HE TOA DO KHONG GIANLy thuyet va cong thuc mon Toan Hinh hoc 12 Chuong 3 PP Toa do trong khong gian File worddoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. VII. KIẾNTỌA THỨCĐỘ TỌA ĐỘ ĐIỂMGIAN – TỌA OXYZ ĐỘ VÉCTƠ KHÔNG. 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung.    O một điểm gốc . Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.. Chú ý:. 2 2 2     i  j k 1 và i. j i.k  k . j 0 .. z x'.  k. y' x.  i. O.  j. y. z'. Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được kg  Oxyz  . gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là :. 2. Tọa độ của vectơ.      u  x ; y ; z  u  xi  y j  zk   a) Định nghĩa:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b) Tính chất: Cho.   a (a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ), k  R.   a b  (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 ) ·  ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 ) · a1 b1    a b  a2 b2 a b  3 3 ·     0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k (0;0;1) ·       b ( b  0) a  kb ( k  R) a · cùng phương . a1 kb1   a2 kb2 a kb 3  3.  a .b a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 · ·.  a 2 a12  a22  a32. . a1 a2 a3   , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3.   a  b  a1b1  a2b2  a3b3 0 ·. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại. ·. ·.  a  a12  a22  a22.  a1b1  a2b2  a3b3 a.b   cos( a , b )     2 a .b a1  a22  a32 . b12  b22  b32.    a (với , b 0 ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. Tọa độ của điểm.     M ( x ; y ; z )  OM  x . i  y . j  z.k ( x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ ) a) Định nghĩa:. M   Oxy   z 0; M   Oyz   x 0; M   Oxz   y 0. Chú ý: ·. · M  Ox  y z 0; M  Oy  x z 0; M  Oz  x  y 0 . b) Tính chất: Cho Đăng. ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại.  ·. ·. AB ( xB  x A ; y B  y A ; z B  z A ). AB  ( xB  xA ) 2  ( yB  y A ) 2  ( zB  z A ) 2.  x  x y  yB z A  zB  M A B; A ;  2 2  · Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB :  2. · Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :  x  x  x y  y B  yC z A  z B  z C  G A B C ; A ;  3 3 3  . · Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :  x  x  x  x D y A  y B  yC  y D z A  z B  z C  z C  G A B C ; ;   4 4 4 .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> III. Sự cùng phương của hai véc tơ: Nhắc lại · Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song . · Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:      Định lý 3 : Cho hai véc tơ a và b với b 0   a cuøng phöông b.    !k  R sao cho a k.b.   Nếu a 0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:   k  0 khi a cùng hướng b   k  0 khi a ngược hướng b.  a k  b   A, B, C thaúng haøng  AB cuøng phöông AC.  Định lý 4 :.  Định lý 5: Cho hai véc tơ.   a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ). ta có :. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại. IV. Tích vô hướng của hai véc tơ: Nhắc lại:     a.b  a . b .cos(a, b) 2  2 a a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>   ab. . Định lý 6: Cho hai véc tơ.   a.b 0.   a (a1; a2 ; a2 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ). ta có :. .  a.b a1b1  a2 b2  a3b3. Định lý 7: Cho hai véc tơ.  a (a1; a2 ; a3 ). Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề ta có :. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại.  a  a12  a22  a32.  Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ; zA ) vaø B(x B; yB ; zB ) thì AB  ( xB  x A )2  (yB  y A )2  (zB  zA )2  Định lý 9: Cho hai véc tơ.   a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 )   a b.  Định lý 10: Cho hai véc tơ. ta có :.  a1b1  a2 b2  a3b3 0.   a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ). ta có :.   a1b1  a2 b2  a3b3 a.b cos(a, b)     a.b a12  a22  a32 . b12  b22  b32. V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k .  MA k .MB. ·. ·. A. Định lý 11 : Nếu.  k 1 nếu như :. · M. A( x A ; y A ; zA ) , B(x B; yB ; zB ). B. .  MA  k.MB  k 1 thì và. x A  k. xB   xM  1  k  y A  k .y B   yM  1 k  zA  k.zB   zM  1  k  Đặc biệt :. M là trung điểm củ. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại. a AB. x A  xB   xM  2  y A  yB   yM  2  zA  zB   zM  2  . Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( x A ; y A ; zA ) , B(x B; yB ; zB ), C(x C ; yC ; zC ) x A  x B  xC   xG  3  y A  yB  yC   yG  3  zA  zB  zC   zG  3 G là trọng tâm tam giác ABC  .

<span class='text_page_counter'>(7)</span> VI. Tích có hướng của hai véc tơ: 1. Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ   a; b   có tọa độ là : được ký hiệu :   a  a; b   2    b2.   a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ). a3 a3 ; b3 b3. là một véc tơ. a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2 . 2. Tính chất: ·. ·. ·. ·.    a; b   a vaø  . SABC.    a; b   b   A. 1    .  AB; AC  2 B. C.   SABCD   AB; AD . VABCD. A'B'C 'D'. D'.     AB; AD  .AAA'. D. C. A'. C' B'. D D B. C. A B. ·. ·. · ·. VABCD. 1    .  AB; AC  .AD 6.   a cuøng phöông b. . C. A B.    a; b  0  .    a, b, c đồng phẳng   a, b  .c 0     AB,AC  .AD 0  A, B, C , D đồng phẳng  AB,AC,AD đồng phẳng  . VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Dieän tích – Theå tích. – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. – Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. – Tính chaát hình hoïc cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät:       · A, B, C thaúng haøng  AB, AC cuøng phöông  AB k AC   AB, AC  0   · ABCD laø hình bình haønh  AB  DC · Cho ABC có các chân E , F của các đường phân giác trong và ngoài của     AB AB EB  .EC FB  .FC AC AC goùc A cuûa ABC treân BC . Ta coù: ,    · A, B, C , D không đồng phẳng  AB, AC , AD không đồng phẳng      AB, AC  .AD 0. VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu Daïng 1:.  S. coù taâm. I  a; b; c .  S  , ta caàn xaùc ñònh taâm I. vaø baùn kính R :. 2 2 2 2 (S): ( x  a)  ( y  b)  (z  c) R. Daïng 2:.  S. coù taâm. I  a; b; c . vaø ñi qua ñieåm A :. Khi đó bán kính R IA. Daïng 3:.  S. nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: –Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB : xI . x A  xB y y z z ; yI  A B ; zI  A B 2 2 2 .. vaø baùn kính R cuûa maët caàu..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> – Baùn kính Daïng 4:.  S. R  IA . AB 2 .. đi qua bốn điểm A, B, C , D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ):. – Giả sử phương trình mặt cầu.  S. coù daïng:. x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d 0  * ..  * , ta được 4 phương trình. – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C , D vào  S . – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu Daïng 5:.  S.  P  cho trước: ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm I naèm treân maët phaúng Giải tương tự như dạng 4.. Daïng 6:.  S.  T  cho trước: có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu. T . – Xaùc ñònh taâm J vaø baùn kính R ' cuûa maët caàu  S . – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài). Chú ý: Với phương trình mặt cầu.  S :. x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d 0 thì.  S. coù taâm. I   a;  b;  c . 2 2 2 vaø baùn kính R  a  b  c  d .. VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu Cho hai maët caàu. ·. I1I 2  R1  R2. S1  I1 , R1 . 2 2 2 với a  b  c  d  0. vaø. S2  I 2 , R2  ..   S1  ,  S2 . trong nhau.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ·. I1I 2  R1  R2.   S1  ,  S2 . ngoài nhau. ·. I1I 2  R1  R2.   S1  ,  S2 . tieáp xuùc trong. ·. I1I 2 R1  R2.   S1  ,  S2 . tiếp xúc ngoài. ·. R1  R2  I1I 2  R1  R2.   S1  ,  S2 . cắt nhau theo một đường tròn.. VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu 1. Tập hợp điểm là mặt cầu.  P  nào đó. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất – Tìm hệ thức giữa các toạ độ x , y, z của điểm M . Chẳng hạn có dạng: ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2 R 2 hoặc:. x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d 0. – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). 2.. Tìm tập hợp tâm mặt cầu  x  f (t )   y  g(t )  *  z h(t ) – Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn:  – Khử t trong.  *. ta có phương trình tập hợp điểm.. – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có)..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. I. Các định nghĩa: 1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:.   a  0  ñn   a có giá song song hoặc trùng với    a là VTCP của đường thẳng    . Chú ý: Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.    hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và · Một đường thẳng một VTCP của nó. 2. Cặp VTCP của mặt phẳng: ·.  Cho mặt phẳng  xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là VTCP của  đường thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b . Khi đó :.   ( a Cặp ,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng  Chú ý :.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> · Một mặt phẳng  hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó. 3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :.    n  0 ñn    n là VTPT của mặt phẳng    n có giá vuông góc với mp Chú ý : · Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau. · Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:   a (a1; a2 ; a3 )  b (b1; b2 ; b3 ) Định lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP là :  thì mp  có một VTPT là :   a n  a; b   2  b2. a3 a3 ; b3 b3. a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2 . II. Phương trình của mặt phẳng : Kg  Oxyz  . Định lý 1: Trong Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có  một VTPT n ( A; B; C ) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C (z  z0 ) 0. Định lý 2: Trong. Kg  Oxyz  .. Phương trình dạng :. Ax  By  Cz  D 0 với A 2  B 2  C 2 0 là phương trình tổng quát của một mặt phẳng . Chú ý : · ·.  n (  ) : A x  B y  Cz  D  0 (  ) Nếu thì có một VTPT là ( A; B; C ) M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  ( ) : Ax  By  Cz  D 0  Ax 0  By0  Cz0  D 0 (Oyz ). z. y O. (Oxz ). x (Oxy ).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Các trường hợp đặc biệt: 1. Các trường hợp riêng.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Caùc heä soá. Phöông trình maët phaúng. Tính chaát maët phaúng (). () D=0. Ax  By  Cz 0.    đi qua gốc toạ độ O. A=0. By  Cz  D 0.  .   Ox // Ox hoặc. B=0. Ax  Cz  D 0.  .   Oy // Oy hoặc. C=0. Ax  By  D 0.  .   Oz // Oy hoặc. A=B=0. Cz  D 0.    //  Oxy .    .  . hoặc.     Oxy . 2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:. Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox , Oy, Oz tại. là:.  A(a; 0; 0)   B(0; b; 0) (a,b,c 0) C (0; 0; c) . C. c O a. x y z   1 a b c A. III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng : 1. Một số quy ước và ký hiệu:. Hai bộ n số:. (a1 , a2 ,..., an )  (b1 , b2 ,..., bn ). Ký hiệu:. được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t 0 sao cho. a1 : a2 : ... : an b1 : b2 : ... : bn. hoặc.  a1 tb1  a tb 2  2 . .   an tbn. a a1 a2  ...  n b1 b2 bn. 2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Định lý: Trong. Kg  Oxyz . cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình :. b B.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  coù VTPT n1 ( A1; B1; C1 )  (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 coù VTPT n2 ( A2 ; B2 ; C2 )  n1  n2  a n2  n1 ( ) : A1 x  B1y  C1z  D1 0.  n1.  n2 b. b. a. a. b. ( ) caét ( )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay: . A1 B1 C1 D1    A 2 B2 C2 D2. ( )  ( ) . A1 B1 C1 D1    A 2 B2 C2 D2. ( ) // ( ). A1 B1 B C C A  hoặc 1  1 hoặc 1  1 ) A 2 B2 B2 C2 C2 A2. Đặc biệt:.     A1 A2  B1B2  C1C2 0 III. Khoảng cách từ điểm. M0  x 0 ; y0 ; z0 . d  M0 ,( )  . đến mặt phẳng. Ax0  By0  Cz0  D A2  B2  C 2.   :. Ax  By  Cz  D 0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> IV. Chùm mặt phẳng.    và ( ) được gọi là một.  Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng chùm mặt phẳng . Gọi. d. là giao tuyến của hai mặt phẳng. d.    : A1x  B1y  C1z  D1 0 và    : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 . Khi đó nếu dạng.  P. là mặt phẳng chứa. d. thì phương trình mặt phẳng.  P.  P  : m.(A1x  B1y  C1z  D1 )  n.(A2 x  B2 y  C2 z  D2 ) 0,. . P. m 2  n2  0. VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng.  . ta caàn xaùc ñònh moät ñieåm thuoäc.  . vaø moät. VTPT cuûa noù..   Daïng 1:. ñi qua ñieåm. M  x0 ; y0 ; z0 .   : Daïng 2:.  . ñi qua ñieåm. coù VTPT.  n  A; B;C . :. A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0  0. M  x0 ; y0 ; z0 .   Khi đó một VTPT của.  coù caëp VTCP a , b :   n laø  a , b  .. Daïng 3:.  . ñi qua ñieåm.    : Ax  By  Cz. M  x0 ; y0 ; z0 .  D  0:.   : Daïng 4:.  . và song song với mặt phẳng. A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0  0. ñi qua 3 ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C :.       n Khi đó ta có thể xác định một VTPT của laø:  AB, AC  Daïng 5:.  .  d  không chứa M : đi qua một điểm M và một đường thẳng.  laáy ñieåm A vaø VTCP u .      n – Moät VTPT cuûa laø:  AM , u  – Treân. Daïng 6:.  . d. d : đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng. có.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>   d  laø moät VTPT cuûa    . VTCP u của đường thẳng Daïng 7:. d,d : đi qua 2 đường thẳng cắt nhau 1 2  d,d . a – Xác định các VTCP , b của các đường thẳng 1 2 .     n – Moät VTPT cuûa laø:  a , b  ..  . d  M   . – Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc 2 Daïng 8: nhau ) :.  . chứa đường thẳng. d1. và song song với đường thẳng. d2 ( d1 , d2. cheùo.  d,d . a – Xác định các VTCP , b của các đường thẳng 1 2.   – Moät VTPT cuûa.   n laø:  a , b  .. d  M   . – Laáy moät ñieåm M thuoäc 1 Daïng 9:. d ,d : đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau 1 2  d,d . a – Xác định các VTCP , b của các đường thẳng 1 2.  .   – Moät VTPT cuûa Daïng 10:.  .   n laø:  a , b  .. đi qua một đường thẳng.  d. và vuông góc với một mặt phẳng   d  vaø VTPT n cuûa    . – Xaùc ñònh VTCP u cuûa   n  u , n      . – Moät VTPT cuûa laø:.  :. d  M    . – Laáy moät ñieåm M thuoäc Daïng 11:.    ,   : đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau   n ,n    vaø    . – Xaùc ñònh caùc VTPT   cuûa    n  u , n     . – Moät VTPT cuûa laø:.  .    đi qua đường thẳng  d  cho trước và cách điểm M cho trước một Daïng 12: khoảng k cho trước:.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> . . A2  B 2  C 2 0 Ax  By  Cz+D  0 – Giả sử () có phương trình: .. – Laáy 2 ñieåm. A, B   d   A , B     (. ta được hai phương trình.  1 ,  2  )..  3 . – Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( )) k , ta được phương trình – Giaûi heä phöông trình.  1 ,  2  ,  3. (baèng caùch cho giaù trò moät aån, tìm. caùc aån coøn laïi). Daïng 13:.  . là tiếp xúc với mặt cầu.  S  taïi ñieåm H :.  S. coù taâm I vaø baùn kính R.     n – Moät VTPT cuûa laø: IH – Giả sử mặt cẩu. Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở lớp 11.. VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân maët phaúng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.. · Khoảng cách từ điểm. M0  x0 ; y0 ; z0 . d  M0 ,( )  . đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D 0. Ax0  By0  Cz0  D A2  B2  C 2. · Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> · Ñieåm H laø hình chieáu cuûa ñieåm M treân.   MH , n cuøng phöông  P    H  (P)  . · Điểm M ' đối xứng với điểm M. .  P   MM  2MH qua. VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng.   ,   . coù phöông trình:.    : A1x  B1y  C1z  D1 0.    : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 Góc giữa.   ,   . bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT.   n1 , n2. ..   n1.n2 A1 A2  B1B2  C1C2 cos  ( ),(  )      n1 . n2 A12  B12  C12 . A22  B22  C22 0 (· ) 0 · 0 £ (a ),(b) £ 90 .. Chuù yù:. ·. ( )  (  )  A1 A2  B1B2  C1C2 0. VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho maët phaúng.    : Ax  By  Cz  D 0.  S. ·.  . vaø. ·.  . tiếp xúc với. khoâng coù ñieåm chung.  S. vaø maët caàu.  S  : ( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  R 2.  d ( I ,( ))  R.  d ( I ,( ))  R.  . laø tieáp dieän. Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:.  S  và vuông góc với    . – Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>   . – Tìm toạ độ giao điểm H của d và H là tiếp điểm của  S  với    .. ·.  . caét.  S. theo một đường tròn  d (I ,( ))  R. Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:.  S  và vuông góc với    . – Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của   . – Tìm toạ độ giao điểm H của d và H là tâm của đường tròn giao tuyến của  S  với    . 2 2 Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r  R  IH.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN. I. Phương trình của đường thẳng: 1) Vectơ chỉ phương của đường phẳng:. . . Định nghĩa: Cho đường phẳng d . Nếu vectơ a 0 và có giá song song hoặc trùng với đường. . phẳng d thì vectơ a được gọi là vectơ pháp tuyến của đường phẳng d . Kí hiệu:.  a (a1; a2 ; a3 ).  Chú ý:.   (k 0) cũng là VTCP của d a k . a d 1) là VTCP của thì  A , B d 2) Nếu đi qua hai điểm thì AB là một VTCP của d.   a 3) Trục Ox có vectơ chỉ phương i (1; 0; 0)   Oy a 4) Trục có vectơ chỉ phương  j (0;1; 0)   a Oz 5) Trục có vectơ chỉ phương k (0; 0;1) 2.Phương trình tham số của đường thẳng: Định lý: Trong M0 ( x0 ; y0 ; z0 ). Kg  Oxyz  .. và nhận. z. Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm.  a (a1; a2 ; a3 ). làm VTCP là :.  a ( ). M0. M ( x, y , z ) y O. x.  x  x0  ta1  () :  y  y0  ta2  z z  ta 0 3 .  t  R.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Định lý: Trong M0 ( x0 ; y0 ; z0 ). Kg  Oxyz  .. và nhận. Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểm.  a (a1; a2 ; a3 ) ( ) :. làm VTCP là :. x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3. II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : PP HÌNH HỌC. M  a. ().  n. Định lý: Trong. ( ).  n.  n. a. M. a.  a. Kg  Oxyz . M. a. cho: đường thẳng.  x  x0  a1t (1)  ( ) :  y  y0  a2 t (2)  z z  a t (3) 0 3 .  a ().  a (a1; a2 ; a3 ). có VTCP  M ( x ; y ; z ) (  ) : Ax  By  Cz  D  0 n ( A; B; C ) qua 0 0 0 0 và mặt phẳng có VTPT Khi đó : () caét ( ) () // ( ) (  )  ( ). Đặc biệt:.   a.n 0   a.n 0    M0  (P )   a.n 0    M  ( P )  0. Aa1  Ba2  Ca3  0  Aa1  Ba2  Ca3 0   Ax0  By0  Cz0  D  0  Aa1  Ba2  Ca3 0   Ax0  By0  Cz0  D 0.   ()  ( ) Û a và n cùng phương. a.  a.  n. và.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> . a1 : a2 : a3  A : B : C.  pt( )    và    ta giải hệ phương trình:  pt( ) tìm PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M của x , y, z. Suy ra: M  x, y, z  Thế.  1 ,  2  ,  3. vào phương trình. mp  P . và rút gọn đưa về dạng: at  b 0 (*). mp P  Pt * · d cắt tại một điểm có một nghiệm t ..  .  . P  Pt * · d song song với vô nghiệm..  .  . P  Pt * · d nằm trong có vô số nghiệm t ..  .  .   P  a  n d · vuông góc và cùng phương. 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:. PP HÌNH HỌC   1 Kg  Oxyz  u  Định lý: Trong cho hai đường thẳng: a  M0 M0 M 0' u 1    y0 z  z0  M 0 M 0' u u' b ( ) : x  x0  y  u coù1 VTCP u (a; b; c) vaø qua M2 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) u ' '  2 1 2 a b c M 0' '  M M0 x  x0 0 y  y0 z  z0 ( 2 ) :  '  ' coù VTCP u' (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x 0' ; y0' ; z0' ) ' a b c    · (1 ) và ( 2 ) đồng phẳng  u, u'  .M 0 M0' 0  . 1. 2.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> · (1 ) caét ( 2 ).     '  '   u, u  .M 0 M0 0    a : b : c  a' : b' : c' . · (1 ) // ( 2 ).  a : b : c a' : b' : c ' ( x 0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : (z0'  z0 ). · (1 )  ( 2 ).  a : b : c a' : b' : c ' ( x 0'  x 0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )     u, u'  .M 0 M 0' 0     u.u ' 0. · (1 ) vaø ( 2 ) cheùo nhau · (1 )  ( 2 ).  pt(1 )  pt( 2 ) (  ) vaø (  ) 1 2 PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M của ta giải hệ phương trình :  tìm x , y, z. Suy ra: M  x, y, z  3) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu:. Cho đường thẳng d:.  x  x0  a1t (1)   y  y0  a2t (2)  z z  a t (3) 0 3 . S  : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R 2  và mặt cầu. có tâm. I (a; b; c ) , bán kính R. PP HÌNH HỌC. B1. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu.  S. đến đường thẳng d là.    IM .a   0  h d ( I , d )   a. B2. So sánh d ( I , d ) và bán kính R của mặt cầu:. S ● Nếu d (I , d )  R thì d không cắt.  . S ● Nếu d (I , d )  R thì d tiếp xúc.  . S ● Nếu d (I , d )  R thì d cắt tại hai điểm phân biệt M , N và MN vuông góc với đường kính (bán kính) mặt cầu.  . PP ĐẠI SỐ: Thế theo.  1 ,  2  ,  3. vào phương trình.  S  và rút gọn đưa về phương trình bậc hai. t  * ● Nếu phương trình.  *. S vô nghiệm thì d không cắt.  .

<span class='text_page_counter'>(26)</span> ● Nếu phương trình.  *. S có một nghiệm thì d tiếp xúc. ● Nếu phương trình.  *. S có hai nghiệm thì d cắt tại hai điểm phân biệt M , N.  .  . Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d. III. Góc trong không gian: 1. Góc giữa hai mặt phẳng: Định lý: Trong. Kg  Oxyz .  : cho hai mặt phẳng  ,  xác định bởi phương trình n1  ( A1 ; B1 ; C1 )  n2 ( A2 ; B2 ; C 2 ). ( ) : A1 x  B1y  C1z  D1 0 (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có công thức:. a. 0 0  90 0 b. cos  . A1 A2  B1 B2  C1C2 A12  B12  C12 . A22  B22  C22. 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:. Định lý: Trong. Kg  Oxyz . () ( ) :. cho đường thẳng.  a (a; b; c). x  x0 y  y0 z  z0   a b c.  n ( A; B; C ). và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D 0 a. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có công thức:. sin  . 0 0  90 0. Aa  Bb  Cc A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2.  a1 (a; b; c). 3.Góc giữa hai đường thẳng : Định lý: Trong. Kg  Oxyz . cho hai đường thẳng :. 1 2.  a 2 (a ' ; b' ; c' ). 0 0  90 0.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> x  x0 y  y0 z  z0   a b c x  x0 y  y0 z  z0 ( 2 ) :  '  ' a' b c (1 ) :. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (1 ) & ( 2 ) ta có công thức: aa '  bb'  cc '. cos  . a 2  b 2  c 2 . a '2  b '2  c '2. IV. Khoảng cách: 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Định lý: Trong. Kg  Oxyz . cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ). Khoảng M cách ( xtừ; yđiểm ;z ) 0. 0. 0. M0. 0. đến mặt phẳng ( ) được tính bởi công thức:. H. a. d ( M0 ;  ) . Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2. 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Định lý: Trong. Kg  Oxyz . M (x ; y ; z ) cho đường thẳng ( ) đi qua điểm 0 0 0 0 và có VTCP.  u (a; b; c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến () được tính bởi công thức: 1. M1.  u. ( ).    M0 M1; u    d ( M1 , )   u. M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 ) H 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:. Định lý: Trong. Kg  Oxyz . cho hai đường thẳng chéo nhau :.  (1 ) coù VTCP u (a; b; c) vaø qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )  ( 2 ) coù VTCP u' (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) Khi đó khoảng cách giữa (1 ) vaø ( 2 ) được tính bởi công thức.

<span class='text_page_counter'>(28)</span>  u. 1. M0. M. ' 0.  u'.    u, u ' .M0 M0'   d (1 ,  2 )    u; u '  . 2. VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP cuûa noù..  M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) a (a1; a2 ; a3 ) d Daïng 1: ñi qua ñieåm vaø coù VTCP :  x xo  a1t  (d ) :  y yo  a2 t  z z  a t o 3 . ( t  R). Daïng 2: d ñi qua hai ñieåm A, B :  d Moät VTCP cuûa laø AB . M (x ; y ; z ) Dạng 3: d đi qua điểm 0 0 0 0 và song song với đường thẳng  cho trước:. Vì d / /  neân VTCP cuûa  cuõng laø VTCP cuûa d . M (x ; y ; z )  P  cho trước: Dạng 4: d đi qua điểm 0 0 0 0 và vuông góc với mặt phẳng. Vì. d   P. neân VTPT cuûa.  P. cuõng laø VTCP cuûa d ..  P  ,  Q : Daïng 5: d laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng · Caùch 1: Tìm moät ñieåm vaø moät VTCP. ( P )  – Tìm toạ độ một điểm A  d : bằng cách giải hệ phương trình (Q) (với vieäc choïn giaù trò cho moät aån) – Tìm moät VTCP cuûa.    d : a   nP , nQ . · Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó..

<span class='text_page_counter'>(29)</span> M (x ; y ; z ) d ,d : Dạng 6: d đi qua điểm 0 0 0 0 và vuông góc với hai đường thẳng 1 2    a  ad , ad  d  d1 , d  d2  1 2 d Vì neân moät VTCP cuûa laø: M (x ; y ; z ) Dạng 7: d đi qua điểm 0 0 0 0 , vuông góc và cắt đường thẳng  . M · Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của 0 trên đường thẳng  .. H     M0 H  u M , H. Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua 0. · Caùch 2: Goïi.  P. ;  Q là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d laø maët. d  P    Q  phẳng đi qua A và chứa d . Khi đó M (x ; y ; z ) d ,d : Dạng 8: d đi qua điểm 0 0 0 0 và cắt hai đường thẳng 1 2. · Caùch 1: Goïi M1 , M2 .. M1  d1 , M2  d2 .. Từ điều kiện. M , M1 , M 2. thẳng hàng ta tìm được. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d .. · Caùch 2: Goïi.  P  (M0 , d1 ) ,  Q  ( M0 , d2 ) . Khi đó d  P    Q  . Do đó, một. VTCP cuûa d coù theå choïn laø.    a  nP , nQ . ..  P  và cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 : Daïng 9: d naèm trong maët phaúng Tìm caùc giao ñieåm. A d1   P  , B d2   P  .. Khi đó d chính là đường thẳng AB.. d ,d : Dạng 10: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng 1 2. Vieát phöông trình maët phaúng Khi đó.  P. d,  Q  chứa  và d2 . chứa  và 1 mặt phẳng. d  P    Q  .. d,d Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng 1 2 chéo nhau:.  MN  d1  MN  d M  d , M  d2 . 2 , ta tìm được M , N . · Caùch 1: Goïi 1 1 2 Từ điều kiện  Khi đó, d là đường thẳng MN .. · Caùch 2:.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> – Vì. d  d1. vaø. d  d2.    a  ad , ad   1 2. neân moät VTCP cuûa d coù theå laø:. – Laäp phöông trình maët phaúng.  P. chứa d và. d1 ,. baèng caùch:. d. + Laáy moät ñieåm A treân 1.  P + Moät VTPT cuûa.   nP  a, ad   1  coù theå laø: .. – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và Khi đó. d2 .. d  P    Q  ..  P : Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng · Laäp phöông trình maët phaúng baèng caùch: – Laáy M   ..  Q – Vì Khi đó.  Q.  P chứa  và vuông góc với mặt phẳng.  P chứa  và vuông góc với.    nQ   a , nP  neân .. d  P    Q  .. d d : Dạng 13: d đi qua điểm M , vuông góc với 1 và cắt 2 d . MN  d1 , · Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và 2 Từ điều kiện ta tìm được N .. Khi đó, d là đường thẳng MN .. · Caùch 2: – Vieát phöông trình maët phaúng.  P. d. qua M và vuông góc với 1. – Vieát phöông trình maët phaúng.  Q. d . chứa M và 2. Khi đó. d  P    Q  .. VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:. · Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng..

<span class='text_page_counter'>(31)</span> · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thaúng.. VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phöông phaùp sau:. · Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT cuûa maët phaúng.. · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng vaø maët phaúng.. VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:. · Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thaúng vaø baùn kính.. · Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng vaø maët caàu.. VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách 1.. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d. · Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua. M0.  vaø coù VTCP a ..   M M , a  0  d (M , d )   a. · Caùch 2:. – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d .. –. d  M , d   MH ..

<span class='text_page_counter'>(32)</span> · Caùch 3:. – Goïi. N  x; y; z   d .. 2 Tính MN theo t (t tham soá trong phöông trình. đường thẳng d ). 2 – Tìm t để MN nhỏ nhất.. d  M , d   MH . – Khi đó N H . Do đó 2.. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau d1. d1. vaø. ñi qua ñieåm M1 vaø coù VTCP. d2 ..   a1 d2 M a , ñi qua ñieåm 2 vaø coù VTCP 2.     a1 , a2  .M1M2 d (d1 , d 2 )     a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. giữa 3.. d1. với mặt phẳng.  . chứa. d2. và song song với. d1 , d2. bằng khoảng cách. d1.. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. 4.. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng.  . song song với nó bằng.   . khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng VẤN ĐỀ 6: Góc.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 1.. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng Góc giữa. d1 , d2. d1 , d2. lần lượt có các VTCP. bằng hoặc bù với góc giữa.   a1 , a2.   a1 , a2. .. ..   a1 .a2   cos  a1 , a2     a1 . a2 2.. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.  a (a1; a2 ; a3 )    coù VTPT n ( A; B; C ) Cho đường thẳng d có VTCP vaø maët phaúng ..    bằng góc giữa đường thẳng d với hình Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   . chieáu d ' cuûa noù treân Aa1  Ba2  Ca3 sin( d· ,(a)) =. A2  B 2  C 2 . a12  a22  a32.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 4. MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN. I. Phương trình mặt cầu: 1. Phương trình chính tắc: Định lý: Trong. Kg  Oxyz  .. Phương trình của mặt cầu.  S. tâm. I  a; b; c  ,. bán kính R là:. z (S ). (S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2  1 I. R M ( x; y; z ). y. O. Phương trình. x.  1. được gọi là phương trình. chính tắc của mặt cầu. Đặc biệt:. 2 2 2 2 Khi I O thì (C ) : x  y  z  R. 2. Phương trình tổng quát: Định lý : Trong. Kg  Oxyz  .. Phương trình :. x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d 0 2 2 2  S  có với a  b  c  d  0 là phương trình của mặt cầu. tâm. I  a; b; c  ,. 2 2 2 bán kính R  a  b  c  d .. II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng: Định lý: Trong. Kg  Oxyz .  S  có phương trình : cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu. ( ) : Ax  By  Cz  D 0 (S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R 2.

<span class='text_page_counter'>(35)</span>  S  đến mặt phẳng  Gọi d ( I ;  ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu Ta có : 1. ( ) caét maët caàu (S).  d(I; ) < R. 2. ( ) tieáp xuùc maët caàu (S).  d(I; ) =R. (S3. ) ( ) khoâng caét maët caàu (S).  d(I; ) > R. (S ) I. (S ). I. R. R R. H. a. a. (C ). I. M. M H. M. a. r. H. Chú ý:.  S  thì sẽ cắt theo một đường tròn  C  . Đường tròn  C  này có: Khi  cắt mặt cầu. ·. Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng . ·. 2 2 Bán kính r  R  d (I ,  ). Để viết phương trình mặt cầu Dạng 1: Dạng 2:.  S  S. có tâm có tâm.  S  , ta cần xác định tâm. I và bán kính R của mặt cầu.. I  a; b; c .  S  : ( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 và bán kính R :. I  a; b; c . và đi qua điểm A :. Phương pháp: Khi đó bán kính R IA .  S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: Dạng 3: ·. Phương pháp:. ·. Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng. AB : x I . x A  xB y  yB z  zB ; yI  A ; zI  A 2 2 2 ..

<span class='text_page_counter'>(36)</span> R IA . AB 2 .. Bán kính  S  đi qua bốn điểm A, B, C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) : Dạng 4: ·. Phương pháp:.  S Giả sử phương trình mặt cầu. ·. có dạng:. x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d 0  * ..  * , ta được 4 phương trình. Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C , D vào  S . · Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu  S  đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng  P  cho trước: Dạng 5: ·. Phương pháp: Giải tương tự như dạng 4. Dạng 6:.  S.  T  cho trước: có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu. Phương pháp:. T  . Xác định tâm I và bán kính R ' của mặt cầu. ·.  S  . (Xét Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)  S  : x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d 0 với Chú ý: Với phương trình mặt cầu ·. 2 2 2 a 2  b 2  c 2  d  0 thì  S  có tâm I  –a; –b; –c  và bán kính R  a  b  c  d .. Cho hai mặt cầu. S1  I1 , R1 . và. S2  I 2 , R2  .. ·. I1 I 2  R1  R2.   S1  ,  S2 . trong nhau. ·. I1 I 2  R1  R2.   S1  ,  S2 . ngoài nhau. ·. I1 I 2  R1  R2.   S1  ,  S2 . tiếp xúc trong. ·. I1 I 2 R1  R2.   S1  ,  S2 . tiếp xúc ngoài. ·. R1  R2  I1I 2  R1  R2.   S1  ,  S2 . cắt nhau theo một đường tròn (đường. tròn giao tuyến). Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu trước..  S. có tâm. I  a; b; c . , tiếp xúc với mặt phẳng.  P. cho.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Phương pháp:. R d  I ;  P   Ta có bán kính mặt cầu Kết luận phương trình mặt cầu.  S  có tâm I  a; b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu · ·. giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện . a. Đường tròn có diện tích cho trước. b. Đường tròn có chu vi cho trước. c. Đường tròn có bán kính cho trước. Phương pháp: ·. ·. 2 Từ công thức diện tích đường tròn S  r hoặc chu vi đường tròn P 2 r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r . d d  I ,  P   Tính. 2 2 Tính bán kính mặt cầu R  d  r Kết luận phương trình mặt cầu.  S  có tâm I  a; b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu. · ·. giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện . a. Đường tròn có diện tích cho trước. b. Đường tròn có chu vi cho trước. c. Đường tròn có bán kính cho trước. Phương pháp: ·. ·. 2 Từ công thức diện tích đường tròn S  r hoặc chu vi đường tròn P 2 r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r . d d  I ,  P   Tính. 2 2 Tính bán kính mặt cầu R  d  r Kết luận phương trình mặt cầu.  S  tiếp xúc với một đường thẳng  cho trước và có Dạng 10: Viết phương trình mặt cầu. · ·. tâm. I  a; b; c . Phương pháp. cho trước..

<span class='text_page_counter'>(38)</span>  S  ta có R d  I ,   . Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu. M  xo , yo , zo .  S. tiếp xúc với một đường thẳng  tại tiếp điểm. thuộc  và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước.. Phương pháp.  P  đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  . Viết phương trình mặt phẳng I  P    · Toạ độ tâm là nghiệm của phương trình. R IM d  I ,   · Bán kính mặt cầu .  S · Kết luận về phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  và cắt đường thẳng  tại hai điểm Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu A, B thoả mãn điều kiện: ·. a. Độ dài AB là một hằng số. b. Tam giác IAB là tam giác vuông. c. Tam giác IAB là tam giác đều. Phương pháp. Xác định. d  I ,   IH. , vì IAB cân tại I nên. 2 2 a. Bán kính mặt cầu R  IH  HB. R b. Bán kính mặt cầu R c. Bán kính mặt cầu. IH sin 45o IH. sin 60o. HB . AB 2.

<span class='text_page_counter'>(39)</span>