Tiep Tuyen Cua Do Thi Ham So Giai Chi Tiet Rat Hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. Đây là trích 1 phần tài liệu gần 2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông. Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 400k (lớp 11 là 200K, lớp 12 là 200K) thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của ĐH Sư Phạm TPHCM Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. TIẾP TUYẾN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP M  x0 ; y0  1. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số: C : y  f x     và điểm M  x0 ; y0    C  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M. Cho hàm số f ' x f '  x0  - Tính đạo hàm . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là y  f '  x   x  x0   y0 - phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: 2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước    là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. - Gọi M  x0 ; y0  f '  x0  k x - Giả sử là tiếp điểm. Khi đó 0 thỏa mãn: (*) . y  f  x0  x - Giải (*) tìm 0 . Suy ra 0 . y k  x  x0   y0 - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3. Tiếp tuyến đi qua điểm  C  : y  f  x  và điểm A  a; b  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua Cho hàm số A.    là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó    : y k  x  a   b (*) - Gọi  f  x  k  x  a   b  1   2  có nghiệm.    là tiếp tuyến của (C)  f '  x  k - Để - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. Chú ý: M  x0 ; y0  k  f '  x0  1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) là:  d  : y kd x  b 2. Cho đường thẳng 1  k .k d  1  k     / /  d   k kd     d  kd +) +).  , d    +). tan  . k  k d 1  k .k d. +).  , Ox   . k tan . y ax3  bx 2  cx  d ,  a 0  3. Cho hàm số bậc 3: +) Khi a  0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. +) Khi a  0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.. B – BÀI TẬP. Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:.  C  và điểm M 0  x0 ; f ( x0 )   (C ) . Phương trình tiếp tuyến của Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) , có đồ thị  C  tại M 0 là: y  f ( x )  x  x0   y0 y  f ( x0 )  x  x0  A. . B. . y  y0  f ( x0 )  x  x0  y  y0  f ( x0 ) x C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn C 2 y  x  1  x – 2  Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 2 là A. y –8 x  4 . B. y 9 x  18 . C. y –4 x  4 . D. y 9 x  18 . Hướng dẫn giải: Chọn D. M  x0 ; y0  Gọi là tọa độ tiếp điểm. x 2  y0 0 Ta có 0 . 2 3 y  x 1  x – 2  x  3x  2  y 3 x 2  3  y 2  9 . y 9  x  2   0  y 9 x  18 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là . 2. y x  3 – x  Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x 2 là A. y –3x  8 . B. y –3x  6 . C. y 3x – 8 . D. y 3 x – 6 . Hướng dẫn giải: Chọn A. M  x0 ; y0  Gọi là tọa độ tiếp điểm. x0 2  y0 2 Ta có . 2 3 y  x  3  x  x  6 x 2  9 x  y 3x 2  12 x  9  y 2   3 . y  3  x  2   2  y  3x  8 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là .. Câu 4. Cho đường cong A. y –2 x  1 ..  C  : y x 2 . Phương trình tiếp tuyến của  C  B. y 2 x  1 .. C. y –2 x –1 .. Hướng dẫn giải: Chọn C. y  x 2  y 2 x .. y  1  2. .. y  2  x  1  1  y  2 x  1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: . 2 x x y x  2 . Phương trình tiếp tuyến tại A  1; –2  là Câu 5. Cho hàm số. Mua file Word liên hệ: 0937351107. tại điểm. Trang 3. M  –1;1. là D. y 2 x –1 ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. y –4  x –1 – 2 y –5  x –1  2 y –5  x –1 – 2 y –3  x –1 – 2 A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn C. x2  x x2  4 x  2 y  y  2 x 2  x  2  , y 1  5 . y  5  x  1  2  y  5 x  3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: . 1 y  x3 – 3 x 2  7 x  2 A  0; 2  3 Câu 6. Cho hàm số . Phương trình tiếp tuyến tại là: y  7 x  2 y  7 x  2 y  7 x  2 A. . B. . C. . D. y  7 x  2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 Ta có : y x  6 x  7 y 0  7 Hệ số góc tiếp tuyến A  0; 2  Phương trình tiếp tuyến tại : y 7  x  0   2 7 x  2 .  P  là đồ thị của hàm số y 2 x 2  x  3 . Phương trình tiếp tuyến với  P  tại điểm mà  P  Câu 7. Gọi cắt trục tung là: A. y  x  3 . B. y  x  3 . C. y 4 x  1 . D. y 11x  3 .. Hướng dẫn giải: Chọn A..  P  cắt trục tung tại điểm M  0;3 . Ta có : y 4 x  1 y 0   1 Hệ số góc tiếp tuyến :  P  tại M  0;3 là y  1 x  0   3  x  3 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3x 1 y   C  của hàm số x  1 cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của  C  tại điểm A có Câu 8. Đồ thị phương trình là: A. y  4 x  1 . B. y 4 x  1 . C. y 5 x  1 . D. y  5 x  1 . Hướng dẫn giải: Chọn A.. A  0;  1 Ta có : điểm 4 y  2  x  1  hệ số góc tiếp tuyến y 0   4 Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11.  C  tại điểm A  0;  1 là : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị y  4  x  0   1  4 x  1 . 2x  4 y x  3 có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục Câu 9. Cho hàm số hoành là: A. y 2 x  4 . B. y 3x  1 . C. y  2 x  4 . D. y 2 x . Hướng dẫn giải: Chọn C. y' . 2  y '(2)  2 ( x  3)2. Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2;0) . Ta có: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2( x  2) hay y  2 x  4 . Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số A. y 10 x  4. B. y 10 x  5.. f  x  x3  2 x 2  3x C. y 2 x  4.. x  1 tại điểm có hoành độ 0 là: D. y 2 x  5.. Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D . 2 Đạo hàm: y 3 x  4 x  3. y  1 10; y   1  6 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là.  d  : y 10  x  1  6 10 x  4. y. x 1 . x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  H  tại các giao điểm.  H  là đồ thị hàm số Câu 11. Gọi  H  với hai trục toạ độ là: của  y x  1  y x  1. y  x  1. A. B. . C. y  x  1.. D. y  x  1.. Hướng dẫn giải: Chọn A. D  \  0 . Tập xác định: 1 y  2 . x Đạo hàm:.  H  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là y 1 1. x 1 và không cắt trục tung.. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y x  1. Câu 12. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị. Mua file Word liên hệ: 0937351107. (H ) : y . Trang 5. x 1 x  2 tại giao điểm của ( H ) và trục hoành:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 y  ( x  1). 3 A. B. y 3x. Hướng dẫn giải: Chọn A. D  \   2 . Tập xác định: 3 y  . 2 x  2  Đạo hàm:. C. y  x  3.. Đạo hàm – ĐS&GT 11 D. y 3( x  1).. 1  y 1  ; y  1 0 ( H ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xo 1 3 1 d : y   x  1 . 3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là.  P  là đồ thị hàm số y x 2  x  3 . Phương trình tiếp tuyến với  P  tại giao điểm của  P  và Câu 13. Gọi trục tung là A. y  x  3. B. y  x  3. C. y x  3 . D. y  3x  1 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định: D .  P  và trục tung là M  0;3 . Giao điểm của Đạo hàm: y  2 x  1  hệ số góc của tiếp tuyến tại x 0 là  1 . M  0;3 y  x  3 Phương trình tiếp tuyến tại là . 4 y x  1 tại điểm có hoành độ x0  1 có phương trình là: Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số A. y  x  2 . B. y  x  2 . C. y x  1 . D. y  x  3 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. D  \  1 . Tập xác định: 4 y  2  x  1 . Đạo hàm: M   1;  2  Tiếp tuyến tại có hệ số góc là k  1 . Phương trình của tiếp tuyến là y  x  3 4 2 Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  2 x  1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là: A. y 8 x  6, y  8 x  6. B. y 8 x  6, y  8x  6. C. y 8 x  8, y  8 x  8. D. y 40 x  57.. Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. Chọn đáp án A. Tập xác định: D . 3 Đạo hàm: y 4 x  4 x .  x 1 2 x 4  2 x 2  1    x  1 . Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên M  1; 2  Tại . Phương trình tiếp tuyến là y 8 x  6 . Tại. N   1; 2 . Tại. M  2; 4 . . Phương trình tiếp tuyến là y  8 x  6 . x2 (H ) : y  x  1 và điểm A  ( H ) có tung độ y 4 . Hãy lập phương trình tiếp tuyến Câu 16. Cho đồ thị của ( H ) tại điểm A . A. y x  2 . B. y  3x  11 . C. y 3 x  11 . D. y  3x  10 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. D  \  1 . Tập xác định: 3 y  2  x  1 . Đạo hàm: x2 4  x 2 x 1 Tung độ của tiếp tuyến là y 4 nên . .. Phương trình tiếp tuyến là y  3x  10 . y. x 2  3x  1 2 x  1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có. Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số phương trình là: A. y x  1 . B. y x  1 . C. y  x . D. y  x . Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 x2  2x 1 y'  2 2 x  1  Ta có: . x 0  y0  1 Giao điểm M của đồ thị với trục tung : 0 k  y '  0  1 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : . y k  x  x0   y0  y  x  1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : . 2 x  x 1 (C ) : y  x  1 và điểm A  (C ) có hoành độ x 3 . Lập phương trình tiếp Câu 18. Cho đường cong tuyến của (C ) tại điểm A . Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. 3 5 3 5 1 5 y  x y  x y  x 4 4. 4 4. 4 4. A. B. y 3 x  5 . C. D. Hướng dẫn giải: Chọn A. x2  2x 7 y'  2 x  3  y  0 0 x  1   . Tại điểm A  (C ) có hoành độ: 2 Ta có: 3 k  y '  3  4. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : 3 5 y k  x  x0   y0  y  x  4 4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : 1 1  y A  ;1 2 x tại điểm  2  có phương trình là: Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số A. 2 x  2 y  3 . B. 2 x  2 y  1 . C. 2 x  2 y 3 . D. 2 x  2 y 1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 y '  k  y '    1 2 x 2 x . Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là :  2 Ta có: . y  k x  x  y  2 x  2 y  3  0 0 Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : . 3 2 f  x  x  2 x  2 x  2 Câu 20. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 0 có phương trình là: A. y 4 x  8 . B. y 20 x  22 . C. y 20 x  22 . D. y 20 x  16 . Hướng dẫn giải: Chọn B. f '  x  3x 2  4 x x  2  y0  f  x0   18 Ta có: . Tại điểm A có hoành độ 0 k  f '   2  20 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : . y k  x  x0   y0  y 20 x  22 Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : . 3 x 0 Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y 3 x  4 x tại điểm có hoành độ 0 là: A. y 3x . B. y 0 . C. y 3x  2 . D. y  12 x . Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 x 0  y0 0 Ta có: y ' 3  12 x . Tại điểm A  (C ) có hoành độ: 0. k  y '  0  3 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : . y k  x  x0   y0  y 3x Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : .. Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. 1 y  x3  x 2  2  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm có 3 Câu 22. Cho hàm số có đồ thị hàm số hoành độ là nghiệm của phương trình y " 0 là 7 3 A. Hướng dẫn giải: Chọn A. y  x . B.. y  x . 7 3. C.. y x . 7 3. 7 y x 3 D.. 2 Ta có y  x  2 x và y 2 x  2. Theo giả thiết. x0. là nghiệm của phương trình. y( x0 ) 0  2 x  2 0  x0  1. 4  7 A   1;   y  x  3  là: 3 Phương trình tiếp tuyến tại điểm  2x  1 y x  2 với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ Câu 23. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số thị hàm số trên tại điểm M là:. 3 1 y  x 2 2 A. Hướng dẫn giải: Chọn B.. B.. y . 3 1 x 4 2. 3 1 y  x 4 2 C.. D.. y . 3 1 x 2 2.  1  M  0;   2 Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy. y . 3 3 2  k  y (0)  ( x  2) 4. y . 3 1 x 4 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: 3 2  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm Câu 24. Cho hàm số y  x  3 x  3 x  1 có đồ thị  C  với trục tung là: của y 3 x  1 B. y  8 x  1 C. y 8 x  1 D. y 3x  1 A. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. C. với trục tung là A(0;1)  y(0) 3.. Giao điểm của Câu 25. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số Mua file Word liên hệ: 0937351107. y. Trang 9. x4 x2  1 x  1 4 2 tại điểm có hoành độ 0 là:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. – 2 Hướng dẫn giải:  Ta có f ( 1)  2.. B. 0. Đạo hàm – ĐS&GT 11. C. 1. D. 2. Chọn đáp án A. 1 y  x3  2 x 2  3x  1 3 Câu 26. Cho hàm số . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm   y  0 của phương trình có phương trình: 11 3. A. Hướng dẫn giải: Chọn D. y x 2  4 x  3 y 2 x  4 0  x 2 . y x . B.. y  x . 1 3.. C.. y x . 1 3.. D.. y  x . 11 3..  5  M  2;  M ( x0 ; y0 )  3 Gọi là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:. y  y(2)  x  2  . 5 11  y  x  3 3 ..  C  : y x3 tại điểm M 0 ( 1;  1) là: Câu 27. Phương trình tiếp tuyến của A. y 3 x  2 . B. y 3 x  2 . C. y 3 x  3 .. D. y  3x  3 .. Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 + y 3 x  y( 1) 3. M ( 1;  1) y 3( x  1)  1  y 3 x  2 + PTTT của (C ) tại điểm 0 là . 3  C  : y x tại điểm có hoành độ bằng 1 là: Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của A. y 3 x  2 . B. y 3 x  2 . C. y 3x . D. y 3x  3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 + y 3 x  y(1) 3 . +. x0 1  y0  y(1) 1. . ( C ) +PTTT của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 là: y 3( x  1)  1  y 3 x  2 . x 2 11 y  f ( x)   8 2 , có đồ thị  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại M có hoành Câu 29. Cho hàm số x  2 độ 0 là: 1 1 1 1 y  ( x  2)  7 y  ( x  2)  7 y  ( x  2)  6 y  ( x  2)  6 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. Đáp án C.  C  tại điểm M  x0 ; y0  có phương trình là: y  y0  f  x0   x  x0  Phương trình tiếp tuyến của x 1 f ( x)   f ( 2)  4 2 ; y0 6 1 y   x  2   6 2 Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng x2  x  1 x  1 tại điểm có hoành độ x0  1 là: 4 5 4 5 y  x y  x 3 4. 3 4. C. D.. f ( x) . Câu 30. Phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 5 3 5 y  x y  x 4 4. 4 4. A. B. Hướng dẫn giải: Chọn B  C  tại điểm M  x0 ; y0  có phương trình là: y  y0  f  x0   x  x0  Phương trình tiếp tuyến của  x 2  x  1  x 2  2 x 3 1  f ( x)    2 f   1  ; y   1  x  1 x  1     4 2 , 3 5 y  x x0  1 4 4. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại có dạng. 2  C  . Tại các giao điểm của  C  với trục Ox , tiếp Câu 31. Cho hàm số y  f ( x)  x  5 x  4 , có đồ thị  C  có phương trình: tuyến của A. y 3 x  3 và y  3 x  12 . B. y 3 x  3 và y  3x  12 . C. y  3 x  3 và y 3 x  12 . D. y 2 x  3 và y  2 x  12 .. Hướng dẫn giải:. Đáp án A. Xét phương trình hoành độ giao điểm.  x  1 x 2  5 x  4 0    x  4 f  x  2 x  5 x0  1; y0 0;f   1 3. PTTT có dạng : y 3 x  3 x  4; y0 0;f   4   3 TH2: 0 PTTT có dạng : y  3x  12 TH1:.    y  f  x  tan   3 x  x0  4  tại điểm có hoành độ 6 Câu 32. Phương trình tiếp tuyến của đường cong là:.  6 6 A. . Hướng dẫn giải: Chọn C y  x . B.. y  x . Mua file Word liên hệ: 0937351107.  6 6 .. Trang 11. C. y  6 x    1 .. D.. y  x .  6 6 ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f  x  . Đạo hàm – ĐS&GT 11. 3   cos 2   3 x  4  ;.  x0  ; y  1 f  x   6 0 0 6 ; Phương trình tiếp tuyến: y  6 x    1 . 3  M 0  ; y0  C C   y  2x  3x  1 2  làm tiếp Câu 33. Cho hàm số có đồ thị , tiếp tuyến với nhận điểm điểm có phương trình là: 9 9 27 9 23 9 x 31 y x y  x y  x y  2 . 2 4 . 2 4 . 2 4 . A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Tập xác định: D . 3 x0   y0 1 2 Ta có . 2 Đạo hàm của hàm số y  6 x  6 x . 3. 2. 3  9 M 0  ; y0  k 2  là 2. Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại 9 23 y  x 2 4 Phương trình của tiếp tuyến là. Đây là trích 1 phần tài liệu gần 2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông. Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Đạo hàm – ĐS&GT 11. Đặng Việt Đông giá 400k (lớp 11 là 200K, lớp 12 là 200K) thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của ĐH Sư Phạm TPHCM. Mua file Word liên hệ: 0937351107. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>