11DE THI HSG TOAN 82017

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tuyển tập đề thi HSG Toán 8. §Ò 1. Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: x2  x  6 3 2 a) Rót gän biÓu thøc: x  4 x  18 x  9. yz xz xy 1 1 1  2 2   0( x, y, z 0) 2 x y z x y z b) Cho . TÝnh. Bµi 3:(3®) Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác của góc A, đờng thẳmg này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK. Bµi 4 (1®). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + 5 đề 2 C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: a1a 2 .. . a 8 tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau:. . a1a 2 a 3 = a 7 a 8. . 2. . a 4 a 5a 6 a 7 a 8  a 7 a 8. . 3. a) b) C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1. khi vµ chØ khi ( mn – 2) ⋮ 3. ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x7 + x2 + 1. C©u 3 . Gi¶i ph¬ng tr×nh:. ( 1. 12. 3 + 2 . 13. 4 + .. .+2005 .20061 . 2007 ). x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).. Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đ ờng kẻ từ A và B lần lợt song song với BC và AD cắt các đờng chéo BD và AC tơng ứng ở F và E. Chứng minh: EF // AB b). AB2 = EF.CD. c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c OAB; OCD; OAD Vµ OBC Chøng minh: S1 . S2 = S3 . S4 . C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45. đề 3 C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1 b. NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 C©u 2: a. Cho. x y z + + =0 a b c. (1) vµ a + b + c =2 (2) x. y. z. x2 y 2 z 2  2  2 2 b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= a b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B =. ab bc ca + 2 2 2+ 2 2 2 2 2 2 a +b −c b + c −a c + a − b.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> C©u 3: T×m x , biÕt : x· −1 x −10 x −19 + + =3 2006 1997 1988. (1). Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M  đơng chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chøng minh r»ng: a.BM  EF b. Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy. C©u 5: Cho a,b, c, lµ c¸c sè d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P= (a+ b+ c) ( 1 + 1 + 1 ).đề 4 a b c. Bµi 1 (3®): 1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 1 x  2 x  4 x  6 x 8    96 94 92 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 98. Bµi 2 (2®): P. 2 x 2  3x  3 2x  1 cã gi¸ trÞ nguyªn. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) gãc AMN b»ng gãc ABC 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK. Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC. Bµi 4 (1®): T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A=. x 2 − 2 x +2007 2 2007 x. , ( x kh¸c 0) đề 5. C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A =. (. 2. x 6 1 10 − x 2 + + : x − 2+ x +2 x3 − 4 x 6 −3 x x+ 2. )(. ). a, Tìm điều kiện của x để A xác định . b, Rót gän biÓu thøc A . c, Tìm giá trị của x để A > O 2 2 C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : x −4 x+1 +2=− x − 5 x+1. x +1. 2 x+1. Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S. 1, Chøng minh Δ AQR vµ Δ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n. 2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt. 3, Chøng minh P lµ trùc t©m Δ SQR. 4, MN lµ trung trùc cña AC. 5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> C©u 4 ( 1 ®iÓm): 2 Cho biÓu thøc A = 2 x + 3 x +3. . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 2 x +1. C©u 5 ( 1 ®iÓm) a, Chøng minh r»ng. x 3+ y3 + z 3= ( x + y )3 −3 xy . ( x + y ) + z 3 yz xz xy 1 1 1 + + =0. TÝnh A= 2 + 2 + 2 x y z x y z. b, Cho. đề 6 Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc : M=. (. x2− 1 1 − 2 4 2 x − x +1 x +1. ) (. 1− x 4 x + 1+ x 2 4. ). a) Rót gän b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M . Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên 3 2 A = 4 x − 3 x +2 x − 83. x −3. Bµi 3 : 2 ®iÓm Gi¶i ph¬ng tr×nh : a) x2 - 2005x - 2006 = 0 b) |x − 2| + |x − 3| + |2 x −8| = 9 Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K . §êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh : a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi . b) Δ AEF ~ Δ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi . Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 đề 7 Bµi1( 2.5 ®iÓm) a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0 b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm). Cho biÓu thøc: y =. x+2004 ¿2 ¿ x ¿. ; ( x>0). Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm) a, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: : ( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330. B, Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: |x − 6| 3 Bài 4: ( 3 ,5 điểm) Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vuông gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b. A, Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đờng thẳng qua I thay đổi..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 B, Chøng minh r»ng CA = OC2. DB. OB. 2. C, BiÕt SAOB = 8 a . TÝnh CA ; DB theo a. 3. đề 8 P. x2 y2 x 2 y2    x  y   1  y   x  y   1  x   x 1  1  y . Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc : 1.Rót gän P. 2.T×m c¸c cÆp sè (x;y)  Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3. Bµi 2(2 ®iÓm). Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 1 1 1 1 1  2  2  2  x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11 x  30 8 2. Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc: M. 2x 1 x2  2. Bµi 4 (3 ®iÓm). Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF. 1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF. 2.Chøng minh  MAD c©n. 3.TÝnh diÖn tÝch  MDC theo a. Bµi 5(1 ®iÓm).. 3 Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = 2 . 3 Chøng minh r»ng : a 2 + b2 + c2  4 .. đề 9 C©u 1. (1,5®) 1 1 1 1 Rót gän biÓu thøc : A = 2.5 + 5.8 + 8.11 +………..+ (3n  2)(3n  5). C©u 2. (1,5®) T×m c¸c sè a, b, c sao cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) 7 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức x  x  1 có giá trị nguyên. 2. C©u 3 . (2®) Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc) Câu 5 . Chứng minh rằng trong một tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đờng tròn ngoại tiếp 3 x 3 −14 x 2 +3 x+36 tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng hµng thøc: A= 3 x 3 − 19 x2 +33 x − 9. a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định. b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0. c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. C©u 2: .a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= (x+ 16)( x+ 9) víi x>0. x. .b, Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+1+: 2x-1+2x =3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn lît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x. .a, Xác định vị trí các điểm K,L,M,N sao cho tứ giác MNKL có diện tích mhỏ nhất. .b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt. C©u 4: T×m d cña phÐp chia ®a thøc x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1 đề 10 Bµi 1: (3®) x 5 −2 x 4 +2 x 3 − 4 x2 +3 x +6 2 x +2 x −8. Cho ph©n thøc : M =. a) Tìm tập xác định của M b) Tìm các giá trị của x để M = 0 c) Rót gän M Bµi 2: (2®) a) Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy ta đợc 242. b) Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B. A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n Bµi 3: (2®) a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc M=. 1 1 1 + + 1+ x + xy 1+ y+ yz 1+ z+ zx. b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác 1 1 1 + + a+b − c b+c −a c+ a −b. Chøng minh r»ng:. 1 1 1 + + a b c. Bµi 4: (3®) Cho tam giác ABC, ba đờng phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5 a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm c) Chøng minh AP . BN . CM =1 PB NC MA. đề 11 C©u 1: ( 2,5 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a/. x2 – x – 6 (1 ®iÓm) b/. x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm) C©u 2: ( 1 ®iÓm) T×m GTNN cña : x2 + x + 1 C©u 3: ( 1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n)  120 víi m, n  Z. C©u 4: ( 1,5 ®iÓm) Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi : 1 a 2 x = 1 a  a. 1 b 2 ; y = 1 b  b. C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: C©u 6: ( 2,5 ®iÓm). x 1. +. x2. +. x 3. = 14.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy là 150 . Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>