹nh D¬ng).

(32) I. Giải phơng trình: Dùng bất đẳng thức 1- Ph¬ng ph¸p gi¶i: §Ó Gi¶i ph¬ng tr×nh A(x) = B(x). Cách 1: Ta biến đổi phơng trình về dạng g(x) = h(x) mà g(x) a ; h(x) a; (a là hằng số). Nghiệm của phơng trình là các giá trị thoả mãn đồng thời: g(x) = a; h(x)=a. Cách 2: Ta biến đổi phơng trình về dạng h(x) = m; (m là hằng số). Mà h(x) m hoÆc m h(x) khi đó nghiệm của phơng trình là các giá trị của x lµm DÊu ''='' x¶y ra. 2- C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: - Bất đẳng thức Côsi - Bất đẳng thức Bunhiacôpxky - Bất đẳng thức Trebsep - Một số bất đẳng thức khác - Các kỹ năng biến đổi tơng đơng, biến đổi đồng nhất. 3-Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ 3 x +6 x +7 + √ 5 x +10 x+ 14 = 4 - 2x -x ❑2 NhËn xÐt: Th«ng thêng khi gi¶i d¹ng bµi tËp cã c¨n thøc ta thêng lµm mÊt c¨n thøc b»ng c¸ch sö dông c«ng thøc ( √n a ) =a hoÆc ®a vÒ √ a=|a| . §èi víi bµi to¸n nµy häc sinh cã thÓ t×m ®iÒu kiÖn råi b×nh ph¬ng hai vÕ. Víi các cách làm này thì phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình bậc cao hơn có thể không giải đợc. Vì thế nên ta tìm cách giải khác: Ta thÊy VP= 4 - 2x -x ❑2 =5- ( x+ 1 ) ≤ 5. V× - ( x+ 1 ) ≤ 0 DÊu ''='' x¶y ra khi x = -1 Từ đó nghĩ đến việc đánh giá vế trái: Ta cã: √ 3 x +6 x +7 = √ 3(x+ 1)+ 4 ≥ 2 . DÊu ''='' x¶y ra khi x=-1.. √ 5 x +10 x+ 14=¿ √ 5(x+ 1)+9 ≥ 3 DÊu ''='' x¶y ra khi x=-1. Suy ra VT 5 DÊu ''='' x¶y ra khi x=-1; VT=5 VP DÊu ''='' x¶y ra khi x= -1. VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= -1 Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −2 + √ 4 − x=x − 6 x +11.

(33) ¿ x − 2≥ 0 4−x ≥0 ⇔ TXD: ¿ x ≥ 2 x≤4 ⇔2≤ x ≤ 4 ¿{ ¿ Ta thÊy VP= ( x − 3 ) +2≥ 2. do ( x − 3 ) ≥ 0 DÊu ''='' x¶y ra khi x= 3.(*) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho vế trái ta có: VT = (1. √ x −2 + 1. √ 4 − x ) √ ( 1+1 )( x − 2+4 − x )=2 . DÊu ''=''x¶y ra khi x= 3 (**) Tõ (*) vµ (**) suy ra Nghiệm của phơng trình đã cho là: x= 3 Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 3 x +3,5=√ ( x −2 x+ 2 )( x − 4 x +5 ). Gi¶i: Ta cã:. x − x+ 2=( x − 1 ) +1≥ 1 x − 4 x +5= ( x −2 ) +1 ≥1. NhËn thÊy VT: x − 3 x −3,5= ( x −2 x+2 ) +( x − 4 x+5 ) 2. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta đợc: 2. 2. DÊu ''=''x¶y ra khi:. x − 3 x −3,5 ≥ √( x −2 x +2) ( x − 4 x +5 ) 2. x − 2 x +2=x − 4 x =5 ⇔ 2 x =3 ⇔ x=. 3 . 2. Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: x= 3/2. Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+3 − 4 √ x − 1+ √ x +8 −6 √ x − 1=1 . Gi¶i: Phơng trình đã cho tơng đơng với: ¿ 2. 2. √ ( √ x −1 −2 ) +√ ( √ x −1 −3 ) =1. ⇔|√ x − 1− 2|+|√ x − 1− 3|=1 ⇔|√ x −1 −2|+|3 − √ x −1|=1 ¿. áp dụng bất đẳng thức. a  b a b.

(34) DÊu ''=''x¶y ra khi a.b 0 ¿. ta cã: |√ x −1 −2|+|3 − √ x −1|≥|√ x − 1− 2+ 3− √ x −1|=1 ¿. DÊu ''='' x¶y ra khi ( √ x −1 −2)(3 − √ x − 1) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ √ x −1 ≤3 ⇔ 4 ≤ x −1 ≤ 9 ⇔ 5 ≤ x ≤10. Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: 5 x ≤ 10 Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh (8x - 4x ❑2 -1)(x ❑2 - 2x +1) = 4(x ❑2 +x+1) Thông thờng ta nhân phân phối đợc một phơng trình bậc 4 đầy đủ. Giải phơng trình mất nhiều công và ít hiệu quả.Từ đó nghĩ đến việc hạ bËc ph¬ng tr×nh b»ng c¸ch nh©n hay chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho mét nhân tử nào đó cho hợp lý. Thö thÊy x=1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho 4(x-1). Ta đợc phơng trình:. Ta cã:. x −1 ¿2 +3 ¿ −4¿ 8 x − 4 x 2 −1 =¿ 4. x − 1¿ 2 ¿ 8 x − 4 x 2 −1 x 2+ x +1 = ¿ 4.

(35) DÊu ''=''x¶y ra khi x-1= 0 suy ra x = 1. MÆt kh¸c ta cã: x +1 ¿2 ¿ x +1 ¿2 ¿ x +1 ¿2 ¿ x +1 ¿2 ¿ 2 x +1 ¿ ¿ 1 1 ¿ − +1 2 ( x +1 ) x +1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x 2+ x +1 ¿. DÊu ''='' x¶y ra khi. 1 1 − =0 ⇔ x=1 x +1 2. NhËn thÊy x= 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Vậy phơng trình đã cho là vô nghiệm. Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh 17 3 √ x +3 x −3 + 17√ x 3 +3 x −3 = 2 Gi¶i: a+b 2 k+1 ¿ 2 ¿. 2 k+1 2 k+1 áp dụngbất đẳng thức a +b. 2. (bất đẳng thức trên có thể chứng minh bằng qui nạp toán học) DÊu ''=''x¶y ra khi a ❑2 =b ❑2 Tađợc: 17. √ x 3 +3 x −3+ 17√ 5 −( x3 +3 x) ). (. 2. 3. ❑. √ x 3 +3 x −3 + 17√ x 3 +3 x −3 DÊu ''=''x¶y ra khi ( 17√ x 3 +3 x −3 ) ⇔. ⇔. 17. x 3+3 x −3=|5 −( x 3 +3 x)|. 3. x +3 x − 3+5 −( x +3 x) =1 2. 17. 1 2 ❑ =(. 17. √ x 3 +3 x −3 ). ⇔ x=1. Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: x= 1 Bµi 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh. 2. ❑.

(36) 6. x+ √5 ¿ =18 −8 √ 5 6 x +1 ¿ +¿ ¿. Gi¶i 2k. Ta lu«n cã. −a¿ 2k a ¿ =¿ ¿. 2k 2k áp dụng bất đằng thức: a +b ≥ a+b. 2. [ ]. 2k. 2. (bất đằng thức trên có thể chứng minh băng qui nạp toán học) DÊu ''=''x¶y ra khi a=b. 6. − x − √5 ¿ ¿ 6 x +1¿ + ¿ 6 x+ √5 ¿ =¿ 6 x +1¿ + ¿ ¿ VT=¿. DÊu ''=''x¶y ra khi x+1= -x- √ 5 ⇔ x=− √ 5+1 2. vây nghiệm của phơng trình đã cho là: x=− √ 5+1 2. Bµi tËp 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh. √5 27 x10 −5 x 6+ √5 864=0 Gi¶i: Ta thÊy x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh: chia c¶ hai vÕ cña (*) cho x ❑6 Ta đợc √5 27 x 4 − 5+ 1 6 ) x. 1 5 √864=0 x6. ¿ ⇔ √ 27 ¿ 5. x4 +¿ 3. x4 +¿ 3. =5. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta đợc:. 4. VT = √5 27 ( x +¿ 3. 4. x +¿ 3. 1 1 ) 6 + x x6. 1 2 ¿ x6 ¿ 5 4 . x 3 √ 27 ¿ ¿ 3 ¿ 5 √5 ¿. x4 +¿ 3. 1 + x6.

(37) ¿ 10 ⇔ x =3 ⇔ x= √ 3/❑ 3 ¿ ¿ Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: x=10√3 /❑ ¿ 4 DÊu ''=''x¶y ra khi: x =¿. 1 6 x. 10. 4./Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a- √ 6 − x+ √ x − 4=x2 −10 x+ 27. √ x2 − 4 x+5 + √ 2 x 2 − 8 x+12=−5 x 2+ 20 x −17 c- √ x+3+ 4 √ x − 1 + √ x+15 − 8 √ x − 1 =6 b-. 100. 100 + x+ 6 ¿ =2.3 ❑100 ¿. d-. x. e-. x −1 ¿2002 + x − 2¿ 2002 =1 ¿ ¿. g-. 19. √ x 2+ y 2 − x + 19√− x 2 + y 2 + x =2 19√ y 2. II T×m GTNN vµ GTLN cña biªñ thøc 2 Bµi 1 T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc sau a = 2 x +2 4 x +5. x +1. Gi¶i: 2 x +5 BiÓu thøc nhËn gi¸ trÞ ⇔ ph¬ng tr×nh a= 2 x +4 (*) cã nghiÖm 2. x +1. Do x2+1 >0 nªn (*) ⇔ víi x2 (a-2) -4x +a-5 =0 + NÕu a=2 th× phêng tr×nh cã nghiÖm x=-3:4 + NÕu a kh¸c 2 (*) cã nhiÖm ⇔ 0 ⇔ a2 -7a +6 Δ =4-(a-2)(a-5) 1 a 6 ⇔ NÕu a=1 th× x=-2 Nếu a=6 thì x =0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của BT đã cho là 1 khi x=-2 và giá trị lớn nhất của BT đã cho là 6 khi x=0,5. Bµi 2: T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc B =2x2 +4xy +5y2. BiÕt r»ng x2 +y 2 =a (1) Víi a lµ h»ng sè 1. Gi¶i: V× a 1 nªn ta cã B:a =(2x2 +4xy +5y2 ):(x2 +y 2) (*) NÕu y=0 th× B:a =2 ∀ x 2 Nếu y khác 0 Đặt x:y khi đó (*) trở thành B:a = 2 t +2 4 t +5. t +1.

(38) Theo bµi 1 ta cã: 1 t 6 ⇔ 1 B:a 6 ⇔ a B 6a Vậy giá trị nhỏ nhất của BT đã cho là a khi x:y =-0,5 ⇔ x=-2y thay vào (1) Ta đợc x=2 √5 a , y=- √ 5 a :; x=-2 √ 5 a , y=- √ 5 a 5. 5. 5. 5. Giá trị lớn nhất của BT đã cho là x:y =0,5 ⇔ y=2x thay vào (1) Ta đợc x= √5 a , y=2 √ 5 a ; x=- √ 5 a , y=-2 √5 a 5. 5. 5. 5. Bài 3 Cho hình vuông ABCD có cạng là a Một điểm M di động trên cạnh AB. Dựng các hình vuông có cạnh là AM và BM Về bên trong hình vuông đó. Xác định vị trí của M để diện tích S còn lại của hình vuông là lớn nhất. Gi¶i: Gäi S1, S2 lÇn lît lµ diÖm tÝch c¸c h×nh vu«ng cã c¹nh lµ AM vµ AN ⇒ S1=AM2, S2+=BM2. S nhá nhÊt khi S1+S2 = AM2 +BM2. lín nhÊt Ta cã AM2+MB2 0,5 (MA+MB)2=0,5 a2. DÊu "=" x¶y ra khi MA=MB hay M lµ trung ®iÓm cñ AB VËy: S lín nhÊt khi M lµ trung ®iÓm cña AB. Bµi tËp ¸p dông: 1/ Chøng minh r»ng 3x+4 √ 1− x 2 5 2/ T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc. √ x − 1− 2 √2 − x +3 √ x −1+2 √ 2− x+3. 3/ T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc x+. √. 2. x+. 1 2 x. biÕt x>0. Bài 4: Cho đờng tròn (O,R) và một điểm M thay đổi trên đờng kính AB. Tìm vị trí của điểm M để tổng diện tích hai đờng tròn đờng kính MA và MB có diện tÝch nhá nhÊt.. E- PhÇn thùc nghiÖm: Tổng quát một Bất đẳng thức và ứng dụng Sau mỗi lần chứng minh sông một Bất đẳng thức giáo viên cần định hớng cho học sinh tổng quát hoá Bất đẳng thức vừa chứng minh. nếu làm tốt đợc việc này sẽ không chỉ làm đẹp và phong phú Bất đẳng thức mà còn đem lại những.

(39) ứng dụng không nhỏ. Giúp học sinh có vốn kiến thức rộng về Bất đẳng thức tạo điều kiện cho việc học toán nói chung và Bất đẳng thức nói riêng. Sau đây là một ví dụ để chứng minh điều đó: Chúng ta bắt đầu từ một Bất đẳng thức quen thuộc sau: Chøng minh r»ng:. a+ b 2 ¿ 2 a2 +b2 ≥¿ 2. (1) ∀ a,b; R. a,b DÊu "=" x¶y ra khi a=b. Chøng minh r»ng:. a+b 4 ¿ 2 a4 +b 4 ≥¿ 2. (2) ∀ a,b; R. a,b DÊu "=" x¶y ra khi a=b. Bất đẳng thức (1), (2) dễ dàng chứng minh. Giáo viên cho học sinh tổng quát Bất đẳng thức từ Bất đẳng thức (1) và (2) Ta đợc Bất đẳng thức Chøng minh r»ng:. a+ b 2 k ¿ 2 a2 k +b2 k ≥¿ 2. (3) ∀ a,b; R. a,b k lµ sè tù nhiªn kh¸c 0. DÊu "=" x¶y ra khi a=b Ta có thể chứng minh Bất đẳng thức (3) bằng phơng pháp quy nạp. Vấn đề đặt ra với số mũ lẻ có xảy ra Bất đẳng thức tơng tự hay không ? a+b 3 3 3 Ta so s¸nh a +b Víi 2 ¿ 2. Ta xÐt. a+ b 3 ¿ 2 a3 +b3 −¿ 2. a,b. = …..= 3 (a+b)(a-b)2. 8. 8. VËy. a,b; R. ¿. Ta thÊy 3 (a+b)((a-b)2. a+ b 3 ¿ 2 a3 +b3 ≥¿ 2. ∀. (4) ∀. 0 nÕu a+b. a,b; R. 0 DÊu "=" x¶y ra khi a=b vµ a= -b. a,b víi a+b. 0, DÊu "=" x¶y ra khi. a2=b2 Ta thÊy 3 (a+b)((a-b)2. 8. 0 nÕu a+b. 0 DÊu "=" x¶y ra khi a2=b2.

(40) VËy. a+ b 3 ¿ 2 a3 +b3 ≤¿ 2. (5) ∀. a,b; R. a,b víi a+b. 0 DÊu "=" x¶y ra khi. a2=b2 Ta lại tổng quát Bất đẳng thức (4) ta đợc Bất đẳng thức: a+b 2 k +1 ¿ 2 a2 k+1 +b 2 k+1 ≥¿ 2. (6), ∀ a,b; R. a,b víi a+b. 0, DÊu "=" x¶y ra khi. a2=b2 Ta lại tổng quát Bất đẳng thức (5) ta đợc Bất đẳng thức: a+b 2 k +1 ¿ 2 a2 k+1 +b 2 k+1 ≤¿ 2. (7), ∀ a,b; R. a,b víi a+b. 0, DÊu "=" x¶y ra khi. a2=b2 Chứng minh Bất đẳng thức a+b 2 k +1 ¿ 2 (6) ∀ a,b; R a2 k+1 +b 2 k+1 ≥¿ 2. XÐt:. a+b 2 k+1 a+b 2 k ¿ ¿ = 2 2 ¿ ¿. 2k 2k Ta chøng minh a +b. ( (. 2. a,b víi a+b a2 k +b2 k 2. a+b ) 2. 2k. 2k. a +b 2. (. a+b ) 2. a+b ) (*) 2. a 2k. -. (. a2 k+1 +b 2 k+1 2. a+b ) 2. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö b XÐt hiÖu:. 0, DÊu "=" x¶y ra khi a2=b2. 2k. a +b 2. 1 (a2k+1 +a2kb + b2ka + b2k+1 4. =. -2a2k+1-2b2k+1 ) = 1 [a2k(b-a )-b2k(b-a)] =- 1 (b-a)(b2k-a2k ) 4. Do b ⇒. 4. a vµ ta cã a+b. b2k - a2k. 0 ⇒ -. 0 ⇒ b-a. 0 vµ b2. 1 (b-a)(b2k-a2k ) 4. a2 ⇒ b2k. 0 (**). a2k..

(41) a+b 2 k +1 ¿ 2 (6) ∀ a,b; R a2 k+1 +b 2 k+1 ≥¿ 2. Tõ (*) vµ (**)ta cã. a,b víi a+b. 0.. DÊu "=" x¶y ra khi a2=b2 Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức: a+b 2 k +1 ¿ 2 a2 k+1 +b 2 k+1 ≤¿ 2. (7), ∀ a,b; R. a,b víi a+b. 0, DÊu "=" x¶y ra khi. a2=b2 Bây giờ ta kêt hợp các Bất đẳng thức (2); (6); (7) ta đợc Bất đẳng thức tổng qu¸t sau: a+b k ¿ 2 (8) ∀ a,b; R ak +b k ≥¿ 2. a,b víi a+b. 0,. DÊu "=" x¶y ra khi a2=b2 nÕu n lÎ; a=b nÕu n ch½n a, b bÊt kú nÕu bµi tËp ¸p dông: Bµi 1 - Cho ba sè d¬ng a,b,c vµ sè nguyªn k chøng minh r»ng: a k ¿ b+c ¿. b. c. k. 3 k (*) 2. k. + a+c ¿ + b+a ¿ ¿. 1.. ¿. Gi¶i: (*) ⇔. 2a k ¿ b+c ¿. 2b. k. 2c. ¿. k. 3. ¿. Theo Bất đẳng thức (8) ta có b +c k 2a. k. + a+c ¿ + b+a ¿. b+c k ¿ 2a ¿. =. b+c k 1 ¿ k 2 a ¿. k. k. b +c 1 2 ak. =. k. ⇒. 2a k ¿ b+c ¿. 2 ak bk +c k. Chøng minh t¬ng tù cho c¸c trêng hîp cßn l¹i råi céng c¸c vÕ cña c¸c BÊt đẳng thức đó lại ta đợc:.

(42) 2a k ¿ b+c ¿. 2b k 2c k + a+c ¿ + b+a ¿ ¿ ¿ k. Ta chøng minh. 2a k k b +c. 2 ak bk +c k k. +. 2b k k a +c. +. 2b k ak +c k. +. 3. ⇔. 2 ck bk +a k. k. +. 2c k k b +a. k. a k k b +c. k. +. b k k a +c. k. c k b +a k. +. 1,5. Ta thấy Bất đẳng thức cuối cùng là Bất đẳng thức Lepnit cho ba số ta rễ dàng chứng minh. Vậy Bất đẳng thức (*) đợc chứng minh. Bµi 2: Cho k lµ sè nguyªn lÎ vµ x,y,z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: .x z; y t vµ √k x+ √k y=¿ √k z+ √k t + √k 2k −1 chøng minh r»ng √k x − z + √k y − t. 1 Gi¶i:. áp dụng Bất đẳng thức (6) ta có k k k k ( √ x − √ z )k =( √ x + √ − z )k. 2. ⇔. 2. √k x − z. ( x-z):2 do k lÎ vµ x. √k x − √k z . k 2 √ 2. z. DÊu "=" x¶y ra khi khi x2=z2.. Chøng minh t¬ng tù ta cã k. √ y−t. √k y − √k t . k 2 √ 2. DÊu "=" x¶y ra khi khi y2=t2.. Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: √k x − √k z . k 2 + √k y − √k t . k 2 √ √ 2 2 ⇔ √k x − z + √k y − t √k 2 ( √k x+ √k y − √k z − √k t ¿ :2 ⇔ √k x − z + √k y − t √k 2 . √k 2k+1 :2 =1 (§PCM) C¸c trêng hîp dÊu b»ng x¶y ra häc sinh tù xÐt. Bµi 3 Cho c¸c sè d¬ng a,b ,c chøng minh r»ng: (a+b-c)n +(b+c-a)n +(c+a-b)n an +bn +cn. (@) ∀ n lµ c¸c sè tù nhiªn √k x − z + √k y − t. Gi¶i: Với 1 Bất đẳng thức đúng. Víi n 2 §Æt x= a+b-c; y=b+c-a; z =c+a-b ⇒ x+y =2b b= x + y 0 t¬ng tù ta cã a = z + y 0; c = ⇒ 2 2 .Khi đó Bất đẳng thức (@) trở thành ⇒. 0. x+z 2. 0.

(43) . xn +yn + zn. (. z+ y 2. )n +(. Theo Bất đẳng thức (8) ta có xn + yn 2. +. xn + z n 2. x+ y n ) +( x + z )n 2 2 ( z + y )n+( x + y 2 2. x+z 2. )n+(. )n. = xn +yn + zn. VËy (a+b-c)n +(b+c-a)n +(c+a-b)n Bµi 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh 6 x+ √5 ¿ =18 −8 √ 5. an +bn +cn ∀ n lµ c¸c sè tù nhiªn. 6. x +1 ¿ +¿ ¿. Gi¶i 2k. −a¿ 2k a ¿ =¿ ¿. ta lu«n cã. 2k 2k áp dụng bất đằng thức: a +b ≥ a+b. 2. [ ]. 2k. 2. DÊu ''=''x¶y ra khi a=b. 6. − x − √5 ¿ ¿ 6 x +1¿ + ¿ 6 x+ √5 ¿ =¿ 6 x +1¿ + ¿ ¿ VT=¿. DÊu ''=''x¶y ra khi x+1= -x- √ 5 ⇔ x=− √ 5+1 2. Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: x=− √ 5+1 2. Bµi tËp cñng cè vµ vÒ nhµ: Bµi 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau. x100 +(x+6)100=2.3100. Bµi 2:Chøng minh r»ng: x2k +(x+4)2k+(x+2)2k+1 2+2 2k+1 X lµ sè thùc. n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng Bµi 3: Cho k >1 lµ c¸c sè lÓ vµ c¸c sè thùc x1,x2, …., ,x n tho¶ m·n 2k.2-1 x1 x2 xn 2 k-1 chøng minh r»ng: …., k. 2k. √2. − x1. zn + yn 2. + √k x1 − x 2 +……….+. k. √x −2 x. k −1. 1. +.

(44) F- KÕt luËn 1- KÕt qu¶ nghiªm cøu Trên đây là một số phơng pháp giải Bất đẳng thức từ cơ sở lý thuyết đến c¸c bµi tËp mÉu (trong mçi ph¬ng ph¸p cã mét sè d¹ng cô thÓ ) cã lêi gi¶i. Tõ đó học sinh áp dụng vào các bài tập cụ thể, để củng cố từng dạng trong phơng pháp đó. Nhng do khả năng trong nhóm có hạn, kinh nghiệm giảng dạy và nghiêm cứu cha đợc là bao, nên phần trình bài trắc còn nhiều hạn chế. Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu đề tài này giúp nhóm chúng em tự tin h¬n, say sa víi nghÒ nghiÖp h¬n. Các em học sinh khi học đề tài này sẽ thấy mở mang ra nhiều. Biết các áp dông vµo bµi häc mét c¸ch s¸ng t¹o l« gÝc c¸c em thùc sù say sa víi m«n häc. 2 Bài học rút ra và đề nghị: Các Bất đẳng thức không chỉ cần thiết đối với học sinh THCS mà còn cần cho c¶ gi¸o trong qu¸ tr×nh d¹y to¸n ë THCS nÕu nghiªn cøu tØ mØ s©u h¬n n÷a th× thấy đây là một loại toán rất độc đáo và hay giúp ta tự hoàn thiện mình, từ đó chủ động về kiến thức và tự tin trong dạy học toán. Vì khả năng có hạn, thêm nhiều yếu tố khách quan nên tài liệu cha đáp ứng đợc sự mong mỏi của các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh. Rất mong đợc sự đóng góp chân thành của các thầy cô giáo và các bạn bè đồng nghiệp (chân thànhcảm ơn)./..

(45) C¸c tµi liÖu tham kh¶o STT. Tªn tµi liÖu. Tªn t¸c gi¶. 1. C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt đẳng thức. NguyÔn vò thanh. 2. 500 bài toán chọn lọc về Bất đẳng thøc (TËp I). Phan huy kh¶i. 3. 500 bài toán chọn lọc về Bất đẳng thøc (TËp II). Phan huy kh¶i. 4. Ph¬ng ph¸p t×m GTNN vµ GTLN. Phan huy kh¶i. 5. Các bài toán chọn lọc về Bất đẳng thøc. Vò hoµng l©n. 6. Tuyển tập 180 bài toán Bất đẳng thức Võ đại mau. 7. 250 bài toán đại số. Võ đại mau. 8. Một số vấn đề phát triển toán 8. VHB + TH +§qt. 9. Một số vấn đề phát triển toán 8. VHB + TH +§qt. 10. Phơng pháp giải Bất đẳng thức. TrÇn v¨n th¬ng. 11. Phơng pháp giải 35, 36 bộ đề thi vào c©p II vµ BDHSG. Võ đại mau. 12. Nh÷ng bµi to¸n hay vµ khã. Nguyễn đễ.

(46) 13. Các đề thi vô địch 19 nớc. NguyÔn §Ô. Môc lôc STT. Tªn môc. Trang. 1. A - phÇn më ®Çu. 2. 2. I - Lý do chọn đề tài. 2. 3. II - Mục đích nghiên cứu:. 3. 4. III - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu. 3. 5. IV - Ph¹m vi nghiªn cøu. 3. 6. B - Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức. 4. 7. các phơng pháp cm Bất đẳng thức. 5. 8. Phơng pháp 1: Phơng pháp dùng định nghĩa. 5. 9. Phơng pháp 2: Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng. 8. 10. Ph¬ng ph¸p 3: Dïng tÝnh chÊt cña tØ sè. 12. 11. Ph¬ng ph¸p 4: Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng. 15. 12 13 14. 17 21 23. 16. Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p quy n¹p Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p lµm tréi Phơng pháp 8: Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bất đẳng thức Bunhiacopxky Ph¬ng ph¸p 9: Ph¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai. 17. Ph¬ng ph¸p 10: Ph¬ng ph¸p h×nh häc. 34. 18. Một số ứng dụng của Bất đẳng thức. 36. 19. PhÇn thùc nghiÖm:. 43. 20. KÕt luËn. 48. 15. 26 31.

(47) 21. Tµi liÖu tham kh¶o. 50. 22. Muc lôc. 51.

(48)

De HSG Toan 820162017 59

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về