Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 6 Bat dang thuc va GTLN NN Le Hoanh Pho

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 6 - BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức cơ bản - Bất đẳng thức BECNULI Nếu x  1 và   1 thì 1  x   1   x . Nếu x  1 và 0    1 thì 1  x   1   x . - Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Nếu a1 , a2 ,..., an  0 thì. 1 n  ai  n i 1. n. n. a i 1. i. Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a1  a2  ...  an - Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARTZ Với hai dãy số thực: a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn 2.  n   n  n  thì   aibi     ai2   bi2   i 1   i 1  i 1  Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi a1  kb1 ,..., an  kbn - Bất đẳng thức sắp thứ tự Cho hai dãy số tăng a1  a2  ...  an và b1  b2  ...  bn ( n  2 ) Nếu 1 , 2 ,..., n là một hoán vị của dãy 1, 2,..., n thì: n. n. n. i 1. i 1. i 1.  aibn1i   aibi   aibi - Bất đẳng thức trung bình lũy thừa Nếu xi  0i  1, n và p  q  0 thì 1. 1.  1 n q p  1 n p p  n  xi    n  xi   i 1   i 1  - Bất đẳng thức SHUR Cho a, b, c  0, r  0 thì:. a r  a  b  a  c   br  b  a b  c   c r  c  a  c  b   0 - Bất đẳng thức CHEBYCHEP Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nếu hai dãy: a1  a2  ...  an. . ; b1  b2  ...  bn. n  n  a b  n aibi  i   i   i 1  i 1  i 1  n. thì: . - Bất đẳng thức MIN-COP-XKI Với hai dãy: a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn n. thì.   ai  bi  i 1. 2. . n.  ai2  i 1. n. b i 1. 2 i. Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức: - Nếu y  f  x  có y '  0 trên K thì f  x  đồng biến trên K:. x  a  f  x   f  a  ; x  b  f  x   f b  Đối với y '  0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại. Việc xét dấu y ' đôi khi phải cần đến y '', y ''',... hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,… Nếu y ''  0 thì y ' đồng biến từ đó ta có đánh giá f '  x  rồi f  x  ,… - Bất đẳng thức có biểu thức dạng. f b  f  a  f b  f  a   f '  c  , sự tồn là dùng định lý Lagrange ba ba. tại số c   a; b  hay giá trị f '  c  cũng có đánh giá bất đẳng thức. - Bất đẳng thức JENSEN: x   a; b  và ai   a; b  i  1, n Nếu f ''  x   0, x   a; b  thì. 1 n 1 n  f a  f ai    i   n  n i 1 i 1 . 1 n  1 n Nếu f ''  x   0, x   a; b  thì f   ai    f  ai   n i 1  n i 1 - Phương pháp tiếp tuyến: Cho n số ai thuộc K có tổng a1  a2  ...  an  nb không đổi. Bất đẳng thức có dạng f  a1   f  a2   ...  f  an   nf  b  . Lập phương trình tiếp tuyến tại x  b : y  Ax  B . Nếu f  x   Ax  B trên K, dấu bằng xảy ra khi x  b . Khi đó f  a1   f  a2   ...  f  an   A  a1  a2  ...  an   nB.  Anb  nB  n  Ab  B   nf b  Dấu bằng xảy ra khi a1  a2  ...  an  b . Còn nếu f  x   Ax  B trên K, dấu bằng xảy ra khi x  b thì có ngược lại Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> f  a1   f  a2   ...  f  an   nf  b  . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đối với hàm số y  f  x  trên D. Xét dấu đạo hàm y ' hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN, GTNN. Nếu cần thì đặt ẩn phụ t  g  x  với điều kiện đầy đủ của t. Nếu y  f  x  đồng biến trên đoạn  a; b  thì: min f  x   f  a  và max f  x   f  b  . Ngược lại với hàm nghịch biến. Nếu y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f '  x   0 có nghiệm xi thì:.  f  a  ; f  x  ; f  x  ;...; f b  max f  x   max  f  a  ; f  x  ; f  x  ;...; f  b . min f  x   min. 1. 2. 1. 2. Nếu f lồi trên đoạn  a; b  thì GTLN  max.  f  a  ; f b  và. nếu f lõm trên đoạn  a; b  thì GTNN.  min  f  a  ; f  b  . Đối với các đại lượng, chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn tại. Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:.     2. a) 2sin x  tan x  3x với mọi x   0; b) cos  x  y  . y sin x 5 với x  0, y  0 và x  2 y  4 x sin y Hướng dẫn giải.    và:  2. a) Hàm số f  x   2sin x  tan x  3x liên tục trên nửa khoảng  0;. f '  x   2cos x . 1 1  3  cos x  cos x  3  0 2 cos x cos 2 x    nên f  x   f  0   0  2. Do đó hàm số f đồng biến trên  0; b) Xét hàm số: f  t   Ta có f '  t  . sin t 5 với 0  t  t 4. t cos t  sin t cos t  t  tan t   t2 t2 Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nếu 0  t  Nếu.  2. . thì do tan t  t  f '  t   0 .. 2.  t   thì cos t  0 và sin t  0  f '  t   0. 5 5 thì do cos t  0;tan t  t  f '  t   0 . Do đó f '  t   0,0  t  nên f là hàm số 4 4  5  nghịch biến trên khoảng  0;   4  Nếu   t . Từ giả thiết có 0  x  x  2 y . sin  x  2 y  sin x 5 .   4 x  2y x. Do x  0 và x  2 y  0 nên từ đó có. x sin  x  2 y   x sin x  2 y sin x  x.2cos  x  y  sin y  2 y sin x.  đpcm (vì x  0 và x  2 y . 5 5 y  sin y  0 ) 4 8. Bài toán 6.2: Chứng minh các bất đẳng thức .  sin x    a)    cos x, x   0;  với mọi   3 .  x   2 b)  x  1 cos.  x 1.  x cos.  x.  1, x  3 . Hướng dẫn giải. sin x   1  thì có 0  sin x  x nên 0  x  2. a) Khi x   0;.  sin x    Suy ra    cos x, x   0;   x   2 3. Xét hàm số F  x  . sin x    x , x  0; 2  3 cos x. 2cos 2 x  3cos x. 3 cos x  1 Ta có F '  x   3cos x. 3 cos x. . . Xét G  t   2t 2  3t 3 t  1, t  0;1 thì G '  t   4 t  3 t  0, t  0;1 nên G  t  nghịch biến do đó G  t   G 1  0, t  0;1. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>    nên F  x  đồng biến  2. Suy ra F '  x   0, x  0;.     2. Do đó F  x   F  0   0, x  0; b) BĐT  2 x sin.  x sin.   2 x  1 2 x  x  1.   2 x  1 2 x  x  1. Vì x  3  0 . . .sin. .sin. . 2  x  1. . 2 x  x  1. . 2 x  x  1 .  1  cos.  sin 2.   2 x  1 2 x  x  1. .  x 1.  2sin 2. . 2  x  1. . 2  x  1.  2. sin   2 x  1   sin 0 2 x  x  1 2  x  1. Ta sẽ chứng minh: x sin Đặt t . . 2 x  x  1. . 2 x  x  1.  sin. . 2  x  1. , t  0 thì  2   x sin t  sin xt. Xét f  t   x sin t  sin xt , t  0, f '  t   x cos t  x cos xt  x  cos t  cos xt  Vì 0  t  xt .  2.  f '  t   0 với t  0.  f  t  đồng biến trên 0;    f  t   f  0   0  đpcm. Bài toán 6.3: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dương: a). n. x n  y n  n1 x n1  y n1 với n  2 và x, y  0 .. b) 1  x . x 2 x3 xi x2n   ...   1  ...   0 với mọi x. 2! 3! i!  2n  ! Hướng dẫn giải. a) Với x  0 hoặc y  0 , bất đẳng thức đúng. n. x  x Với xy  0 , BĐT: n 1     n1 1     y  y. n 1. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Xét hàm số f  t  . 1 tn. n n 1. 1  t n1. với t   0;  . t n1 1  t . Ta có f '  t   n 1. 1  t . n 1 n  2 n. 1  t . n n 1. ; f ' t   0  t  1.. BBT. x. 0. f 't . 0. . 1 +. 0. −. f t  1. 1. Suy ra f  t   1 với mọi t   0;    đpcm. i x 2 x3 x2n i x b) Xét f  x   1  x   ...   1  ...  ,x 2! 3! i!  2n !. Với x  0 thì f  x   1  0 : đúng. Với x  2n thì:.  x2n  x2   x 4 x3  x 2 n1  f  x   1    x       ...      2!   4! 3!    2n !  2n  1! .  1. x x3 x 2 n1 x  2  x  4  ...       x  2n   1  0 : đúng 2! 4!  2n  !. Với 0  x  2n thì f liên tục trên đoạn  0;2n nên tồn tại giá trị bé nhất tại x0 . Nếu x0  0 hay. x0  2n thì f  x   f  x0   1  0 . Nếu x0   0;2n  thì f đạt cực tiểu tại đó.. f '  x   1  x . x2 x 2 n1 x2n  ...    f  x 2!  2n  1!  2n !. x02 n  0  f  x   f  x0   0 : đúng Vì f '  x0   0  f  x0    2n  ! Bài toán 6.4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:. . . a) a 4  b4  c 4  d 4  2abcd  a 2b2  a 2c 2  a 2 d 2  b2c 2  b2 d 2  c 2 d 2  0 với 4 số a, b, c, d dương. b) 27c  2a3  9ab  2. a. 2.  3b  với a, b, c là 3 số mà phương trình: 3. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x3  ax 2  bx  c  0 có 3 nghiệm phân biệt. Hướng dẫn giải a) Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c  d  0 Xem vế trái là hàm số f  a  , a  0. f '  a   4a3  2bcd  2a  b2  c 2  d 2  f ''  a   12a 2  2  b2  c 2  d 2   0 nên f ' đồng biến trên  0;  : a  b  f '  a   f '  b  . Vì f '  b   2b  b2  c 2   2bd  c  d   0 nên f  a  đồng biến trên 0;  : a  0  f  a   f  0   0 : đpcm. b) Đặt f  x   x3  ax 2  bx  c, D . , f '  x   3x 2  2ax  b .. Vì f  x   0 có 3 nghiệm phân biệt nên f '  x   0 có 2 nghiệm phân biệt:. x1 . a  a 2  3b a  a 2  3b , x2  với a 2  3b  0 3 3. Và vì hệ số cao nhất của f dương nên yC Ð  f  x1   0 và f  x2   yCT  0 .. 1 3. 1  9 . Ta có f  x    x  a  f '  x  .  f  xi  . 1 ab 3b  a 2  x  c   9 9. 2 ab 3b  a 2  xi  c   9 9. Từ f  x1   0  2. a. 2.  3b   2a3  27c  9ab 3. f  x2   0  2a3  27c  9ab  2 Do vậy: 2a3  27c  9ab  2. a. 2. a. 2.  3b . 3.  3b . 3. Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức:. 1 x2 1  1  x  1  x , với x  0 . a) 1  x  2 8 2 b). 1 1  x2. . 1 1  y2. . 2 với x, y  0;1 . 1  xy Hướng dẫn giải. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> a) Xét hàm số f  x   1 . f ' x  . 1 x  1  x trên 0;  . Ta có: 2. 1 1   0 với x  0 nên f  x  đồng biến trên nửa khoảng 0;  2 2 1 x. Do đó f  x   f  0   0 với mọi x  0 . Xét hàm số g  x   1  x  1  Ta có: g '  x  . 1 x2 trên  0;  .  2 8. 1 1 x 1 1   , g ''  x     0 nên g ' đồng biến trên 0;  , do đó 4 4 1  x  1  x 2 1 x 2 4. g '  x   g '  0   0 . Suy ra g đồng biến trên 0;  nên g  x   g  0   0 với mọi x  0;    đpcm. b) Giữ y cố định, xét hàm số f  x   Ta có f '  x  . x. 1  x . 2 3/2. . 2 1 1 trên đoạn  0;1 .   1  xy 1  x2 1  y2. y. 1  xy . 3/2. Như vậy dấu của f '  x  là dấu của. x 2 1  xy   y 2 1  x 2    x  y   x  y  3x 2 y  x5 y 2  3. 3. Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế f '  x  đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy ra y là điểm cực đại, suy ra f  x   f  y   0 : đpcm. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y . Bài toán 6.6: Cho x, y, z  0 và x  y  z  1 . Chứng minh: a) 0  xy  yz  zx  2 xyz . 7 27.   1 1 1 1 1 1  7    y     z     1   z x   x y   27   y z. b) xyz  x . Hướng dẫn giải a) Giả sử z là số bé nhất thì 0  z . 1 . Ta có 3. 1 T  xy  yz  zx  2 xyz  xy 1  2 z    x  y  z  xy  x  y  z  0 3. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  x y Và có T    1  2 z    x  y  z  2  2. . 1 1 2 1  z  1  2 z   1  z  z   2 z 3  z 2  1 4 4. Xét f  z   2 z 3  z 2  1,0  z . 1 thì 3.  1 f '  z   6 z 2  2 z  2 z 1  3z   0 trên f  z  đồng biến trên 0;  , do đó:  3 1 7 . T  f  z  f     3  27.   1 1 1 1 1 1     y     z     1 z x x y    y z. b) Ta có: xyz  x .  x2 y  x2 z  y 2 x  z 2 x  z 2 y  yz 2  xyz.   x  y  z  xy  yz  zx   2 xyz  xy  yz  zx  2 xyz Vì x  y  z  1   ít nhất 1 trong 3 số x, y, z . 1 1 . Giả sử z  3 3.  S  x, y, z   xy  yz  zx  2 xyz  xy 1  2 z    x  y  z 2 z 3  z 2  1  x y 1 z   1  2 z  x  y z  1  2 z  1  z z             4  2   2  2. Xét f  z  . 2. 2 z 3  z 2  1 3z 2  z  1  1  0 trên  0;  nên f đồng biến, do đó trong  0;  thì f '  z   2 4  3  3. 1 7 max f  z   f     3  27 Vậy S  x, y, z  . 1 7 dấu đẳng thức xảy ra khi x  y  z  . 3 27. Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: a) cos b  cos a  b  a với a, b tùy ý. b). 1 1   x  1. 2.  arctan. 1 1  với mọi x  0 . x  x  1 1  x2 2. Hướng dẫn giải a) Nếu a  b thì bất đẳng thức đúng. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Nếu a  b thì bất đẳng thức tương đương:. cos b  cos a  1 . Không mất tính tổng quát, giả sử b  a . ba. Hàm số f  x   cos x liên tục trên  a; b  và có đạo hàm f '  x    sin x . Theo định lý Lagrange, tồn tại c   a; b  sao cho:. f b  f  a  cos b  cos a  f 'c    sin c ba ba . cos b  cos a   sin c  1 : đpcm. ba. b) BĐT:. 1 1   x  1. 2. . arctan  x  1  arctan x 1  1  x2  x  1  x. Hàm số f  x   arctan x liên tục trên  x; x  1 và có f '  x  . 1 1  x2. Theo định lý Lagrange, tồn tại c   x; x  1 sao cho:. f b  f  a  arctan  x  1  arctan x 1  f 'c   ba 1  c2  x  1  x Vì c   x; x  1 nên. 1 1   x  1. 2. . 1 1   đpcm. 2 1  c 1  x2. Bài toán 6.8: Cho các số thực dương. Chứng minh.. a2 b2 c2 abc    a) bc ca ab 2 b). 1 1 1 1 63     a 2  b2  c 2  d 2  với tổng a  b  c  d  1 a b c d 4 Hướng dẫn giải. a) Bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa: a  b  c  3 . Do đó. a2 b2 c2 x2 3    . Xét hàm số f  x   với 0  x  3 . 3 a 3b 3c 2 3 x Ta có f '  x  . 6x  x2. 3  x . 2. ; f ''  x  . 18. 3  x . 3. Vì f ''  x   0 trên  0;3 nên f lõm, theo bất đẳng thức Jensen thì có. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  abc 3  . 3   2. VT  f  a   f  b   f  c   3 f  b) Ta có. . 1 1 1 1 63     a 2  b2  c 2  d 2  a b c d 4. 1 1 1 1 63  a 2   b2   c 2   d 2  a b c d 4. 1  x 2 với 0  x  1 . x. Xét hàm số f  x   Ta có f '  x  . 1 2  2 x; f ''  x   3  2 2 x x. Vì f ''  x   0 trên  0;1 nên f lõm, theo bất đẳng thức Jensen thì có.  a  b  c  d  63  4   4. VT = f  a   f  b   f  c   f  d   4 f  Dấu = xảy ra khi a  b  c  d . 1 . 4. Bài toán 6.9: Chứng minh:. . a) a abbcc.  a  2.  bc .  ab b) a b     2 . b.  c  a . c.  a  b . . 3.  27 với a, b, c  0. a b. với a, b  0. b a. Hướng dẫn giải a) Với a, b, c  0 , trước hết ta chứng minh rằng. a b c . a b c 2.  abc .bc a .c a b.  2 a ln a  b ln b  c ln c   b  c  ln a   c  a  ln b   a  b  ln c.  ln a  2a  b  c   ln b  2b  c  a   ln c  2c  a  b   0   a  b  ln a  ln b    b  c  ln b  ln c    c  a  ln c  ln a   0 : đúng Ta cần chứng minh rằng. . abc .bca .c a b a.  b  c . b.  c  a . c.  a  b . . 3.  27. Đặt x  abc , y  bca , z  c a b , x, y, z  0. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 3. 1 1 1 1 1 1 BĐT  xyz      27     x y z x y z. 3. 3 : đúng xyz.  ab   2 . b) BĐT: b ln a  a ln b   a  b  ln .    2a     b  a 2  2b   2a   a ln   b ln  0  ln  ln   a 0    b  a 1  ab  ab  1 b  b  Giả sử a  b , đặt t . a thì 0  t  1 . b  2   2t    ln    0,0  t  1 .  t 1  t 1. Bất đẳng thức tương đương: t ln .  2   2t    ln   ,0  t  1 .  t 1  t 1. Xét hàm số f  t   t ln . 2 t 1  2   2  1 t f '  t   ln     ln      t  1  t  1 t  t  1  t  1  t  t  1.  2  1 t  ln   0 nên f là hàm đồng biến.  t  t 1 Ta có f  t   f 1  0  đpcm. Bài toán 6.10: Chứng minh rằng a). 4 x 4 y 4 z    5 với x, y, z  0 khác 4. 4 x 4 y 4 z. b) ln. x y 2y  với x, y  0 x 2x  y Hướng dẫn giải. a) Xét hàm f  x  . y. 4 x 13 trên  0;3 . Ta có f ' 1  nên tiếp tuyến tại x  1 là: 4 x 18. 13 17 13 5  x  1  hay y  x  18 18 18 3. Bằng biến đổi tương đương hoặc sử dụng đạo hàm ta chứng minh được:. 4  x 13 17  x  , với mọi x   0;3 4  x 18 18 Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tương tự:. 4  y 13 4  z 13 17 17 và  z  y 4  z 18 18 4  y 18 18. Cộng 3 bất đẳng thức trên và x  y  z  3 ta được đpcm. b) Đặt. x y 2y t 1  t  1  y  x  t  1  2 x 2x  y t 1. Ta cần chứng minh ln t  2. t 1 t 1 , t  1  ln t  2  0, t  1 t 1 t 1. Xét hàm số f  t   ln t  2. t 1 , t  1;   . Ta có: t 1.  t  1  0, t  1 nên f là hàm đồng biến. 1 4 f 't     2 2 t  t  1 t  t  1 2. Suy ra f  t   f 1  0  đpcm. Bài toán 6.11: Cho 0  a1  a2  ...  an và an a n1  1  2   . n. n. Chứng minh rằng:. n. 1  n  ai. 1 i 1 1  ai. . i 1. Hướng dẫn giải Với a1 , a2  0 và a1 , a2  1 . Ta chứng minh:.  . a1  a2.  2. . 1  a1a2 2 1 1     0 (đúng) 1  a1a2 1  a1 1  a2 1  a1a2 1  a1 1  a2 . . Dấu bằng xảy ra khi a1  a2 hoặc a1a2  1 n. Áp dụng ta có:. 1. 1 a i 1. i. .  n 1  2   .  1 i 1. 2 a1an1i. Dấu bằng xảy ra khi n chẵn và: a1  a2  ...  an hoặc a1an1i  1. e x  e x  1 1 e x , x  0, f '  x   ; f ''  x   0 Xét f  x   2 3 1  ex 1  e x  1  e x  Áp dụng bất đẳng thức Jensen vào hàm lõm với các xi  0 và:. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> n. 1  i 1 1  ai. e xi  ai an1i  1: .  n 1  2   .  1 i 1. 2  ai an1i. n 1. n. n. a i 1. i. Bài toán 6.12: Chứng minh với mọi số nguyên dương n: a) 2. . . n 1  n . 1 2 n. . 1 2. n  n 1. b) f n  x   sin x  sin 2 x  ... . . 1 sin x  0, x  0;   n Hướng dẫn giải. a) Hàm số f  x  . x liên tục trên 0;  và có f '  x  . 1 2 x. trên  0;  .. Theo định lý Lagrange, với mọi n  1 tồn tại x1   n  1; n  và x2   n; n  1 sao cho:. f '  x1   Hay. f  n   f  n  1 f  n  1  f  n  , f '  x2   n   n  1  n  1  n. 1 1  n  n  1,  n 1  n 2 x1 2 x2. Vì 0  x1  n  x2 nên. Do đó. n 1  n . 1 1 1   2 x1 2 n 2 x2 1. 2 n.  n  n  1  đpcm.. b) Xét x  0, x   thì f n  x   0 : đúng. Xét 0  x   . Ta chứng minh qui nạp f n  x   0 Khi n  1: f1  x   sin x  0, x   0;  : đúng Giả sử công thức đúng đến n: f n  x   0, x   0;  Ta chứng minh: f n1  x   0, x   0;  . Giả sử có số x0   0;   mà f n1  x0   0 . Vì f n1  x  liên tục và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu x1 để: f n1  x1   0,0  x1   . Ta có. f n/1  x   cos x  cos 2 x  ...  cos  n  1 x . sin. 2n  3 x x  sin 2 2 x 2sin 2 Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Mà f n/1  x1   0  sin Do đó: cos. 2n  3 x x1  sin 1  0 2 2. 2n  3 x x x1  cos 1  cos 1  0 2 2 2. Vì f n1  x   f n  x  . sin  n  1 x nên n 1 2n  3 x  x1  1  2  2.  n  1 . f n1  x1   f n  x1    sin  n  1 x1  sin   sin. 2n  3 x 2n  3 x x1.cos 1  cos x1.sin 1 2 2 2 2.  sin. 2n  3 x 2n  3 x x1.cos 1  cos x1 .sin 1 2 2 2 2.  sin. x1 x x x .cos 1  cos 1 .sin 1  0 2 2 2 2. Do đó: f n1  x1   f n  x1   f n  x1   0 : vô lý  đpcm. Bài toán 6.13: Cho a, b, c là những số thực dương sao cho abc  1 . Chứng minh:. a3 b3 c3 3    1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4 Hướng dẫn giải. BĐT  a 4  b3  b4  b3  c 4  c3 . 3  a  1b  1 c  1 4. Ta chứng minh bất đẳng thức sau:. a 4  a 3  b 4  b3  c 4  c 3  Xét hàm: f  t   t 4  t 3 . 1 3 3 3  a  1   b  1   c  1   4. 1 3  t  1 4. g  t    t  1  4t 2  3t  1 thì f  t  . 1  t  1 .g  t  4. Vì g  t  là hàm số tăng trong khoảng  0;  và g  t   0, t  0 . Do đó a 4  a3  b4  b3  c 4  c3 . 1 3 3 3 a  1   b  1   c  1    4. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  f  a   f b   f c  . 1 1 1  a  1 g  a   b  1 g b    c  1 g  c  4 4 4. Giả sử a  b  c thì g  a   g  b   g  c   0 Vì abc  1 nên ta có: a  1, c  1 Từ đó:  a  1 g  a    a  1 g  b  và  c  1 g  b    c  1 g  c . 1 1 1  a  1 g  a    b  1 g  b    c  1 g  c  4 4 4. Nên:. . 1 1  a  1   b  1   c  1 g  b    a  b  c  3 g  b  4 4. . 1 3 3 abc  3 g  b   0 . Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 4. . . Từ đó  đpcm. Bài toán 6.14: Chứng minh bất đẳng thức sau:. x a  y b  z b   y a  z b  xb   z a  xb  y b   0 với x  y  z  0; a  b  0 . Hướng dẫn giải a. Đặt f  x   x b với. a 1 b. a ba 1 a  a  ba 2  f '  x   x  f ''  x     1 x  0 b bb . . . Do đó f '  x  tăng trên z b ; y b.  .  . . Theo định lý Lagrange: f y b  f z b  f '  c1   y b  z b  , c1  z b , y b. . y a  z a  f '  c1   y b  z b . . Tương tự: x a  y a  f '  c2   xb  y b  , c2  y b , xb. . .  y  z   f '  c   x  y   y  z   y  z  x  y   f '  c   x  y   y  z  Và c  c nên f '  c   f '  c    x  y  y  z    y  x  y  z   y  z  x   z  x  y   0 (đpcm) nên: x a  y a a. b. b. b. b. b. b. 2. a. b. b. b. b. b. b. 1. a. 2. a. 1. b. 2. b. a. a. 1. b. b. a. b. b. b. a.  z a  xb  y b . b. Bài toán 6.15: Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa a  b  c  d  1 . Chứng minh: Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> abc  bcd  cda  dab . 1 176  abcd . 27 27 Hướng dẫn giải. Đặt F  a, b, c, d   abc  bcd  cda  dab . 176 abcd 27. Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d. Ta có:. 176   F  a, b, c, d   bc  a  d   ad  b  c  bc  27   Nếu b  c . 176 bc  0 thì: 27. 1 bcad  F  a, b, c, d   bc  a  d      3   27 3. Nếu b  c . 176 bc  0 thì: 27. ad  F  a, b, c, d   bc  a  d      2 . 2. 176   bc  b  c  27  . ad  ad  F , b, c,  2   2 Đặt a0  a, b0  b, c0  c, d0  d và gọi a1 , b1 , c1 , d1 là 4 số Nếu b1  c1 . ad ad , b, c, theo thứ tự giảm dần. 2 2. 176 b1c1  0 thì tương tự lí luận trên: 27. F  a1 , b1 , c1 , d1   F  a2 , b2 , c2 , d 2  với a2 , b2 , c2 , d2 là 4 số. a1  d1 a d , b1 , c1 , 1 1 theo thứ tự giảm dần. 2 2. Tiếp tục quá trình này ta lập được dãy  an , bn , cn , d n  vô hạn (vì nếu hữu hạn thì ta có F  a, b, c, d  . 1 ) 27. thỏa 2 tính chất sau đây:. 1 an1, bn2 , cn1, dn1 là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số an  d n a  dn , bn , cn , n 2 2.  2 F  an , bn , cn , dn   F  an1, bn1, cn1, dn1 . Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> an  d n ,n  0 2. Từ tính chất (1) ta suy ra: 0  an 2  d n 2  Và vì thế an , bn , cn , dn cùng có giới hạn là. 1 . 4. Do tính liên tục của hàm F  a, b, c, d  ta có:. 1 1 1 1 1 F  a, b, c, d   lim F  an , bn , cn , d n   F  , , ,   n  4 4 4 4  27 Đẳng thức xảy ra khi: bốn số bằng. 1 1 khi dãy vô hạn, hay một số bằng 0 và ba số còn lại bằng khi dãy 3 4. hữu hạn. Bài toán 6.16: Cho a, b, c  1, a  b  c  1 . Chứng minh bất đẳng thức:. a b c 9    . 2 2 2 1  a 1  b 1  c 10 Hướng dẫn giải. Bổ đề: Xét hàm số f  x  . x 1  x2  x y   2 . Nếu  x  y  xy  3  0 thì f  x   f  y   2 f .  x y   2 . Chứng minh: Ta có: f  x   f  y   2 f . . . 2   x 1  y 2   y 1  x 2   4   x  y    4  x  y  1  x 2 1  y 2   .   x  y  4 1  x 2 1  y 2   1  xy   4  x 2  y 2  2 xy   0   x  y   2 x 2 y 2  3  x 2  y 2   6 xy   x 2  y 2 xy   0.   x  y  3  xy  x  y   0 . Từ đó suy ra đpcm 2. Trở lại bài toán. Ta xét hai trường hợp - Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho .  a  b a  b  0, ab  4. 2. 1  c   4. 2. 1  c  1 . Khi đó: 3. 1 c  3; c   0,  3 3 3. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>  1 1  1  c  c   a  b  c       a  b    3   0,   a  b     3     4 3  3   2 2 4 9  2  2    2. Áp dụng bổ đề ta có:. 1  c   1 ab  3 c      1 a  b     3 2 2 f  a   f b  f c   f    2 f   2 f  4 f      2  3  2     2           1  12  4 f    . Từ đó suy ra đpcm.  3  10.  1   3  và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử b, c  0 thì ta có a  b  c  1  1  1  1 , vô lý). Giả sử, chẳng hạn. - Cả ba số a, b, c đều không nằm trong đoạn   ;1 . Khi đó do điều kiện a, b, c  1, ta phải có hai số âm. a, b  0 . Khi đó f  a   f  b   f  c   f  c  . 1 9  . 2 10. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . 1 . 3. Bài toán 6.17: Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:. a b c d 2     b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c 3 Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki:. a b c d       b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c . a  b  2c  3d   b  c  2d  3a   c  d  2a  3b   d  a  2b  3c    a  b  c  d  Do đó:. . 2. a b c d    b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c. a  b  c  d . 2. 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Ta chứng minh:. a  b  c  d . 2. 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd . . 2 3.  3 a  b  c  d   8  ab  ac  ad  bc  bd  cd  2.   a  b    a  c    a  d    b  c    b  d    c  d   0 : Đúng 2. 2. 2. 2. 2. 2. Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  d . Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. P. 1 1 1   4  2ln 1  x   y 4  2ln 1  y   z 4  2ln 1  z   x Hướng dẫn giải. Từ giả thiết suy ra 0  x, y, z  3 nên 4  2ln  x  1  y  0 và 4  2ln  y  1  z  0 và 4  2ln  z  1  x  0 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:. P. 9 12  2ln  x  1  x  2ln  y  1  y  2ln  z  1  z. Xét f  t   2ln 1  t   t với 0  t  3 với f '  t  . 1 t 1 t. f '  t   0 có một nghiệm t  1 . Lập bảng biến thiên thì được:. 1  f  t   1  ln 4 , suy ra: 3  f  x   f  y   f  z   3  3ln 4 Do đó: P . 3 3 đạt được khi x  y  z  1 . .min P  3  ln 4 3  ln 4. Bài toán 6.19: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  x  1 . 2 . x 1. Hướng dẫn giải Ta có y  x  1 . 2 x 1  x . Điều kiện x  1 . x 1 x 1. Khi 1  x  0 thì hàm số y  Ta có y ' .  x2  2 x  1.  x  1. 2. x2  1 . 1 x. , y '  0  x  1 2 . Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> . . y  1  1, y  0   1, f 1  2  2 2  2 So sánh thì min y  2 2  2 tại x  1  2 1 x 0. Khi x  1 hoặc x  1 thì y  1  2 2  2 Khi 0  x  1 thì y  1  2 2  2 Vậy min y  2 2  2 tại x  1  2 . Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n. a) Tìm giá trị lớn nhất của y  cos p x.sin qx với 0  x .  2. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của y  tan n x  cot n x  n 2 cos 2 2 x,0  x .  2. .. Hướng dẫn giải. . a) Với 0  x . 2. thì sin x  0,cos x  0 nên y  0 .. . Ta có y 2  cos 2 x.  .sin x  p. 2. p. . Đặt t  cos2 x,0  t  1 thif. y 2  f  t   t p .1  t  , f '  t   t p1.1  t  q. nên f '  t   0  t  0 hoặc t . q 1. .  p   p  q  t . p hoặc t  1 . pq. . p  p p .q q   0 nên suy ra max y   pq p  q p  q    . Ta có f  0   f 1  0, f  b) Xét 0  x .  4. p p .q q.  p  q. pq. thì cot x  tan x  0,sin 4 x  0. . . . Ta có y '  n tan n1 x 1  tan 2 x  n.cot n1 x 1  cot 2 x. .  n  tan n1 x  cot n1 x   n  tan n1 x  cot n1 x   2n2 sin 4 x  0    hàm số nghịch biến trên  0;  nên min    4 x 0;  4 . .   f   2. 4. Vậy min y  2 .. Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bài toán 6.21: Cho các số thực x, y thỏa mãn.  x  y. 3.  4 xy  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của. A  3 x4  y 4  x 2 y 2   2  x2  y 2   1. Hướng dẫn giải Kết hợp  x  y   4 xy  2 với  x  y   4 xy suy ra: 3. 2.  x  y   x  y 3. 2.  2  x  y  1.. A  3 x4  y 4  x2 y 2   2  x2  y 2   1 2 3 2 3 x  y 2    x4  y 4   2  x2  y 2   1  2 2 2 2 3 3   x2  y 2    x2  y 2   2  x2  y 2   1 2 4. .  A. 2 9 2 x  y 2   2  x 2  y 2   1 . Đặt t  x 2  y 2 , ta có  4. x y 2. 2. Xét f  t  .  x  y  2. 2. . 1 1 9  t  , do đó A  t 2  2t  1 4 2 2. 9 2 9 1 t  2t  1; f '  t   t  2  0 với mọi t  4 2 2. 9 1 1 9  min f  t   f    . Do đó A  dấu = xảy ra khi x  y  . 1  16 2  2  16 t ;  2 . . 9 . 16. Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng. Bài toán 6.22: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 4  a  b  c   9  0 . Tìm GTNN của. . S  a  a2  1.  a. b  b2  1.  b. . c. c  c2  1 . Hướng dẫn giải. . .  x  1 , x . . . Ta có ln S  a ln a  a 2  1  b ln b  b 2  1  c ln c  c 2  1. . Xét hàm số f  x   x ln x . . . f '  x   ln x  x 2  1 . . 2. x x2  1. ; f ''  x  . x2  2. x. 2.  1. 3.  0, x .. Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Suy ra f  x  là hàm lõm trên. . . nên có tiếp tuyến tại mọi điểm luôn nằm dưới đồ thị. Tiếp tuyến của. f  x   x ln x  x 2  1 tại x . 3 là 4. 3 9  y   ln 2   x  . 5 20 . . .  . 3 5. Do đó x ln x  x 2  1   ln 2   x . 9 , x  20. và đẳng thức xảy ra khi x . 3 . Từ đó, ta được 4. 3 27  M  f  a   f  b   f  c    ln 2    a  b  c   5 20  9 9ln 2 3  9 27 9ln 2   S  24  4 4 2 nên ln S    ln 2     4 5  4 20 4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 4 2 , đạt được khi a  b  c . 3 . 4. Bài toán 6.23: Cho x  0 và y tùy ý. Tìm GTLN, GTNN của. M. x. 2. . xy 2.  3 y 2  x  x 2  12 y 2. . Hướng dẫn giải Xét y  0 thì M  0 . Xét y  0 thì:. . . 12 y 2 1 xy x  12 y  x 2 x M   x2  3 y 2 .12 y 2 3 4  12 y 2  x2   2. Đặt t . 2. 2. 1. 12 y 2 1  t 1 , t  0 thì M  f  t   2 x 3t  4. Ta có f '  t  . 2  t  2 1 t 6 t  4 . 1  t 2. , f 't   0  t  8 .. Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> BBT. x. 0. f'. +. 0. 0. Vậy max M . +. 1/18. f. Do đó: 0  M . . 1. 0. 1 1 . Kết hợp thì 0  M  . 18 18. 1 khi 2 x 2  3 y 2 , min M  0 khi y  0 . 18. Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:. x3  y3  z 3  2  3xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  2 y 2  3z 2 Hướng dẫn giải Từ giả thiết x3  y3  z 3  2  3xyz.   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   2 1 2 3   x  y  z    x2  y 2  z 2    x  y  z    2 2 2  Đặt t  x  y  z . Khi đó t  0 và x 2  y 2  z 2 . t2 4  3 3t. t2 4 Xét hàm f  t    trên  0;  3 3t 2 t 3  2 4 2 4 , f ' t   0  t  3 2 Ta có f '  t   t  2  2 3 3t 3t Lập BBT thì min f  t   f t 0; .  2  3. 3. 4 , đạt được khi t  3 2. Ta có P  x 2  y 2  z 2  3 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  3 2, y  z  0 . Vậy min P  3 4 , đạt được khi x  3 2, y  z  0 . Bài toán 6.25: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện: Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> x  y  x 1  2 y  2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P  x 2  y 2  2  x  1 y  1  8 4  x  y Hướng dẫn giải Điều kiện x  y  1 . Suy ra x  y  0 .. . Áp dụng bất đẳng thức  au  bv   a 2  b2 2.  x  y. 2. . . x 1  2 y  2.   2. . u.  v 2  ta có:. 2. . x  1  2. y  1  3  x  y  2. Suy ra 0  x  y  3 . Đặt t  x  y thì t  0;3. P   x  y   2  x  y   8 4   x  y   2  t 2  2t  8 4  t  2 2. Xét hàm f  t   t 2  2t  8 4  t  2 trên  0;3. f '  t   2t  2 . 4 ; f ''  t   2  4t. 2. . 4t. . 3.  0 với mọi t  0;3. Suy ra f '  t  đồng biến trên  0;3 Do đó f '  t   f '  0   0 với mọi t  0;3 Suy ra f  t  đồng biến trên  0;3 Vậy max P  max f  t   f  3  25 , đạt khi t  3  x  2, y  1 0;3. min P  min f  t   f  0   18 , đạt khi t  0  x  1, y  1 0;3. Bài toán 6.27: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn:. x 2  y 2  y 2  x2  2 Hướng dẫn giải Ta có  a  b . 2. a 2  b2  0  ab  với mọi a, b. Áp dụng: 2. x 2  y2 . x2  2  y 2 y 2  2  x2 , y 2  x2  2 2. Suy ra 2  x 2  y 2  y 2  x 2  2 . Do đó dấu đẳng thức xảy ra nên x  2  y 2 và y  2  x 2 . Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Suy ra x, y  0 và x 2  y 2  2. . . Đặt t  x  y . Khi đó 0  t  2 x 2  y 2  2. . . Đặt t  x  y . Khi đó t  2 x 2  y 2  2 Mặt khác t 2   x  y   x 2  y 2  2 . Suy ra t  2 2. Do đó t   2;2 . Ta có xy . . .  x  y. 2.   x2  y 2  2. . t2 1 2. Suy ra P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy 3.  t2  t2   x  y   12  x  y   12   1  12  1 2 2  3.  t 3  6t 2  12t . t2 1 2. t2 Xét hàm f  t   t  6t  12t   1 trên  2;2 . Ta có: 2 3. 2. f '  t   3t 2  12t  12 . t t  2   1 2  2. 3.  0 , với mọi t   2;2 nên f  t  đồng biến trên  2;2. Vậy max f  t   f  2   9 ; min f  t   f  2;2  .  2;2  .  2   14. 2  12 .. Bài toán 6.28: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:. x  y  z  4 và xy  yz  zx  5 Hướng dẫn giải.  y  z  4  x   yz  5  x  4  x . Từ giả thiết ta có: . S 2  4P   4  x   4 5  x  4  x   3x 2  8x  4  0 2. . 2 x2 3. . . Mà: x3  y 3  z 3   x  y  z  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  3xyz. Trang 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 2   x  y  z   x  y  z   3  xy  yz  zx   3xyz  .  4  3xyz , nên. P   4  3xyz  .. xy  yz  zx 20 20   15  3  15 xyz xyz x  4 x2  5x 2. . Xét hàm f  x   x3  4 x 2  5x trên  ; 2  3 . f '  x   3x 2  8 x  5, f '  x   0  x  1, x . 5 3. 2 5  5  50 f 1  f  2   2, f    , f     3  27  3  27. 2 .  . Do đó 0  f  x   2 với mọi x   ;2  nên P  25 . 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi x  2, y  z  1 hoặc các hoán vị Vậy min P  25 , đạt được khi x  2, y  z  1 hoặc các hoán vị. Bài toán 6.29: Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 9. P. ab  a  2c  b  2c . . 16 1  a 2  b2  c 2 Hướng dẫn giải. Ta có: 1  a 2  b 2  c 2  Suy ra:. 1 1 a  b  c 2. 2. 2. 1 1 1 2 2 2 1  a   b  c   1  a  b  c  2 2 4 . 2 1 a  b  c. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:. ab  a  2c  b  2c   . a  b a  2c  b  2c . 2 2. 1 1  a  b  a  b  4c   .3 a  b  a  b  4c  4 12. a  b  c 1 3  a  b    a  b  4c     12 4 3 2. Suy ra. 1 ab  a  2c  b  2c . . 2. 3. a  b  c. 2. Trang 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> nên P . 27. a  b  c. 2. . 32 1 a  b  c. Đặt t  a  b  c thì t  0 và P  Xét hàm f  t  . 27 32  t2 t 1. 27 32 54 32 trên 0;  , f ' t         t 3  t  12 t2 t 1. f '  t   0   t  3 16t 2  21t  9   0  t  3 . Lập BBT thì min f  t   f  3  5  0; . Do đó P  5 , dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −5, đạt khi a  b  c  1. Bài toán 6.30: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. y4. sin x. 2. cos x  2. Hướng dẫn giải Đặt sin x  t ,0  t  1 thì y  4t  2. y '  4t ln 4  2. 1t 2  2. Ta có y '  0  4  2 t. .. 1t 2. 1t 2  2. ,0  t  1.. t 1 t2. 22t 2 1t .   2t 1 t2 1 t2 2. 2t. 2u ,0  u  2 . Xét hàm số f  u   u u u 2u ln 2  2u 2  u.ln 2  1 1 f 'u    ; f 'u   0  0  u  2 2 u u ln 2. Vì 1 . 1  2 và f 1  f  2   2 . ln 2. Suy ra f  u   2, u  1;2 và f  u   2, u   0;1. 22 t 2 1t 2 Giả sử 1  2t  2 thì : không thỏa mãn. 2t 1 t2 2. Do đó 0  2t  1 . Vì f  u  nghịch biến trên  0;1 nên phương trình. Trang 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> f  2t   f. . . 1  t 2  2t  1  t 2  t . 1 5. 1.  1  5 Ta có y  0   9, y 1  8, y    5.4 , so sánh thì  5 1 5. min y  8 , khi cos x  0 và max y  5.4 , khi sin x . 1 . 5. Bài toán 6.31: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của. P3. x y. 3. yz. 3. zx.  6 x2  6 y 2  6 z 2 Hướng dẫn giải. Ta có x  y  z  0 nên z    x  y  và có 2 số không âm hoặc không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy  0 Ta có P  3. 3. x y. 3. x y. 3. x y. x y. 3. 3. 2 y x. 3. 3. 2 x y. 2 y  x  2 x y 2.  2.3  2.3. 2 y x. 3 x y 2. 2 x y.  12  x 2  y 2  xy . 2  12  x  y   xy   .  12  x  y   xy   . 2 3 x y. Đặt t  x  y  0 , xét f  t   2.. f '  t   2.3.  3. 3t. 2.  . 3t. 3.  2 3t. .ln 3  2 3  2 3.  3. .  3. 3t. ln 3  1  0 .  f đồng biến trên 0;    f  t   f  0   2 Mà 3. x y.  30  1 nên P  30  2  3 , dấu “=” xảy ra  x  y  z  0 .. Vậy min P  3 .. . . Bài toán 6.32: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: 3 a 2  b2  c 2  ab  bc  ca  12 . Tìm. a 2  b2  c2  ab  bc  ca . giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  abc Hướng dẫn giải Từ giả thiết a, b, c không âm thỏa mãn:. Trang 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> 3 a 2  b2  c 2   ab  bc  ca  12 ta có a  b  c  24  5  a 2  b 2  c 2 .  12  3 a.  c a. Và 12  3 a 2  b2  c 2  a 2  b 2  c 2  4 2.  b2. 2. 2.  b2  c 2  a 2  b2  c 2  3. Suy ra a 2  b2  c 2  3;4. . Đặt t  24  5 a 2  b 2  c 2 Do đó P .  thì t  2;3. a 2  b2  c2. 24  5  a 2  b 2  c 2 .  12  3  a 2  b 2  c 2 . 1  24  t 2  24  t 2 1  2 24  12 5   12  3   3t  t    t 5 5 t  5 Xét hàm f  t   3t 2  t . f '  t   6t  1 . 24 trên  2;3 . t. 24 24     t  1   5t  2   0 với mọi t   2;3 2 t t  . nên f đồng biến trên đoạn  2;3 . Do đó max f  t   f  3  32;min f  t   f  2   22 nên 2  P  4 . 2;3. 2;3. Vậy max P  4 , đạt khi a  b  c  1.. Min P  2 , đạt khi a  2, b  c  0 hoặc các hoán vị. Bài toán 6.33: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2. 2.  x  2 xy  z   y  2 yz  x   z  2 zx  y  P         x  1 y  1 z  1      . 2. Hướng dẫn giải Với 2 vectơ u , v ta có u.v  u . v. . . . . Chọn u  x; 2 x ;1 , v  1; 2 y ; z thì. x  2. xy  z.    x 1 2. 2 x . 2 y  1.z.   x 2. 2.  2 x  11  2 y  z 2 . Trang 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 2.  x  2 xy  z  2 Do đó:    1  2 y  z .  x 1   2. 2.  y  2 yz  x   z  2 zx  y  2 Tương tự   1  2z  x2 ;     1  2x  y   y 1 z 1    . . . Nên P  3  2  x  y  z   x 2  y 2  z 2  6  2 3 x 2  y 2  z 2  12 Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, dấu = khi x  y  z  1 . Bài toán 6.34: Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn  0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:. x3  3 y 3  3 z 3  3 . P 2   y  2 z 2  2 x2  2 Hướng dẫn giải Vì a, b  0;1 nên ta có:. a3  3 a 2  3 1 b2  3   a  3 . 1    2  b2  2  b2  2 b2  2  . 1 2 1 2 b2   a  3   a  3 . 2 2 2 b 2. 1 2 1 2 b2 1 2 3 1   a  3   a  3 .   a  b 2    a 2b 2 2 2 3 2 2 6 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b  0;1 . Tương tự:. b3  3 1 2 2 3 1 2 2  b  c    b c c2  2 2 2 6. c3  3 1 2 3 1 2 2 2  c  a   ca   a2  2 2 2 6 Suy ra P . 9 1 2 2 9   a b  b 2c 2  c 2 a 2   2 6 2. Vậy giá trị lớn nhất của P là. 9 , đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại 2. bằng 0. Bài toán 6.35: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:. 4  x  y  z   3xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Trang 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> P. 1 1 1   2  x  yz 2  y  zx 2  z  xy Hướng dẫn giải. Ta có: 3xyz  4  x  y  z   4.3 xyz nên xyz  8 Và: 2  x  yz  2 2 2 x  yz  2 2 2 x . yz  2 2 2 xyz . yz  4 2. 4 yz Suy ra. 1 1 1 1 11 1   .  .    2  x  yz 4 2 4 yz 4 2  2 yz . 1 1 1 1  1 3 1          8  2 4 yz  8  4 yz  Tương tự:. 1 1 3 2  1 1 3 1     ,     2  x  yz 8  4 zx  2  x  yz 8  4 xy . 1 9 1 1 1  1 9 3 3        8  4 xy yz zx  8  4 4  8. Do đó P   Vậy max P . 3 , khi x  y  z  2 . 8. Bài toán 6.36: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:. y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 Hướng dẫn giải 2   x  4 x  21  0 Điều kiện  2  2  x  5 . Với 2  x  5 :  x  3 x  10  0  . y' . x  2  x 2  4 x  21.  4  2x . . 2 x  3 2  x 2  3x  10.  x 2  3x  10   3  2 x   x 2  4 x  21 2  x 2  4 x.21.  x 2  3x  10. Cho y '  0   4  2 x   x 2  3x  10   3  2 x   x 2  4 x  21.   4  2 x  3  2 x   0  2 2 2 2   4  2 x    x  3x  10    3  2 x    x  4 x  11. Trang 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 3  1  x  hay x  2  x . 2 3 51x 2  104 x  29  0  Ta có y  2   3; y . 1 1  2; y  5  4 . Vậy min y  2 tại x  . 3 3. Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định trên. và thỏa mãn:. f  cot x   sin 2 x  cos 2 x, x . .. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x   f  x  . f 1  x  trên đoạn  1;1 . Hướng dẫn giải. z2  2z 1 Đặt z  cot x thì f  z   f  cot x   sin 2 x  cos 2 x  z2 1 x 2  2 x  1 1  x   2 1  x   1 . suy ra g  x   2 x2  1 1  x   1 2.  . 1. Đặt y  1  x và t  xy . Do x   1;1 nên ta có t   2;  4. . t 2  8t  2  h t  thì g  x   2 t  2t  2 h 't   . 2  5t 2  4t  6 . t. 2.  2t  2 . 2. , h 't   0  t . 2  34 5. 1 4. Lập BBT thì: max g  x   max h  t   h    x 1;1  1 t 2;   4. 1 25.  2  34  min g  x   min h  t   h    4  34 . x 1;1  1 5 t 2;     4 Bài toán 6.38: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P. 32a3.  b  3c . 3. . 32b3.  a  3c . 3. a 2  b2  c  a  b   1  1  4  c  c . Ta có  a  c  b  c   4c 2  . Trang 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Đặt x . a b ; y  thì  x  1 y  1  4 c c.  S  P  3  P  3  S . Do đó.  x 3  y 3  2 2 P  32      x  y  y  3   x  3   3.  x y  2 2  8    x y  y 3 x 3  S 2  3S  2  3  S    S 2  3S  2 P  S S  8   8    2 2  3S  P  9   3S   3  S   9  3. 3. 3.  S 2  5S  6  S S  S 1   8  8     2 2  2   2S  12 .   S  1  3. P '  3  S  1  2. 3. S ,S  2 2 1 0, S  2 2. Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi x  y  1. Vậy min P  P  2   1  2 .. 3. BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:. x3   a) tan x  x  với mọi x   0;  3  2 b) b.tan a  a.tan b với 0  a  b .  2 Hướng dẫn. x3  a) Xét f  x   tan x  x  ,0  x  3 2 b) Xét f  x  . tan x  ,0  x  x 2. Bài toán 6.2: Cho a, b, c là các số dương, đặt X . bc ca ,Y  . abc abc Trang 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Chứng minh. 1 1 8   . 2 2 1 X 1 Y 5 Hướng dẫn. a  b  2c  1 , nếu cố định X và giảm giá trị của Y thì vế trái của bất đẳng thức tăng lên nên ta chỉ abc cần chứng minh khi X  Y  1. X Y . Bài toán 6.3: Chứng minh a).  a  b. 2. 8a.  a  b  với a  b  0 . ab   ab  2 8b 2.  a  b  3c    a  c  3b    c  b  3a   1 2 2 2 2 2c 2   b  a  2b 2   c  a  2a 2   b  c  2. b). 2. 2. với a, b, c  0 .. Hướng dẫn a) Dùng định lý Lagrange b) VT bậc 0. Đặt x . a b c ,y  ,z  a  b  c a  b  c a  b  c. Bài toán 6.4: Chứng minh a). b). a b  c . b  c . 2.  a2. . b c  a . c  a . 2.  b2. . c a  b. a  b. 2.  c2. . 6 với a, b, c  0 . 5. a b c 9 3  2  2  với a, b, c  và a  b  c  1 . a  1 b  1 c  1 10 4 2. Hướng dẫn a) Chuẩn hóa: a  b  c  3 và dùng tiếp tuyến tại x  1 b) Tiếp tuyến tại x . 1 x của hàm số f  x   2 . x 1 3. Bài toán 6.5: Chứng minh a) tan. A B C  tan  tan  3 với tam giác ABC. 2 2 2. 2xn 1 x   b)  n 1 1 x  2 . n 1. 1 xn  1  . với x  0, x  1, n  1, n  n x 1 Hướng dẫn. x 2. a) Dùng bất đẳng thức Jensen cho f  x   tan ,0  x   Trang 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> b) Chứng minh bằng quy nạp Bài tập 6.6: Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn, cạnh là a, b, c. Chứng minh:. a b c    A B C. a)   a  b  c   3 aA  bB  cC . b) 3  a  b  c     Hướng dẫn. a) Áp dụng bất đẳng thức Trebusep b) Áp dụng bất đẳng thức Trebusep Bài tập 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: a). x y x y với mọi x, y    2019  x 2019  y 2019  x  y. b). a b c ab bc      1 với a, b, c  0 . b c a bc a b Hướng dẫn. a) Xét hàm số f  t  . t ,t  0 , 2019  t. b) BĐT   a  b    b  c    a  b  b  c  2. 2. b2  a  b  cb  b  c  a 2c 2   a  ab  ac   b2  ab  c 2  bc b c a Bài toán 6.8: Chứng minh rằng: a)  cot x . cos 2 x. .  1 với 0  x  . sin 2 x 2 2. a b bc c a  2    1  b)  với a, b, c  1;2 . c a b 2   Hướng dẫn a) Đặt t  tan 2 x, t  0 . Đưa về t.ln t   t  1 .ln. t 1 . 2. b) Dồn biến với giả sử 2  a  b  c  1. Xét f  a  .  a  b  b  c  c  a   abc. f ' a   0. Bài tập 6.9: Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:. a4 b4 c4 d4 abcd a)     2 2 2 2 2 2 2 2 4  a  b  a  b  b  c  b  c  c  d  c  d   d  a   d  a  Trang 36.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> .  . . 5 3. b) 2 a3  b3  c3  3 a 2  b2  c 2  12abc  , a  b  c  1 . Hướng dẫn a) Dùng BCS. b) Đặt x  ab  bc  ca, y  abc . Đưa về chứng minh: 18 y  12 x  5 . 5 . 3. Bài toán 6.10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. sin 6 x cos x  cos6 x sin x b) f  x   sin x  cos x. 1 1 a) f  x    sin x  4 cos x  4. Hướng dẫn a) Đặt t  cos x  sin x rồi xét hàm. Kết quả min f . 4 4 ; max f  8 2 8 2. 5 , min f  0 . 27. b) Kết quả max f . Bài toán 6.11: Cho các số dương có tổng bằng 1. .  . a) Tìm GTNN của 6 a3  b3  c3  d 3  a 2  b2  c 2  d 2 b) Tìm GTLN của. . 1 b  c 1 c  a 1 a  b   1  a2 1  b2 1  c2 Hướng dẫn. a) Dùng phương pháp tiếp tuyến. Kết quả b) Kết quả. 1 1 khi a  b  c  d  4 8. 3 1 khi a  b  c  . 3 10. Bài toán 6.12: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x  y  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. S   4 x3  3 y  4 y 2  3x   25xy Hướng dẫn. S  16 x 2 y 2  12  x3  y 3   9 xy  25xy 3  16 x 2 y 2  12  x  y   3xy  x  y   34 xy  16 x 2 y 2  2 xy  12  . Trang 37.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Đặt t  xy , ta được S  16t 2  2t  12.  x  y 0  xy . 2. 4. . 1  1  t  0;  4  4.  1  . Xét hàm f  t   16t 2  2t  12 trên đoạn 0;  4 Kết quả max S . 191 25 , min S  16 2. Trang 38.

<span class='text_page_counter'>(39)</span>