Chương IV. §1. Dãy số có giới hạn 0

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm -------------------------*** -------------------------. ChươngưIV:ưGIỚIưHẠNưư § 1. D·y sè cã giíi h¹n 0. Giáoưviên:ưNguyễn Thị Nhungư–ưTrườngưTHPTưNBKư.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> KiÓm tra bµi cò:. Nhắcưlạiưđịnhưnghĩaưdãyưsố: N. *. Mộtưhàmưsốưuưxácưđịnhưtrênưtậpưhợpưcácưsốưnguyênưdươngưưưư ­­­®­îc­gäi­lµ­mét d·y sè v« h¹n (­hay­cßn­gäi­t¾t­lµ­d·y sè)..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> § 1.. D·y sè cã giíi h¹n 0 (TiÕt 60). 1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0: un VÝ dô:­­Cho­d·y­sè­(­­­­­)­víi­ un .   1 n n. Làmưthếưnàoưđểưxácưđịnhưđượcưsốưhạngưu1ưcủaưdãyưsốưtrên? Tõ­sè­h¹ng­tæng­qu¸t­cña­d·y­sè­thay­n­=­1,­ta­®­ îc:.  11.  1 u1  1 Hãyưxácưđịnhưcácưsốưhạngưu2,ưu3,ưu10,ưu11,ưu23,ưu24ưcủaưdãyưsốư trªn? 2  1 1 ; 1 1 1 1 1  u 3  ; u10  ; u11  ; u 23  ; u 24  . u2  2 2 3 10 11 23 24 Hãyưbiểuưdiễnưdãyưsốưtrênưdướiưdạngưkhaiưtriển?.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0:  1n Cho­d·y­sè­(un) VÝ dô:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­víi­ un  n Biểuưdiễnư(un)ưdướiưdạngưkhaiưtriển:  1 1 1  1 1  1 1  1  1, , , , ,..., , ,..., , ,... 2 3 4 5 10 11 23 24 BiÓu­diÔn­c¸c­sè­h¹ng­cña­d·y­sè­(un)­trªn­trôc­sè­: 1 1 23 24 | | | | | | | 0 1 1 1 1    3 11 10 5 . |. 1. |. |. 1 4. 1 2. *­“­Khi­n­t¨ng­dÇn­th×­kho¶ng­c¸ch­tõ­­u Khi­n­t¨ng­th×­c¸c­®iÓm­biÓu­diÔn­chôm­l¹i­quanh­®iÓm­0”,­ nưđếnưđiểmư0ưthayưđổiư. “kho¶ng­c¸ch­|u nhưưthếưnàoư? n|ưtừưđiểmưunưđếnưđiểmư0ưtrởưnênưnhỏưbaoưnhiêuư cũngưđượcưmiễnưlàưnưđủưlớn”.. §iÒu­nµy­®­îc­gi¶i­thÝch­râ­trong­b¶ng­sau:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> n. 1 2 …. 10 11 11 12 12 … … 23 23 24 24 25 25 … … 50 50 51 51 52 52 … …. 1 1 1 1 |un| 1 11 2 … 10 11. 1 1 1 1 1 1 … 23 24 … 12 12 23 24. 1 11 1 1 11 1 … 50 51 52 … … … 25 25 50 51 52. ?ưMọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưđãưchoưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/10ư *ưưMọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/10,ưkểư kÓ­tõ­sè­h¹ng­thø­mÊy­trë­®i­? tõ­sè­h¹ng­thø­11­trë­®i. 1 víi­mäi­n­>­10. un  10 ?ưMọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưđãưchoưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư1/23ư kÓ­tõ­sè­h¹ng­thø­mÊy­trë­®i­?.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> n. 1 2 …. 10. 11. 12 …. 23. 24. 25. …. 50. 51. … 52 …. 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 … … |un| 1 … … … 12 11 23 25 50 51 24 2 10 24 52. *ưưMọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnư 1/23,­kÓ­tõ­sè­h¹ng­thø­24­trë­®i.. ưưưưMọiưsốưhạngưcủaưdãyưsốưđềuưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnưmộtư. sốưdươngưnhỏưtuỳưýưchoưtrước,ưkểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi. Ta­nãi:­d·y sè cã giíi h¹n lµ 0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> § 1. D·y sè cã giíi h¹n 0 (tiÕt­60) 1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0: D·y sè (un) cã giíi h¹n 0­(hay­cã­giíi­h¹n­lµ­0)nÕu­víi­mçi­ sốưdươngưnhỏưtuỳưýưchoưtrước,ưmọiưsốưhạngưcủaưdãyưsố,ưkểưtừư mộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi,ưđềuưcóưgiáưtrịưtuyệtưđốiưnhỏưhơnưsốư dươngưđó.ư. KÝ­hiÖu:­ lim(un ) 0­hoÆc­ lim un 0­hoÆc­un  0 KÝ­hiÖu:­" lim un 0 " ­cßn­®­ îc­viÕt­" lim u n =0", n  . đọcưlà:ưDãyưsốưcóưgiớiưhạnưlàư0ưkhiưnưdầnưđếnưvôưcực (  1) n VD:­D·y­sè­un  ­cã­giíi­h¹n­lµ­0 n (  1)n ­­­­­­­­­­­­­­­Ta­viÕt:­ lim 0 n.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> * NhËn xÐt:  lim u n 0  lim u n 0 1 VÝ­dô: lim 0 n   1 n 1   1 n 0 V×­:  vµ lim n n n +ưDãyưsốưkhôngưđổiư(un),ưvớiưunư=ư0ưcóưgiớiưhạnư0..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0. 1)..  Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư    lim un 0   ­­­d­ ¬ng­nhá­tuú­ý­cho­tr­ íc,  ­  kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi   . lim. 2).. 1 0 n. Mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0. a).lim. 1 n. 0­­­­­­­­­­­­­­­­­b).lim. 1 3. n. 0. *­§Þnh lÝ 1:­(SGK) Cho­hai­d·y­sè­(un)­vµ­(vn).   un vn , n  lim un 0   lim vn 0. Chứng minh định lí 1 Choưmộtưsốưdươngưnhỏưtuỳưý. V×­limvn­=­0­nªn­mäi­sè­h¹ng­cña­ ? Víi limvn = 0, ta cã ®iÒu g×? dãyưsốư(vn)ưnhỏưhơnưmộtưsốưdươngư nhỏưtuỳưýưchoưtrước,ưkểưtừưsốưhạngư thứưNưnàoưđóưtrởưđi ­­­­­­V×­|u vn v­nªn­mäi­|u ¬ng­ n |­nhá­h¬n­sè­d­ V×­ un |  ­nªn­ta­cã­kÕt­lu Ën­g×? ­ n. n. nhỏưtuỳưýưchoưtrư ớcưđó,ưkểưtừưsốưhạngưthứưNưtrởưđi. Vậy:­limun­=­0..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0 VD1:­Chøng­minh­r»ng:­lim  Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư    lim un 0   ­­­d­ ¬ng­nhá­tuú­ý­cho­tr­ íc  ­  kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi   . lim. Gi¶i: Ta­cã. 1 0 n. 2). Mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0. a).lim. 1 n. 0­­­­­­­­­­­­­­­­­b).lim. 1 3. n. *­§Þnh­lÝ­1:­(SGK).   un vn , n  lim un 0   lim vn 0. 0. sin n 0 n. Vµ:­ lim. sin n < n 1 n. =­0. Theoưđịnhưlíư1ưtaưcó: sinn =­0. lim n. 1 n.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0. VD2:­Chøng­minh­r»ng:­lim.  Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư    lim un 0   ­­­d­ ¬ng­nhá­tuú­ý­cho­tr­ íc  ­  kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi   . lim. 2). Mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0. 1 n. 0­­­­­­­­­­­­­­­­­b).lim. Gi¶i: Ta­cã. 1 0 n. a).lim. 1 0, k  Z k n. 1 3. n. 0. *­§Þnh­lÝ­1:­(SGK).   un vn , n  lim un 0   lim vn 0. 1 1  1 Víi­mäi­n. = nk n nk 1. V×:­lim =­0,­­­ n Nênưtheoưđịnhưlíư1ưtaưcó: lim 1k = 0. n.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0  Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư    lim un 0   ­­­d­ ¬ng­nhá­tuú­ý­cho­tr­ íc  ­  kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi   . 1 lim 0 n 2). Mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0. a).lim. 1 n. 0­­­­­­­­­­­­­­­­­b).lim. 1 3. n. 0. *­§Þnh lÝ 1:­(SGK).   un vn , n  lim un 0   lim vn 0 *­§Þnh lÝ 2:­(SGK) n. NÕu­ q <­1­th×­ lim q 0.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0  Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư    lim un 0   ­­­d­ ¬ng­nhá­tuú­ý­cho­tr­ íc  ­  kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi   . VD:­Chøng­minh­r»ng: ­­­­­­­­­­­­­­­­ cos n lim. 1 lim 0 n 2). Mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0. a).lim. 1 n. 0­­­­­­­­­­­­­­­­­b).lim. 1 3. n. 0. *­§Þnh lÝ 1:­(SGK).   un vn , n  lim un 0   lim vn 0 *­§Þnh­lÝ­2:­(SGK) n. NÕu­ q <­1­th×­ lim q 0. V×. 3  4n . Gi¶i: n cos 3 n 4. 1 1  n =   4  4. Theoưđịnhưlíư2ưtaưcó: n 1 1 v×­ 1 lim    0 4 4   Theoưđịnhưlíư1ưtaưcó: n cos. lim. 3  0.­ n. 4. n.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1). §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0  Mọiư|un | đềuưnhỏưhơnưmộtưsốư    lim un 0   ­­­d­ ¬ng­nhá­tuú­ý­cho­tr­ íc  ­  kểưtừưmộtưsốưhạngưnàoưđóưtrởưđi   . 1 lim 0 n 2). Mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0. a).lim. 1 n. 0­­­­­­­­­­­­­­­­­b).lim. 1 3. n. *­§Þnh lÝ 1:­(SGK).   un vn , n  lim un 0   lim vn 0 *­§Þnh lÝ 2:­(SGK). NÕu­ q <­1­th×­ lim q n 0. 0. Cácưmệnhưđềưsauưđúngưhayư sai? 2 A).­ lim    3  3 B ).­ lim   2. n. 0. §óng. 0. Sai. n.   sin n 1    sin n  n n C ).­    lim 0 n 1  lim 0 §óng  n    sin n 1    sin n  n n D ).­    lim 0 n 1  lim 0 Sai  n .

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài học cần nắm đợc 1).­§Þnh­nghÜa­d·y­sè­cã­giíi­h¹n­0 1 1 1 2).­ lim 0, ­­ lim 0, ­­ lim 3 0 n n n  u n v n , n 3)­§Þnh­lÝ­1:   lim u n 0 lim v n 0 n. 4).­§Þnh­lÝ­2:­­­ q  1  lim q 0.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>