De HSG Toan 820162017 213

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Buổi 1 : hằng đẳng thức a. môc tiªu: * Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * T¹o høng thó cho HS trong qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b. hoạt động dạy học: I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: 1. Nh©n ®a thøc víi ®a thøc: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Những hằng đẳng thức đáng nhớ: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II. Bµi tËp ¸p dông: Hoạt động của GV Hoạt động của HS HS ghi đề, thực hiện theo nhóm 1. Bµi 1: Rót gän biÓu thøc HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän 2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4 b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + 1 2 2 c) (3x + 1) – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bµi 2: T×m x biÕt: 2 2 3(x + 2) + (2x – 1) – 7(x + 3)(x - 3) = HS ghi đề bài 172 gi¶i theo nhãm Ýt phót áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3) áp dụng các H.đẳng thức nào để giải 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = Biến đổi, rút gọn vế trái 172  3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – Bµi 3: 9) = 172  ….  8x = 96  x = 12 Cho x + y = a; xy = b. tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b: HS ghi đề bài, tiến hành bài giải x2 + y2; x4 + y4 Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 Bµi 4: chøng minh r»ng = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 HS ghi đề, tiến hành giải cùng với GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3y4 b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b = x4 – y4 = VP (®pcm) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra ®iÒu g×? b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2  a2 - 2ab + b2 = 0 c) NÕu: x + y + z = 0 vµ  (a – b)2 = 0  a – b = 0  a = b xy + yz + zx = 0 th× x = y = z (®pcm) Tõ : x + y + z = 0  (x + y + z)2 =? c) Tõ : x + y + z = 0  (x + y + z)2 = 0 Tõ ®o ta cã ®iÒu g×?  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0 d) cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 2 4 4 4  x2 + y2 + z2 = 0 ( v× xy + yz + zx = 0) c/m: a + b + c = 2 Trường THCS Phú Hữu. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. HD c¸ch gi¶i t¬ng tù.  x=y=z. d) Tõ a + b + c = 0  (a + b + c )2 = 0  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0  ab + bc + ca = -1 (1) Ta l¹i cã: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4 (2) Tõ (1)  (ab + bc + ca)2 = 1  a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2. Bµi 5: So s¸nh: a) A = 1997 . 1999 vµ B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 3128 - 1 TÝnh 4 theo 32 – 1?. a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – 1 < 19982  A < B. Khi đó A = ? áp dụng hằng đẳng thức nào liên tiếp để so s¸nh A vµ B. Bµi 6: a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100...05( cã n – 1 ch÷ sè 0) Cmr: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng b) Cho Un = 11...155...5 (cã n ch÷ sè 1 vµ n ch÷ sè 5) Cmr: Un + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. 32  1 b) V× 4 = 2 nªn. A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 32  1 = 2 (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 1 = 2 (34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 1 = 2 (38 - 1)(38 + 1)...(364 + 1) 1 = 2 (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) 1 = 2 (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 1 1 1 = 2 (364 - 1)(364 + 1) = 2 (3128 - 1) = 2 B. VËy: A < B. Ta cã: b = 10n + 5 = 9...9 + 6 = 9(1...1) + 6 = 9a + 6  ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng Ta viÕt: = = 11…1.10n + 5. 11…1 §Æt: a = 11...1 th× 9a + 1 = 10n Do đó : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: cho x + y = 3. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1 Bµi 2: Trường THCS Phú Hữu. 2 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Chøng minh r»ng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bµi 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n vµ n2 cñng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng Bµi 5: So s¸nh: x y x2  y2 2 2 A = x  y víi B = x  y (Víi 0 < y < x ). Buổi 2 : hằng đẳng thức ( Tiếp). a. môc tiªu: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức * T¹o høng thó cho HS trong qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b. hoạt động dạy học: I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: Những hằng đẳng thức đáng nhớ: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) LËp ph¬ng mét tæng: (A + B)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (4) LËp ph¬ng mét hiÖu: (A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (5) Tæng hai lËp ph¬ng: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (6) HiÖu hai lËp ph¬ng: a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (7) B×nh ph¬ng tæng ba h¹ng tö: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II. Bµi tËp ¸p dông: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: HS ghi đề, tiến hành bài giải a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) 1HS lªn gi¶i Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = ...= 5x - 8 HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 Bµi 2: T×m x biÕt (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 §Ó t×m x ta lµm thÕ nµo?. Bµi 3: ViÕt biÓu thøc sau díi d¹ng tæng cña ba b×nh ph¬ng: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i Nếu HS cha giải đợc thì gợi ý: H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2 Trường THCS Phú Hữu. HS ghi đề, tiến hành bài giải Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i 1HS lªn b¶ng gi¶i (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1  x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1  x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1  x3 - 27 - x3 + 4x = 1  4x = 28  x = 7 HS ghi đề, tìm cách giải Đại diện HS lên trình bày( Nếu không giải đợc th× theo Hd cña GV) A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2). 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt khi biÕt gi¸ tri Bt kh¸c a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña Bt A = x3 + y3 Cho HS gi¶i ViÕt A thµnh tÝch §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy. TÝnh xy nh thÕ nµo? Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. H·y t×m c¸ch tÝnh xy b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1 TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ? §Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo? NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×? §Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×? Khi đó ab + bc + ca = ?. = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2. HS gi¶i A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy Tõ x + y = 2  x2 + y2 + 2xy = 4  xy = - 3 (2) Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề B×nh ph¬ng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1  a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i b×nh ph¬ng Bt: (ab + bc + ca) Ta b×nh ph¬ng Bt: a + b + c = 0, ta cã: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 1 1 2  ab + bc + ca = 2  (ab + bc + ca) = 4 1  a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = 4 1 2 2 2 2 2 2  a b + b c + c a = 4 (2) . a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? Từ đây, làm thế nào để tính giá trị của Bt B. Thay (2) vµo (1) ta cã: Bµi 5: 1....1 . 1....1 . 6....6 . 1 1 1 B = 1 - 2. 4 = 1 - 2 = 2. Cho a = ; b= vµ c = n Chøng minh r»ng: A = a + b + c + 8 lµ mét sè chÝnh ph¬ng §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m g×?. HS ghi đề, tìm cách giải. A=a+b+c+8=?. §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m nã b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè. 2n. n 1. 9 11...1  (11...1)   9 n . ViÕt thµnh luü Ta cã: n. thõa 10?. A=. 1....1  2n. +. 1....1  n 1. +. 6....6  n. +8. 9 1....1 9 1....1 1....1    = 9 ( 2n ) + 9 ( n 1 ) + 6( n ) + 8 102n  1 10n 1  1 10n  1 9 9 = + + 6. 9 + 8 102n  10n 1  10n  64 102n  16.10n  64 9 9 = =. Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z 2 2 2 n thoã mãn đẳng thức:     10  8 100...08   x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0      33...36     Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng =  3   3   n  1  tæng c¸c b×nh ph¬ng? Trường THCS Phú Hữu. 4 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Có nhận xét gì về hai vế của đẳng thức? Ta cã kÕt luËn g×? Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã . 1 2 vµ. x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0  (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0  (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0 Rõ ràng, vế trái của đẳng thức là một số dơng víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng 0 Vậy không tồn tại các số x, y, z thoã mãn đẳng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0. gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 khi x = 2 ; y = z=4 Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bµi 2: a) Cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . TÝnh x3 + y3 theo a vµ b Bµi 3: Chøng minh r»ng NÕu a + b + c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3 abc. Trường THCS Phú Hữu. 5 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Buổi 3 : đờng trung bình của tam giác, hình thang a. môc tiªu: - Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đờng trung bình của tam giác, đờng trung b×nh cña h×nh thang - TiÕp tôc rÌn luyÖn kû n¨ng chøng minh h×nh häc cho HS - t¹o niÒm tin vµ høng thó cho HS trong khi häc n©ng cao A b. hoạt động dạy học: I. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc bµi häc: E F 1. §êng trung b×nh cña tam gi¸c * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c gọi là đờng trung bình của tam giác B C - E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đờng trung b×nh cña  ABC - NÕu E lµ trung ®iÓm AB vµ EF // BC th× F lµ trung ®iÓm AC - EF là đờng trung bình của  ABC thì EF // BC và EF 1 = 2 BC. 4. §êng trung b×nh cña h×nh thang: * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang gọi là đờng trung bình của hình thang + H×nh thang ABCD (AB // CD) cã M lµ trung ®iÓm AD, N là trung điểm BC thì MN là đờng trung bình của h×nh thang ABCD + NÕu MA = MD, MN // CD // AB th× NB = NC + MN là đờng trung bình của hình thang ABCD 1 th× MN // AB // CD vµ MN = 2 (AB + CD). II. Bµi tËp ¸p dông:. Trường THCS Phú Hữu. 6 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Bµi 1: Cho  ABC đều cạnh a. Gọi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC a) Tø gi¸c BCMN lµ h×nh g×? v× sao? b) TÝnh chu vi cña tø gi¸c BCNM theo a Cho HS t×m lêi gi¶i Ýt phót Dù ®o¸n d¹ng cña tø gi¸c BCNM? §Ó c/m tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n ta cÇn c/m g×? V× sao MN // BC . . A. HS ghi đề bài ViÕt GT, KL, vÏ h×nh M. HS suy nghÜ, t×m lêi gi¶i HS dù ®o¸n c/m: MN // BC vµ. N. B. C.  =C  B. Từ GT  MN là đờng trung bình của  ABC. V× sao B = C ? Từ đó ta có KL gì?. 1  MN // BC (1) vµ MN = 2 BC (2)  =C  600  ABC đều nên B (3). Chu vi h×nh thang c©n BCNM tÝnh nh thÕ nµo? H·y tÝnh c¹nh BM, NC theo a BC = ? v× sao? VËy: chu vi h×nh thang c©n BCNM tinh theo a lµ bao nhiªu?. Tõ (1) vµ (3) suy ra tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n Chu vi h×nh thang c©n BCNM lµ PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) 1 1 1 BM = NC = 2 AB = 2 BC = 2 a 1 1 BC = a, MN = 2 BC = 2 a. VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC 1 1 1 5 =a+ 2a+ 2a+ 2a= 2a. Bµi 2: Cho  ABC có ba góc đều nhọn; AB > AC Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, VÏ h×nh AC, BC. Vẽ đờng cao AH a) C/m: MP = NH b) Gi¶ sö: MH  PN. C/m: MN + PH = AH M. §Ó C/m MP = NH ta cÇn C/m g×?. B. A. N. P. H. C. Tø gi¸c MPHN lµ h×nh thang c©n hoÆc C/m: MP và NH cùng bằng một đoạn nào đó MP là đờng Tb của  ABC nên MP // AC và. Tõ GT suy ra MP cã tÝnh chÊt g×? Ta cÇn C/m g×? Gäi I = MN  AH th× ta cã ®iÒu g×? V× sao? Hoµn thµnh lêi gi¶i?. 1 MP = 2 AC 1 Ta cÇn C/m NH = 2 AC. M là trung điểm AB và MI // BH ( do MN là đờng trung bình của  ABC) nên I là trung điểm AH vµ AI  MN (Do AH  BC ) Trường THCS Phú Hữu. 7 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Khi MH  PN th× MH  AB? V× sao?  AMH lµ tam gi¸c g×? v× sao?. 1   ANH c©n t¹i N  NH = NA = 2 AC. VËy: MP = NH HS hoµn thµnh lêi gi¶i c©u a Khi MH  PN th× MH  AB v× NP // AB  AMH lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i M v× cã.  ABH lµ tam gi¸c g×? v× sao?. Từ đó suy ra điều gì? Bµi 3: Cho  ABC. Gäi I lµ giao ®iÓm cña c¸c tia ph©n gi¸c trong. kÎ IM  AB; IN  BC và IK  AC. Qua A vẽ đờng thẳng a // MN; đờng thẳng b // NK. A cắt NK tại E, b c¾t NM t¹i D, ED lÇn lît c¾t AC, AB t¹i P, Q. Cmr: PQ // BC.  AMH 900 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ    MAH = AHM 450. đờng cao.   900 mµ AHM 450 nªn  ABH cã AHB  HBM 450   ABH vu«ng c©n t¹i H.. Suy ra BH = AH Mµ BH = BP + PH = MN + PH VËy: MN + PH = AH HS ghi đề, Vẽ hình, A. Gäi giao ®iÓm cña BC vµ AD lµ L, cña BC vµ AE lµ H §Ó c/m: AM = AK ta c/m g×?, T¬ng tù h·y c/m: BN = BM, CN = CK. D. Q. P. E. M I. K.  MNHA lµ h×nh g×? V× sao. Ta suy ra ®iÒu g×?  KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có ®iÒu g×? Ta cã thÓ KL g× vÒ Mqh gi÷a ND, NE trong  ALH DE cã tÝnh chÊt g×?. L. B. C. N. H.  AMI =  AKI (C. huyÒn – g. nhän)  AM = AK (1)  BMI =  BNI (C. huyÒn – g. nhän)  BM = BN (2)  CNI =  CKI (C. huyÒn – g. nhän)  CN = CK (3)  MNHA lµ h×nh thang c©n( v× cã: MN//AH,     MAH = BMN = NHA = BNM. Bµi 4: Cho  ABC cã AB = c, BC = a, AC = b Qua A vẽ đờng thẳng song song với BC c¾t c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc C t¹i D vµ E. Tõ A vÏ AP  BD; AQ  CE. PQ lÇn lît c¾t BE, CD t¹i M vµ N TÝnh MN, PQ theo a, b, c.  NH = AM (4)  KNLA lµ h×nh thang c©n  NL = AK (5) Tõ (1), (4), (5)  NL = NH (6) NE, ND là đờng trung bình của  ALH nên:. Dù ®o¸n xem MN cã tÝnh chÊt g×?. HS vÏ h×nh. ). EA = EH (7) vµ DA = DL (8) Từ (7) và (8) suy ra: DE là đờng trung bình cña  ALH  DE // LH  PQ // BC. H·y C/m BCDE lµ h×nh thang Dù ®o¸n vµ c/m d¹ng cña  BAD Trường THCS Phú Hữu. 8 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Từ đó ta có điều gì?. E. PQ cã tÝnh chÊt g×? Suy ra tÝnh chÊt cña MN. M. A. D. 1. 1. Q. P 1. 1. H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c. 2 B. N. 2 C. Dự đoán: MN là đờng trung bình của hình thang BCDE Tõ gt  BCDE lµ h×nh thang v× cã DE // BC  =B    B 1 2 mµ B2 = D1 (so le trong – do BC //   DE)  B1 = D1   BAD c©n t¹i A. mµ AP  BD  PB = PD; AB = AD = c T¬ng tù  CAE c©n t¹i A Vµ AQ  CE  QC = QE vµ AC = AE = b. PQ là đoạn thẳng nối trung điểm của hai đờng chÐo h×nh thang BCDE nªn PQ // AB  MN là đờng trung bình của hình thang BCDE nªn: BC + DE BC + AE + AD a + b + c  2 2 2 MN = = BC + DE 2 PQ = MN–(MQ + NP) = - BC AD + AE - BC b+c-a  2 2 =. III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: 1  = 900); AB = CD = 2 AB Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, A kÎ CH  AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F. a) Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×? b) C/m : AC  BC 1 1 c) EF = 2 DC = 4 AB. Bµi 2: Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy. Buæi 4. ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a. môc tiªu: Trường THCS Phú Hữu. 9 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. * Cñng cè, kh¾c s©u vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö * HS sử dụng thành thạo các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * VËn dông viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµo c¸c bµi to¸n chøng minh, t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc, cña biÕn b. hoạt động dạy học: I. Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc: C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: * Phơng pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích * Phơng pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với nhau để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức * Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö : Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau: Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau đó chọn ra 2 thừa số có tổng bằng b. T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2 Khi đó a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Phơng pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đa biểu thức cần phân tích thành một biểu thức dễ ph©n tÝch h¬n * Phơng pháp Thêm bớt cùng một hạng tử : Thêm hoặc bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc một hằng đẳng thức * Phối hợp nhiều phơng pháp: sử dụng đồng thời nhiều phơng pháp để phân tích II. Bµi tËp vËn dông: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh HS: ¸p dông PP dïng H®t Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2 a) 25x4 – 10x2y + y2 áp dụng phơng pháp nào để phân tích đa = (5x2 – y)2 thøc nµy b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 2 2 2 2 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 c) (4x – 3x -18) – (4x + 3x) = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x4 + 2x3 – 4x - 4 Ta áp dụng phơng pháp nào để phân tích áp dụng phơng pháp nhóm hạng tử a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) 3 2 = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x +2x y – x – 2y b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) 2 2 3 c) ac x – adx – bc x + cdx +bdx – c x = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) 3. Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö 2 a) x – 6x + 8 HS ghi đề áp dụng phơng pháp nào để phân tích? C¸ch 1: Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo? V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) t¸ch nh thÕ nµo? Có thể tách nh thế nào khác nữa để xuất nên ta có: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) hiện hằng đẳng thức rồi tiếp tục phân C¸ch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …? tÝch 1 Trường THCS Phú Hữu Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. T¬ng tù, GV cïng HS t×m ra c¸c c¸ch ph©n tÝch kh¸c trong ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö b) a4 + a2 + 1 Hãy tách a2 thành 2 hạng tử để phân tích c) x3 – 19x – 30 Hãy tách hạng tử -19x để phân tích. Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) a4 + 64 D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö nào để xuất hiện một hằng đẳng thức b) x5 – x4 - 1. c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta đã có a3 + b3, vậy nên thêm bớt các hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sử dụng phơng pháp nào để phân tích. b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS lµm t¬ng tù nh c©u a. Bµi 6: a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b + c = 0  ?. b) cho xy 0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 Trường THCS Phú Hữu. C¸ch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? C¸ch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..? HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thªm vµ bít 2ab ta cã; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – 1 = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghÜ, tr¶ lêi c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) §Æt (x2 + x ) = y ta cã (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) §Æt y = x2 + 8x + 7 th× x2 + 8x + 15 = y + 8 ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Tõ a + b + c = 0  (a + b + c )2 = 0  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0  (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2  a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c)  a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). V× a + b + c = 0. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải  a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2). a b  C/m: x y. b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0  a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = 0  a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0  (ay – bx)2 = 0  ay – bx = 0 a b   ay = bx  x y (®pcm). III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 2 2 c) x – 7xy + 10y d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bµi 2: Chøng minh r»ng a) HiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè lÎ liªn tiÕp th× chia hÕt cho 8 b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hÕt cho mét sè chÝnh ph¬ng kh¸c 1 víi n  N. bµi 5: h×nh b×nh hµnh - h×nh ch÷ nhËt A. MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hình bình hành và hình chữ nhật * Vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập về Hbh và hcn * HS có hứng thú và nghiêm túc trong học tập B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại kiến thức bài học: Kieán Hình bình haønh Hình chữ nhật thức 0     AB // CD 1. Ñònh ABCD laø Hcn  A = B = C = D 90  nghóa ABCD laø Hbh AD // BC 2. Tính ABCD laø Hbh , AC  BD = O ABCD laø Hcn , AC  BD = O  AB = CD, AD = BC  AB = CD, AD = BC chaát. 3. Daáu hieäu nhaän bieát.   ,B  =D   A =C OA = OC, OD = OB .   ,B  =D  A = C   OA = OC, OD = OB  AC = BD . AB // CD, AD // BC  AB = CD, AD = BC    =B  ,C  =D  A  OA = OC, OB = OD   ( O = AC  BD)  . + + ABCD coù AB // CD Vaø + ABCD laø Hbh coù: - AC = BD. Trường THCS Phú Hữu. 1 Năm học: 2015-2016. . ABCD Laø hcn.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. ABCD laø Hbh. II. Baøi taäp vaän duïng: Hoạt động của GV. Hoạt động của HS. 1. Baøi 1: 0  Cho Hbh ABCD có A = 120 . Đường phaân giaùc cuûa goùc D ñi qua trung ñieåm cuûa AB a) C/m: AB = 2AD b) Goïi F laø trung ñieåm cuûa CD. C/m  ADF đều,  AFC cân c) C/m AC  AD Giaûi Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB. Ta coù  ADE laø tam giaùc gì? Vì sao? Hãy C/m điều đó. HS ghi đề, vẽ hình E. A. D. B. C. F. a)  ADE laø tam giaùc caân 0  Ta coù A = 120 , maø ABCD laø Hbh neân.  = 600  ADE   D = AED = 300   ADE caân taïi A  AD = AE maø AB = 2 AE. Haõy C/m  ADF caân taïi A coù moät goùc 600. Neân AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD laø Hbh). Haõy C/m  AFC caân taïi F. 1 1 maø DF = 2 CD, AD = 2 AB. Suy ra  = 600   D. Từ  AFC cân tại F ta suy ra điều gì? Goùc DFA baèng hai laàn goùc naøo cuûa  AFC  DAC =?. 2. Baøi 2: Cho  ABC vaø O laø ñieåm thuoäc mieàn trong của tam giác đó. Gọi D, E, F lần Trường THCS Phú Hữu. AD = DF ADF caân traïi D coù vậy:  ADF là tam giác đều Ta có AF = DF (do  ADF đều) Maø DF = FC (F laø trung ñieåm cuûa BC) Suy ra AF = FC   AFC caân taïi F . . c)  AFC cân tại F  DFA = 2FAC (Góc ngoài taïi ñænh cuûa tam giaùc caân) 0  Mà FDA = 60 (do  ADF đều). Suy ra.   FAC = 300  DAC = 900 hay AC  AD. HS ghi đề, vẽ hình. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. lượt là trung điểm của AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy Giaûi Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy ta C/m gì? Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường chéo của hai hbh có chung một đường cheùo Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m như theá naøo? Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì? Hai Hbh này có chung đường chéo nào? Từ đó ta có kết luận gì? Những Hbh nào có tâm trùng nhau?. 3. Baøi 3: Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BH  AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH, CD. Chứng minh BE  EF Giaûi Goïi K laø trung ñieåm cuûa AB ta coù ñieàu gì? Vì sao?. A L D. F. O. M B. N C. E. HS suy nghó , phaùt bieåu HS ghi nhớ phương pháp c/m E, F là trung điểm của BC, CA  EF là đường trung bình cuûa  ABC suy ra 1 EF // AB, EF = 2 AB (1). Tương tự LM là đường trung bình của  OAB 1 suy ra LM // AB, LM = 2 AB (2). Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFLM là Hbh C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh (Vì coù NE //= LD) Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy taïi trung ñieåm cuûa LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM vaø NLDE coù taâm truøng nhau HS ghi đề, vẽ hình. F. D. C H. E. I. Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao?. Goïi K laø trung A K B ñieåm cuûa AB ta có EK // HB (Vì EK là đường trung bình của  AHB) maø BH  AC  EK  AC suy ra. EI coù tính chaát gì? Vì sao?. Tứ giác BCFK có BK //= CF và có. Trường THCS Phú Hữu.  CEK = 900   CEK vuoâng taïi E  = 900 B nên là hình chữ nhật nên hai đường. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. cheùo BF vaø CK caét nhau taïi I vaø BF = CK  I laø trung ñieåm cuûa BF , CK  EI laø trung tuyeán thuoäc caïnh huyeàn CK cuûa  CEK.  BFE laø tam giaùc gì? Vìa sao?. 4. Baøi 4: Cho  ABC cân tại A. Từ điểm D trên BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Dựng các hình chữ nhaät BDEH vaø CDFK a) C/m: ba ñieåm A, H, K thaúng haøng b) C/m: A laø trung ñieåm cuûa HK c) Goi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng IJ khi D di động trên BC Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì? Hãy C/m AH, AK cùng song song với một đường thẳng nào ? Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như thế naøo? Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy ra ñieàu gì? Từ MI // AH và MJ // AK ta suy ra điều gì Coù caùch C/m naøo khaùc? Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m A laø trung ñieåm cuûa HK ta C/m gì? Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là trung điểm của DH để  AH = AK Kẻ MN  BC và đường cao AG thì MN coù tính chaát gì? M cách BC một khoảng không đổi thì m nằm trên đường nào? Trường THCS Phú Hữu. 1 1  EI = 2 CK = 2 BF 1  BFE coù trung tuyeán EI = 2 BF neân laø tam giaùc vuoâng taïi E  BE  EF. HS ghi đề , vẽ hình. H. F A I P. E M. K Q J. B. G N D. C. HS phaùt bieåu C/m AH, AK cùng song song với IJ HS neâu caùch c/m Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy ra MI và MJ lần lượt là đường trung bình của caùc tam giaùc AHD vaø AKD Neân MI // AH vaø MJ // AK hay AH vaø AK cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) HS neâu caùch C/m khaùc   = ACB  ABC caân taïi A neân ABC (1) I laø taâm cuûa hcn BDEH neân suy ra  BID caân      BDI = DBI ABD = BDI. taïi I hay (2) Từ (1) và (2) suy ra AB // DK mà IH = ID neân AH = AK maø A, H, K thaúng haøng neân A laø trung ñieåm cuûa HK c) Kẻ MN  BC (N  BC); đường cao AG ta 1 có MN = 2 AH (vì MN là đường trung bình. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. của  ADG )không đổi, nên M nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC 1 một khoảng bằng 2 AH không đổi chính là đường trung bình PQ của  ABC (PQ // BC). III. Baøi taäp veà nhaø: 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Chứng minh BM vuông góc với MK 2. cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều ABM, AND. Gọi E, F, Q theo thứ tự là trung điểm của BD, AN, AM a) tam giaùc MNC laø tam giaùc gì? Vì sao?  b) Tính FEQ. BUỔI 6 – PHÉP CHIA ĐA THỨC A. MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao về phép chia đa thức * Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ năng vận dụng phép chia đa thức vào các bài toán khaùc * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học tập và vận dụng vào thực tiễ B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại một số kiến thức: 1. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi luỹ thừa của biến trong A chia hết cho luỹ thừa cùng biến đó trong B 2. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q 3. Neáu A = B.Q + R thì: A chia heát cho B khi R = 0 ; A khoâng chia heát cho b khi R  0 II. Xác định hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B: 1. Phöông phaùp: 1.1- Cách 1: + Chia A cho B được thương là Q, dư là R + Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng bằng đồng nhất thức 2.1- Caùch 2: Duøng heä soá baát ñònh Đa thức bị chia có bậc là m, đa thức chia có bậc là n thìo thương có bậc là m – n Nếu gọi thương là xm – n + C (C là một đa thức chưa xác định) Thì A = (xm – n + C ). B A chia hết cho B khi hệ số của cùng một luỹ thừa ở hai vế phải bằng nhau 3.1 - Cách 3: dùng giá trị riêng (chỉ áp dụng khi đa thức bị chia có nghiệm) Trường THCS Phú Hữu. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Goïi thöông cuûa pheùp chia A cho B laø C thì A = B.C Tìm một giá trị của biến để C = 0 rồi dùng hệ số bất định để xác định hệ số III. Baøi taäp aùp duïng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS III.1 - Daïng 1: HS ghi đề , tìm cách giải Bài 1: xác định a, b để A(x) = x3 + ax + b 2 chia heát cho B(x) = x + x – 2 HS thực hiện phép chia: Hãy thực hiện phép chia A(x) cho B(x) x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b -2 Để A(x) chia hết cho B(x) thì phải có Đk gì Để A(x)  B(x)  (a + 3)x + b - 2 = 0 Hãy dùng hệ số bất dịnh để tìm a và b Thử lại xem có đúng không Bài 2: Tìm a, b  Q để A = x4 + ax + b chia heát cho B = x2 – 4 Gọi thương là x2 + c ta có đẳng thức nào?. Đẳng thức xẩy ra với x  Q nên ta có điều gì? Hãy tìm a, b, c tương ứng III.2 – Dạng 2: Các bài toán chứng minh 1. Bài 1: Chứng minh định lí Bơ-du “ Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị đa thức ấy tại x = a” Neáu goïi thöông laø q(x) dö laø r thì f(x) = ? Khi x = a thì f(x) = ? 2. Bài 2: chứng minh rằng: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2  x – 1 Aùp duïng ñònh lí Bô- du ta coù ñieàu gì?. 3. Bài 3: Chứng minh rằng Với m, n  Z thì: A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia Trường THCS Phú Hữu. a + 3 = 0 a = - 3   b - 2 = 0 b = 2. HS thử lại: HS ghi đề và tìm cách giải Gọi thương là x2 + c ta có đẳng thức x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c )  x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c Đẳng thức xẩy ra với x  Q nên  a 0  c  4 0  b  4c .  a 0  c 4 b  16 . HS tieáp caän yeâu caàu Ta coù f(x) = (x – a). q(x) + r Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r  f(x) = r (soá dö cuûa f(x) : (x – a)) HS tiếp cận đề bài Ta coù: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 = (x – 1). Q(x) + r (ñònh lí Bô-du) f(1) = (1 + 1 – 1)10 + (1 – 1 + 1)10 – 2 = 0  (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2  x – 1 HS tiếp cận đề bài. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. heát cho B = x2 + x + 1 Để C/m : A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia hết cho B = x2 + x + 1 ta C/m A (x3 – 1) Vì sao? Để C/m điều này ta làm thế nào? x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) coù chia heát cho x3 – 1? Tương tự ta có kết luận gì?. III. 3- Dạng 3: Các bài toán khác. 1. Baøi 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia A(x) = x50 + x49 + ... + x + 1 cho B(x) = x2 – 1 Goïi thöông laø Q(x) , dö laø R(x) = ? Khi đó A(x) =? Đẳng thức đúng với mọi x nên ta có điều gì?. HS phaùt bieåu: Vì x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)  (x2 + x + 1) A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2 + x + 1) = x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1) x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1  x(x3m – 1)  x2 + x + 1 (1) Tương tự: x2 (x3n – 1)  x2 + x + 1 (2) Vaø x2 + x + 1  x2 + x + 1 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm. Goïi thöông laø Q(x), dö laø R(x) = ax + b ta coù: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b Đẳng thức đúng với mọi x nên x2 – 1 = 0  x = 1 hoặc x = -1  A(1) = a + b 51 a + b  a = 25     A(-1) = - a + b 1=-a+b  b = 26. Vaäy R(x) = 25x + 26 2. Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia x – 3 thì dö 2; chia x + 4 thì dö 9 vaø chia cho x2 + x – 12 được thương là x2 + 3 còn dư * So sánh x2 + x – 12 với (x + 3)(x + 4) ? Goïi dö cuûa f(x) : (x2 + x – 12 ) laø ax + b Thöông cuûa f(x) chia cho x + 3; x + 4 laàn lượt là p(x), q(x) ta có điều gì? Từ (1) và (3) suy ra điều gì? Từ (2) và (3) suy ra điều gì? Từ (4) và (5) ta có a =?; b = ? Vậy đa thức cần tìm là đa thức nào? Trường THCS Phú Hữu. HS ghi đề bài x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) HS phaùt bieåu f(x) = (x - 3).p(x) + 2 (1)  (2) f(x) = (x + 4).q(x) + 9 f(x) = (x - 3)(x + 4)(x 2 + 3) + ax + b (3) . Từ (1)  f(3) = 2 ; từ (3)  f(3) = 3a + b  3a + b = 2 (4) Từ (2) và (3) sy ra : -4a + b = 9 (5) Từ (4) và (5) suy ra: a = -1; b = 5 Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + 5 = x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. III. Baøi taäp veà nhaø: Bài 1: Xác định a; b để a) A = x4 + a x2 + b chia heát cho B = x2 + x + 1 b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – 2 coù dö laø R = 2x – 3 c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + 1 dö - 6 vaø chia R = x – 2 dö 21 Baøi 2: Chöng minh raèng a) mn(m2 – n2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n Baøi 3: a)Tìm soá dö trong pheùp chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x + 11 b) Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức A = x3 – 3x2 – 3x – 1 chia hết cho giá trị biểu thức B = x2 + x + 1. BUỔI 7 – CÁC BAØI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG. A. MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thoi, hình vuông: tính chất và dấu hiệu nhận bieát * Vận dụng tính chất của hình thoi và hình vuông vào các bài toán chứng minh các đoạn thẳng, góc bằng nhau, đường thẳng vuông góc, song song,… * Nâng cao kỹ năng chứng minh hình học cho HS B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Hệ thống kiến thức: Hình thoi Hình vuoâng Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc Định Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau baèng nhau nghóa - Các cạnh đối song somg, bằng nhau - Các cạnh đối song somg, bằng nhau - các góc đối bằng nhau - các góc đối bằng nhau Tính - Hai đường chéo vuông góc với nhau - Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc chất tại trung điểm mỗi đường, là trục đói với nhau tại trung điểm mỗi đường, là xứng của hình thoi trục đói xứng của hình vuông - mỗi đường chéo là phân giác của - mỗi đường chéo là phân giác của hai hai góc đối nhau góc đối nhau - Tâm đối xứng là giao điểm hai - Tâm đối xứng là giao điểm hai đường đường chéo cheùo - Đường trung bình là trục đối xứng - Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau - Tứ giác có 4 cạnh và 4 góc bằng nhau - Hbh coù 2 caïnh keà baèng nhau - hình thoi coù 1 goùc vuoâng Trường THCS Phú Hữu. 1 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. Daáu hieäu nhaän bieát. GV: Lê Hoàng Khải. - Hbh có 2 đường chéo vuông góc với nhau - hbh có đường chéo là tia phân giác cuûa 1 goùc. II. Heä thoáng Baøi taäp Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD AB // CD, AB < CD. Gọi M, N, P , Q lần lượt là trung ñieåm cuûa CD, AB, DB, CA. HS ghi đề và vẽ hình. . a) C/m: NM laø tia phaân giaùc cuûa PNQ b) Tính số đo các góc của tứ giác MPNQ bieát caùc goùc nhoïn cuûa hình . . thang ABCD laø C = D = 50 c) Hình thang ABCD thoã mãn điều kiện gì thì tứ giác MPNQ là hình vuoâng? * Để C/m MN là tia phân giác của. - hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau - hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau - hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc với nhau - Hình chữ nhật có đường chéo là tia phaân giaùc cuûa 1 goùc. A. N /. B. / Q. P. 0.  PNQ. Ta caàn C/m gì? Để C/m MPNQ là hình thoi ta C/m như theá naøo? Haõy C/m MPNQ laø Hình bình haønh Bằng cách C/m có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, đó là hai caïnh naøo? Haõy C/m NP //= MQ ?. D. //. M. //. C. Ta C/m tứ giác MPNQ là hình thoi C/m MPNQ laø hình bình haønh coù hai caïnh keà baèng nhau Từ GT  NP là đường trung bình của  ADE 1 neân NP // AD vaø NP = 2 AD (1) MQ là đường trung bình của  ADC nên 1 MQ // AD vaø MQ = 2 AD (2) Từ (1) và (2)  NP // MQ và NP = MQ suy ra. tứ giác MPNQ là H.b.h C/m MP = MQ để suy ra H.b.h MPNQ laø hình thoi MPNQ laø hình thoi ta suy ra ñieàu gì ?. 1 1 Maët khaùc MP = 2 CB = 2 AD (Vì AD = CB).. Suy ra MP = MQ  MPNQ laø hình thoi (H.b.h coù 2 caïnh keà baèng nhau)  NM laø tia phaân  giaùc cuûa PNQ.  CMQ baèng goùc naøo? Vì sao? PMD. baèng goùc naøo? Vì sao?. Trường THCS Phú Hữu. 0   b) MQ // AD  ADC = CMQ = 50 (3). 2 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải.    CMQ + PMD = ?  PNQ =?   MPN = MQN. 0   MP // CE  ECD = PMD = 50 (4). =? Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng khi naøo?. Baøi 2: Cho  ABC vuông cân tại B. từ điểm D thuoäc caïnh AB veõ DE  AC taïi E, tia ED caét tia CB taïi F. Goïi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA Chứng minh MNPQ là hình vuông Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta caàn C/m ñieàu gì? Để C/m tứ giác MNPQ là hình chữ nhaät ta caàn C/m gì? Hãy C/m tứ giác MNPQ là hình bình haønh?. Để C/m H.b.h MNPQ là hình chữ nhật thì ta C/m gì? 0  Haõy C/m MNP = 90. 0   Từ (3) và (4)  CMQ + PMD = 100.      PMQ = 800  PNQ = 800  MPN = MQN = 1000. c) Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng 0 0     PMQ = 90  CMQ + PMD = 90  +D  = 900  C  =D  = 45 0  C   Vaäy: Hình thang caân ABCD coù C = D = 45 0 thì. tứ giác MPNQ là hình vuoâng. A E. M. Q. HS ghi đề bài và vẽ hình. D N F. B. P. C. Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta cần C/m MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi MNPQ laø hình bình haønh coù moät goùc vuoâng Từ Gt  MN là đường trung bình của  FCA 1  MN // FA vaø MN = 2 FA (1) 1 Tương tự ta có: PQ // FA và PQ = 2 FA (2). Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là H.b.h Mặt khác D là giao điểm của 2 đường cao AB và FE của  FAC nên CD là đường cao còn lại cuûa  FAC  CD  FA  PN  FA   PN  MN (Vì MN // FA)  MNP = 900. Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (*)  = 450   FCE vuoâng taïi E vaø coù C ( ABC vuoâng caân taïi A)   FCE vuoâng caân taïi E   DBF vuoâng caân taïi B  BD = BF neân suy ra  ABF =  CBD  FA = CD. Haõy C/m H.b.h MNPQ laø hình thoi Trường THCS Phú Hữu. Mặt khác NP là đường trung bình của  FCD,. 2 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. baèng caùch C/m NP = MN. 1 1 neân NP = 2 CD = 2 FA = MN  hình bình. haønh MNPQ laø hình thoi (**) Từ (*) và (**) suy ra MNPQ là hình vuông Baøi 3: Cho hình vuoâng ABCD, goïi I, K laàn lượt là trung điểm của AD, DC; E là giao ñieåm cuûa BI vaø AK a) chứng minh: BI  AK b) Chứng minh CE = AB c) So saùnh AK, BI, BK  d) C/m: BD laø phaân giaùc cuûa IBK * Để C/m BI  AK ta C/m gì? 0    Để C/m A1 + I1 = 90 ta C/m A1 bằng goùc naøo? Vì sao?. Haõy C/m  AIB =  DKA?. HS ghi đề và vẽ hình. A. /. F. _1 1 I. / 1 M. B. /. C. E _. D. / K. a) HS suy nghĩ, trả lời: 0   C/m A1 + I1 = 90.  1 + I1 = 900 B do  ABI vuoâng taïi A Ta caàn C/m  AIB =  DKA. Vì coù AB = DA (ABCD laø hình vuoâng) AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD)  =D  = 900   A AIB =  DKA(c.g.c) 0 0 1= A  1      B maø B1 + I1 = 90  A1 + I1 = 90  1 + I1 = 900  AEI  A = 900  . Để C/m CE = AB ta C/m gì? ta coù BI AK AB =? Vậy để C/m CE = AB ta C/m b) Goïi F laø trung ñieåm AB CE = CB baèng caùch C/m hai tam giaùc  AKCF laø H.b.h vì coù FA //= CK naøo baèng nhau? Hay tam giaùc naøo caân?  AK // CF  CM  BE hay CM là đường cao cuûa cuûa  BCE (1) F laø trung ñieåm AB maø MF // AK neân M laø trung điển BE hay CM là đường trung tuyến cuûa  BCE (2) Từ (1) và (2) suy ra  BCE cân tại B suy ra AK = BI? Vì sao? CE = CB maø CB = AB neân CE = AB Ta cần C/m gì? (AK = BK hoặc BI = c) BI = AK (do  AIB =  DKA(c.g.c)- C/m ở BK) caâu a) .  IDB =  KDB (c.g.c) vì coù: ID = KD .   IBD = KBD hay khoâng? Vì sao?. Trường THCS Phú Hữu. . (nửa cạnh hình vuông ABCD); IDB = KDB = 45 (đường chéo DB là phân giác của góc D); DB chung  BI = BK Vaäy: AK = BI = BK 2 Năm học: 2015-2016. 0.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải   = KBD d)  IDB =  KDB (c.g.c) neân IBD hay  BD laø tia phaân giaùc cuûa IBK. III. Baøi taäp veà nhaø: Bài 1:Cho hình vuông ABCD . Từ điểm E trên cạnh BC dựng EAx 90 , tia Ax cắt CD taïi F. Goïi I laø trung ñieåm FE, AI caét CD taïi M. Veõ Ey // CD, Ey caét AI taïi K a) Tam giaùc AFE laø tam giaùc gì? Vì sao? b) Tứ giác KFME là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh chu vi CEM không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 2: Cho ABCD là hình vuông. Gọi M, N, I, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA; DN lần lượt cắt AI, CM tại K và P; BL cắt AI, CM tại H và Q a) Chứng minh PA = DA b) Tứ giác KPQH là hình gì? Vì sao? . 0. BUỔI 8 – RÚT GỌN PHÂN THỨC. A. MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về rút gọn phân thức, qua đó tiếp tục rèn luyện thêm về kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử * Tiếp tục rèn luyyện cho HS kỹ năng tìm nhân tử chung để rút gọn phân thức * Khắc sâu và vận dụng thành thạo kỹ năng rút gọn phân thức ở mức độ cao hơn B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC: * Các bước rút gọn phân thức: + Phân tích tử và mẫu thành nhân tử + Tìm nhân tử chung + chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung A -A A - A   A  A      * Quy tắc đổi dấu B - B ; B B ;  B  B. II. BAØI TAÄP: Hoạt động của GV Bài 1: Rút gọn phân các thức 4a 2  12a  9 2 a) 2a  a  6. Hoạt động của HS HS ghi đề và tìm cách giải. Ta làm thế nào để rút gon phân thức đã cho? Phân tích tử và mẫu như thế nào? Tìm nhân tử chung rồi rút gọnh phân thức đã cho Trường THCS Phú Hữu. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, tìm nhân tử chung rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó 4a 2  12a  9 ( 2 a+3 )2 2 a+ 3 ¿ = 2 ( 2 a+ 3 )( a− 2 ) a −2 a) 2a  a  6. 2 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. x 2 - xy + 2x - 2y 2 2 b) x - y + x - y. x 2 - xy + 2x - 2y x(x - y) + 2(x - y) 2 2 b) x - y + x - y = (x - y)(x + y) + (x - y) (x - y)(x + 2) x+2   (x - y)(x + y + 1) x + y + 1. Goi HS leân baûng trình baøy 3x 3 - 7x 2 + 5x - 1 3 2 c) 2x - x - 4x + 3. Cho HS cả lớp giải ít phút Goïi 1 HS leân baûng trình baøy Nếu HS chưa thực hiện được thì gợi ý: Tử và mẫu là 2 đa thức bậc 3 có dạng đặc biệt nào? Có nhân tử nào? Tách tử và mẫu để làm xuất hiện nhân tử là x – 1. HS ghi đề, tiến hành giải 1HS leân baûng trình baøy HS ghi đề bài và tiến hành giải tại lớp Tử và mẫu là 2 đa thức bậc 3 có dạng 2 đa thức có tổng các hệ số bằng 0 nên có nhân tử laø x – 1 HS thực hiện: 3x 3 - 7x 2 + 5x - 1 2x 3 - x 2 - 4x + 3 (3x 3 - 3x 2 )  (4x 2  4x) + (x - 1)  2x 3 - 2x 2 + (x 2 - x) - (3x - 3) 3x 2 (x - 1)  4x(x  1) + (x - 1) (x - 1)(3x 2  4x + 1)  2 2x (x 1) + x(x 1) 3 (x 1) (x - 1)(2x 2  x - 3) =. a 4 - 3a 2 + 1 4 2 d) a - a - 2a - 1. Áp dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích tử và mẫu thành nhân tử Tìm nhân tử chung rồi rút gọn phân thức. x 4  x3  x  1 4 3 2 e) x  x  2 x  x  1. 3x 2  4x + 1 (3x 2  3x) - (x - 1) 3x - 1  2 2 = 2x  x - 3 (2x - 2x) + (3x - 3) = ... = 2x + 3. HS ghi đề bài 2. 4. 2. a - 3a + 1 a 4 - a 2 - 2a - 1 =. a. 2. a 2  1  a 2  (a 4 - 2a 2 + 1) - a 2  4 2 a 4 - (a 2 + 2a + 1) a   a + 1. 2.  1  a 2  a 2  a  1  a 2 - a - 1. a 4   a + 1. 2. a. 2.  a + 1  a 2 - a - 1. . a2  a  1 a 2  a +1. = HS ghi đề bài, phân tích tử và mẫu thành nhân. HS phân tích tử và mẫu thành nhân tử x 4  x 3  x 1 x 4  x3  x 1 Bằng phương pháp tách hạng tử và các  4 4 3 2 3 2 2 phương pháp bổ sung đã học tử: x  x  2 x  x  1 x  x  x  x  x  1 Tìm nhân tử chung rồi rút gọn phân x3  x  1   x  1  2 2 thức x  x  x  1   x 2  x  1  ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) 2 2 2 2 2 2 f) a(b - c )  b(c - a )  c(a - b ). x. 2.  x  1  x 2  1.  x  1 . Hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử Trường THCS Phú Hữu.  x 1  x3 1. x. 2. 2.  1. HS ghi đề. 2 Năm học: 2015-2016. 2. .  x 1  x 2 . x. 2. x 1.  x  1  x 2  1.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. ( phân tích tử xong rồi đến mẫu) Phân tích tử: ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) = ab(a – b) – bc[(a – b) + (c – a)] + ca(c – a) = [ab(a – b) – bc(a – b)]+[bc(c – a) + ca(c – a)] = …= (a – b)(b – c) (a – c) Phaân tích maãu: a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) = … = (a – b)(b – c) (a – c). Bài 2: Chứng minh rằng với n  Z thì 15n 2  8n  6 2 phaân soá: a) 30n  21n  13 toái giaûn. Để C/m 1 phân số tối giản ta làm thế naøo? Để C/m ƯCLN của tử và mẫu bằng 1 ta laøm theá naøo? Goïi ÖCLN(15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13) = d (d  1) ta coù ñieàu gì? 15n2 + 8n + 6 coù theå phaân tích thaønh tổng có chứa nhân tử (5n + 1) như thế naøo? Từ đó ta suy ra điều gì? 1  n2  n7 8 b) 1  n  n khoâng toái giaûn. ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) 2 2 2 2 2 2 Neân: a(b - c )  b(c - a )  c(a - b ) (a - b)(b - c) (a - c) 1 = (a - b)(b - c) (a - c). HS tiếp cận đề bài Để C/m 1 phân số tối giản ta C/m ƯCLN của tử và mẫu bằng 1 Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d (d  1) ta C/m d = 1 (15n2 + 8n + 6) d vaø (30n2 + 21n + 13)  d hay [2 (15n2 + 8n + 6 ) + 5n + 1]  d  5n + 1  d Maø 15n2 + 8n + 6 = [(3n + 1)(5n + 1) + 5]  d  5  d  5n  d maø 5n + 1  d  1  d  d = 1 Hay 15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13 nguyeân toá 15n 2  8n  6 2 cuøng nhau neân phaân soá 30n  21n  13 toái giaûn. Để C/m phân số không tối giản ta làm theá naøo Để C/m phân số không tối giản ta C/m tử và Hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử mẫu có ƯC khác 1 7 2 6 để tìm nhân tử chung Ta coù: 1  n  n (1  n  n )  n(n  1) 2 3 3 = (1  n  n )  n(n  1)(n  1) 2 4 5 2 =…….= ( 1  n  n )(1  n  n  n  n ). 1 + n + n2 lớn hơn 1 không? Vì sao? Vaäy ta coù keát luaän gì?. Trường THCS Phú Hữu. 1  n  n8 (1  n  n 2 )  n2 ( n6  1) 2 2 3 3 = (1  n  n )  n (n  1)(n  1) 2. 3. 5. 6. =…….= ( 1  n  n )(1  n  n  n  n ) 2 Với n nguyên dương thì 1  n  n > 1 Suy ra tử và mẫu của phân số có ƯC lớn hơn. 2 Năm học: 2015-2016. 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải 1  n2  n7 8 1 neân phaân soá 1  n  n khoâng toái giaûn. III. BAØI TAÄP VEÀ NHAØ: Bài 1: rút gọn các phân thức sau: 2a 3  12a 2 17a  2 a 2 a). x5  2 x 4  2 x3  4 x 2  3x  6 x2  2 x  8 b). x3  7 x  6 2 2 2 2 c) x ( x  3)  4 x(3  x)  4( x  3). Bài 2: Chứng minh rằng : 6  8 x  15 x 2 2 phân số 13  21x  30 x tối giản với mọi x nguyên dương. BUỔI 9 – CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC. A. MUÏC TIEÂU: * Củng cố, nâng cao kiến thức các phép toán về quy đồng mẫu, cộng phân thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, các phép toán về cộng phân thức * Tiếp tục phát triển kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức càc các phép toán về phân thức và tạo hứng thú cho HS trong quá trình học toán B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I . Kiến thức bài học: 1. Phép cộng phân thức: Quy đồng mẫu thức (Nếu khác mẫu) Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu 2. Tính chất của phép cộng phân thức: A C C A    a) Tính chất giao hoán: B D D B  A C E A  C E         b) Tính chất kết hợp:  B D  F B  D F . * Lưu ý: Có khi ta cần đổi dấu để thực hiện phép tính một cách nhanh hơn II. Bài tập tại lớp: Bài 1: Thực hiện phép tính: 4 3 12   4 2 a) x  2 2  x x  4 2. Coù nhaän xeùt gì veà caùc maãu? Để có MTC ta cần làm gì? Haõy tìm MTC, tieán haønh baøi giaûi. Trường THCS Phú Hữu. HS ghi đề bài, tiến hành cách giải HS suy nghĩ trả lời Đổi dấu phân thức thứ hai HS hoàn thành bài giải. 2 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. 4 3 12 4 3 12 4(x 2  2)  3(x 2  2)  12       x 2  2 2  x 2 x 4  4 x 2  2 x 2  2 (x 2  2)(x 2  2) (x 2  2)(x 2  2) . 4x 2  8  3x 2  6  12 x2  2 1   2 2 2 2 2 (x  2)(x  2) (x  2)(x  2) x  2. 2y  x 8x 2y  x  2  2 2 2 b) 2 y  xy x  4 y 2 y  xy. Phân tích mỗi mẫu thành nhân tử Cần đổi dấu không? Vì sao?. HS phân tích mẫu thành nhân tử, đổi dấu. Tìm MTC Thực hiện các phép toán một cách liên tuïc Gọi một số HS trả lời và cùng giải. Tìm MTC HS thực hiện phép toán moat cách liên tục Một số HS đại diện trả lời câu hỏi và cùng giải với GV. 8x  8x  2 2 2 phân thức x  4 y 4 y  x 2. 2y  x 8x 2y  x 2y  x  8x 2y  x  2  2  2  2 2 2 2 2 b) 2 y  xy x  4 y 2 y  xy = 2 y  xy 4 y  x 2 y  xy 2y  x  8x 2y  x (2y  x)(2y  x)  8xy  (2y  x)(2y  x)   y(2y  x)(2y  x) = y (2 y  x) (2 y  x)(2 y  x) y (2 y  x) =. . 4 y 2  4 xy  x 2  8 xy  4 y 2  4 xy  x 2 8 y 2  8 xy  2 x 2 2(4 y 2  4 xy  x 2 )   y (2 y  x)(2 y  x) y(2 y  x)(2 y  x) y(2 y  x)(2 y  x). . 2(2 y  x) 2 2(2 y  x)  y (2 y  x)(2 y  x) y (2 y  x ). 1 1 1 1  2  2  2 c) x  x x  3x  2 x  5x  6 x  7 x  12 2. Ta nên thực hiện như thế nào? Hãy phân tích mỗi mẫu thành nhân tử Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa các maãu. HS: Thực hiện phép tính trong ngoặc trước HS phaân tích HS neâu nhaän xeùt: Moãi maãu laø tích cuûa 2 soá lieân tieùp, Maãu tieáp theo laø tích cuûa thừa số thứ 2 của mẫu thứ nhất và thừa Ta nên quy đồng mẫu hay thực hiện phép số đó cộng thêm 1 toán như thế nào? HS phaùt bieåu 1 1 1 1    Ta coù: x  x x( x 1) x x 1 vaäy toång 2. các phân thức trên có thể viết như thế naøo? GV và HS tiến hành lời giải. Trường THCS Phú Hữu. HS neâu caùch giaûi HS cuøng GV tieán haønh baøi giaûi. 2 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. 1 1 1 1  2  2  2 c) x  x x  3x  2 x  5x  6 x  7 x  12 1   1 1   1 1   1 1  1 1 x4 x 4 1                =  x x  1   x  1 x  2   x  2 x  3   x  3 x  4  = x x  4 x( x  4) x( x  4) 1 1 2a 4a 3 8a 7   2   2 4 4 8 8 d) a  b a  b a  b a  b a  b 2. Coù neân phaân tích moãi maãu thaønh nhaân HS suy nghó, phaùt bieåu tử hay không? Vì sao? Ta thực hiện phép cộng hai phân thức đầu rồi tiếp tục cộng với phân thức tiếp theo HS thực hiện d) Ta coù: 1 1 2a 4a 3 8a 7 1  2a 4a 3 8a 7  1   2 2 4        a  b a  b a  b a  b 4 a 8  b8 =  a  b a  b  a 2  b 2 a 4  b 4 a 8  b 8 2a 4a 3 8a 7 2a  4a3 8a 7  a b a  b   2a           2 2 2 2 2 2 4 4 8 8 2 2  4 4 8 8  a b a b a b  a  b a b  a b a b = a b  2 a ( a 2  b 2 )  2a ( a 2  b 2 )   4a 3 4a 3 8a 7 4a 3  8a 7        a 4  b 4 a 8  b8  a 4  b 4 a 4  b 4  a 8  b8 a 4  b4     4 a 3 ( a 4  b 4 )  4a 3 (a 4  b 4 8a 7 8a 7 8a 7 8a 7 (a 8  b8 )  8a 7 (a 8  b8 )   8 8  8 8 8 8  a 8  b8 a b a  b a b a16  b16 8a15  8a 7 b8  8a15  8a 7b8 16a15   16 16 a16  b16 a b. Baøi 2: Tính A + (- B) bieát 1 1 1 1    ...  n(n  1)(n  2) A = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  3) vaø B = 4(n  1)(n  2) 1 Vieát n(n  1)(n  2) thaønh keát quaû cuûa. tổng hai phân số cùng tử? Từ đó ta có tổng trên tính như thế nào?. HS ghi đề bài Tieán haønh giaûi. HS biến đổi từ hạng tử cuối để tìm ra quy luaät. 1 1 1 1    ...  n(n  1)(n  2) Ta coù: A = 1.2.3 2.3.4 3.4.5  1 1 1  1 1 1  1 1 1  1 1 1            ...   2  n( n  1) ( n  1)( n  2)  = 2  1.2 2.3  2  2.3 3.4  2  3.4 4.5  Trường THCS Phú Hữu. 2 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải.  1 1 1 1 1 1 1 1 1       ...     n( n  1) ( n 1)( n  2)  = 2  1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5  (n  1)( n  2)  2 11 1 n 2  3n n( n  3)       = 2  2 (n  1)(n  2)  4(n  1)(n  2) 4( n  1)(n  2) 4(n  1)( n  2) n(n  3) n(n  3) Vaäy: A + (- B) = 4(n  1)(n  2) - 4(n  1)(n  2) = 0. Baøi 3: Cho a,b,c laø 3 số ñoâi moät khaùc nhau. Chứng minh rằng :. b −c c −a a −b 2 2 2 + + = + + a − b b − c c − a ( a −b ) ( a − c ) ( b −a )( b − c ) ( c −a )( c −b ) b c HS thực hiện phép tính và trả lời b −c 1 1 Haõy tính:  a  b   a  c  = + ( a −b ) ( a − c ) a − b c − a Tương tự ta có: c−a 1 1 = + c a ( b− a ) ( b − c ) b − c a −b a− b 1 1  b  a  b  c = ? = + b −c c − a (c − a) (c − b). a b  c  a  c  b. =? Làm thế nào để có đẳng thức cần chứng minh?. Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có ñpcm. III. Baøi taäp veà nhaø: Bài 1: Thực hiện các phép tính 3x  2 6 3x  2  2  2 a) x  2 x  1 x  1 x  2 x 1 2x  3y 6  xy x2  9   2 b) xy  2 x  3 y  6 xy  2 x  3 y  6 x  9 2. c). b b b b  2  2  ..  2 2 x  bx x  3bx  2b x  5bx  6b ( x  kb)  x  (k  1)b  2. x. y. z. Baøi 2: Cho a + b + c = 1 vaø a2 +b 2+ c 2=1 , Nếu a = b = c . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.. Buæi 10: C¸c bµi to¸n vÒ diÖn tÝch A. môc tiªu:. 1) Cñng cè, n©ng cao kiÕn thøc vÒ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c 2) HS biết so sánh độ dài đoạn thẳng mà không sử dụng kiến thức về tam giác bằng nhau 3) VËn dông kiÕn thøc vµo bµi tËp cô thÓ; thùc tiÔn cuéc sèng b.hoạt động dạy học: I. KiÕn thøc bæ trî: * Diện tích tam giác bằng nửa tích đờng cao và cạnh tơng ứng * Các tam giác có chung cạnh và độ dài đờng cao tơng ứng thì có cùng diện tích 2 Trường THCS Phú Hữu Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. * Hai tam giác cùng độ dài đờng cao thì diện tích tỷ lệ thuận với cạnh tơng ứng với đờng cao đó ii. bµi tËp ¸p dông: HS ghi đề và vẽ hình Bµi 1: Nối các đỉnh B và C của  ABC cân tại A A với trung điểm O của đờng cao AH. Các đờng thẳng này lần lợt cắt AC, AB tại D và D E E. TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c AEOD theo N O diÖn tÝch S ABC B. NÕu gäi N lµ trung ®iÓm cña CD th× ta cã ®iÒu g×?. T×m mèi quan hÖ gi÷a SAOD vµ SAOC ?. So s¸nh SAOC vµ SABC ; SAHC vµ SABC ?. H. Gọi N là trung điểm của CD thì NH là đờng trung b×nh cña  DBC nªn NH // BD suy ra OD // HN  D lµ trung ®iÓm AN  AD = DN = 1 1 NC = 3 AC  SAOD = 3 SAOC (V× cã chung ®1 êng cao h¹ tõ O xuèng AC vµ AD = 3 AC) 1 1 MÆt kh¸c SAOC = 2 SAHC (v× cã AO = 2 AH vµ. cùng đờng cao CH) Từ đó suy ra SAOD bằng bao nhiêu SABC ? Bµi 2: TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c c©n cã chiÒu cao ứng với cạnh đáy bằng 10 cm, chiều cao øng víi c¹nh bªn b»ng 12 cm Gi¶i SABC tÝnh nh thÕ nµo ?(theo AH vµ BK) Từ đó ta suy ra điều gì?. 1 1 SAHC = 2 SABC (V× Cã CH = 2 BC Vµcïng ®1 êng cao AH )  SAOD = 12 SABC 1 T¬ng tù ta cã: SAOE = 12 SABC 1 1 SADOE = SAOD + SAOE = 2. 12 SABC = 6 SABC. HS ghi đề và vẽ hình. Hãy tính BC2 theo AC2 để có CH2. áp dụng định lí Pytago vào  ACH ta có g×? Thay AC = 12,5 cm ta cã SABC = ? Bµi 3: Tính diện tích của  ABC có độ dài ba c¹nh lµ AB = 20 cm, AC = 34 cm, BC = 42 cm Gi¶i Trường THCS Phú Hữu. C. 1 SABC = 2 BC. AH 1 = 2 AC. BK BC BK 6    BC. AH = AC. BK  AC AH 5 36 AC2 36 AC2  BC2 = 25  CH2 = 100 áp dụng định lí Pytago vào  ACH ta có: 36 AC2 AC2 - CH2 = 100  AC2 - 100 = 100. 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Vẽ đờng cao AH §Ó tÝnh SABC ta lµm thÕ nao? (tÝnh AH) AH tÝnh nh thÕ nµo? §Æt CH = x, ta cã AC2 = ?.  64AC2 = 1002 . A. AC = 12,5 cm. 1 SABC = 2 AC. BK =. A. 12,5 . 6 = 75 cm2. HS ghi đề bài và vẽ h×nh. K. H. B B. H. C C. Bµi 4: áp dụng định lí Pytago vào  AHC,  AHB ta Cho tam gi¸c ABC , AB > AC ,trªn AB lÊy cã: AH2 = AC2 - CH2 = AB2 - BH2 1 đặt CH = x ta có: AC2 - x2 = AB2 - (BC -x)2 ®iÓm M Sao cho: AM = 3 AB , trªn AC lÊy  AC2 - x2 = AB2 - BC2 + 2BCx - x2 1 ®iÓm N sao cho : AN = 3 AC . Gäi O lµ. giao ®iÓm cña BN vµ CM , F lµ giao ®iÓm cña AO vµ BC , vÏ AI vu«ng gãc víi BC t¹i I , OL vu«ng gãc víi BC t¹i L , BD vu«ng gãc víi FA t¹i D, CE  FA t¹i E So s¸nh: CE víi BD ; OL víi IA ; OA víi FO Gi¶i. AC2 - AB2 + BC 2 342  202  422  30 x= 2BC 2.42 cm  AH2 = AC2 - CH2 =342 - 302 = 162  AH = 16 cm 1 1 SABC = 2 BC. AH = 2 . 42. 16 = 336 cm2. HS ghi đề và vẽ hình.  AON ,  CON có chung đờng cao hạ từ 1 O xuèng AC vµ AN = 2 NC nªn ta cã. ®iÒu g×?. Kẽ AH  ON , CK  ON ,khi đó SAON , SCON tÝnh nh thÕ nµo?. Tõ (1) , (2) , (3)  ? Từ đó suy ra? Chøng minh t¬ng tù nh trªn ta cã ®iÒu g×?. Trường THCS Phú Hữu.  AON ,  CON có chung đờng cao hạ từ O 1 xuèng AC vµ AN = 2 NC nªn: 1 SAON = 2 SCON (1) kẽ AH  ON , CK  ON ,khi đó : 1 SAON = 2 ON . AH (2) 1 SCON = 2 ON . CK (3). 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải 1 Tõ (1) , (2) , (3)  AH = 2 CK  BO. CK = 2 BO. CH  SBOC = 2 SBOA T¬ng tù: SBOM = 2 SAOM  SBOC = 2 SCOA  SBOA = SCOA  AO . CE = AO. BD  CE = BD  CF = BF ( CEF = BDF - tr-. êng hîp : c¹nh huyÒn – gãc nhän)  SABC = 2SCOB nªn: AI . BC = 2 OL . BC  AI = 2 OL Tõ : BF = CF vµ C/m trªn  SCOF = SCOA  OA = FO c.bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Trªn c¸c c¹nh AB, AC cña  ABC cã diÖn tÝch S, lÊy c¸c ®iÓm D, E sao cho 1 1 AD = 4 AB, AE = 4 AC. Gäi K lµ giao ®iÓm cña BE, CD. TÝnh SADKE theo S. Bài 2: Tam giác ABC có ba cạnh dài 26 cm, 28 cm, 30 cm. Tính độ dài đờng cao ứng với c¹nh 28 cm Bai 3: Cho  ABC, ph©n gi¸c trong AD, ph©n gi¸c ngoµi Ay, kÎ BE  Ay t¹i E, CF  Ay t¹i F. So s¸nh SABC vµ SEDF. Buổi 11 : Biển đổi biểu thức hữu tỉ - giá trị phân thức A.môc tiªu: 1) Củng cố ,nâng cao kiến thức về biến đổi biểu thức hữu tỉ 2) HS làm thành thạo các bài toán về biến đổi biểu thức hữu tỉ,giá trị của phân thức 3) Vận dụng thành thạo kiêns thức vào các bài tập nâng cao về chuyên đề này B.bµi tËp t¹i líp  x2  y2   1 2  x      x  y  y x  y  1. VÝ dô 1: Rót gän biÓu thøc A = . Ta thực hiện phép tính theo thứ tự nào Hãy biến đổi, thực hiện phép tính trong từng dấu ngoặc GV kết hợp cùng HS hoàn thành lời giaûi Gi¶i:. Thực hiện phép tính trong ngoặc trước HS thực hiện phép tính theo thứ tự HS cùng GV hoàn thành bài giải.  x2  y2   1 2   x( x  y )  ( x 2  y 2 )   x  y  2 y  x 2  xy  x 2  y 2 x  y . x      y( x  y)   x  y   y x  y   x y x y y( x  y)     A= xy  y 2 x  y y ( x  y )( x  y ) .  1 = x  y y ( x  y ) y ( x  y )( x  y ) x 4  16 4 3 2 Cho A = x  4 x  8 x  16 x  16. 2. VÝ dô 2: a) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A xác định b) Rót gän A c) Tìm x để A có giá tri bằng 2 Trường THCS Phú Hữu. 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. d) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Giá trị của biểu thức A xác định khi nào? Giá trị của biểu thức A xác định khi Để tìm đợc giá trị của x để mẫ khác 0 ta lµm thÕ nµo? Tìm giá trị của x để mẫu khác 0 Muèn rót gän biÓu thøc A ta lµm thÕ nµo? H·y rót gän biÓu thøc A Y/c HS rót gän biÓu thøc A vµ tr¶ lêi kÕt qu¶ BiÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn khi nµo? H·y t×m gi¸ trÞ t¬ng óng cña x Hoµn thµnh bµi gi¶i. x 4  4 x 3  8 x 2  16 x  16 0. Ta ph©n tÝch mÉu thµnh nh©n tö, cho mÉo kh¸c 0 khi mäi nh©n tö kh¸c 0 HS gi¶i vµ t×m gi¸ trÞ t¬ng øng cña x HS tr¶ lêi HS rót gän HS tr¶ lêi HS t×m gi¸ trÞ t¬ng øng cña x HS hoµn thµnh bµi gi¶i. a) Ta cã: x 4  4 x 3  8 x 2  16 x  16  x 4  16    4 x3  8 x 2    16 x  32  =.  x  2  x  2  x2  4 . 4 x 2  x  2   16  x  2   x  2    x  2   x 2  4   4 x 2  16 . x  2   x3  2 x 2  4 x  8   =. 4 x 2  16 . x  2   x3   =. 2 x 2  4 x  8   x  2 . 2. x. 2.  4. Biểu thức A xác định  (x - 2)2(x2 + 4)  0  x 2 (vì x2 + 4  0 với mọi x) b) Rót gän : x2  4  x2  4  x  2  x  2  x2  4  x  2  x 4  16    2 x 4  4 x3  8 x 2  16 x  16  x  2  2  x 2  4  x 2 x  2  x2  4  A= x2 x  2 2( x  2) 2    x 2 x 2 c) A = 2  x  2 x + 2 = 2x - 4  x = 6 (t/m) 1. 4 x 2. d) Chia x + 2 cho x - 2 ta cã A = §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn víi x nguyªn th× x - 2 lµ ¦(4). Nªn ta cã: x x  x  x x  x. 2  4 2  2 2  1  2 1 2 2 2 4. 3. VÝ dô 3:.  x  2  x 0   x 1   x 3  x 4   x 6  x .  - 2; 0; 1; 3; 4; 6 . b c a Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam gi¸c biết rằng: 1+ a 1+ b 1+ c =8 Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. Để C/m tam giác đó là tam giác đều thì ta Để C/m tam giác đó là tam giác đều thì ta phải ph¶i C/m g×? C/m a=b=c  a-b=b-c=c-a=0 Hãy biến đổi biểu thức trên để có đợc HS biến đổi ®iÒu cÇn C/m. ( )( )( ). Trường THCS Phú Hữu. 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. a b bc a c  b  c  a  . . 8  1    1    1   8  a b c  a  b  c  a 2b  ab 2  a 2c  abc  abc  b 2c  ac 2  bc 2  8abc 0  abc ( a 2b  2abc  bc 2 )  ( ab 2  2 abc  ac 2 )  (a 2 c  2abc  b 2 c) b(c  a ) 2  a (b  c )2  c(a  b) 2 0 0   abc abc ( a  b) 2 0  a  b 0   2 2 2 2  a  b    b  c    c  a  0 (b  c) 2 0  b  c 0  a b c c  a ) 0  ab bc ca  (c  a ) 0. hay tam giác đó là tam giác đều 4. VÝ dô 4: Cho. 1 1 1   0 a b c .. b c c a a b   b c TÝnh gi¸ trÞ cña BT : M = a Để tính giá trị của M với điều kiện đã cho Để tính đợc giá trị của M theo điều kiện của bài th× ta ph¶i lµm g×? ra thì ta phải biến đổi M thành một biểu thức trong đó có chứ biểu thức đã có giá trị nh GT đã cho Hãy biến đổi M thành một biểu thức thoã HS biến đổi mãn điều đó a b c a b c a b c  b c   c a   a b   1    1    1  3     a b c a b c       Ta cã: M =  1 1 1  1 1 1  a  b  c       3     a b c = 0.  a b c  - 3 = - 3. 5. VÝ dô 5: Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. 1. +. 1. +. 1. =. 1 1 1 1 + + = a b c a +b +c .. 1. b c a +b +c Từ đó suy ra rằng : a . Lêi gi¶i 1 1 1 1 a +b a +b 1 1 1 1 + + = + =0 + + =0 c(a + b + c) Ta cã : a b c a + b + c  a b c a + b + c  ab  éb + c = 0 éa =- b ê ê ê Û a + b = 0 Û êb =- c c(a + b + c) + ab ê ê (a + b). =0 ê êc =- a abc(a + b + c) ëc + a = 0 ë  (a + b)(b + c)(c + a) = 0 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = 2009 b 2009 c2009 a 2009 (- c)2009 c2009 a 2009 Từ đó suy ra : a 2009. 2009. 2009. 1 a 2009 + b 2009 + c2009 Trường THCS Phú Hữu. 2009. =. 2009. 2009. 1 1 = a 2009 + (- c)2009 + c2009 a 2009. 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. 1 2009. GV: Lê Hoàng Khải. +.  a C) Bµi tËp vÒ nhµ: 1) Rút gọn các biểu thức:. 1 b 2009. +. 1 c2009. =. 1 a 2009 + b 2009 + c2009 .. 1 1 1 1    ...  n(n  1) a) 1.2 2.3 3.4  1   3b 2 a a2   4  3 . b  2  3 2 2   a b   a  ab a  ab a  a b  ab  . b). 1 1 1   0 2) Cho ba sè a , b, c  0 tho¶ m·n : a + b + c = 2010 vµ a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = a2 + b2 + c2 3) Chøng minh r»ng:. 1 1 1 1 1 1   2  2  2 2 2 NÕu a b c vµ a + b + c = abc Th× : a b c. Buæi 12: ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng: ax + b = 0 ph¬ng tr×nh tÝch. a. môc tiªu : * Cñng cè , hÖ thèng kiÕn thøc vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng ax + b; ph¬ng tr×nh tÝch * N©ng cao kû n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho HS * VËn dông thµnh th¹o kü n¨nggi¶i Pt vµo c¸c bµi to¸n cô thÓ b. bµi tËp : Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. VÝ dô 1 a) 8(3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x Gi¶i c¸c Pt:  24x - 16 - 14x = 8 - 14x + 15x a) 8(3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x Biến đổi Pt nh thế nào?  24x - 14x + 14x - 15x = 8 + 16 x  5   x  2   3  4 x  3  5  x  b) . 24 8  9x = 24  x = 9  x = 3. 2. Thực hiện phép nhân, thu gọn Pt để da về d¹ng ax = - b c) x(x + 3)2 - 3x = (x + 2)3 + 1 Hãy biến đổi tơng đơng để giải Pt này x  4 3x  1 9 x  2 3x  1    4 8 12 d) 3. Biến đổi để giải Pt này nh thế nào?. 2. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c Pt Trường THCS Phú Hữu. x  5   x  2   3  4 x  3  5  x  b) . 2.  x 2  7 x  10  12 x  9 25  10 x  x 2 6  5 x 6  x  5 c) x(x + 3)2 - 3x = (x + 2)3 + 1  x(x2 + 6x + 9) - 3x = x3 + 6x2 +12x + 8 + 1  x3 + 6x2 + 9x - 3x = x3 + 6x2 +12x + 9 3  6x = 12x + 9  - 6x = 9  x = 2 x  4 3x  1 9 x  2 3 x  1    4 8 12 d) 3  8(x - 4) - 6(3x + 1) = 3(9x - 2) + 2(3x - 1)  8x - 32 - 18x - 6 = 27x - 6 + 6x - 2  -10x - 38 = 33x - 8  - 43x = 30. 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. 1909  x 1907  x 1905  x 1903  x     4 0 93 95 97 a) 91. Ta có nên quy đồng mẫu hay không? Vì sao ? Em cã nhËn xÐt g× vÒ tæng cña tö vµ mÉu cña mçi ph©n thøc Vậy, ta biến đổi Pt nh thế nào?.  30  x = 43. HS ghi đề bài, tìm cách giải HS tr¶ lêi 1909  x 1907  x 1905  x 1903  x     4 0 93 95 97 a) 91 1   1 1 1       (2000 - x)  91 93 95 97  = 0  2000 - x = 0  x = 2000 x  999 x  896 x  789   6 101 103 b) 99. x  999 x  896 x  789   6 101 103 b) 99. 3. VÝ dô 3 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a) (x-1)3 + x3 + ( x + 1 )3 = ( x + 2 )3 Ta biến đổi Pt nh thế nào? Thu gän pt  (x2 + x +1) ( x – 4 ) = 0 khi nµo?. b) ( x + 3 ) (x – 3 ) ( x2 – 11 ) + 3 = 2 Hãy biến đổi Pt trên Ta nªn gi¶i Pt theo ph¬ng ph¸p nµo? §Æt : x2 – 9 = y ; th× (1)  ?.  x  999   x  896   x  789   1    2   3  0    101   103    99 x  1098 x  1098 x  1098   0  99 101 103 1 1   1      (x - 1098)  99 101 103  = 0  x = 1098. a) (x-1)3 + x3 + ( x + 1 )3 = ( x + 2 )3  x3 – 3x2 + 3x – 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8  x3 – 3x2 – 3x – 4 = 0  x3 - 1 - 3x2 -3x - 3 = 0  ( x – 1 )( x2 + x +1) - 3(x2 + x +1) = 0  (x2 + x +1) ( x – 4 ) = 0  x – 4 = 0 1 3  x = 4 (v× x2 + x +1 = (x + 2 )2 + 4 > 0 víi x  R ). c) 2x3 + 7x2 +7x + 2 = 0 Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö nh thÕ nµo? b) ( x + 3 ) (x – 3 ) ( x2 – 11 ) + 3 = 2 d) ( x +3)4 + ( x + 5 )4 = 2 (2)  (x2 – 9 ) (x2 – 11 ) +1 = 0 (1) §Æt x + 4 = y ; th× pt (2)  ? §Æt : x2 – 9 = y ; th× (1)  y ( y – 2 ) + 1 = 0 Biến đổi Pt thành Pt tích  y2 – 2y + 1 = 0  ( y + 1)2 = 0  y + 1 = 0  y = - 1  x2 – 9 = 1  x2 = 10  x  10. e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (*) x = 0 cã phaØ lµ nghiÖm cña Pt (*) ? Trường THCS Phú Hữu. c) 2x3 + 7x2 +7x + 2 = 0  2x3 + 2x2 + 5x2 + 5x + 2x + 2 = 0  …  (x+1)(x+2)(2x+1) = 0  … d) ( x +3)4 + ( x + 5 )4 = 2 (2) §Æt : x + 4 = y ; th× (2)  (y – 1)4 + ( y + 1 )4 – 2 = 0. 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. Chia 2 vế cho x2 ta đợc pt nào?. 2. 2.   y  1 2     y  1 2   2 0      2. Gi¶i Pt (**) nh thÕ nµo? 1 1 x   y  x2  2  y 2  2 x x §Æt : . Th× Pt (2) trë thµnh Pt nµo?. 2 2 2 2    y  1   y  1   2  y  1  y  1  2 0  . 2. 2. 2    y  1  y  1  2  y  1  y  1   2  y 2  1  2 0  . 4. 2. 2. 2.  …  2 y  12 y 0  y ( y  6) 0 2.  y 0 (V× y  6 0 ). Víi : y = 0 th× x = - 4 e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (*) NhËn xÐt : x = 0 kh«ng phaØ lµ nghiÖm cña Pt , Nªn chia c¶ 2 vÕ Pt (*) cho x2 ta cã : (*) 4. VÝ dô 4: Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 – (a +b +c) x2 + (ab +ac+bc) x = abc Hãy biến đổi về dạng Pt tích?. 1     x2  2   x  . HS tr¶ lêi. x §Æt :. x2 x x2 x x2 x 1 x        0 a ac b bc c ab abc b) 3. Biến đổi Pt này bằng cách nào?. 1  3 x   x  + 4 = 0 (**) . 1 1  y  x2  2  y2  2 x x . Th×.  y 1  y 2  3 y  2 0   y  1  y  2  0    y 2 (**). +Víi y =1 th× ta cã Pt : x2 – x + 1 = 0 2. 1 3    x    0 2 4  , Pt v« nghiÖm. +Víi y = 2 , ta cã : x2 – 2x + 1 = 0 2   x  1 0  x 1. a) x3 – ( a + b + c ) x2 + ( ab + ac + bc ) x = abc  x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx + bcx – abc = 0  ...  (x – a) (x2 – bx – cx – bc ) c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = 0 Ph©n tÝch vÕ tr¸i cña Pt thµnh nh©n tö b»ng = 0  (x – a) [x(x – b) – c(x – b)] = 0 ph¬ng ph¸p nµo?  (x – a)(x – b)(x – c) = 0  ...  x2 x x2 x x2 x 1 x        0 a ac b bc c ab abc b) 3. d) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 = 0 h·y gi¶i t¬ng tù nh c©u trªn.  x2   x2 x   x2 x   x 1    x3               0 a   c ac   b ab   bc abc   1 x 1 x 1 1  1   x 2  x     x     x     x   0 a c a b a  bc  a . 1  x x 1     x    x 2     0 a  b c bc   Trường THCS Phú Hữu. 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. 1  1 1 1     x    x  x     x    0 a  b c b   1  1 1    x    x    x   0 a  b c   ... . 5. VÝ dô 5: Cho Pt x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0 (1) a) Xác định m để Pt có nghiệm bằng 1 b) Gi¶i Pt t¬ng øng víi gi¸ trÞ m võa t×m b) Thay : m2 – m = 0 Vµo Pt (1) ta cã (1) trë thµnh Pt nµo?. c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = 0  (x7 + x5 + x3 ) +( x4 + x2 +1) = 0  x3 (x4 + x2 + x ) +( x4 + x2 +1) = 0  ( x4 + x2 +1) (x3 + 1) = 0  x3  1 0  4  x3  1 0  x  1 2  x  x  1 0 2.  2 1 3 x +   0 2 4 4 2 V× x + x +1 =  . Víi  x 10 8 6 4 2 d) x + x + x + x + x + 1 = 0  x6 (x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = 0  (x6 + 1)( x4 + x2 + 1) = 0  x 6  1 0  2   1 3   x    0 0  2  4. 1 3  (x6 + 1) [( x + 2 )2 + 4 ] = V× : x6 + 1 1 víi mäi x  R; Nªn Pt : x6 + 1 = 0. v« nghiÖm. 1 3 3 ( x + 2 )2 + 4  4 víi mäi x  R . nªn Pt : 1 3 ( x + 2 )2 + 4 = 0 v« nghiÖm. Vậy Pt đã cho vô nghiệm. a)V× x = 1 lµ nghiÖm cña Pt (1) , nªn ta cã : 1 – (m2 – m + 7) – 3m2 +3m + 6 = 0 m = 0  - 4m 2 + 4m = 0   m = 1 2 b) Thay : m – m = 0 Vµo Pt (1) ta cã :  1  x 3 - 7x + 6 = 0  (x 3  x ) - ( 6x - 6 ) = 0.  (x - 1) ( x 2  x - 6 ) = 0  x  1 0  ( x  1)( x  2)( x  3) 0  x  2 0   x  3 0. Bµi tËp vÒ nhµ 1) Gi¶i Pt : a) (x - 2)(x + 2) - (2x + 1)2 = x(2 - 3x). Trường THCS Phú Hữu. 3 Năm học: 2015-2016.  x 1  x 2   x  3.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Tài liệu ôn thi HSG Toán 8. GV: Lê Hoàng Khải. x 1 x  3 x  5 x  7 x - 4 3x - 2 2x - 5 7x + 2    + -x = 63 61 59 10 3 6 b) 5 c) 65 x - 29 x - 27 x - 25 x - 23 x - 1970 x - 1972 x - 1974 x - 1976 + + + + + + + 1972 1974 1976 29 27 25 23 d) 1970 -8=0. 2) Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 c)(x – 2)4+ (x – 3)4 = 1 4 3 2 b) 6x – x – 7x + x + 1 = 0 d) x6 – 9 x3 + 8 = 0 e) (x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) +16 = 0 3) Cho Pt : x3 + (m2 – 2)x2 – (m – 1)x – 2 = 0 a) Xác định m , biết Pt có một nghiệm : x = - 1 b) Tìm nghiệm còn lại của Pt với m vừa xác định. Trường THCS Phú Hữu. 3 Năm học: 2015-2016.

<span class='text_page_counter'>(40)</span>