SKKN rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải bài tập tốn học có vai trị quan trọng trong mơn tốn, học sinh phải
thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định
nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngơn ngữ.
Việc giải một bài tốn là một q trình mị mẫm, tìm tịi dựa trên hiểu biết
của người giải tốn. Có người phải mị mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cách
khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí
quyết cho kỹ năng giải tốn nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như
thế nào? Những con đường mà người giải tốn có thể trải qua để đi đến các lời
giải thoả đáng là gì?
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo
hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập trong hoạt động và
bằng hoạt động". Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu của
việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Trong chương trình mơn tốn,hệ phương trình được đưa vào từ cấp 2 và
xun suốt trong chương trình mơn tốn trường phổ thơng. Nó có vai trị quan
trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức tốn học có liên quan.
Trong chương trình tốn THPT,hệ phương trình được thể hiện dưới các
hình thức chủ yếu: Các hệ phương trình thơng thường, các hệ phương trình vơ tỷ
chứa các hàm lượng giác, các hệ phương trình chứa hàm lơgarit. Việc giải thành
thạo các hệ phương trình thể hiện khả năng lựa chọn công cụ, sự linh hoạt và
sáng tạo trong suy luận và phân tích bài tốn.
Mặt khác, thực trạng hiện nay là kỹ năng giải toán của học sinh đang còn
yếu, các em học một cách thụ động, lười suy nghĩ, bắt chước nhiều hơn là sáng
tạo, tư duy logic của các em chưa được rèn dũa, chưa biết tìm tòi, khai thác giả
thiết, xâu chuỗi kiến thức để đi đến tìm hướng giải bài tốn,...
1

Từ những lý do đã nói trên, với mong muốn góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học mơn tốn, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: "Rèn luyện kỹ năng
giải tốn cho học sinh thơng qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ
phương trình"

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học
sinh trên cơ sở trình bày các phương pháp giải hệ phương trình, nhằm góp phần
nâng cao hiệu quả của việc dạy và học mơn tốn.
- Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh.
- Xây dựng các phương pháp giải hệ phương trình theo hướng rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh.
- Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phương
pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán. Nghiên
cứu sách giáo khoa, sách tham khảo về hệ phương trình, để thấy được vị trí
và tầm quan trọng của hệ phương trình, cũng như những vấn đề về nội dung
và phương pháp giảng dạy hệ phương trình.
2. Điều tra quan sát:
+ Thực tiễn dạy học giải hệ phương trình ở trường THPT
+ Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải hệ phương trình.

B. NỘI DUNG
2

Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm,
cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực chất của sự
hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp
các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học
sinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tịi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái qt để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mơ hình khái qt và các kiến
thức tương ứng.
Chúng ta khơng thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Ngay
cả đối với những lớp bài tốn riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp
khơng có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy
nghĩ tìm tịi, phát hiện cách giải bài tốn lại là có thể và cần thiết.
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài tốn:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài. Đây là
một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài tốn.
Bước 2: Tìm cách giải. Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ
có tính chất tìm đốn: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài
tốn hay liên hệ các giả thiết...
Bước 3: Trình bày cách giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các
việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định
và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải. Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả
của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề, từ đó sáng tạo ra bài tốn mới
3

Sau đây tác giả xin giới thiệu một số phương pháp giải Hệ phương trình
I.PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1.Kỹ thuật biến đổi tương đương
Nội dung: Biến đổi tương đương hệ đã cho, biến đổi rút ra một phương trình
trong hệ là phương trình tích
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

Giải: Biến đổi phương trình (2) ta có:
<=>
<=>
<=>
<=> xy = 1 hoặc x2 + y2

2=0

• Với xy = 1 thay vào (1) ta được:
<=>
<=>
<=> x=y ( do xy = 1 nên y

)

<=> x = y = 1 hoặc x = y = -1
• Với x2 + y2

2 = 0 <=> x2 + y2 = 2, thay vào (1) ta được:

<=>

<=>

4


<=> x = 2y hoặc x = y thay vào hệ phương trình ta được các

nghiệm (x;y) của hệ là: (1;1), (-1;-1),

,

.

2.Kỹ thuật cộng đại số
Nội dung: + Đôi khi việc giải hệ phương trình, đơn giản nhất chỉ là cộng hoặc
trừ theo vế hai phương trình.
+ Hoặc nhân vào hai vế của một phương trình với một biểu thức rồi
cộng vào phương trình cịn lại.
+ Các cách trên sẽ đưa về một phương trình tích hoặc hằng đẳng
thức, từ đó tìm được mối liên hệ giữa x và y.
+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế
của hệ, hoặc cộng 2 vế của hệ sẽ được nhân tử chung( áp dụng cho hệ đối xứng
loại 2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Giải: Từ 2 phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu x, y
Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được:
<=>
<=>
• Nếu

hoặc
, khi đó ta được hệ:

<=>

5


• Nếu

,

Từ x

khi

đó

ta

có

hệ:

suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có

nghiệm
. Do đó
là nghiệm duy nhất của hệ này.

Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Giải: Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được:

<=>
<=>
<=>
<=>

hoặc

- Với

thay vào (2) ta được:

phương trình này vơ

nghiệm.
- Với

y=

thay vào (2) ta được:

<=>

.

6

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x;y) là:

,

.
Nhận xét: Ở ví dụ 3, nếu giải thơng thường bằng cách rút y từ phương trình
(2) thế vào phương trình (1) thì ta sẽ thu được một phương trình bậc 4 khơng đặc
biệt, giải khó khăn hơn. Vì vậy việc đưa về phương tích là hợp lý và nó khẳng
định tính hiệu quả của phương pháp này đối với các hệ có dạng tương tự.
3.Kỹ thuật nhân, chia 2 vế với cùng một biểu thức hoặc nhân, chia 2 vế của 2
phương trình với nhau
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Giải: Nhận xét: x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Với x

0 và y

Ta xét x > 0 và y
cho

hoặc x

và y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình

: Chia 2 vế của (1) cho

và chia 2 vế của (2)

ta được:

<=>

Nhân theo vế các phương trình (3), (4) ta được:
<=>
<=>
<=>

<=>

7


thay vào (4) ta được

=>

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), ( ;

).

4.Kỹ thuật thế
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Giải: Nhận thấy

, khơng là nghiệm của hệ, xét

khi đó rút

từ (1) thế vào (2), ta được:

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ có 3 nghiệm (x;y) là: (0; ), (

; 0).

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:

Giải: Thay

từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được:
<=>

<=>

8


• Với

<=>

khi đó hệ trở thành

Hệ này vơ nghiệm
• Với

khi đó hệ trở thành

<=>

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = ( -2;-1).
II.PHƯƠNG PH ÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Áp dụng cho hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ
1.Kỹ thuật giải hệ đối xứng loại 1
Hệ có chứa các biểu thức: xy, x+y
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:

Giải: Đặt S =

,P=

. Khi đó hệ trở thành:

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là: (2;0), (0;2).

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:

Giải: Đặt

,

. Khi đó hệ trở thành:

9


Đặt S =

,P=

<=>

, khi đó hệ trên trở thành:

<=>

<=>

<=>
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (64;8), (8; 64).
2. Kỹ thuật giải hệ đẳng cấp bậc hai
Nội dung: Xét xem hệ phương trình có nghiệm
Xét

hay khơng.

khi đó đặt

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:

Giải: Nhận thấy

là một nghiệm của hệ. Xét

hệ trở thành

, đặt

khi đó

<=>

Từ đó suy ra

<=>

<=>

• Với

=>

<=>

• Với

=>

<=>
10


Vậy hệ có 5 nghiệm (x;y) là: (0;0),

,

3. Kỹ thuật biến đổi và đặt ẩn phụ
Thường thì đề thi đại học cho hệ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ nhưng ta
khơng thể thấy ngay được nên đặt cái gì. Vì vậy phải biến đổi như nhân hoặc
chia với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như x, y, x 2, x3, xy, ...) sau đó
mới đặt ẩn phụ được.
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:

Giải: Nhận xét:

là nghiệm của phương trình

Với
Xét

khơng thỏa mãn hệ phương trình.
: Chia 2 vế của (1) cho x và chia 2 vế của (2) cho

ta được:

<=>

Đặt

;

. Ta có hệ phương trình:

<=>

• Với

<=>

<=>

<=>

11


• Với

<=>

<=>

<=>

<=>
• Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1).

Ví dụ 11: Giải hệ phương trình:
Giải:
Điều kiện:
Với điều kiện trên, hệ phương trình tương đương với:

Đặt

. Khi đó ta có hệ phương trình:

<=>

• Với

<=>

• Với

<=>

<=>

<=>

12


Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x;y) là: (2;1), (

;

)

III.PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1.Kỹ thuật dùng tính đơn điệu của hàm số
Nội dung: Biến đổi một phương trình của hệ thành
Nếu chứng minh được hàm số

.

đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên miền

xác định của hệ thì phương trình

tương đương với

lúc này

ta thế ngược lại hệ đã cho.

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:

Giải: Điều kiện:
Đặt

, khi đó phương trình (1) trở thành:

Xét hàm số

trên miền xác định, ta có

đơn điệu trên miền xác định. Do đó
<=>

nên

<=>

.

Thay vào phương trình (2) ta suy ra
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

,

.
.

Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:

Giải: Điều kiện:
Phương trình (2) tương đương với:

(3)
13


Xét hàm số

Do đó hàm số

trên miền xác định có
ln đồng biến. Từ (3) suy ra

hay

thay

vào phương trình (1) ta được phương trình:
( với
*Xét

)

ta có:

<=>
<=>
<=>
Do
*Xét

với mọi
ta có:

<=>
<=>
<=>
Do

với mọi

• Với
• Với
Vậy hệ có 2 nghiệm
2. Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ 14: Giải hệ phương trình:
14


Giải:
Coi (2) là phương trình bậc 2 với ẩn là x thì điều kiện để phương trình này có
nghiệm là

<=>

.

Cũng coi (2) là phương trình bậc hai với ẩn là y thì điều kiện để phương trình
này có nghiệm là

<=>

Nhận thấy

.

, không là nghiệm của hệ. Ta chia 2 vế của (1) cho xy

=>

<=>

Ta có:

=>

( Với

)

đồng biến

=>
Vậy

Thay vào (2) thấy thỏa mãn.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 2; 1).
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:
Giải: Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có:
<=>

=>

Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra

. Vậy

.
.

Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được:
(*)
Xét phương trình (*):
i).Với

thì

=>
15


=>

, từ đó suy ra

ii).Với
=>
iii).Với

=>

, hệ vơ nghiệm.
=>

, từ đó suy ra
=>

, hệ vơ nghiệm.

.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 1; 1).
3. Kỹ thuật sử dụng BĐT cổ điển.
Nội dung: Thông thường ta hay sử dụng các BĐT thông dụng như BĐT
Cauchy, Bunhiacopski...để đánh giá hai vế của một PT. Từ đó sử dụng điều
kiện xảy ra dấu bằng của các BĐT thức để tìm nghiệm của PT.

Ví dụ 16: Giải hệ phương trình:
Giải:
Điều kiện:

Với điều kiện trên hệ tương đương với:

<=>

<=>

Từ đây suy ra
Ta có:
.

16


Từ đó suy ra:

16

<=>
<=>
Thử lại thấy

thỏa mãn phương trình trên.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) =

.

IV.KIỂM CHỨNG SƯ PHẠM
1. Mục đích kiểm chứng sư phạm
-Vận dụng phương pháp tìm lời giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh thông qua hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình.
-Kiểm nghiệm tính hiệu quả của việc sử dụng các ví dụ trong các phương
pháp giải hệ phương trình nhằm rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh.
2. Nội dung kiểm chứng sư phạm
Kiểm chứng sư phạm tiến hành trong khoảng thời gian giảng dạy môn toán
lớp 12 trường THPT Hậu Lộc 1 năm học 2012-2013.
3. Tổ chức kiểm chứng sư phạm
* Tác giả chọn đối tượng kiểm chứng là lớp 12A1 với 44 học sinh và lớp
đối chứng là 12A4 với 39 học sinh. Qua điều tra thì thấy trình độ 2 lớp này là
tương đương.
* Tác giả dựa vào các khâu "Rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh
thơng qua hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình", soạn giáo án kiểm
chứng và trực tiếp dạy kiểm chứng sư phạm.
* Cho học sinh lớp dạy kiểm chứng sư phạm và lớp đối chứng làm bài
kiểm tra cùng đề. Chấm bài kiểm tra, thống kê điểm làm cơ sở để đánh giá.

4. Đánh giá kết quả kiểm chứng sư phạm

4.1. Kết quả định tính
17


Qua các giờ kiểm chứng cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các phương
pháp giải hệ phương trình mà giáo viên đã trình bày. Trong tiết học khơng khí
học tập sôi nổi và hào hứng.
4.2. Kết quả định lượng

Sau thời gian thực hiện các giờ dạy kiểm chứng, cho hai lớp làm bài
kiểm tra sau đây với thời gian 1 tiết:
Câu 1: Giải hệ phương trình:

Câu 2: Giải hệ phương trình:

Câu 3: Giải hệ phương trình:
Nhận xét cách làm bài của học sinh:
+ Lớp đối chứng có 25 học sinh mắc sai lầm khi sử dụng phép biến đổi
tương đương để biến đổi phương trình thứ nhất của hệ thành phương trình tích
ở câu 1. Lớp kiểm chứng có 8 học sinh mắc sai lầm này
+ Câu 2, phần lớn học sinh hai lớp làm đúng
+Lớp đối chứng có 2 học sinh làm đúng câu 3, lớp kiểm chứng có 10
học sinh làm đúng câu này.
Bảng thống kê và tỷ lệ % (yếu- kém, trung bình, khá- giỏi) thu được sau khi
chấm bài kiểm tra
Bảng 1: Thống kê điểm bài kiểm tra.
Điểm
1 2 3 4 5 6

7
8
9 10 số bài
Lớp kiểm chứng 12A1
2 2 6 8
11 10 3 2 44
Lớp đối chứng 12A4
1 4 5 7 11 6
4
1
39
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp kiểm chứng: X = 6,73
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp đối chứng: Y = 5,59
Bảng 2: Thống kê tỷ lệ % (yếu - kém, trung bình, khá - giỏi)
18


Xếp loại(điểm )
Lớp kiểm chứng 12A1
Lớp đối chứng 12A4

Yếu - kém
9,1% (4 bài )
25,6 %(10 bài )

Trung bình
31,8 %(14 bài)
46,2%(18 bài )

Khá -giỏi

59,1%(26 bài )
28,2 %(11 bài )

Qua đó cho thấy chất lượng làm bài kiểm tra của lớp kiểm chứng cao
hơn so với lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rèn luyện kỹ năng giải bài tập
toán cho học sinh là bước quan trọng và cần thiết.

19


C. KẾT LUẬN
Nội dung Đề tài "Rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh thơng qua
việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình ". Qua quá trình
nghiên cứu, từ những kết quả thu được tơi có thể kết luận.
1. Đề tài đã góp phần làm sáng tỏ nội dung: "Rèn luyện kỹ năng giải toán
cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán"
2. Đề tài đã xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải hệ
phương trình và lớp các ví dụ minh hoạ cho từng phương pháp theo hướng rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
3. Những nghiên cứu lý luận và thực tiễn đã chứng tỏ rằng giả thuyết khoa
học của Đề tài là chấp nhận được.

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Thanh Hố, tháng 5 năm 2013
Tơi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết khơng sao chép
nội dung của người khác
Người viết

Trần Thị Hiếu

20


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004.
[2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXBGD,
1995.
[3] Phạm Văn Điều (Chủ biên), Phan Đức Chính, Đỗ Văn Hà, Phan Văn Hạp,
Phạm Văn Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê
Đình Thịnh, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, Tập III,
NXBĐHQGHN, 2000.
[3] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số 10, NXĐHQGHN,
1997.
[4] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXBĐHSP, 2003
[5] G.Polia, Giải bài tốn như thế nào, NXBGD, 1997.
[6] Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa
tuổi và tâm lý học sư phạm, Hà Nội, 1995.

21