Phan dang cac bai toan tich phan Pham Minh Tu

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÍCH PHÂN I. Khái niệm tích phân 1. Diện tích hình thang cong . Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong lim. . Từ đó suy ra công thức:. x  x0. S  x   S  x0   f  x0  x  x0. 2. Định nghĩa tích phân . Cho hàm f liên tục trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f b. trên K thì hiệu số: F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f đi từ a đến b, ký hiệu là:. f  x dx a. b.  . Có nghĩa là: Gọi. F  x. f  x dx F  b   F  a  a. b. là một nguyên hàm của f(x) và. b. f  x dx F  x  a. . b a. F  x  a F  b   F  a . thì:. F  b   F  a . Trong đó: –. a: là cận trên, b là cận dưới. –. f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân. –. dx: gọi là vi phân của đối số. –. f(x)dx: Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. II. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K, a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có: a. 1.. f  x  0 a b. 2.. a b. 3.. a. f  x dx  f  x dx b. c. b. f  x dx f  x dx  f  x dx a. a. c. b. 4.. . (Gọi là tính chất đổi cận). b. b.  f  x  g  x   dx f  x dx g  x dx a. a. a. . (Tích phân của một tổng hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng. hoặc hiệu hai tích phân). b. 5.. b. kf  x dx k.f  x dx a. a. . (Hằng số k trong dấu tích phân, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được). Ngoài 5 tính chất trên, người ta còn chứng minh được một số tính chất khác như:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b. 6. Nếu. f  x  0x   a; b . thì:. f  x dx 0x   a; b a. b. x   a; b : f  x   g  x   7. Nếu: 8. Nếu:. b. f  x dx g  x dx a. x   a; b . a. và với hai số M, N ta luôn có:. . (Bất đẳng thức trong tích phân). M  f  x  N. . Thì:. b. M  b  a  f  x  dx N  b  a  a. . (Tính chất giá trị trung bình của tích phân). III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1. Trong phương pháp này, chúng ta cần: . Kỹ năng: Cần biết phân tích f(x) thành tổng, hiệu, tích, thương của nhiều hàm số khác, mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng.. . Kiến thức: Như đã trình bày trong phần “Nguyên hàm”, cần phải nắm chắc các kiến thức về Vi phân, các công thức về phép toán lũy thừa, phép toán căn bậc n của một số và biểu diễn chúng dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.. 2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính các tích phân sau 2. a/. . . 2. x 1. 1. 3. 1. b/. . 2 x x  2 x  ln 1  x. . . 2 x 1 x. 1. c/.  dx. x 2 x 4  1 1. .  dx. x2.  x 1. 3. dx. 0. 2. d/. x3  x 2  x  1  x 4  2 x2 1 dx 2. Giải 2. a/.  1.  dx   2 x. . x 2 x4  1 1. . x2 1. 1. 2. .  1. 2. 2. x  1d. . x2  1 x2 1 x2 1.  2. . 2. x  1  d 1. . . 2   x  dx  2 x x 2  1   dx x 2  1  x2 1  1. x. 1 x 1  2 2.  . 2. x 1. . 2 2 1. 2 3  x2 1   5  1 2. 2. file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại. Đăng ký mua.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b/ 1. 1.  x  1  1 dx  3 3    x 1 0  x  1 0 x2. 2. 1    x  1 2 x 1 1  1 1 1  dx   2  dx   2  dx   3 3 3 2 3  x 1  x 1  x 1   x 1  x 1  0   x  1 0  1. 1. 1. 1. 1 d  x  1 d  x  1 1 d  x  1 1 1 1 1 3  I   2  ln x  1 0  2  ln 2  2 3 2 x 1 x  1 0 2  x  1 8 0 0  x  1 0  x  1 0. c/ 3. . 2 x x  2 x  ln 1  x. . . 2 x 1 x. 1. 3.  3. . . ln 1  x.  1  1  3   ln.  I  x  1 dx   1.  dx  x. 1. 2 3  4  ln 2. 2. . .  . d  x 4  2 x 2 1. x 2. 4.  2 x 2  1. 2 1  ln  x 2  1 4. 2 2. . 1 2. 3. . . 3.   x   ln 2 1  x 1. . 2. 2. 1  x 2  1 dx  2. 2. x  2. . 3 1. 2dx 2.  1. 2. 2. 2. 1  1 1 1   1  x  1  x 1 dx  2 4  x  1  x  1  dx 2 2. 1 x 1  ln 2 x 1. 2. 2. 1 1 1 x 1     ln 2  x  1 x 1 x  1 . 2. 2. Ví dụ 2. Tính các tích phân sau  2. a/. . 1  cos x. 0. 1. c/. 2sin x  sin x  1.  3. 2. 1. 4  x. 1. 2. dx.  2 x  ln  dx  2 x. b/. 2sin 0. 2. sin 2 x dx x  3cos 2 x.  4. d/. sin x  1  tan x dx 2 cos x 0. . Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 2. e2. a/. ln 3 x  1 dx 3  e x ln x. b/.  4. c/. 4  sin 3 2 x  sin 2 2 x dx  6. x2  1 dx  2 2 x x  1   1  3. d/. sin 3x.cos xdx 0. B. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I. Phương pháp đổi biến số dạng 1. Để tính tích phân dạng này, ta cần thực hiện theo các bước sau 1/ Quy tắc:. . .   dx x1  1 x 2 x  . 2. 3 2  x3  x 2  x  1 1 4  x  x  dx   x 4  2 x 2 1 dx   4 x 4  2 x2  1   2 2  d/ 2. .  d 1  x  2 x    3  . 2. 1  4. .   3  ln 1  x 1   x 1   dx      2 x 1 x 1 x 1 1    3. ln 1  x. . .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x v  t . . Bước 1: Đặt. . Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận. . Bước 3: Phân tích. f  x  dx  f  v  t   v '  t  dt v b . b. . Bước 4: Tính. f  x dx   g  t dt G  t  a. v a . v b  v a . v b . . Bước 5: Kết luận:. I G  t  v a . 2/ Nhận dạng: (Xem lại phần nguyên hàm) * Chú ý: a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu. Cách chọn. a2  x2.     x  a sin t   2 t  2   x  a cos t  0 t . x2  a2.  a     t ;  x sin t  2 2   a    t   0;   \   s  cos t 2 . a2  x2.      x  a tan t  t    2 ; 2      x  a cos t  t   0;  . ax  a x. x a.cos 2t. a x ax. x a   b  a  sin 2 t.  x  a  b  x b. Quan trọng nhất là các em phải nhận ra dạng: - Ví dụ: Trong dạng phân thức hữu tỷ: . . . 1 1 1 1 dx    0   dx   2 du 2  2 2 ax  bx  c a u  k      b     a  x      2 a   2a      *   b  , du dx   u  x  , k  2a 2a . Với:  . . * áp dụng để giải bài toán tổng quát:. . dx. a. 2. x. 2 2 k 1. .  k   ….

<span class='text_page_counter'>(5)</span> . . . . 1 2  2x  x2. dx  . *. 1.  3. 2. dx.   x  1. 2. . Từ đó suy ra cách đặt: x  1  3 sin t. 3/ Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Tính các tích phân sau 1 2. 1. a/. 2  1  x dx. . b/. 0. 0. 1 1  2 x2. 2. dx c/. 1.  3  2x  x 1. 2. dx. Giải    t ;   2 2 a/ Đặt x sin t với:  x 0  sin t 0  t 0    x 1  sin t 1  t   2 Suy ra: dx cos tdt và: . . Do đó:. . f  x  dx  1  x 2 dx  1  sin 2 t cos tdt cos 2 tdt  Vậy: Đăng. 1  1  cos 2t  dt 2. ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại.  x b/ Đặt:. . Suy ra:. . Do đó:. 1 2.  0. 1    sin t t    ;  2  2 2 ,. 1 1  2 x2. c/ Vì:. . 1 dx  cos tdt  2. 1 2. dx   0. 1 2. 1  1    x  2. 3  2 x  x 2 4   x  1.  x 0  sin t 0  t 0  1 1 1    x  2  2  2 sin t  t  2 . 1 dx  2 2.  2. 1 0. 2. 1.  2. . 1 1 1 2  cos tdt  dt  t   20 2 0 2 2 1  sin 2 t 2. 2. . Cho nên:. x 1    x  1 2sin t , t    ;   sin t   * 2 2 2   Đặt:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 1   x 1  sin t  2 0  t 0    t   0;   cos t  0   6  x 2  sin t  2  1  1  t  2 2 6 Suy ra: dx 2 cos tdt và: . . 1. f  x  dx . 3  2x  x. Do đó:. .  6. 2. Vậy:. . . f  x dx dt t 06  1. 0. 2. 1. dx . 4   x  1. 2. 1. dx . 4  1  sin 2 t . 2 cos tdt dt.  6. Ví dụ 2: Tính các tích phân sau 1. 2. a/.  12 x  4 x. 2.  5dx b/. 1. x 0. b. 5. 1 dx 2  x  4 x  7 2 c/. d/.  * Chú ý: Để tính tích phân dạng có chứa. 2. 1 dx  x 1. a  x2. ax 0. . x2  a , a2  x2. 2 2. . dx.  , ta còn sử dụng phương pháp đổi biến số:. u  x   g  x, t  1. Ví dụ 1: Tính tích phân sau.  0. 1 x 2 1. dx Giải:. x2 1 x  t  x . t2  1 2t. . Đặt:. .  x 0  t  1; x 1  t 1    t 2 1  dx  2 2t Khi đó:  Do vậy: Đăng. 2. ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại.  1. Ví dụ 2: Tính tích phân:. I x 2 1  x 2 dx 0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Giải x 1, t .  2. . Đặt: t sin x , suy ra dt cos xdx và khi x 0, t 0 ; Khi. . 1  1  cos 4t  f  x  dx  x 2 1  x 2 dx sin 2 t. 1  sin 2 t cos tdt sin 2 t cos 2 tdt    dt 4 2   Do đó:  2. 1. . Vậy:. . 1 1 1  2 1  I f  x  dx   1  cos 4t  dt   t  sin 4t    80 8 4  0 8 2 16 0. II. Đổi biến số dạng 2 1. Quy tắc: (Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau:) u  x. . Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số. . Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận:. . Bước 3: Ta phân tích. Bước 4: Tính. t : t u  x . .. dt u '  x  dx. f  x  dx  g  u  x   u '  x  dx g  t  dt u b. b. . và đặt nó bằng. f  x dx  a.  g  t dt G  t . u a. u b u a. u  b. . Kết luận:. I G  t  u a.  . 2. Nhận dạng:. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ P  x I  dx  ax  b . A. DẠNG:.  a 0 . . * Chú ý đến công thức: mẫu dẫn đến. m m dx  ln ax  b  a  ax  b. . . . Và nếu bậc của. P  x. cao hơn hoặc bằng 2 thì ta chia tử cho.    P  x m 1 dx  Q x  dx  Q x dx  m dx         ax  b ax  b ax  b     . 2. x3 I  dx 2 x  3 1 Ví dụ 1: Tính ticích phân: Giải Ta có:. f  x . x3 1 3 9 27 1  x2  x   2x  3 2 4 8 8 2x  3. Do đó: 2. 2. 2. x3 3 9 27 1  27 13 27 1 1 3 3 2 9  dx  x 2  x   ln 2 x  3    ln 35 dx  x  x  x   2x  3 2 4 8 8 2x  3  8 8 16 6 16 3 1 1 1.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3. Ví dụ 2: Tính tích phân:. x2  5 I  dx x 1 5 Giải. Ta có:. f  x . x2  5 4 x  1  x 1 x 1 .. 3. Do đó:. 3. x2  5 4   1 2   x 1 dx   x  1  x 1 dx  2 x  x  4 ln x 1  5 5 . B. DẠNG:. ax. . 1. Tam thức:. 3. 5.  5 1   5  1  4 ln    4 . P  x dx  bx  c. 2. f  x  ax 2  bx  c. có hai nghiệm phân biệt. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại. Ta có hai cách Cách 1: (Hệ số bất định) Cách 2: (Nhẩy tầng lầu) 1. Ví dụ 3: Tính tích phân:. 4 x  11 I  2 dx x  5 x  6 0. . Giải. Cách 1: (Hệ số bất định) f  x  Ta có:. A  x  3  B  x  2  4 x 1 4 x  11 A B     x  5 x  6  x  2   x  3 x  2 x  3  x  2   x  3 2. Thay x  2 vào hai tử số: 3  A và thay x  3 vào hai tử số:  1  B suy ra B 1 Do đó: 1. Vậy:. f  x . 3 1  x 2 x 3 1. 1 4 x  11 1   3 dx   dx  3ln x  2  ln x  3 2ln 3  ln 2     0 x 2  5x  6 x 2 x 3 0 0. Cách 2: (Nhẩy tầng lầu).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> f  x  Ta có:. 2  2 x  5 1 2x  5 1 2x  5 1 1 2. 2  2. 2   2 x  5x  6 x  5x  6  x  2   x  3 x  5x  6 x  2 x  3. Do đó: 1. 1. 1. 2x  5 1 1   x2   2 I f  x  dx  2. 2   2 ln 3  ln 2 dx  2 ln x  5 x  6  ln x  5x  6 x  2 x  3  x  3  0  0 0 2. Tam thức:. f  x  ax 2  bx  c. có hai nghiệm kép . Công thức cần lưu ý: Thông thường ta đặt. u '  x  dx.  u  x. ln  u  x  . .  .  x  b / 2a  t .. Ví dụ 4: Tính tích phân sau: Đăng. ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại. Giải 3. Ta có:. 3. x3 x3 dx  dx 2   x 2  2 x 1 0 0  x  1. Đặt: t  x  1 suy ra: dx dt ; x t  1 và: khi x 0 thì t 1 ; khi x 3 thì t 4 . 3. Do đó:. 4. x3.  x 1 0. 2.  t  1. dx  1. 3. t2. 4. 4. 3 1 1 3  1 dt  t  3   2 dt  t 2  3t  ln t   2 ln 2  t t  t1 2 2 1 1. Ví dụ 5: Tính tích phân sau:. 4x I  2 dx 4 x  4 x 1 0 Giải. 4x 4x  4 x  4 x  1  2 x  1 2 2. Ta có:. 1  x 0  t  1 dt 2dx  dx  dt ;  2  x 1  t 1 Đặt: t 2 x  1 suy ra: 1 1 1 1 4.  t  1 1 4x 4x 1 1 1 1   2 dx  dx   dt    2 dt  ln t    2 2  4 x 2  4 x 1 t2 2 t t  t  1  0 0  2 x  1 1  1 1. Do đó:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 3. Tam thức:. f  x  ax 2  bx  c. vô nghiệm:. b  u x   P  x P  x 2a  f  x   ; 2 2 2 2  b       a  u  k  k    a  x       2a 2a   2a      Ta viết: Khi đó: Đặt u k tan t 2. Ví dụ 6: Tính tích phân:. x I  2 dx x  4x  5 0 Giải. 2. . . Ta có:. 2. x x dx  dx 2 2  x  4x  5 0 0  x  2  1. Đặt: x  2 tan t , suy ra: 2. . dx . Do đó:. 1 dt  cos 2 t. t2. x.  x 0  tan t 2   x 2  tan t 4 t. 2 t2 tan t  2 dt  sin t  dx    2 dt   ln cos t  2t   1  2 2 2    t1 1  tan t cos t t1  cos t  0  x  2 1 t1. 1 1  2 2  tan t 2  1  tan t 5  cos t  5  cos t1  5  1 1  2 2  tan t 4  1  tan t 17  cos t 17  cos t2  17 Từ: .   ln cos t  2t  . Vậy:   ln. . t2 t1. cos t2    ln cos t2   2t2    ln cos t1  2t1   ln  2  t2  t1  cos t1. cos t2 1 1 5  2  t2  t1  2  arctan 4  arctan 2   ln . 5 2  arctan 4  arctan 2   ln cos t1 2 17 17 2. Ví dụ 7: Tính tích phân sau:. x3  2 x 2  4 x  9 I  dx x2  4 0 Giải. . x3  2 x 2  4 x  9 1 x  2  2 2 x 4 x 4 Ta có: 2. . Do đó:. 2. 2. Tính tích phân. 2. 2. x3  2 x 2  4 x  9 1  dx  1 2  dx  x  2  2 6  J  1 dx  x  2 x    2 2  x 4 x 4 2  0 0 x 4 0 0 1 J  2 dx x 4 0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> .  x 0  t 0 2    dx  2 dt ;    t   0;   cos t  0 cos t  x 2  t   4  4 Đặt: x 2 tan t suy ra:  4. 2.  . Khi đó:. . 1. Đa thức:. . 1 1 1 2 1 1 4  dx  dt  dt  t   x2  4 4 1  tan 2 t cos 2 t 2 2 0 8 0 0 0 I 6 . Thay vào (1):. C. DẠNG:.  4. ax. 3. .  8. P  x dx  bx 2  cx  d. f  x  ax 3  bx 2  cx  d  a 0 . có một nghiệm bội ba. . . 1 1 1 dx  . m 1 m  1 m x   x. Công thức cần lưu ý:. 1. Ví dụ 8: Tính tích phân:. x. I . 0  x  1. 3. dx Giải. Cách 1: . Đặt: x  1 t , suy ra x t  1 và: khi x 0 thì t 1 ; khi x 1 thì t 2 1. . Do đó:. 2. x. 2. 2. t1 1 1 1  1 1 1 dx  3 dt  2  3 dt    2   3  t t t   t 2t 1 8 0  x  1 1 1. Cách 2: x . Ta có:.  x  1. 3. .  x  1  1  1  1 3 2 3  x  1  x  1  x  1 1. 1. .  1  1 x 1  1 1  1 dx   dx        3 2 3 2   0  x  1    x  1  x  1 2  x  1  0 8 0  x  1 Do đó: 1. 0. Ví dụ 9: Tính tích phân:. x4. I  1.  x  1. 3. dx . Giải. . Đặt: x  1 t , suy ra: x t  1 và: khi x  1 thì t  2 và khi x 0 thì t  1 . 0. . Do đó:. x4.  x  1. 1. 1.  t  1. dx   3 2. t3. 4. 1. 1. t 4  4t 3  6t 2  4t  1 6 4 1  dt   dt   t  4   2  3 dt 3 t t t t  2 2.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1. 1.  . 6 4 1 4 1 1 33  1 2   6 ln 2  t  4   2  3 dt  t  4t  6 ln t   2   t t t  t 2 t  2 8 2 2. 2. Đa thức:. f  x  ax 3  bx 2  cx  d  a 0 . có hai nghiệm:. Có hai cách giải: Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu 3. Ví dụ 10: Tính tích phân sau:. I  2. 1.  x  1  x 1. 3. dx. Giải Cách 1. (Phương pháp hệ số bất định) 2. 1. .  x  1  x  1. 2. A  x  1  B  x  1  x  1  C  x  1 A B C     2 2 x  1  x 1  x  1  x  1  x  1. . Ta có:. . 1  A  1 4 A  4   1  2C C  1  2 . Khi đó (1) Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số:.  A  B  x2   2 A  C  x  A  2  x  1  x 1 3. . B C. 1 1 1  A  B  C 1  B  A  C  1    1  4 2 4. 3 1 1 1 1 1 1  dx   .  .  dx 2 2     4 x  1 4 x  1 2   x  1 x  1 x  1       2  Do đó: 2. 1. 3. 1 1 1  1 3  I  ln  x  1  x  1  .   ln 8  ln 2 2  x  1  4 4 4 2 Cách 2: . Đặt: t  x  1 , suy ra: x t  1 và khi x 2 thì t 3 ; khi x 3 thì t 4 . 3. . Khi đó:. 4 4 4 4 dt 1 t   t  2 1 1 1  dx   dt  dt  dt   2 2 2      t  t  2 2 3 t  t  2 2  2 t  t  2 t  2  x  1  x  1 3 3. I  4. 1. 11  1  I     2 2 2 t 2. 4. 4 1 1  1 t 2 1  3 dt  dt   ln  ln t   ln 2   t t  4 t 2 3 4 3. 3t 2  4t  1  3t 2  4t  4   3t 2  4t 1  3t  2   3t 2  4t 1  3 2   1  3   3         t 3  2t 2 t  2t 2 4  t  2t 2   t 3  2t 2 4 t 2  t 3  2t 2 4  t t 2  Hoặc: 4. . 4.  3t 2  4t 1  3 2    1 2  3 I  3    2  dt  ln t 3  2t 2   3ln t     ln 2 2 t  2t 4 t t  4 t  3 4  3 Do đó:. 2 2 1 1  t   t  4  1  1 t 2  1  1 1 2     2  2     2 2 t  t  2 4  t  t  2  4  t  2 t  4  t  2 t t    Hoặc:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> . Do đó: 4. 4. 1  1 1 2 1 t 2 2 1 1 1 1 2 1 1 I     2 dt   ln     ln   ln     ln 3  ln 2   4 3 t 2 t t  4 t t 3 4 2 2 3 3 4 6 3. Ví dụ 11: Tính tích phân sau:. x2. I  2. 2.  x  1  x  2 . dx Giải. Đặt: x  1 t , suy ra: x t 1 , dx dt và: khi x 2 thì t 1; x 3 thì t 2 . 3. Do đó:. 2. 2  t  1 dt  2 t 2  2t 1dt dx  2    t 2  t  3 t 2  t  3 2  x  1  x  2  1 1. x2. Cách 1: (Hệ số bất định) 2. Ta có:. 2.  At  B   t  3  Ct  A  C  t   3A  B  t  3B t 2  2t  1 At  B C  2   2 t  t  3 t t 3 t 2  t  3 t 2  t  3. 1   B 3  A  C 1  5 t 2  2t  1 1 t  3 4 1   3 A  B  2  A       9 t 2  t  3 9 t 2 9 t 3 3B 1   4  C  9  Đồng nhất hệ số hai tử số: Do đó: 2. 2. 2. t 2  2t 1  1 1 3  4  1  1 3 4  17 4 7 dt    2     dt   ln t    ln t  3    ln 5  ln 2 2  t  t  3 9  t t  9  t 3   t 9 9  9 1 6 9 1 1 Cách 2: . Ta có:. 2 2  1   3t 2  6t  1  t   t  9    t 2  2t  1 1  3t 2  6t  3  1  3t 2  6t 3            t 2  t  3 3  t 3  3t 2  3  t 3  3t 2 t 2  t  3   3   t 3  3t 2  9  t 2  t  3      . 1  3t 2  6t  1 1 1 t  3 1   3t 2  6t  1 1 1  1 3    3             3  t  3t 2  9 t  3 9 t 2 3   t 3  3t 2  9 t  3 9  t t 2   . Vậy: 2. 2. 2  1  3t 2  6t  1  1 1 3   1 t 2  2t 1 1  t 3 3  dt      2  dt  ln t 3  3t 2   ln     3 2 2    t  t  3 3  t  3t  9  t  3 t t   27  t t  1 3 1 1. . 17 4 7 I   ln 5  ln 2 6 9 9 Do đó. 3. Đa thức:. f  x  ax 3  bx 2  cx  d  a 0 . có ba nghiệm:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 3. Ví dụ 12: Tính tích phân sau:. 1 I  2 dx 2 x  x  1. Cách 1: (Hệ số bất định) . Ta có:. A  x 2  1  Bx  x  1  Cx  x  1 1 1 A B C f  x       x  x  1  x  1 x  x 2  1 x  x  1  x  1 x x  1 x  1 . Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: x 0; x 1 và x  1 vào hai tử ta có:.   A  1  x 0  1  A  1 1 1 1  1 1    x  1  1  2 C    B   f  x        2 x 2 x  1   2  x 1   x 1  1 2 B   1  C  2 . Vậy:. 3. 3. 3. 1  1 1 1  1 5 3 1  dx      dx   ln  x  1  x  1   ln x   ln 2  ln 3  2 2  x  1 x 1  x  2 2 2 2 2 x  x  1 2 Cách 2: (Phương pháp nhẩy lầu). Ta có:. x 2   x 2  1 1 x 1 1 2x 1   2   2  2 2 x 1 x 2x 1 x x  x  1 x  x  1 3. Do đó:. 3. 1 1 2 xdx dx   2   2 22x 1 2 x  x  1. 3. 3. 1 5 3 1  dx  ln  x 2  1  ln x   ln 2  ln 3  x 2 2 2 2 2 4. Ví dụ 13: Tính tích phân sau:. x 1 I  2 dx 3 x  x  4. Cách 1:. Ta có:. A  x 2  4   Bx  x  2   Cx  x  2  x 1 x 1 A B C      x  x2  4 x  x  2  x  2 x x  2 x  2 x  x2  4. Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số: Khi x 0 : 1  4A suy ra: A  1 / 4 Khi x  2 :  1 8C suy ra C  1/ 8 Khi x 2 : 3 8B suy ra: B 3 / 8 Do đó: Vậy:. f  x  . 1 1  1 1  3 1        4 x 8 x 2 8 x2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 4. 3. 3. 3. 3. x 1 1 1 1 1 3 1 1 3  1  dx   dx   dx   dx   ln x  ln x  2  ln x  2   2 42x 8 2 x 2 8 2 x 2 8 8  4 2 3 x  x  4 5 3 1  ln 3  ln 5  ln 2 8 8 4 Cách 2: Ta có: 2 2 x 1 1 1 1 1 1  1  x   x  4  1  1 1 1 2x 1    2            2 2 2 2 x  x  4   x  4  x  x  4  4  x  2 x  2  4  x  x  4   4  x  2 x  2 2 x  4 x . 4. Do đó:. 4. x 1 1  1 1 1 2x 1 1 x 2 1       dx  ln  ln  x 2  4   ln x  2  2 4 3 x 2 x2 2 x  4 x   4 x2 2  3 x  x  4. 4. 3. 3. Ví dụ 14: Tính tích phân sau:. x2 dx  2 x 2  1  x  2  Giải. Cách 1: (Hệ số bất định) A  x  1  x  2   B  x  1  x  2   C  x 2  1 x2 x2 A B C       x2  1  x  2  x  1  x 1  x  2 x  1 x 1 x  2  x2  1  x  2 Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số: Thay: x 1 ta có: 1 2A , suy ra: A 1/ 2 Thay: x  1 ta có: 1  2B , suy ra: B  1/ 2 Thay: x  2 ta có: 4  5C , suy ra: C  5 / 4 Do đó: 3. 3. 3. x2 1 1 5 1  1 x 1 5  1 3 1 1 I  2 dx     ln x  2   ln dx  ln 2 x  1 2 x 1 4 x  2   2 x 1 4 2 2 2 2  x  1  x  2  2 Cách 2. (Nhẩy tầng lầu) Ta có: x2 x2  1 1 1 1 1 1 x  x  1   x  1  x  2        x2  1  x  2   x2  1  x  2  x  2  x  1  x 1  x  2  x  2 2  x  1  x 1  x  2  . 1 1 x 1  1 1  1 1 1  1      1      x  2 2   x  1  x  2  x 1  x  2 2  3  x  1 x  2  x 1 . Từ đó suy ra kết quả. . D. DẠNG. ax. . 4. R  x dx  bx 2  c.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Những dạng này, gần đây trong các đề thi đại học ít cho (Nhưng không hẳn là không cho), nhưng tôi vẫn đưa ra đây một số đề thi đã thi trong những năm các trường ra đề thi riêng, mong các em học sinh khá, giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho bản thân. Sau đây tôi lấy một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 1. x. . 0. a.. 1. 1 2.  3x  2 . 2. dx b.. 1  x2 dx 3  1 1 x 2. Giải 1. x. . 0. a.. 1  3x  2 . 2. 2. dx. Ta có: 1. 2. x  3x  2  x  1  x  2   f  x  . . 1.  x 1. 2. . 1.  x  2. 2. . 2. x. . 2. 1.  3x  2  1.  x 1  x  2   x 1. 2. . 2.  1 1      2   x  1  x  2     x  1  x  2   1.  x  2. 2. 1   1  2    x 1 x  2 . 2. . Vậy:. 1  1 1 1   1 1 x 1  2  1 dx    2    2ln   2ln 3  dx     2 2 2  2 x 2  0 3  x 1 x  2    x 1 x  2  x  2 0  x  3x  2  0   x  1 1. 1. 1. 1. b.. 1  x2 dx 3  1 1 x 2. Ta có:. 1  x2 1  x  x2  x 1  x  x2 x f  x     3 2 2 1 x 1  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1  x  1  x  x2  1. 1 x 1 2x   1  f  x      dx 3 1 x 1 x 2 1  x3  1  x 1 2. Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 1. 3. x2  1 dx 4 2  x  x  1 a. 1. b. Giải. 3. x2  1 dx 4 2  2 x  x  1 1 a. . Chia tử và mẫu cho x 0 , ta có:. x 4 1 dx  x6 1 0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 1    1  2  dx x  f  x  dx     1  1 1  x2    1 x2  . 1 x2  f  x  1 x2  2  1 x 1. 3. 3. (1).  x 1  t 2 1 1 1   2 2 t  x   x  2 t  2, dt  1  2  dx   x 3  t  4 x x  x   3 Đặt: 4 3. 3. f  x dx  t 1. Vậy: I. 1. b.. 1 2 3. 2. ln. x 1 dx 6 1. . Vì:. dt  3  2 t. 2. 4 3. t 3 t 3. 4. x 0. 4 3.  2. . 1. . 3 t 3. . dt . 1 2. 4 3. .  3  t . 1 3. 2. 1  1 7 4 3  1 ln 7  4 3  ln  ln   7  2 3 2 3 7. . . 1  dt t 3. .  x 6  1  x 2  3  1  x 2  1  x 4  x 2  1   6 3 2 2 3  x  1  x   1 t  1 t  x . Cho nên: f  x . x4 1 x 4  x 2 1 x2    x 6  1  x 2  1  x 4  x 2  1  x3  2  1 1. Vậy:. I arctan x 0 .  1  1 1 3x2   f x dx   dx   2   3 2   x  1 3 x  1 0 0     1. 1 1 1  1 arctan  3x 2  arctan1  arctan 3   arctan 3 0 3 3 4 3. Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 1. a.. x2 1 dx   x4 1 0. 1. x2  1 dx  x4 1 0. 2. b.. x 1. 1 dx 1. 4. Giải 1. a.. x2 1 dx   x4 1 0. 1. x2  1 dx  x4 1 0. . Ta có:. 1 1 1 2 1 2 2 x2 1 x  1 x , g  x  x f  x  4   x 1 x2  1 x 4 1 x 2  1 x2 x 2 . Cho nên  1 1 1 5  2 2  t x  x  dt  1  x 2  dx, x  x 2 t  2, x 1  t 2, x 2  t  2     1 1 1 3  2 2  t x   dt  1  2  dx, x  2 t  2, x 1  t 0, x 2  t  x x  x 2 . Vậy:  Đặt: .

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 5 2. 2. 5. 2  dt   f  x  dx  2    1 2t  2 2 t. . 1. 1  1 t 2  1 dt   ln  dt   2 2 2t 2 t 2  2 2 t 2 2 t 2. . . 5 2. 2. 3 2. 2. 1  g  x dx  2 dt t 2 1 0. Đặt:. 5 2. 1. (1).. t  2 tan u  dt  2. 1 3 3 2 du  t 0  u 0, t   u arctan u1 2 cos u 2 4. u1. Do đó (1). u1. u. 1 2du 2 2 2   2  du  u  u1  2 2 2 0 2 0 cos u  2  2 tan u  0. 1 1  1  x2 1  x2  1  x2 1 x2  1  1 1 F  x  4    dx   4    f  x  g  x  4  x 1 2  x4 1 2  x 1 x 4 1  2 x  1  1 b. . Ta có: 2. Đã tính ở trên (phần a) Ví dụ 4. Tính các tích phân sau 5 2. 2. a.. x2  1 dx  2 2 1  x  5 x  1  x  3 x  1. x b.. 1 5 2. 4. 3 2. dx  4x2  3. 3. x7 I  dx 8 4 1  x  2 x 2 d.. x2 1 dx 4 2  x  x  1 c. 1. Giải 2. a.. x2  1 dx  1 x2  5x  1  x 2  3x 1. . Ta có:. 1 x 1 x2 f  x  2    x  5 x 1  x 2  3x 1  x  1  5   x  1  x x  3   (1) 1. 2. t x  Đặt:. 1    1  2  dx x   f  x  dx   1 1  1 1 x  5  x    x x   2. 2. 1 1 5   dt  1  2  dx, x 1  t 2, x 2  t  x 2  x . Vậy (1) trở thành: 5 2. 5 2. dt 1  1 1  1 t 5    dt  ln  t  5   t  3 2 2  t  5 t  3  2 t 3 2  5 2. x b.. 3 2. 4. dx  4x2  3. f  x  . Ta có:. 5 2.  2. 1 1 5  ln 5  ln 3  ln 2 2 3. 1 1 1 1 1   2     2 2 2 x  4 x  3  x  1  x 2  3 2  x  3 x  1  4.  3 .

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 5 2. 5 2. . f  x dx  x Do đó:. 3 2. 3 2. 5 2. 2. 1 1   2 dx I  J  3 x  1 (1). Với:. 5 2. 1 I  2 dx  3 x  3 3 x 2. 2. 1. 1. 1. . . 3 x 3. . dx . 1 2. 5 2. .  3  x 3 2. 1 3. . 1  1 x 3 ln dx  x 3 2 3 x 3. 5 2. 5 2. 2. 3 2. 1 1 1  1 1  1 x 1 J  2 dx  dx    dx  ln x 1 x  1  x  1 2 3  x  1 x 1  2 x 1 0 0 . 5 2.  3 2. 1 2 3. ln. 37  20 3. . 65 7  4 3. . 1 3 1  1 15   ln  ln   ln 2 7 5 2 7. 1 5 2. x2 1  4 2 dx c. 1 x  x  1 . Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a. Chỉ khác là đặt: 3. d.. t x . 1 x , sẽ ra kết quả.. 3. x7 x4 I  8 dx  x 3dx 2 4  4 1 x  2x 2 2  x  1. (1). 3.  dt 3 x dx, x 2  t 15; x 3  t 80  t x  1   1 x4 1  t  1 11 1  3  f  x  dx  3 x 4  1 3x dx  3 t 2 dt  3  t  t 2  dt    Đặt: 4. 80. 80. 11 1  1 1 1 16 13 I     2 dt   ln t    ln  3 t t  3 t  15 3 3 720 15  Vậy: R  x dx  Q x    . E. TRƯỜNG HỢP:. (Với. Q  x. có bậc cao hơn 4). Ở đây tôi chỉ lưu ý: Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp hơn bậc mẫu tới hai bậc hoặc tinh ý nhận ra tính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân mà có cách giải ngắn gọn hơn. Phương pháp chung là như vậy, nhưng chúng ta khéo léo hơn thì cách giải sẽ hay hơn. Sau đây tôi minh họa bằng một số ví dụ Ví dụ 1. Tính các tích phân sau. 1 2. 2. a.. dx  4 1 x  x  1. x2 1.  x  1  x  3 dx b. 2. 0. Giải 2. a.. dx 4  1. x  x 1. . Nếu theo cách phân tích bằng đồng nhất hệ số hai tử số thì ta có:.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 4 3 2 A Bx 3  Cx 2  Dx  E A  x  1  x  Bx  Cx  Dx  E  f  x     x4 1 x  x 4  1 x x  x 4  1. 1.  A  B 0  A  B  x  Cx  Dx  Ex  A  C 0, D 0   f  x   x  x 4  1  E 0  A 1 4. 3. 2.  A 1  B  1 1 x3   f x      x x 4 1 C 0, D 0  E 0. Nhưng nếu ta tinh ý thì cách làm sau sẽ hay hơn. 3 3 x   1; 2   x 0 Vì x và x cách nhau 3 bậc, mặt khác . Cho nên ta nhân tử và mẫu với x 0 . Khi đó. f  x . x3 x 4  x 4  1. . Mặt khác. d  x 4  4 x 3dx  dt 4 x 3dx  t  x 4 . 1 3x 3 dx 1 dt 11 1  f  x  dx  4 4       f t 3 x  x  1 3 t  t  1 3  t t  1 . , cho nên:. . Bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. (Các em giải. tiếp) 1 2. x2.  x  1  x  3 dx b. 2. 0. Nhận xét: * Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm như sau: f  x  –. x2 1 3. . A.  x  1  x  3  x  1. 3. . B.  x  1. 2. . C D  x  1 x 3. 1 3 5 A  , B  , C  D  2 8 32 Sau đó quy đồng mẫu số, đồng nhất hệ số hai tử số, ta có:. –.  2.   1 3 5 5 I     dx 3 2  32  x  1 32  x  3   8  x  1 0  2  x  1 Do vậy: 1 2.   1 3 5 5 5 1     ln x  1  ln x  3   ln 2 8  x  1 32 32  8  x  1  0 32 28 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 3. x4  1 dx 6  x  1 2 a. 1. d.. 0. . x2 1 dx 6  x  1 1 b.. 2. . dx 3 e.. dx. x  1  x  c. 4. 1. x 4  3x 2  1 dx  2 3 0 1 x  Giải. 1 3 3. x x   x 1. 1. x3. 1  x. 2. 2. 4. f.. 1 3. dx.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> a.  2 x4  1 x 4  x 2 1 x2  2  dx    2   4 2 x6  1   x3  2  1 1 1   x  1  x  x  1    2.    3 3 1 x2 1 1    dx x 2  1dx    3 2   x 3  1  x 3  1 dx 2 2 x   1       . 3. J arctan x 2 arctan 3  arctan 2 Tính J : . dt 3x 2 dx, x 2  t 8; x 3  t 27  t x 3   x2 1 dt 11 1 1  g x dx  dx        dt 3 2  x 1 3  t  1 3 2  t  1 t 1   Tính K. Đặt 3. 27. 27. 1  1 1  1 1 t1 K g  x  dx    dt   ln t  1  ln t  1   ln 6 8  t  1 t 1  6 6 t 1 8 2 Do đó: 3. Tính. 27. 8. 1 117  ln 6 98. 3. 1 1 E  3 dx  dx 2 x  1 x  1 x  x  1     2 2. Ta có:. x 2   x 2  1 1 x2 x2  1 h  x      x  1  x2  x  1  x  1  x 2  x  1 x3  1  x  1  x 2  x 1. x  1  x 1  x2 x2 x 1 x2 1  2 x 1 1   3   3  2  3   2  2  2 x  1  x  1  x  x  1 x  1 x  x  1 x  1 2  x  x 1 x  x 1  3. 3. 1 3x2 1  2 x  1 I   3 dx   2 dx  32 x 1 2 2 x  x 1 Vậy: 3. 3.  2. 1 2. 1  3    x    2  2  . 2. dx. 3. 1 1 1 28 1 13  ln  x 3  1  ln  x 2  x  1  F  ln  ln  F 3 2 3 9 2 6 2 2. (2).  3 1 dx  dt  2 1 3  2 cos t x   tan t   2 2  x 2  tan t  5  t a; x 3  tan t  10  t b  3 3 Tính F: Đặt: 3 1 dt b 2 b 2 cos t F  dt t a b  a 3 a  1  tan 2 t  a 2 Do đó b. 5 5 10    t a arctan ; b arctan  tan t   3 3 3 . Thay vào (2) ta có kết quả. 2. b.. 1. 2. 2. x2 1 x2 1 1 1 dx  dx  dx  2 dx 2 6   2 4 2 2 2 2 1 x 1 0  x  1  x  x  1 1  x  1  x 1  x  x  1  x  x  1.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 1 Ta có: . x. 2.  x  1  x  x  1 2.  A  C  x3   B . . Ax  B Cx  D  2 2 x  x 1 x  x 1. A  C  D  x2   A  B  C  D  x   B  D  x4  x2 1. 1   A  2   A  C 0  A  C C  1  B  A  C  D 0 1  2C 0    2     A  B  C  D 0  B  D 0 D 1  B  D 1  B  D 1  2  1 B   2 Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ: 2 2  1 1 1 x x 1 I   2 dx   2 dx    J  K  2  1 x  x 1 x  x 1  2 1. Vậy:. (1). Tính J = 2. 2. 2. 2. 2.  x 1 1 2 x 1  3 1 2 x 1 3 1 1 dx   2 dx   2 dx   dx  ln x 2  x  1  E 2 2  2 x  x 1 2 1 x  x 1 2 1 x  x 1 21 2 1 1 1  3 x       2  2  . (2). 2. 3 1 E  dx 2 2 21 1  3 1 3   x    x   tan t 2  2   2 2 Tính , học sinh tự tính bằng cách đặt: Tính K 2. 2. 2. 1. 2. x 1 1 2x  1  3 1 2x  1 3 1 1 K  2 dx   2 dx   2 dx   dx  ln x 2  x  1  F 2 2 x  x 1 2 1 x  x 1 2 1 x  x 1 20 2 1 1 1  3   x    2  2   2. F Tính. 3 1 dx 2  2 21   1 3 1 3   x    x   tan t 2  2   2 2 , học sinh tự tính bằng cách đặt:. 2 4 4 2 2 dx 1 3 x3 1  d  x  d  x   1  x4  1 32   ln   4 dx     ln 4 4 4   4 4 3 1 x 1 x  31 x 1  x  3  1  x  1 3 17 1 x 1 x    2. c.. 1. d.. 1. x3. 1 x2 dx   2 xdx  2 3 2 0  1  x2  3 0 1 x  2. Do đó. 2.  x 2 t  1; dt 2 xdx t 1  x 2    x 0  t 1; x 1  t 2 (1). Đặt: 2. t1 13 1 1  1 1  I  3 dt  2  3 dt    2   t t t   t 4t  1 16 1 1. (2).

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 2  1 1 1 1  x2   x 4  3x 2  1 x2  1 x2  dx   dx   dx J  K    2 3 2 3 2 3  2 3  1  x2  1  x 0 1 x  0 1 x  0 0 1 x      1. e.. x tan t  J . Tính J: Bằng cách đặt. (1).  4.   1 1  dx E  F K   2 2 2 3   0 1 x  1 x    Tính 1. (2). 1  dx  dt  cos 2 t x tan t    x 0  t 0; x 1  t   4 Tính E: Bằng cách đặt E Vậy:.  4. 2. 1.  4. 2.  4. 1  1  1  1 1 1 1 1 1  dx   dt   dt  cos 2 tdt  2  2  2 2  2 0  1 x  2 0  1  tan t  cos t 2 0 1 cos t 20 4 cos t. . . 14 1 1  4 1  1  2   1  cos 2t  dt   t  sin 2t       40 4 2 16  0 4 4 2 Tính F. Tương tự như tính E; 1  dx  dt  cos 2 t x tan t    x 0  t 0; x 1  t   4 Bằng cách đặt . 3. 1. . 3. . 1  1  1 4 1 14 1 1 14  1 F   dx  dt  dt  cos 4 tdt  2  2  2 2    1 2 0  1 x  2 0  1  tan t  cos t 20 cos t 20 6 cos t Vậy:  4. .  4.  4. 1 1 1  cos 4t  2  1  cos 2t  dt   1  2 cos 2t    80 8 0 2  0.  4. . 1 1 1 4 1   3  8   3  4 cos 2t  cos 4t  dt   3t  2sin 2t  sin 4t    3  2   16 0 16  4 64  0 16  4  1 3 3. x x   x 1. 4. f.. 1 3. 1. 1 3. 1. 1  x x  1  1  3 1 dx dx  3  3 dx  2  1  2 . x  x  x x 1 1 x 3. 3. 3.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> dx  dt   1   1  x t  2  1  t  1  2   x x   x 1  t 8; x 1  t 0  3 Đặt: 0 1 3. 8. 8.  4 1 3 7 3 4 3 3  24 3  468 I  t  t  1 dt  t 3  t 3 dt  t 3  t 3   .27  .24 16     4 0 7 4 7  7 4  7 8 0 Khi đó * Chú ý: Còn có cách khác 1.  1 1 3   3 1 1 t t  x   dx  2 dt ; f  x  dx  4 t t 1   1 x   ;1  x 0   3  t Vì: . Đặt  t  t  t  3. 1 3. 1.  1   2  dt   t . t2  t3  t  3 t. 1. 1 3  1 1 1 dt dt  t  1  2  dt u 1  2  2 1  u; du  dt  t  t t t (2). Đặt: 2. Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 1. e p 2. x. a.. p 2. 1. 1. c.. x. p 2. a.  x b.. dx 1. 0. x 3dx 2. 3.  a2  2. 2a. x. x e e dx. d.. 0. x. 2ax  x 2 dx. 0. Giải. e. a.. 1 p 2. x 1. x. p 2. p 2. f  x  dx  dx  1 (ĐHTNguyên-98): Ta có:. t x - Đặt:. p 2 2. x. p 1 2. p 2. x dx  x . p 2 2. 2.   1 . p  e 2 dt  x dx dt     I  2 1 t 1 1  x 1  t 1; x e p 2  t  e. du  u1 u1  dt  cos 2 u du  t tan u    I   du   u1   1 2 2 4 cos u 1  tan u       2 4 4  t 1  u  4 , t e  u u1 - Đặt:.  tan u  e  u u1 arctan e  I   arctan e 4 - Từ:. dt.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> a.  x b. 0. x 3dx 2. a. 3 2 2. . dt   dx a cos 2 t ; x 0  t 0, x a  t  4  3 3 3 x a tan t   f x  x dx  a tan t a dt a cos t.tan 3 tdt   3 3  cos 2 t 2 2 2 2 1   x  a   a3  2     cos t  . Đặt:  4. Vậy:.  4. . . 4 4 1  cos 2 t sin t   dt sin 3 t sin 3 t 3 I f  x  dx a cos t.tan tdt a cos t. dt a. dt a  3 2 2 cos t cos t cos t 0 0 0 0 0 a.  1   du  sin tdt ; t  4  u  2 ; t 0  u 1  cos t u   2  f t dt   1  u   du  1  1  du    2 2     u  u  - Đặt: 2 2. 2 2. 1 1 2 2 3 3 2 3 2 4   I   1  2 du  u      2  2  2 u  u1 2 2 2 2 2  1  Vậy: 1. c.. e. x e. x. 0. dt e x dx; x 0  t 1; x 1  t e t e   dx e x ee dx x f  x  dx e x ee dx et dt  0  . Đặt: 1. 1. Vậy:. e. e. I f  x  dx et dt et ee  e 0. 2a. d.. x. x. 1. 1. 2a. 2. 2 2 x 2ax  x dx  x a   x  a  dx 0. Đặt:. 0.    dx a.cos tdt , x 0  t  2 ; x 2a  t  2 x  a a.sin t    f  x  dx  a  a.sin t  a 2 cos 2 t .a.cos tdt . Vậy:  2.   2   2 2    1  cos 2t I a 3  1  sin t  cos 2 tdt a 3  cos 2 tdt  cos 2 t sin tdt  a 3   dt  2         2    2 2 2     2 2 1 1 1  1        3  3 a t  sin 2 t   cos t  a 3      a 3  2 2   2   3  2  2 2   2  2 . Ví dụ 4. Tính các tích phân sau 1. 3. dx 5 2  a. 2 x  x. b.. x 7 dx. 1  x 0. . 4 2. .  2.    cos td  cos t     2 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 1. c.. x3  2 x. x 0. . 2.  1. 2. 2. dx d..  1. 1  x3 dx x4. Giải 3. a.. 3. dx 1  2 dx 5 2  2 x  x x x  1 x  x  1     2 2 f  x . Xét: . . (1). 1 A B Cx  D E  2  2  2 x x  x 1 x  1 x  x  1  x  x  1 x 2. A  x 2  x  1  x  1  Bx  x  1  x 2  x  1   Cx  D  x 2  x  1  E  x 2  x  1 x 2 x 2  x  1  x 2  x  1.  B  C  E  x 4   A  D  C  E  x3   E  D  x 2  x 2  x  1  x 2  x  1. Bx  A. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ: 1   D 3   B  C  E 0 C  E 1  A  D  C  E 0  E  E  E 1 C  1 1 1 3  x   1  3 3   B 0   B 0  f  x   2  23  E  D 0 x x  x  1 x 1  B 0  E D  1   E  3  A  1  A  1   A  1   1 1 1   3  1 1 x 1  1 1   1  3x3  I   2  2  3 dx   2   2 dx  x x  x  1 x  1 x 3 x  x  1 3 x  1     2 2     Vậy: 3. 3. 1 1 1    ln x 2  x  1  ln x  1   3 x 6 2. 3. 2 1 1 x  1  1 2 x 1    ln 2  arctan  2  2   x 6 x  x  1 3 3   2  1 3  2   x    2  2   3. dx. 1 1  7 5    arctan  arctan   6 3 3 3 1. b.. 1  x 0. 1. x 7 dx. . 4 2. . 1 x4   3 x3 dx 2 4 3 0  1 x . dt 3x 3dx, x 0  t 1; x 1  t 2  t 1  x 4   1  t  1 11 1   f  x  dx  3  t 2  dt  3  t  t 2  dt      Đặt:. (1).

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 2. 2. 11 1  1 1 1 1 I    2 dt   ln t     ln 2   t  3 t  1 3 2 0 3 t Vậy: 1. c.. x3  2 x. x. . 0.  1. 2. dx  2. 2 1 1  x  2 2 xdx 2 2 2 0  x  1. (1). dt 2 xdx; x 0  t 1; x 1  t 2  t 1  x  x  2 t  3   1 t  3 11 3   f  x  dx  2  t 2  dt  2  t  t 2  dt      Đặt: 2. 2. 2. 2. 11 3  1 3 1 3 I    2 dt   ln t     ln 2   2 t t  2 t 1 2 2 1 Vậy: 2. d..  1. 2. 1  x3 1  x3 2 dx  x dx 6  x4 x 1. (1). 2tdt 3 x 2 dx; x 1  t  2, x 2  t 3  t  1  x 3  t 2 1  x 3   1 1  x3 2 1 t 2 t2 f x dx  3 x dx  2 tdt  dt    3 x6 3  t 2  1 2 3  t 2  1 2  Đặt: Vậy: 2 I 3. 2. 3.  1 1 1 1  2  t 1  2  t  1  t 1   dt  3  2 . 1 1 1 t 1     ln 6  t 1 t  1 t  1 . 3. 2. 2 1 1 1   1 4  t  1  t  1   6 2  3. 1   2t t1    2  ln 6   t  1 t 1   . 3.  1 1 1   1       t 1 2  t  1 2  t  1 t 1  dt 2 . 3.  2. 8 2 3 1  ln 2 2  2 24 3. . . Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: 4. a.. x 7. 3. c.. 2. x 9. x5  2 x3.  0. 2. x 1. x  1. dx b.. 0. 1. dx d.. 2.  x  dx x2 1 2 3.  1 x . dx. 0. Giải 4. 4. dx. xdx x x2  9  x2 x2  9 7 a. 7. (1).. 5 5 t 2  x 2  9  tdt  xdx, x 2 t 2  9 dt dt I  2  t  x 9   t t  3  t  3 4 t  t  9 4   x  7  t 4, x 4  t 5 Đặt: . Do đó: 2. Ta có:. A  t 2  9   Bt  t  3  C  t  3 t 1 A B C f t      t  t  3  t  3 t t  3 t  3 t  t 2  9.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay lần lượt các nghiệm vào hai tử số ta có: - Với x 0 :. 9C 1  C . - Với x  3 :. 9 B 1  B . - Với x 3 :. 1 9.  9 A 1  A  1 9. 1 9 5. 5 5 1  1 1 1   1 1 t2  9 1 144 2   I       dt  ln t  9  ln t  ln  ln       4 9  4  t t  3 t 3  9 9 t 4 9 35. Vậy:. * Chú ý: Nếu theo phương pháp chung thì đặt: x 3sin t  dx 3cos tdt  7  x  7  7 3sin t  t  3   x 4  4 3sin t  sin t  4  1  3 Khi:  . Như vậy ta không sử dụng được phương pháp này được.. x  1. b.. 0.  x  dx. 2. 2. x 1. 1.  0. 1. x2 2. x 1. dx . x. . 2. x 1. 0. dx  J  K (1). * Để tính J: 1   dx  cos 2 t dt , x 0  t 0; x 1  t  4  x tan t   1 2 tan t . dt 2  tan 2 t cos t f x dx   dt    2 cos t 1  tan t  Đặt: . Tính tích phân này không đơn giản, vì vậy ta phải có cách khác. x2. g  x . 2. x 1. - Từ:. . x2 1  1 2. x 1. 1. 1. 2.  x 1 . 2. x 1. . 1. 1. g  x dx  x 0. 2.  1dx . 0.  0. 1 x2 1. - Hai tích phân này đều tính được. 1. +/ Tính:. 1. 1. 0. . E  x 2  1dx  x x 2  1  0. 0. 1 dx  2    x 2  1dx  x2 1 0 x2. 1. . .  2  E  ln x  x 2  1  2 E  2  ln 1  2  E  0 1. * Tính. K  0. Do vậy: 3. c.. x5  2 x 3.  0. I. x2 1. x. 1. 1. x 2 1. dx  x 2  1  2  1;  0. 0. 1 x 2 1. 3. dx   0. x5 x2 1. . . 3.  2 0. . x3 x2 1.  0. . 1. 1.  dx  x2 1 . 2 1  ln 1  2 2 2.  . dx ln x  x 2  1 ln 1  2 0. 2 1 2 3  ln 1  2  ln 1  2   ln 1  2 2 2 2 2. . 1. . . dx  J  K (1). . dx.

<span class='text_page_counter'>(29)</span>  x 2 t 2  1; xdx tdt; x 0  t 1, x  3  t 2  2 2 t  x2 1   x 4 xdx  t  1 tdt   t 4  2t 2  1 dt  f  x  dx  2 t  x 1 - Tính J : Đặt 2. 2. 2 38 1  J  t  2t 1 dt  t 5  t 3  t   3 5  1 15 1 Suy ra: 4. 2.  x 2 t 2  1; xdx tdt ; x 0  t 1, x  3  t 2  2 t  x2 1   x 2 xdx  t  1 tdt   t 2  1 dt  f  x  dx  2 t x 1  - Tính K: Đặt 2. 1 K  t 2  1 dt  t 3  3 1 Suy ra: Vậy:. 1. d..  0. I. 2. 4  t  1 3. 28 4 48 16    25 3 15 5.    dx cos tdt.x 0  t 0; x 1  t  2 x sin t   3  1  x 2  dx  f  x  dx   1  x 2  3 dx  cos6 t cos tdt cos4 tdt  . Đặt:  2. 2.  2.  2. 1  1  cos 4t  1  1  cos 2t  3 1  I   dt   1  2 cos 2t  dt   cos 2t  cos 4t dt 2 4 0 2 4 2 8    0 0 Do đó . 1 3 1  2 3  t  sin 2t  sin 4t   32 8 4 4 0. TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC 1. Thuộc các nguyên hàm: . . a/. 1 sin  ax  b  dx  cos  ax  b   a  . b/. . . c/. . 1 cos  ax  b  dx  sin  ax  b   a  . sin  ax  b . cos  ax  b  dx  ln cos  ax  b . . cos  ax  b  sin  ax  b  dx ln sin  ax  b   . d/. . 2. Đối với: a/ Nếu. I f  x  dx . f  x  R  sin m x;cosn x . thì ta chú ý:. - Nếu m lẻ, n chẵn: đặt cos x t (Gọi tắt là lẻ sin) - Nếu n lẻ, m chẵn: đặt sin x t (Gọi tắt là lẻ cos).  .  .

<span class='text_page_counter'>(30)</span> - Nếu m, n đều lẻ thì: đặt cos x t hoặc sin x t đều được (gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos) - Nếu m, n đề chẵn: đặt tan x t (gọi tắt là chẵn sin x, cos x ) b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác, công thức hạ bậc, nhân đôi, nhân ba, tính theo tang góc chia đôi… 3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác, học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau: - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đổi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm. II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:  2. sin 2 x  sin x I  dx 1  3cos x 0 a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005)  2. b. (ĐH, CĐ Khối B – 2005). sin 2 x cos x I  dx 1  cos x 0. KQ: 2 ln 2  1. Giải  2.  2.  2 cos x 1 sin xdx sin 2 x  sin x I  dx  1  3cos x 1  3cos x 0 0 a.. (1).  t2  1 2 cos x  ;sin xdx  tdt  3 3 t  1  3cos x    x 0  t 2; x   t 1  2 Đặt:  t2  1  2  1 2 1  2 3 2t 2 1 21 3  34  2    I  dt   t  t     tdt  2 t 9 93  3   1 27 2 1 Khi đó:  2. b..  2. 2.  2. sin 2 x cos x 2sin x cos x cos 2 x I  dx  dx 2  sin xdx 1  cos x 1  cos x cos x  1 0 0 0. (1).   dt  sin xdx, x 0  t 2; x  2  t 1  t 1  cos x   2  f  x  dx   t  1 dt  t  2  1  dt    t t  Đặt:  2. 1. 2. 1  1  I 2 f  x  dx  2 t  2  dt 2  t 2  2t  ln t  2ln 2  1 t 2 1 0 2 Do đó: Ví dụ 2. Tính các tích phân sau.

<span class='text_page_counter'>(31)</span>  2. a. ĐH – CĐ Khối A – 2006.. I  0. sin 2 x 2. 2. cos x  4sin x. dx. 2 KQ: 3.  2. b. CĐ Bến Tre – 2005.. cos 3 x I  dx sin x  1 0. KQ: 2  3ln 2 Giải.  2. a.. I  0. sin 2 x cos 2 x  4sin 2 x. dx. 2 2 2 2 2 . Đặt: t  cos x  4sin x  t cos x  4sin x. 2  2tdt   2sin x cos x  8sin x cos x  dx 3sin 2 xdx  sin 2 xdx  3 tdt   x 0  t 1; x   t 2 2 Do đó:   2. Vậy:. 2. 2. 2. 2 tdt 2 2 2 I f  x  dx    dt  t  31 t 31 3 1 3 0  2. b.. cos 3 x I  dx sin x  1 0. Ta có:. .. cos 3x 4 cos3 x  3cos x  4 cos 2 x  3 cos x  4  4sin 2 x  3 cos x  1  4sin 2 x  cos x. 1  4sin 2 x   cos 3 x f  x  dx  dx  cos xdx 1  sin x 1  sin x Cho nên:. (1).   dt cos xdx, x 0  t 1; x  2  t 2  t 1  sin x    1  4  t  1 2     dt  8  4t  3  dt    f  x  dx  t t   Đặt:  2. 2. 2 3  I f  x  dx  8  4t  dt  8t  2t 2  3ln t  2  3ln 2 1 t 0 1 Vậy:. Ví dụ 3. Tính các tích phân sau  2. sin xdx I  x 0 sin 2 x  2 cos x.cos 2 2 a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005.  2. b. CĐ Y Tế - 2006.. sin x  cos x I  dx 1  sin 2 x  4. KQ: ln 2.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Giải  2.  2.  2. sin xdx sin xdx sin x I   2  dx  ln 1  cos x x 0 sin x  cos x.  1  cos x  0 1  cos x 0 sin 2 x  2cos x.cos 2 2 a.. b..  2. . 4. 4. . 2 2 sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x I  dx  dx  dx 2 sin x  cos x 1  sin 2 x     sin x  cos x  4. (1).          sin x  cos x  2 sin  x   ; x   x  3  sin  x    0 4 4 2 2 4 4 4   Vì: d  sin x  cos x   cos x  sin x  dx. Mặt khác:.  2. I   4. Cho nên:. d  sin x  cos x   ln sin x  cos x sin x  cos x.  2  4. 1   ln1  ln 2   ln 2 2. Ví dụ 4. Tính các tích phân sau  2. I  0. a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006.. cos 2 x.  sin x  cos x  3. 3. dx.  4. b. CĐ KTKT Đông Du – 2006.. cos 2 x I  dx 1  2sin 2 x 0. 1 KQ: 32 1 ln 3 KQ: 4. Giải  2. a.. cos 2 x. I . 0  sin x  cos x  3 . f  x  dx  Cho nên:. 3. dx . Vì:. cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x   cos x  sin x . cos 2 x.  sin x  cos x  3. 3. dx .  cos x  sin x   sin x  cos x  3. 3.  cos x  sin x  dx.   dt  cos x  sin x dx ; x  0  t  2, x   t 4    2 t sin x  cos x  3    f  x  dx t  3 dt  1  3 1  dt 2  t3 t3  t Đặt:  2. 4. 4. 1 1 1  1 31 I f  x  dx  2  3 3 dt    2   t t   t 4 t  2 32 0 2 Vậy:.  2 0. ln 2.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 1  dt 4 cos 2 xdx  cos 2 xdx  dt    4 t 1  2sin 2 x   4 cos 2 x  x 0  t 1; x   t 3 I  dx 1  2sin 2 x  4 0 b. . Đặt:  4. Vậy:. 3. 3. cos 2 x 1 dt 1 1 I  dx    ln t  ln 3 1  2sin 2 x 41 t 4 4 1 0. Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:  2. a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006.. 4sin 3 x I  dx 1  cos x 0. KQ: 2.  6. b. CĐ Bến Tre – 2006.. sin 3 x  sin 3 3 x I  dx 1  cos 3 x 0 Giải.  2. a..  2.  2.  2 2. 0. 0.  1  cos x  sin xdx 4 1  cos x sin xdx 4. 1 1  cos x 4sin x I  dx 4      1  cos x 1  cos x 2 2. 0. 2. 0. 2.  6. b.. sin 3 x  sin 3 3x I  dx 1  cos 3 x 0 sin 3x  sin 3 3x sin 3x  1  sin 2 3x  sin 3x.cos 2 3 x. Ta có:. .. 1   dt  3sin 3xdx  sin 3xdx  3 dt t 1  cos 3 x    x 0  t 2; x   t 1  6 Đặt:  6. Vậy:. 1. 2. 2. 1  t  1 1  1 1 1 f  x dx   dt   t  2   dt   t 2  2t  ln  32 t 31 t 3 2 0. 2. 1 1  t    ln 2 6 3 1. Ví dụ 6. Tính các tích phân sau  2 3. I  a..  3. sin 3 x  sin x cot xdx sin x.   sin   x  4  dx I       x  sin  2 4  b.  2.  2. c.. I sin 4 xdx 0.  2. d. Giải. I cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  dx 0.

<span class='text_page_counter'>(34)</span>  2. I   3. a.. 1   sin 3  1  x 2 sin x  sin x  sin  cot xdx  cotxdx sin x sin x   2. 3. 3.  2. . 3. 3. 2 1   3  1  cot xdx   3 cot 2 x cot xdx  2   sin x   .    sin   x  2 4  dx  cos x  sin x dx I    cos x  sin x    sin  x     2 2 4  b.  2.  2. d  cos x  sin x   ln cos x  sin x cos x  sin x  .  2   2. 0. 2.  2.  2. 2.  2. 1  1  cos 4 x   1  cos 2 x  I sin 4 xdx   dx   1  2 cos 2 x  dx 2 4 0 2    0 0 c.  2.  2. 1 1 1 3 3 1  3    cos 2 x  cos 4 x dx  x  sin 2 x  sin 4 x   8 2 8 4 32  8  0 16 0  2. d.. . 1 1 3  2 3 I cos 2 x  sin 4 x  cos4 x  dx  x  sin 2 x  sin 4 x   4 32 8  0 16 0. Cho nên:  2. . . . . 2 2 2 12 1 1  1  I  1  sin 2 2 x  cos 2 xdx cos 2 xdx  sin 2 2 x cos 2 xdx  sin 2 x  sin 3 2 x 0 2 20 2 3  0 0 0 0. Ví dụ 7. Tính các tích phân sau  2. a..  4. 5. I sin xdx. b.. 0. 1 I  2 dx  sin x cot x.  3.  2. I  tan 2 x  cot 2 x  2dx  6. c.. 6. d. */. . I  3 cos x  0. Giải. a..  2.  2. 0. 0. 2.  2. I sin 5 xdx  1  cos 2 x  sin xdx  1  2 cos 2 x  cos 4 x  d  cos x  0. 3. . sin x dx.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> . 2 1  2 2   cos x  cos3 x  cos5 x   3 5   0 15  4. b.. 1 I  2 dx  sin x cot x 6. 1 1  2tdt  dx  dx  2tdt 2   sin x sin 2 x t  cot x  t 2 cot x    x   t  3; x   t 1  6 4 Đặt: 1. Vậy:. 3. 2tdt 3 I   2 dt 2t 1 2 t 1 3  3.  3.  6.  6. . . 31.  3. 2. I  tan 2 x  cot 2 x  2dx   tan x  cot x  dx tan x  cot x dx c. Vì:. tan x  cot x .  6. sin x cos x sin 2 x  cos 2 x cos 2 x    2  2 cot 2 x cos x sin x sin x cos x sin 2 x.     tan x  cot x  0; x   ;    3 3  6 4       x   ;   2 x   ; 2   cot 2 x    ;     6 3 3 3     3 3   tan x  cot x  0; x   ;   4 3  Cho nên:  3.  4.  3.  4. I   tan x  cot x  dx   tan x  cot x  dx   6. Vậy:.  ln sin 2 x   2. d.. .  4.  4  6. 4. . 3 1   ln sin 2 x  ln 2  2. I  3 cos x  0.  6. cos 2 x cos 2 x 1 dx   dx  sin 2 x 2  sin 2 x. 4. 3. . sin x dx (1).    x   t  dx  dt , x 0  t  ; x   t 0 2 2 2 Đặt: Do đó:  0.    I  3 cos   t    2   2. 2   3 3 sin t  dt  sin t        2   0. Lấy (1) + (2) vế với vế: 2 I 0  I 0 .. . 3. .  2. . cos t dt  3 sin x  0. 3. . cos x dx (2).

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Ví dụ 8. Tính các tích phân sau  3. 4 tan xdx. a..  4. (Y-HN-2000). b.. sin 2 x dx  cos 6 x 0. cos 2 x dx  sin x  cos x  2  0 . (NT-2000). (GTVT-2000). e.. cos 6 x  4 dx  sin x. c..  2.  4. d..  2.  4. 4. (NNI-2001).  4. sin 2 x dx  4  cos 2 x 0. f.. 1  2sin 2 x dx  1  sin 2 x 0. (KB-03). Giải  3. a.. tan . 4. xdx. 4. Do đó:. 2. 2 sin 4 x  1  cos x  1 1 f  x  tan x  4   4 2 1 4 cos x cos x cos x cos 2 x . Ta có: 4.  3.  3.  3. 4. 4. 4. 1 dx  1  I f  x  dx  2  1dx  1  tan 2 x    2 tan x  x  4 2 cos x  cos 2 x    cos x .  3  4. . 1    4  3   tan x  tan 3 x    2 3  2    2 3    3 12   3    4.   2   2 3 2    12  3 12 . * Chú ý: Ta còn cách phân tích khác: f  x  tan 4 x tan 2 x  tan 2 x  1  1 tan 2 x  1  tan 2 x   tan 2 x tan 2 x  1  tan 2 x    tan 2 x 1 1  3.  3. dx I  tan 2 x  1  tan 2 x    tan 2 x  1  1 dx tan 2 x.  cos 2 x Vậy:.  4.  4.  3. 1  1 I  tan 3 x  tan x  x   3 3  3  3. 3. 4.  4. b..  3. dx.   cos 4.  3. 2. x.  dx  4.   1  2      1    3 3 4  3 12. cos 2 x.  sin x  cos x  2  dx 0. f  x  Ta có:  4. cos 2 x.  sin x  cos x  9 . 3. .  cos. 2. x  sin 2 x .  sin x  cos x  9 . 3. .  cos x  sin x   cos x  sin x  3  sin x  cos x  9 .  4.   cos x  sin x   I f  x  dx   cos x  sin x dx 3    sin x  cos x  2   0 0  Do đó:.   cos x  sin x t  2.x 0  t 3; x  4  t  2  2, t sin x  cos x  2   dt  cos x  sin x  dx  f  x  dx  t  2 dt  1  2 1  dt 2  t3 t3  t Đặt:. (1).

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Vậy: 2 2. 1 1  1 1 I    2  2 3 dt    2  t t   t t 3 3  .  sin t  cos t   sin t  cos t  9 . 2 2.  1 1     2 2 2 2 . .  sin t  cos t    dt  .  sin t  cos t   sin t  cos t  9 . .   2   . 1 2  1 1 2       3 9 3 2 2. . . 2.  cos t  sin t  dt  f  x .  2. c.. cos 6 x  4 dx  sin x 4 3. 2 cos 6 x  1  sin x  1  3sin 2 x  3sin 4 x  sin 6 x 1 1 f  x  4    4  3 2  3  sin 2 x 4 4 sin x sin x sin x sin x sin x Ta có:. Vậy:.  2. . 4. 4. . . 2 2 2 dx dx  1  cos 2 x  I  1  cot 2 x   3  3 dx   dx 2 2    sin x  sin x  2     4. 4. .    . 1 3 1 1  2 5 23 cot x  3cot x  3x  x  sin 2 x    3 2 4 8 12  4.  4. d.. . . . 4 4 4 sin 2 x 1  cos 2 x 1  1 1  1 dx  dx   dx  dx    6 6 6 4 4     cos x cos x cos x cos x  cos x cos 2 x 0 0 0 0.  4.  1  tan 2 x  0. 2. 1 dx  cos 2 x.  4. 1.  1  tan x  cos 2. 0. 2. x.  4. dx  1  tan x  cos x 2. 2. 0.  4.  4. 0. 0. dx  1  2 tan 2 x  tan 4 x  d  tan x   .  1  tan x  d  tan x  2. . 2 1 1 1   4 1 4 8  tan x  tan 3 x  tan 5 x  tan x  tan 3 x   tan 3 x  tan 5 x   3 5 3 5  0 3  0 15  2.  2.  2.  2. d  7  cos 2 x  sin 2 x sin 2 x 2sin 2 x dx  dx  dx    ln 7  cos 2 x 2  1  cos 2 x 4  cos x 7  cos 2 x 7  cos 2 x 0 0 4 0 0 2 e.  4. f..  4.  4. 1  2sin x cos 2 x 1 d  1  sin 2 x  1 dx  dx    ln 1  sin 2 x  1  sin 2 x 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x 2 0 0 2.  4 0. 1  ln 2 2. Ví dụ 9. Tính các tích phân sau:  2. a.. sin 0. 3.  2. x cos 4 xdx b.. sin 3 x. 1  2 cos 3xdx 0.  2 0. ln. 3 4.

<span class='text_page_counter'>(38)</span>  6. c..  6. 2. 5. 2.  3. sin x cos x cos 2 x I  dx  J  dx  K   dx 3 sin x  cos x  0 sin x  3 cos x 0 sin x  3 cos x 3 2. Giải  2. a.. sin 0. 3.  2.  2. 0. 0. x cos 4 xdx  1  cos 2 x  cos 4 x.sin xdx  cos 6 x  cos 4 x d  cos x   2. 1 2 1   cos 7 x  cos5 x   5 7  0 35  2. b.. . . sin 3 x 1 2  3sin 3x 1 2 d  1  2 cos 3 x  1 dx  dx   ln 1  2 cos 3x    1  2 cos 3 x 6 0 1  2 cos 3x 6 0 1  2 cos 3x 6 0  6. 2.  6. 2.  2 0. 1  ln 3 6.  6. sin x  cos x 1 1 1 1 I  J  dx   dx   dx  20 1 20  3 0 sin x  3 cos x sin  x   sin x  cos x 3  2 2 c. Ta có:   x   d  tan     1 1 1 1  2 6    .      x   x  x  x  sin  x   2sin    cos  x   tan    2 cos 2    tan    3 6  2 6  2 6 2 6 2 6 Do:   x   d  tan     1 x   2 6  1 I    ln tan    20 2 x  2 6 tan    2 6 Vậy:  6.  6.  6. .  6 0. 1 1  ln 3  ln 3 2 4. sin x  sin x  3cos x I  3 J  dx  0 sin x  3 cos x 0 - Mặt khác:  6. Do đó:. 2. . I  3 J  sin x  0. Từ (1) và (2) ta có hệ: Để tính K ta đặt. 2. . . 3 cos x dx   cos x . 1   I  J  ln 3 4    I  3 J 1  3 . t x  3. (1). . 3 cos x sin x  3 cos x sin x  3 cos x. 3 sin x. .  6 0. 1 .  dx. 3.  3 3 1  I  ln 3   16 4   J  1 ln 3  3  1  16 4.      dt dx  x 3 ; t 0.x 5  t  2 2 3 6. (2). (3).

<span class='text_page_counter'>(39)</span>  6. . 6 cos  2t  3  cos 2t 1 K  dt   dt I  J  ln 3    8  0 cos  t  3 0 sin t  3 cos t    3 sin  t  3  2 2   Vậy:. 3 1 2. Ví dụ 10. Tính các tích phân sau:  4.  2. 1. 1  sin 2 xdx. a.. 0. (CĐ – 99). b.. dx. 2  sin x  cos x 0. (ĐH-LN-2000).  3. 1 dx 10 10 4 4     sin x  cos x  sin x cos x dx sin x sin  x    6 6  (MĐC-2000)  0 c. (SPII-2000) d.  2.  . Giải  4. . . . 4 4 1 1 1 4  dx  dx  dx tan  x   1 2     1  sin 2 x 40  0 0  sin x  cos x  0 2cos 2  x    4  a..  2. b.. dx. 2  sin x  cos x 0. t tan Đặt: 1. .. x 1 1 x 2dt   dt  dx   1  tan 2  dx;  dx  ; x 0  t 0, x   t 1 2 x 2 2 2 1 t 2 2 cos 2 2 1. 1. 1. 2 2dt 2dt I  dt  2  2 2 2t 1 t 1 t  t  2t  3 0  t  1 2  2 0 0 2  1 t2 1 t2 Vậy:. (2).  1 2 du; t 0  tan u  ; t 1  tan u  2 dt  2 2 cos u 2  t  1  2 tan u   2 2  f  t  dt  2dt  du  2du 2 2  cos 2 u 2 1  tan u t  1  2      Đặt: u2. Vậy:. I   2du  2u.  2. c.. u1.  sin. 10. u2 u1.   2  2  u 2  u1   2  arctan  arctan 2  2  . x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  dx. 0. Ta có:. sin10 x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  sin 2 x  cos 2 x   cos 4  sin 4 x   cos 6 x  sin 6 x .  cos 2 x  sin 2 x   cos2 x  sin 2 x   cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x sin 2 x .

<span class='text_page_counter'>(40)</span> 1 1  cos 4 x 1  cos8 x 15 1 1  1  cos 2 2 x  1  sin 2 2 x  cos 2 2 x  sin 2 4 x     cos 4 x  cos8 x 16 2 32 32 2 32  4   2. . . 2 2 1 15  1 1 15  15 1  I   cos 4 x  cos8 x dx   sin 4 x  sin 8 x  32 2 32 32 2 8 32.8 64  0 0 0 Vậy:.  3. 1 dx   sin x sin  x   6 6  d..  .       x    x   sin   x    6 6 6  Ta có: .    1   x  sin  x   cos x  sin x cos  x    6 6  2 (*)   .     1 sin  x   cos x  sin x cos  x   1 6 6  2 f  x  2 2        sin x sin  x   sin x sin  x   sin x sin  x   6 6 6    Do đó:.          cos  x   cos  x    3 3   cos x cos x  3 6 6       I f  x  dx 2   dx 2  ln sin x  ln sin  x      sin x 6       sin x  sin  x   sin  x    6 6 6 6 6      3. I 2 ln. sin x   sin  x   6 . ln. 3 1 2 3  ln . 2 ln 2 2 3 2.  6. * Chú ý: Ta còn có cách khác f  x . 1 1      3  sin 2 x 1 sin x sin  x   sin x  sin x  cos x  6  2  2   3.  3. . 3  cot x. . 2d 3  cot x 2 1 dx    2 ln 3  cot x 2 3  cot x sin x 3  cotx . I   6. Vậy:. . 2. 6. . .  3  6.  2 ln. 3 2. Ví dụ 11. Tính các tích phân sau  2. a.. sin x cos3 x dx 2  1  cos x 0.  4. c.. cos 0.  2. (HVBCVT-99). sin 4 x dx x  sin 6 x. 6. b.. cos. d. Giải. x cos 2 2 xdx (HVNHTPHCM-98). 0.  4. (ĐHNT-01). 2. dx. cos 0. 4. x. (ĐHTM-95).

<span class='text_page_counter'>(41)</span>  2. a.. . sin x cos3 x 1 2 cos 2 x dx   sin 2 x dx  1  cos 2 x 2 1  cos2 x 0 0. (1). dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx  t 1  cos x   2  cos x t  1; x 0  t 2, x  2  t 1 Đặt: 2. 1. I Vậy:  2. b.. cos. 2. 2. 2. 1  t  1 1 1 1 ln 2  1   dt     1dt   ln t  t    22 t 2 1t  2 2 1. x cos 2 2 xdx .. 0. 1  cos 2 x 1  cos 4 x 1 f  x  cos2 x cos 2 2 x  .   1  cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x.cos 2 x  2 2 4 Ta có: 1 1 1 1  1 3   1  cos 2 x  cos 4 x   cos 6 x  cos 2 x     cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x 4 2 4 8  4 8  2. Vậy:  4. c.. . 1 1 3 1 1 1 3  1 2  I   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x dx  x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x   4 8 4 8 16 16 48  4 0 8 0. cos 0. sin 4 x dx x  sin 6 x. 6. .. d  sin 6 x  cos6 x   6sin 5 x cos x  6 cos5 x sin x  dx 6sin x cos x  sin 4 x  cos 4 x . Vì:.  d  sin 6 x  cos 6 x  3sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  dx  3sin 2 x cos 2 xdx 3 2 sin 4 xdx  sin 4 xdx  d  sin 6 x  cos 6 x  2 3. .  4. Vậy:. . 6 6 sin 4 x 2 4 d  sin x  cos x  2 dx    ln  sin 6 x  cos6 x  6 6  6 6 cos x  sin x 3 0  sin x  cos x  3 0.  4. . .  4 0. 4  ln 2 3. . 4 4 dx 1 dx 1  4 4   1  tan 2 x  d  tan x   tan x  tan 3 x    4 2 2    cos x 0 cos x cos x 0 3  0 3 d. 0. Ví dụ 12. Tính các tích phân sau:  4. . a.. sin. 11. c.. (HVQHQT-96). 0.  4. cos 0. xdx b.. sin. 2. x cos 4 xdx. 0. (NNI-96).  2. x cos 4 xdx (NNI-98). d..  1  cos 2xdx 0. (ĐHTL-97).

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Giải . a.. sin. 11. xdx. 0. Ta có: 5. sin11 x sin10 x.sin x  1  cos 2 x  sin x  1  5cos 2 x  10 cos 3 x  10 cos 4 x  5cos 5 x  cos 6 x  sin x . I  1  5cos 2 x  10 cos3 x  10 cos 4 x  5cos5 x  cos 6 x  sin xdx. Cho nên:. 0. . 5 5 5  118 1   cos 7 x  cos6 x  2 cos5 x  cos4 x  cos3 x  cos x   6 2 3 21 7 0  4. b.. sin. 2. x cos 4 xdx. 0. Hạ bậc: 2.  1  cos 2 x   1  cos 2 x  1 2 sin x cos x      1  cos 2 x   1  2 cos 2 x  cos 2 x  2 2 8    2. 4. 1   1  2 cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 x  2 cos 2 2 x  cos 3 2 x  8 1 1 1  cos 4 x  1  cos 4 x     1  cos 2 x  cos 2 2 x  cos3 2 x    1  cos 2 x   cos 2 x   8 8 2 2   1 1 cos 6 x  cos 2 x    1  cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x.cos 2 x    1  cos 2 x  cos 4 x   16 16  2  . 1  2  3cos 3 x  cos 6 x  cos 4 x  32  4. Vậy. . 1 3 1 1  1 4 I   2  3cos 2 x  cos 6 x  cos 4 x  dx  x  sin 2 x  sin 6 x  sin 4 x  32 64 32.6 32.4  32 0 0. . .  1  cos 2 xdx  d.. 0. 0.  2     2 2 cos xdx  2 cos x dx  2  cos xdx  cos xdx   0 0   2  .      2  sin x 02  sin x    2  1 1 2 2 2  . III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG 1. Trong phương pháp đổi biến dạng 2. b. * Sử dụng công thức: Chứng minh:. b. f  x dx f  b  x dx 0. 0.

<span class='text_page_counter'>(43)</span>  x 0  t b    x b  t 0 Đặt: b  x t , suy ra x b  t và dx  dt ,. . b. Do đó: số. . 0. b. b. f  x dx f  b  t    dt  f  b  t dt f  b  x dx 0. b. 0. 0. . Vì tích phân không phụ thuộc vào biến. Ví dụ: Tính các tích phân sau  2. a/.  2. 4sin xdx.  sin x  cos x . 3. 0. b/.  4. c/. 3. dx. 0.  2. log 2  1  tan x  dx. d/. 0. 1. e/. 5cos x  4sin x.  sin x  cos x . sin 6 x dx  sin 6 x  cos6 x 0.  2. n. m x  1  x  dx. f/. 0. sin 4 x cos x dx  sin 3 x  cos3 x 0. Giải  2. a/. I  0. 4sin xdx.  sin x  cos x . 3. (1). Đặt:.    dt  dx, x 0  t  2 , x  2  t 0       4sin   t  t   x x  t  4 cos t 2  2 2  f  x  dx  dt   dt  f  t  dt 3  3 cos t  sin t             sin  2  t   cos  2  t         Nhưng tích phân không phụ thuộc và biến số, cho nên:  2. 0. I f  t  dt  0.  2. 4 cos x.  sin x  cos x . 3. dx (2)  2. Lấy (1) + (2) vế với vế ta có:  2.  2. 4  sin x  cos x  1 2 I  dx  I 2  dx 3 2 0  sin x  cos x  0  sin x  cos x  . 1 2   I 2  dx tan  x   2  40  0 2 cos 2  x    4   2. b/. 5cos x  4sin x I  dx 3 0  sin x  cos x . . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau:.

<span class='text_page_counter'>(44)</span>  2. 5cos x  4sin x. I  0.  sin x  cos x   2. 3. 0. 5sin t  4 cos t. dx    2.  cos t  sin t . 3.  2. 5sin x  4cos x  dx 3 0  sin x  cos x .  2. 1. (2) . 1 1 2 1  2 I  dx  dx  tan x  1  I    2   2 40 2  0  sin x  cos x  0 2 cos 2  x    4  Vậy:  4. log  1  tan x dx 2. c/. 0. . Đặt:.    dx  dt , x 0  t  ; x   t 0  4 4    t  x x  t  4 4  f  x  dx log 2  1  tan x  dx log 2  1  tan     4 .  t     dt  . 2  1  tan t  f  t  log 2  1    dt  log 2 2  log 2 t    dt  log 2 1  tan t 1  tan t   Hay:  4. 0.  4. . I f  t  dt dt  log 2 tdt  2 I t 04  0.  4. Vậy:. 0.   I 4 8.  2. d/. sin 6 x I  6 dx sin x  cos6 x 0. (1).    sin 6   t  2 cos 6 x 2  d  t  dx I    6 6    cos x  sin x     6 6  0 sin   t   cos   t  2 2  2  0.  2. Cộng (1) và (2) ta có: 1 m. e/. x  1  x . n. dx. 0. 0. Do đó:. (2). . 2  cos 6 x  sin 6 x   2  2 I  6 dx  dx  x  I  6  0 cos x  sin x 2 4 0 0. . Đặt: t 1  x suy ra x 1  t . Khi x 0, t 1; x 1, t 0; dt  dx m. 1 n. m. 1. m. I  1  t  t   dt  t  1  t  dt x n  1  x  dx 1. n. 0. 0. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN  2. 1.. 4sin x. 1  cos xdx 0.  4. 2. 2.. cos x  2sin x. 4 cos x  3sin x dx 0. (XD-98).

<span class='text_page_counter'>(45)</span>  3.  2. 3.. sin x cos3 x dx  1  cos 2 x 0 1. 5.. 7.. 0. . 6. 5 3 x  1  x  dx 0.  4. 4.. (ĐHKT-97). 6.. 0.  2. sin x  2 cos x. 3sin x  cos x dx 0. x sin x dx  9  4 cos 2 x 0. x sin x. 2  cos. (CĐSPHN-2000). 8.. 2. x. (HVNHTPHCM-2000). dx (AN-97).  1  sin x . ln  1  cos x dx 0. (CĐSPKT-2000).  2. . 9.. x  sin x dx 2 x.  cos. (ĐHYDTPHCM-2000). 10.. sin 4 x cos x dx  sin 3 x  cos3 x 0. . * Dạng:. a sin x  b cos x  c I  dx a 'sin x  b 'cos x  c '  Cách giải: . Ta phân tích:. a sin x  b cos x  c. B '  a 'cos x  b 'sin x . C. a 'sin x  b 'cos x  c 'dx A  a 'sin x  b 'cos x  c '  a 'sin x  b 'cos x  c '. . - Sau đó: Quy đồng mẫu số - Đồng nhất hai tử số, để tìm A, B, C. - Tính I:     B  a 'cos x  b 'sin x   C dx I  A   dx  Ax  B ln a 'sin x  b 'cos x  c '  C      a 'sin x  b 'cos x  c ' a 'sin x  b 'cos x  c '  a 'sin x  b 'cos x   . VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ. Tính các tích phân sau:  2. a.. sin x  cos x  1 dx  sin x  2 cos x  3 0.  2. c..  4. (Bộ đề). b.. cos x  2sin x. 4 cos x  3sin x dx 0. (XD-98).  2. sin x  7 cos x  6. 4sin x  3cos x  5dx. d.. 0. 4 cos x  3sin x  1 I  dx 4sin x  3cos x  5 0. Giải  2. a.. sin x  cos x  1. sin x  2 cos x  3dx 0. . Ta có:. f  x . B  cos x  2sin x  sin x  cos x  1 C A   sin x  2 cos x  3 sin x  2 cos x  3 sin x  2cos x  3. Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số:. (1).

<span class='text_page_counter'>(46)</span> 1   A  5  A  2 B 1  A  2 B  sin x   2 A  B  cos x  3 A  C  3    f  x    2 A  B  1   B  sin x  2 cos x  3 5 3 A  C 1   4  C  5  . Thay vào (1)  2.  2.  2. 3 d  sin x  2 cos x  3 4 1  3  1 I   dx     dx   ln sin x  2 cos x  3 5 5 0 sin x  2 cos x  3 5 0 sin x  2 cos x  3 10 5 0 I .  3 4 4  ln  ln J 10 5 5 5.  2 0. (2). - Tính tích phân J: 1 dx   ; x 0  t 0, x   t 1 dt  2 x 2 cos 2  1 x 2dt  2 t tan    J  . 2 1 2dt 2dt 2  t  1  2   0 f  x  dx    2t 1 t2 1  t 2 t 2  2t  3 2 3  1 t2 1 t2 Đặt:.  3. Tính (3): Đặt:  du 2 .t 0  tan u  u1; t 1  tan u  2 u 2 dt  2 2 cos u 2  t  1  2 tan u   1 2du 2  du  f  t  dt  2 2 cos u 2  cos2 u  u2. Vậy:. 2 2  3 4 4 2 J   du   u2  u1   I I   ln   u2  u1  2 2 10 5 5 5 2 u.  2  tan u1  2   tan u  2  2.  4. b.. B  3  cos x  4sin x  cos x  2sin x cos x  2sin x C 4cos x  3sin x dx; f  x   4cos x  3sin x  A  4 cos x  3sin x  4 cos x  3sin x   1 0. 2 1 A  ; B  ; C 0 5 5 Giống như phần a. Ta có:  4. .  2 1  3cos x  4sin x   1 2 4  1 4 2 I   dx  x  ln 4 cos x  3sin x    ln 5 5 4 cos x  3sin x  5 7 5  0 10 5 0 Vậy:. . 4 J 5.

<span class='text_page_counter'>(47)</span>