Chuong III 1 Phuong phap quy nap toan hoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>

<span class='text_page_counter'>(2)</span> §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Tiết 1:Phương pháp quy nạp toán học.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Tiết 1:Phương pháp quy nạp toán học.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Mở đầu. Xét hai mệnh đề chứa biến P (n) : "3n  n  100" và Q(n) :"2n  n " với n N* a) Với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 thì P(n) , Q(n) đúng hay sai? b) Với mọi n N* thì P(n) , Q(n) đúng hay sai? Trả lời:. Q(n). P(n). n. 2n. ss. n. Kq. n. 3n. ss. 1. 2. >. 1. Đ. 1. 3. . 101. Đ. 2. 4. >. Đ. 2. 9. . 8 16. >. 3. 4. 27 81. . >. Đ Đ. 102 103. Đ. 3. 2 3. . 104. Đ Đ. 32. >. 5. Đ. 243. >. 105. S. 4 5. 4 5. b. Với mọi n *, P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn.. n+100 Kq.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Việc chứng tỏ cho Q(n) đúng với mọi số tự nhiên n * bằng cách thử với 1 số giá trị của n “ Cho dù làm được với số lượng lớn” cũng không thể được coi là CM hơn nữa tập số tự nhiên là vô hạn nên việc thử là không thể thực hiện được Vì vậy: chúng ta cần có một phương pháp cụ thể để chứng minh những mệnh đề đó. Một phương pháp chứng minh hiệu quả đó là phương pháp qui nạp toán học..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥1 (gọi là giả thiết quy nạp),chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1 Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp II. VÍ DỤ ÁP DỤNG.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥1 (gọi là giả thiết quy nạp),chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1 II. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1. Chứng minh rằng với n  N* thì 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n2 (1) Chứng minh Bước 1. Khi n = 1, VT chỉ có một số hạng bằng 1, VP = 12. Vậy hệ thức (1) đúng Bước 2. Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k  1, nghĩa là 1 + 3 + 5 + … + (2k -1) = k2 (giả thiết qui nạp). Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 1+3+5+…+(2k –1) + [2(k +1)-1] = k2 + [2(k +1) -1] = k2 +2k+1 = (k + 1)2. Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n  *..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> HOẠT ĐỘNG NHÓM NHÓM 1. 1 1 1    1.2 2.3 n(n  1). Cho tổng: S  n. a. Tính S1, S2 , S3. với n  *. b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp. NHÓM 2. Cho tổng: A 1  4  7     3n  2  n. với n  *. a. Tính A1, A2 , A3 b. Dự đoán công thức tính tổng An và chứng minh bằng quy nạp. NHÓM 3. Cho tổng: Bn 1.2  2.3  ...  n  n  1 với n  *. a. Tính B1, B2 , B3 b. Dự đoán công thức tính tổng Bn và chứng minh bằng quy nạp..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥1 (gọi là giả thiết quy nạp),chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1. Câu 1: Khẳng định sau đúng hay sai? Để chứng minh mệnh đề chứa biến A  n  đúng với mọi n  *, n  p  p   * b»ng ph ¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ta thùc hiÖn hai b íc c¬ b¶n sau: B ớc 1: Chứng minh A  p  đúng. B ớc 2: Chứng minh "A  k   A  k  1 " đúng với k  *, k  p ".. C©u 2: Sai lÇm ë ®©u? Một học sinh chứng minh "n n  1" (1) là đúng với mọi n   * nh sau: Giả sử (1) đúng với n k  k   * , tức là k k  1  * . Céng 1 vµo c¶ hai vÕ cña (*), ta ® îc k  1 k  2 hay  k  1  k  1  1. Suy ra (1) cũng đúng với n k  1. Vậy (1) đúng với mọi n   *..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> II. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC Xem lại Phương pháp chứng minh quy nạp. Xem lại tiếp các ví dụ còn lại. Xác định công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp:. S 1.2.3  2.3.4  3.4.5  ...  n( n  1)( n  2),. n. S 1.3  3.5  5.7  ...  (2n  1)(2n  3),. n. S 1  2  3  ...  n. n. 1. 2. 2. 2. 2. 3. S 1  2  3  ...  n 3. 4. 3. 3. 2. n. 1 1 1 1 S     ...  , n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n  1)( n  2) 1 1 1 1 S     ...  n 1.4 4.7 7.10  3n  1  3n  4  5. 6.  1  2  3  4 (5).  6.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>

<span class='text_page_counter'>(12)</span> §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài toán1. Xây dựng công thức tổng quát Tính: 1+3= 1+3+5= 1+3+5+7= ………………… 1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n – 1) =.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> HƯỚNG DẪN. Quan sát, rút ra qui luật. 1 1. 2. 1 3 2. 2. 1 1 3 1 3 5. 1 3 5 3. 2 1 3 5 7. 1 3  5  7 4. 2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Sn 1  3  5    (2n  1) .

<span class='text_page_counter'>(15)</span> NHÓM 1. 1 1 1 S      Cho tổng: 1.2 2.3 n(n  1) n. với n  *. a. Tính S1, S2 , S3 b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp. 1 1 1   1.2 1 2. Phân tích:. 1 1 1   3.4 3 4.  1 1 1.   n(n  1) n n  1 1 1 1 1 n S       1   Dự đoán: 1.2 2.3 n(n  1) n 1 n 1 n.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> NHÓM 3. Cho tổng: Bn 1.2  2.3  ...  n  n  1 với n  *. a. Tính B1, B2 , B3 b. Dự đoán công thức tính tổng Bn và chứng minh bằng quy nạp. PHÂN TÍCH. Bn 1.2  2.3  ...  n  n  1  3Bn 1.2.3  2.3.3  ...  n  n  1 .3 1.2.3 = 1.2.(3 -0) = 1.2.3 2.3.3 = 2.3. (4-1) = 2.3.4 - 1.2.3 3.4.3 = 3.4.(5-2) = 3.4.5 - 2.3.4 4.5.3 = 4.5.(6-3) = 4.5.6 - 3.4.5 5.6.3 = 5.6.(7- 4) = 5.6.7 - 4.5.6 ……………………………………… n.(n+1).3 = n.(n+1). [ (n+2) - (n-1) ] = n.(n+1).(n+2) – (n-1) n.(n+1). 3Bn n  n  1  n  2 .

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Nhãm 3: Chøng minh r»ng víi mäi n  *, ta lu«n cã n  n  1  n  2  1.2  2.3  ...  n  n  1   1 3 Gi¶i: 1.  1  1  1  2  1 . 1  1   Víi n 1 th× (1) trë thµnh    * 3 Ta có  *  2 2  Hiển nhiên đúng  . Vậy (1) đúng khi n 1.  Giả sử (1) đúng khi n k  k   * , nghĩa là k  k  1  k  2  1.2  2.3  ..Tõ .  klêi  1   k gi¶i  ** nªu cña bµi 3to¸n trªn, h·y ta sẽ chứng minh (1) đúng khigi¶i n cho k  1bµi , nghÜa c¸ch to¸nlµtæng qu¸t sau: k  1  k  2   k  3  1.2  2.3  ...  k  k  1"Chøng    k 1minh   k  2mÖnh   đề chứa biến 3 ThËt vËy, tõ (**) ta cã: A  n  đúng kvớik mọi  1  kn   2 * ".  1.2  2.3  ...  k  k  1   k  1  k  2     k  1  k  2  3  k   k  1  k  2   k  3  k  1  k  2    1  . 3 3   Vậy (1) đúng với mọi n   *.  Điều phải chứng minh .

<span class='text_page_counter'>(18)</span> NHÓM 2. Quan sát. 1  4 5. 1  4  7 12 1  4  7  10 22 n(3n  1). 1  4  7    (3n  2) . Dự đoán:.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> NHÓM 3. Bµi to¸n: Chøng minh r»ng víi mäi n  *, ta lu«n cã n  n  1  n  2  1.2  2.3  ...  n  n  1  3.  1. H1 a ) Hãy kiểm tra đẳng thức (1) khi n 1. b) Em có thể kiểm tra đẳng thức (1) với mọi giá trị nguyên d ơng cña n hay kh«ng?. Vậy làm thế nào để khẳng định đ ợc đẳng thức (1) đúng với mọi n   *? H·y chøng minh r»ng: "Nếu (1) đúng khi n k  k   * thì (1) cũng đúng khi n k  1"..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Bµi to¸n: Chøng minh r»ng víi mäi n  *, ta lu«n cã n  n  1  n  2  1.2  2.3  ...  n  n  1   1 3 NhVíi vËy, chứngđịnh: minh (1) đúng với mọi n  *, ta có thể làm nh sau: haiđểkhẳng 1) 1)Chøng minhkhi (1)nđúng (1) đúng 1. khi n 1  B»ng c¸ch kiÓm tra trùc tiÕp  . NÕu minh (1) đúng khiđịn n 2) 2)Chøng kh¼ng h:k  k   * thì (1) cũng đúng khi n k  1. Ta cã thÓ ® iîc (1) mäi   *đúng hay kh«ng? sao? " NÕu (1) suy đúngrakh n k  đúng k  víi * th× (1)ncòng khi n kV× 1". Kết luận: (1) đúng với mọi n   *..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Bµi to¸n: Chøng minh r»ng víi mäi n  *, ta lu«n cã 2 n 4 n  1  2 2 2 2 1  3  5  ...   2n  1   1 3 Gi¶i: 2 1.  4.1  1 2  Víi n 1 th× (1) trë thµnh 1   Hiển nhiên đúng  . 3 Vậy (1) đúng khi n 1.. Re.  Giả sử (1) đúng khi n k  k   * , nghĩa là 2 k 4 k  1  2 2 2 2 1  3  5  ...   2k  1   * 3 ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n k  1, nghĩa là 2   k  1 4 k  1  1     2 2   12  32  52  ...   2k  1   2k  1  3 ThËt vËy, tõ (*) ta cã: 2 k 4 k  1  2 2 2 2 2 2 1  3  5  ...   2k  1   2k 1    2k  1 3 2 2  3 2 k  1 4 k  1  1       4k  12k  11k  3  k  1  4k  8k  3      3 3 3  Vậy (1) đúng với mọi n   *.  Điều phải chứng minh .

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bµi to¸n: Chøng minh r»ng víi mäi n  *, ta lu«n cã 1  3  5  ...   2n  1 n 2.  1. Gi¶i: 2  Với n 1 thì (1) trở thành 1 1  Hiển nhiên đúng  .. Vậy (1) đúng khi n 1..  Giả sử (1) đúng khi n k  k   * , nghĩa là. 1  3  5  ...   2k  1 k 2.  *. ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n k  1, nghĩa là 1  3  5  ...   2k  1   2k  1  k  1. 2. ThËt vËy, tõ (*) ta cã: 1  3  5  ...   2k  1   2k  1 k 2   2k 1  k  1.  Vậy (1) đúng với mọi n   *.  Điều phải chứng minh . 2.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Thí dụ 1: (HD3) Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:. n(n  1) 1  2  3  ...  n  (1) 2 Lời giải: 1(1  1) VT(1) 1  VP(1) ,đẳng thức (1) đúng. +) Với n = 1, ta có 2 k (k  1) 1  2  3  ...  k  +) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 2. (GTQN) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: (k  1)[( k  1)  1] 1  2  3  ...  k  ( k  1)  (2) 2. Thật vậy:. VT (2) (1  2  3  ...  k )  ( k  1). k (k  1) (k  1)  (k  1)  1   (k  1)  VP (2) 2 2 Vậy với mọi nN*, ta có:. n(n  1) 1  2  3  ...  n  2. (1).

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Bn 1.2  2.3  ...  n  n  1 3Bn 1.2  3  0   2.3  4  1  ...  n  n  1   n  2    n  1  3Bn 1.2.3  1.2.3  2.3.4  ...  n  n  1  n  2    n  1 n  n  1.

<span class='text_page_counter'>(25)</span>