Chung minh Hinh hoc 92013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>A . Đặt vấn đề Xét về phơng diện phát triển tính tự lực của học sinh đặc biệt là rèn luyện kĩ n¨ng vËn dông kiÕn thøc lÜnh héi dîc th× vai trß cña viÖc gi¶i bµi tËp trong qu¸ tr×nh häc cã gi¸ trÞ rÊt lín .Gi¶i bµi tËp gióp häc sinh rÌn luyÖn :ý chÝ ,tÝnh kiªn tr× vît khã ,ph¸t triÓn t duy l« gÝc, sù nhanh trÝ .Trong c¸c yªu cÇu cña viÖc gi¶i bµi tËp to¸n nãi chung vµ việc giải bài tập hình học nói riêng thì việc hớng dẫn các phơng pháp suy luận, đặc biệt phơng pháp vẽ thêm đờng phụ để giải các bài toán hình học là điều rất cần thiết.Bởi vì ngoài việc nắm vững kiến thức đã học, HS còn phải biết huy động chúng một cách linh ho¹t ,s¸ng t¹o trong c¸c t×nh huèng míi. NhiÒu khi viÖc vÏ thªm c¸c yÕu tè phô lµm cho viÖc gi¶i to¸n trë nªn dÔ dµng, thuËn lîi h¬n.ThËm chÝ cã bµi ph¶i vÏ thªm c¸c yÕu tè phụ mới tìm ra đợc lời giải của bài toán.Tuy nhiên vẽ thêm nh thế nào là điều mà chúng ta cÇn suy nghÜ. Thực tế cho thấy không có phơng pháp chung cho việc vẽ thêm đờng phụ để gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc. Tuú tõng bµi to¸n cô thÓ chóng ta cã c¸ch vÏ thªm cho hîp lý.Song công việc sáng tạo này không thể tuỳ tiện. Việc vẽ thêm đờng phụ luôn phải tuân theo nh÷ng bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n mµ chóng ta biÕt. Đối vối các em HS thì khi gặp những bài toán phải vẽ thêm đờng phụ thì các em c¶m thÊy rÊt ng¹i v× c¸c em cha cã kinh nghiÖm vµ lu«n nghÜ r»ng nh thÕ lµ c¸c em đã gặp một bài toán khó rồi và nhiều em đã dừng lại việc làm bài ngay.Để tạo niềm tin cho các em và giúp các em có nhiều kinh nghiệm, trong những giờ học tự chọn tôi đã lựa chän vµo nh÷ng bµi tËp phï hîp víi søc häc cña c¸c em. Vµ sau mét thêi gian, viÖc lµm bài của các em tiến bộ rõ rệt. Tôi xin mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của mình để các đồng nghiệp cùng trao đổi, và xin đợc đóng góp ý kiến cho tôi , để tôi có thể giúp các em HS đợc nhiều hơn trong học tập đặc biệt với bộ môn Toán .. II - NéI DUNG Để có thể tìm ra lời giải, cách vẽ thêm đờng phụ hợp lý trớc tiên các em HS cần phải học thuộc, hiểu các vấn đề liên quan đến lý thuyết.Ngoài ra các em còn phải biết tìm ra mối liên hệ giữa các nội dung với nhau, hoặc giữa các bài tập với nhau.Phải nắm đợc các bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n.Ch¼ng h¹n:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bµi to¸n 1: Cho AB là dây cung của đờng tròn (O;R) (AB 2R). C là một điểm trên tia đối của tia AB Chứng minh điểm C nằm ngoài đờng tròn (O;R) Ph©n tÝch: Cần chứng minh:điểm C nằm ngoài đờng tròn (O;R)  OC  R . Điều này cho ta nghĩ đến OC >OA. Do đó ta kẻ đờng phụ OH  AB( H  AB) để vận dụng quan hệ giữa đờng xiên và hình chiÕu mµ cã OC > OA. Lêi gi¶i: Vẽ OH  AB( H  AB) . Ta có HC > HA (vì C là điểm trên tia đối của tia AB,H thuộc đoạn thẳng AB )  OC  OA ( quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu ). Vậy OC > R  C nằm ngoài đờng tròn (O;R) Bµi to¸n 2: Cho AB là dây cung của đờng tròn (O;R) (AB 2R). C lµ ®iÓm trªn ®o¹n AB ( C kh¸c A vµ B) Chứng minh điểm C nằm trong đờng tròn (O;R) Phân tích : từ bài toán 1dễ nhận ra rằng đờng phụ cÇn vÏ thªm lµ OH vu«ng gãc víi AB t¹i H Gi¶i: VÏ OH  AB t¹i H.XÐt c¸c trêng hîp sau: a) C H Ta cã OH < OA (v× OH  AH )nªn OH < R  H nằm trong đờng tròn ( O ;R)  C nằm trong đờng tròn ( O ;R) b) C n»m trªn ®o¹n AH ( C kh¸c A vµ H) ta cã HC < HA  OC  OA R ( quan hÖ gi÷a đờng xiên và hình chiếu)  C nằm trong đờng tròn ( O ;R) c) C nằm trên đoạn HB ( C khác B và H) .Tơng tự nh trên cũng có C nằm trong đờng trßn ( O ;R) Bµi to¸n 3: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đờng tròn (O;R).H là trực tâm của tam giác ABC.VÏ OK  BC ( K  BC). Chøng minh : AH = 2OK Ph©n tÝch : Ph¶i chøng minh AH =2OK; vµ dÔ thÊy AH//OK. Dự đoán OK là đờng trung bình tam giác AHD (D lµ giao ®iÓm cña AO vµ HK). Từ đó phát hiện ra rằng D là điểm đối xứng cña A qua O. §iÓm phô d gióp ta t×m ra lêi gi¶i bµi to¸n..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Lu ý : Kết quả trên vẫn đúng cho tam giác ABC bất kì. Từ kết quả bài toán 3 ta giải đợc các bài toán sau. Bài toán 3.1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn ( O ;R) ,H là trực t©m, G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.Chøng minh r»ng H,G,O th¼ng hµng. Bài toán 3.2 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) có đờng cao AN và CK (N  BC, K  AB).Đờng tròn qua 3 điểm B,K,N cắt đờng tròn ( O )tại điểm thứ hai M. Chøng minh OM  MB,ë ®©y O lµ trung ®iÓm cña AC. Bµi to¸n 4: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, CD là một dây cung của nửa đờng tròn (O).Các đờng thẳng vuông góc với CD tại C và D lần lợt cắt AB tại E và F. Chứng minh AE = BF Ph©n tÝch: V× OA =OB =R, dÓ cã AE =BF cÇn chøng minh OE =O F. §iÓm phô H víi OH  CD t¹i H gióp ta t×m ra lêi gi¶i bµi to¸n. Lêi gi¶i: Vẽ OH  CD, H CD, từ đó có CH =HD(định lý đờng kính vuông góc với dây cung). V× EC, OH, FD cïng vu«ng gãc víi CD nªn : EC //OH // FD Do đó OH là đờng trung bình của hình thang CDFE  OE = O F. Mµ OA = OB =R nªn OA – OE = OB – O F  AE =BF. Bµi to¸n 5: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Trên AB lấy các điểm M,N sao cho OM = ON.Qua M và Nkẻ các đờng thẳng song song với nhau, chúng cắt các nửa đờng tròn lần lît ë C vµ D. Chøng minh MC vµ ND vu«ng gãc víi CD. Ph©n tÝch : Tõ bµi to¸n 4 gióp ta chän ®iÓm phô vÏ thªm cho bµi to¸n nµy lµ điểm I là trung điểm của dây cung CD .Từ đó dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán.. Bµi to¸n 6: Cho đờng tròn (O; R), hai bán kính OA vµ OB. C vµ D lµ c¸c ®iÓm trªn cung AB sao cho AC = BD vµ hai d©y AC, BD c¾t nhau t¹i M. Chøng minh OM  AB. Phân tích : OAB cân đỉnh O, AC=BD,những điều này gợi ta chứng minh OM là đờng phân giác góc O của tam giác OAB. VÏ OI  AC,OK  BD (I  AC,K  BD) để có OI =OK từ đó ta tìm đợc lời giải của bài toán. Lêi gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> VÏ OI  AC,OK  BD (I  AC, K  BD) Do AC =BD nªn OI = OK Dễ chứng minh đợc MIO MKO, AIOBKO nên AOI  IOM     BOK  KOM  AOM BOM . AOM BOM  OAB  . c©n cã OM AB. Bµi to¸n 7: Cho tam giác ABC cân ở a nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB , E lµ träng t©m tam gi¸c ACD. Chøng minh OE CD Ph©n tÝch: Bài toán có trọng tâm , trung điểm gợi ta nghĩ đến đờng trung bình của tam giác . Do đó lấy các điểm phụ M,N lần lợt là trung điểm của AD, AC sẽ giúp ta giải đợc bài to¸n. Lêi gi¶i: Gäi M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD,AC, G lµ giao ®iÓm cña CD vµ OA, E lµ giao ®iÓm cña DN vµ CM. DÔ thÊy G lµ träng t©m Δ ABC nªn GC = 2 cßn E lµ CD. 3. träng t©m Δ ACD nªn EC = 2 . XÐt Δ CDM nªn. CM 3 GC EC 2 = = CD DM 3. nên theo đ/l đảo Talét trong tam giác ta suy ra. EG //MD . Mặt khác OD  AB (D là điểm giữa của dây cung AB của đờng tròn (O) nên OD  EG Δ ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O) nên OA BC hay OG  BC. Mà DN // BC ( DN là đờng trung bình của Δ ABC do vậy OG  DN. Xét Δ DGE Có GO và OD là 2 đờng cao cắt nhau tại O O là trực tâm của Δ DGE . Từ đó OE DG hay OE  CD. Bµi to¸n 8: Cho Δ ABC vuông tại A có AB =4cm, AC= 3 cm. Hãy xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng BC và đờng tròn tâm A bán kính 2.5 cm. Ph©n tÝch : Để xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng BC với đờng tròn tâm A ta cần tính khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC vì vậy cần vẽ thêm yếu tố phụ là đờng cao AH của Δ ABC . Lêi gi¶i: Vẽ AH là đờng cao của Δ ABC . Δ ABC vuông tại A, AH là đờng cao nên theo hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam gi¸c vu«ng cã:. 1 1 1 = 2+ 2 2 AH AB AC.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> . 1 1 1 = 2+ 2 2 AH 4 3. . 12 2 12 ¿ ⇒ AH= =2 . 4 cm 5 5 2 AH =¿. Vì 2.4< 2.5 nên đờng thẳng BC và đờng tròn (A; 2.5 cm) c¾t nhau. Bµi to¸n 9: Cho Δ ABC có A B^ C=300 , AB=4 cm . Xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng BC và đờng tròn tâm A bán kính 2 cm. Ph©n tÝch : Cũng nh bài tập 8 ta cũng cần kẻ đờng phụ là đờng cao AH để đi đến lời giải của bài toán. Lêi gi¶i: Vẽ đờng cao AH của Δ ABC . Tam giác ABH vuông tại H có A B^ H =300 nên là nửa tam giác đều ⇒ AH= AB =2 cm 2 Do đó đờng thẳng BC và đờng tròn (A;2) tiếp xúc nhau. Bµi to¸n 10: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đờng tròn (O;R) với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đờng vuông góc vẽ từ A đến đờng kính BC của đờng tròn . Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm I cña AH. Ph©n tÝch : DÔ thÊy PB // AH, ®iÒu cÇn chøng minh PC đi qua trung điểm I của AH gợi ta nghĩ đến ®iÓm D lµ giao ®iÓm cña CA vµ BP vµ tÊt nhiªn ph¶i cã PB = PD . Điều này có đợc từ Δ ABD vuông và PA = PB. Lêi gi¶i : Gäi ®iÓm D lµ giao ®iÓm cña CA vµ BP . Tam gi¸c BAC vu«ng t¹i A  Tam gi¸c BAD vu«ng ë A ⇒ B ^A P+ P ^A D=900 ^A Do PA và PB là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O)  PA = PB (1) ⇒P^ A B=P B 0 MÆt kh¸c P ^A B+ P ^ (2) A D=P ^ D A  PD =PA D A=90 . Từ đó ⇒ P ^ Tõ (1) vµ (2)  PD =PB Theo ®/l Ta lÐt : cã AH // DB ( v× cïng vu«ng gãc víi BC) nªn AI =CI =IH DP. CP. PB. Mµ PD = PB  AI = IH hay I lµ trung ®iÓm cña AH.. Bµi to¸n 11: Một đờng tròn nội tiếp Δ ABC tiếp xúc với AB, AC lần lợt tại D và E. Cho ®iÓm M thuéc ®o¹n th¼ng AD; CM c¾t DE t¹i I..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chøng minh IM = DM IC. CE. Ph©n tÝch: Điều cần chứng minh gợi ta nghĩ đến định lý Talét do vậy ta làm xuất hiện “ hai đờng thẳng song song”. C¸ch 1: IM DM  VÏ CK // AB , K  DE.Ta cã IC CK .. Và chứng minh đợc CE = CK. C¸ch 2: VÏ MH // DE, H  AC. DM HE  ; AD  AE. AD AE ;. IM HE  IC CE. Ta cã do đó DM = HE, từ đó suy ra đpcm.. C¸ch 3: VÏ ML // AC, L  DE. IM ML  Ta cã IC CE , DM = ML. Từ đó suy ra đpcm.. Bµi to¸n 12: Trên dây cung AB của đờng tròn (O) lấy hai ®iÓm C vµ D sao cho AC = CD = DB. VÏ b¸n kÝnh OE qua C vµ b¸n kÝnh O F qua D.  Chøng minh AE  EF Ph©n tÝch:. . .   AOC  COD Ta cã AE  EF . Từ đó ta nghĩ đến tìm một tam giác có hai góc.   AOC , COD mà quan hệ giữa các cạnh đối diện dễ thấy.. Cách 1: Vẽ đờng kính AM. . . . . Ta cã AOC OMD, COD ODM vµ OMD cã OD < OM nên từ đó ta có lời giải bài toán..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> C¸ch 2: Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA. IC là đờng trung bình của OAD nên IC // OD , 1 IC  OD 2 ICO có IC < OI. Từ đó tìm ra lời giải bài toán.. C¸ch 3: Gäi K lµ trung ®iÓm cña OD. CK là đờng trung bình của OAD . 1 CK  OA, CK // OA 2 Ta cã : OCK có OK < CK.Từ đó giúp ta có đợc đpcm.. C¸ch 4: Trên tia đối của tia CO lấy H sao cho CH = CO . Tø gi¸c AHDO lµ h×nh b×nh hµnh, . . suy ra AH = OD, AHO COD AHO có AH < OA. Từ đó ta có lời giải của bài toán. Bµi to¸n 13: ,. Cho hai đờng tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ một cát tuyến qua A cắt hai đờng tròn tại B và C ,. (B thuộc đờng tròn (O) ; C thuộc (O ) ) Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn t¹i B vµ C song song víi nhau. Ph©n tÝch : NÕu kÎ thªm tiÕp tuyÕn chung cña hai đờng tròn ta sẽ dễ dàng tìm ra đợc lời giải. Cần lu ý rằng : những bài toán có hai đờng tròn tiÕp xóc nhau viÖc vÏ thªm tiÕp tuyÕn chung cña hai đờng tròn sẽ làm xuất hiện những yếu tố liên quan đến cả hai đờng tròn, từ đó sẽ giải đợc bài toán.. *Bµi tËp: '. 1) Cho hai đờng tròn (O) và ( O ) tiếp xúc ngoài tại A. Hai điểm B, C lần lợt trên đờng ' ' 0  trßn (O) vµ ( O ) sao cho BAC 90 . Chøng minh r»ng OB // O C.. 2) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R) (AB < AC). Đờng tròn (I) qua B,C và tiếp xúc với AB tại B cắt đờng thẳng AC tại D. Chứng minh OA  BD.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) nội tiếp đờng tròn (O).(AB<O). E,F lần lợt là trung ®iÓm c¸c c¹nh AD,BC.I lµ ®iÓm bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng Ì. §êng th¼ng m vu«ng gãc víi OI t¹i I c¾t c¸c c¹nh AD,BC lÇn lît t¹i M,N. Chøng minh OMN c©n.. III - KÕt luËn 1) Lêi kÕt: Qua đây, chúng ta có thể khẳng định rằng: Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học là rất cần thiết, nó giúp các em HS không những giải đợc các bài toán mà còn giúp các em thấy hứng thú trong học bộ môn toán, phát triển đợc khả năng sáng t¹o cña c¸c em. Trong quá trình giảng dạy ,để phù hợp với khả năng không đồng đều của các đối tợng HS trong lớp , và trong điều kiện thời gian hạn hẹp của các giờ tự chọn nên tôi chỉ chọn những bài tập mang tính chất gợi mở, định hớng, đơn giản để các em thấy tự tin rằng nếu các em cố gắng các em hoàn toàn có thể làm đợc việc mà từ trớc đến nay các em cảm thấy khó khăn đó là việc vẽ thêm các đờng phụ trong các bài toán hình học. 2) Kết quả đạt đợc và kiến nghị Víi sù cè g¾ng, nç lùc chung cña c¶ gi¸o viªn vµ c¸c em HS, sau khi ¸p dung c¸ch làm trên, rất nhiều em HS trong lớp đã thấy hứng thú, yêu thích bộ môn toán đặc biệt là phần hình học. Rất nhiều bài toán đã đợc các em giải bằng nhiều cách khác nhau, có những cách giải ngoài sự mong đợi của cả giáo viên. Mặc dù rất cố gắng song nội dung SKKN chắc chắn còn nhiều vấn đề hạn chế. Tôi rất mong nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để có thể tiếp tục hoàn thiện đề tài với nội dung phong phú hơn và áp dung đợc cho nhiều đối tợng học sinh h¬n..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n.. Sở giáo dục & đào tạo hải dơng.  Hớng dẫn học sinh vẽ thêm đờng phụ để : " Gi¶i mét sè bµi to¸n h×nh häc 9". N¨m häc: 2006 - 2007 .

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Phßng gi¸o dôc HuyÖn ……………. Trêng THCS …………………. Sè ph¸ch (Do CT hội đồng ghi). Hớng dẫn học sinh vẽ thêm đờng phụ để: " Gi¶i mét sè bµi to¸n h×nh häc 9" Tªn t¸c gi¶: …………………… Đánh giá của hội đồng khoa học nhà trờng (Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Sè ph¸ch (Do CT hội đồng ghi). Hớng dẫn học sinh vẽ thêm đờng phụ để : " Gi¶i mét sè bµi to¸n h×nh häc 9". Đánh giá của hội đồng chấm SKKN cấp huyện (Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu). Tªn t¸c gi¶: ...................................................... §¬n vÞ c«ng t¸c: .............................................

<span class='text_page_counter'>(12)</span>