Ly thuyet va cac dang bai tap dai so 11 chuong 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương II : Tổ Hợp- Xác Suất. Thầy Đỗ Tiến Tuấn- Đồng Tháp. §1. Qui tắc đếm A-Kiến thức cơ bản và các ví dụ mở đầu 1. Hai qui tắc đếm cơ bản - Số phần tử của một tập hữu hạn A được kí hiệu là n(A), |A|. Ví dụ: - Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện. Quy tắc được phát biểu ở trên là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau. n(A ∪ B) = n(A) + n(B). Quy tắc trên có thể mở rộng cho nhiều hành động. - Qui tắc cộng mở rộng: Cho hai tập hợp hữu hạn bất kì A và B. Khi đó số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A ∩ B tức là : |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Ví dụ 1: Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến ? Ví dụ 2: Trong một trường THPT, khối 11 có : 160 học sinh tham gia câu lạc bộ Tin học, 140 học sinh tham gia câu lạc bộ ngoại ngữ. 50 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ và 100 học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ nêu trên. Hỏi khối 11 ở trường đó có bao nhiêu học sinh?. - Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. Quy tắc trên cũng có thể được mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp. Ví dụ 3: Từ các chứ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?. b) Có 4 chữ số khác nhau. Ví dụ 4: Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyển tiếng Anh khác nhau và 6 quyển tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhhiêu cách chọn: a) Ba quyển sách tiếng khác nhau. b) Hai quyển sách tiếng khác nhau. B- Các bài tập luyện tập Bài 1: Trong một lớp có 9 bạn nam và 20 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn : a) Một bạn lớp trưởng? b) Hai bạn, trong đó một nam và một nữ. Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 nếu : a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau ? b) Các chữ số của nó khác nhau ?. Bài 3: Một lớp có 40 học sinh, đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng kí môn bóng đá,25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao ?. Bài 4: Số 360 có bao nhiêu ước nguyên dương ? Bài 5: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau : a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.. SĐT 01643 839 519. Trang: 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chương II : Tổ Hợp- Xác Suất. Thầy Đỗ Tiến Tuấn- Đồng Tháp. §2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp A-Kiến thức cơ bản 1. Hoán vị - Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. - Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. - Số hoán vị của n phần tử được kí hiệu là Pn . Định lý : Pn = n(n − 1) . . . 2.1. Ta kí hiệu : n(n − 1) . . . 2.1 là n!. Ta có Pn = n!. - Qui ước: 0! = 1. 2. Chỉnh hợp - Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k (1 ≤ k ≤ n) phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. - Kí hiệu : số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn . - Định lý: Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1). n! , 1≤k≤n Chú ý: Akn = (n − k)! Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Do vậy Pn = Ann . 3. Tổ hợp - Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. - Qui ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. - Kí hiệu: Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n) Ak n! = n Định lý: Cnk = k!(n − k)! k! 0 - Chú ý Cn = 1. 4. Tính chất của Cnk - Tính chất 1: Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) - Tính chất 2: Công thức Pascal k−1 k Cn−1 + Cn−1 = Cnk B-Các dạng bài mẫu Dạng 1: Áp dụng vào các bài toán đếm Ví dụ 1: Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh để đi trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu : a) Chọn học sinh nào cũng được ? b) Trong 4 học sinh được chọn, có đúng một nữ sinh được chọn? c) Trong 4 học sinh được chọn có ít nhất một nữ sinh được chọn? Ví dụ 2: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giải thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. a) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể ? b) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể ? Ví dụ 3: Một tổ bộ môn của một trường có 10 giáo viên nàm và 15 giáo viên nữ. Có bao nhiêu cách thành lập một hội đồng gồm 6 ủy viên của tổ bộ môn trong đó số ủy viên nam ít hơn số ủy viên nữ? Ví dụ 4: Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ? Ví dụ 5: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên. SĐT 01643 839 519. Trang: 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chương II : Tổ Hợp- Xác Suất. Thầy Đỗ Tiến Tuấn- Đồng Tháp. a) Gồm 6 chữ số khác nhau. b) Gồm 4 chữ số. c) Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau d) Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là số tự nhiên chẵn. e) Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1. f) Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Đáp số : a) 6! b) 1296 c) 120 d) 180 e) 300 f) 480 Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức tổ hợp, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tổ hợp Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau : k+1 k = (k + 1)Cn+k a) nCn+k với k, n ∈ N∗ m−k k b) Cnm Cm = Cnk Cn−k với m, n, k ∈ N∗ , k ≤ m ≤ n. c). 1 1 1 1 + 2 + . . . + 2 + = 1 với n ∈ N, n ≥ 2 2 A2 A3 An n. Ví dụ 7: a) Cho Cnn−3 = 1140. Tính A = b) Tính B =. A6n + A5n . A4n. 1 1 1 Cn2 Cnn 1 + + . . . + biết C + 2 + . . . + n = 45 n A22 A23 A2n Cn1 Cnn−1. Ví dụ 8: Giải các phương trình : 7 a) Cx1 + Cx2 + Cx3 = x. 2 b) Cx2 .Cxx−2 + 2Cx2 .Cx3 + Cx3 Cxx−3 = 100 Ví dụ 9: Giải bất phương trình sau : a) Pn−1 .A4n+4 < 15Pn+2 . b). 6 1 2 A2x − A2x ≤ Cx3 + 10 2 x. ( 2Axy + 5Cyx = 90 Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : 5Axy − 2Cyx = 80. SĐT 01643 839 519. Trang: 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chương II : Tổ Hợp- Xác Suất. Thầy Đỗ Tiến Tuấn- Đồng Tháp. §3. Nhị thức Newton A- Kiến thức cơ bản 1. Công thức nhị thức Newton - (a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + . . . + Cnk an−k bk + . . . + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn . - Ví dụ: Khai triển (a + b)5 . - Nhận xét: • Số các hạng tử vế phải là n + 1 • Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n. • Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. - Hai hệ quả thường dùng : • a = b = 1, ta được 2n = Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn • a = 1, b = −1 ta được Cn0 − Cn1 + . . . + (−1)k Cnk + . . . + (−1)n Cnn = 0. 2. Tam giác Pascal B- Các dạng toán Dạng 1: Xác định hệ số của số hạng, số hạng chứa xm trong khai triển Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển của (1 − 2x)1 2 với các số hạng được sắp xếp theo thứ tự lũy thừa tăng dần của x. Ví dụ 2: Tìm hệ số của x7 trong khai triển của (3 − 2x)15 . Ví dụ 3: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của x(1 − 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 . 8 2 Ví dụ 4: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức [1 + x)] . x (1 −  n 2 biết Cnn−1 + Cnn−2 = 78 với x > 0. Ví dụ 5: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển của x3 − x Dạng 2: Các bài toán liên quan đến tính tổng, chứng minh đẳng thức Ví dụ 6: Tìm số nguyên dương n sao cho : Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + . . . + 2n Cnn = 243. 1 1 1 1 (−1)n n Ví dụ 7: Tính tổng S = Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + . . . + C . 2 4 6 8 2(n + 1) n Ví dụ 8: Chứng minh các đẳng thức sau : k 1 k 0 0 với m, n ∈ N, 0 ≤ k ≤ min{m, n} Cnk−1 + . . . + Cm Cn = Cm+n a) Cm Cnk + Cm 2n−1 0 2 2n 1 3 b) C2n + C2n + . . . + C2n = C2n + C2n + . . . + C2n . k−1 0 + . . . + Cnk Cn−k = 2k Cnk . c) Cn0 Cnk + Cn1 Cn−1. SĐT 01643 839 519. Trang: 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chương II : Tổ Hợp- Xác Suất. Thầy Đỗ Tiến Tuấn- Đồng Tháp. §4. Phép thử, biến cố và xác suất của biến cố A-Kiến thức cơ bản 1. Phép thử , không gian mẫu - Phép thử được hiểu là một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó. . . - Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Ta gọi tắt là phép thử. - Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω. - Các ví dụ về không gian mẫu : gieo một đồng xu, một xúc xắc, hai đồng xu, hai súc sắc. 2. Biến cố(sự kiện) - Định nghĩa: Biến cố là tập con của không gian mẫu. - Người ta kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa A, B, C, . . .. - Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). - Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn. 3. Các phép toán trên biến cố - Tập Ω \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A. - Tập A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B. Nó xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra. - Tập A ∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B.Nó xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra. Kí hiệu là A.B - Nếu A ∩ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc. A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra. 4. Xác suất của biến cố - Xác suất của biến cố A là một số được kí hiệu là P (A) đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố A. - Định nghĩa: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số n(A) là xác suất của biến cố A. Kí hiệu là P (A) hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số n(Ω) P (A) =. n(A) n(Ω). - Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số kết quả thuận lợi của biến cố A, n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. 5. Tính chất của xác suất, biến cố độc lập - Định lý: a) P (∅) = 0, P (Ω) = 1 b) 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A. c) Nếu A và B xung khắc thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (cộng thức cộng xác suất) - Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có P (A) = 1 − P (A). - Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của một biến cố khác thì ta nói hai biến cố đó độc lập. - Với hai biến cố bất kì ta có : A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P (A.B) = P (A).P (B). B-Các dạng bài tập Dạng 1: Xác định không gian mẫu và biến cố Ví dụ 1: Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của : a) Không gian mẫu. SĐT 01643 839 519. Trang: 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chương II : Tổ Hợp- Xác Suất. Thầy Đỗ Tiến Tuấn- Đồng Tháp. b) Các biến cố : A : "4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng " B : "4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ " C : "4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu " Ví dụ 2: Xét phép thử tung con súc sắc 6 mặt hai lần. Tính số phần tử của : a) Không gian mẫu. b) Các biến cố : A: "số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau". B: "Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần tung chia hết cho 3". C: "Số chấm xuất hiện ở lần một lớn hơn số chấm xuất hiện ở lần hai". Ví dụ 3: Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lẫy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của : a) Không gian mẫu. b) Các biến cố : A: "số ghi trên các tấm thẻ được chọn là số chẵn". B: "có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3" Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Ví dụ 4: Bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác suất của các biến cố : A: "Rút ra được tứ quý K" B: "4 quân bài rút ra có ít nhất một con át" C: "4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích" Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên : 1, 2, 3, 4, . . . 80. 1) Tính xác suất của biến cố A: "trong 3 số đó có và chỉ có 2 số là bội của 5". 2) Tính xác suất của biến cố B: "trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương". Dạng 3: Các quy tắc tính xác suất - Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) - A và B độc lập ⇔ A và B độc lập ⇔ B và A độc lập ⇔ A và B độc lập. - P (A ∩ B) = P (A ∪ B); P (A ∪ B) = P (A ∩ B) Ví dụ 6: Một lớp có 60 học sinh viên trong đó 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các biến cố sau : a) A: "Sinh viên được chọn học tiếng Anh" b) B: "Sinh viên được chọn học tiếng Pháp" c) C: "Sinh viên được chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp" d) D: "Sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp". Ví dụ 7: Một hộp đựng 40 viên bi trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi, tính xác suất biến cố : " 2 viên bi cùng màu". Ví dụ 8: Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho tổng số chấm hai lần gieo là số chẵn. Ví dụ 9: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51. Tính xác suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất một con trai. SĐT 01643 839 519. Trang: 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>