Đề cương HK1 toán 8 đáp án chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 31 trang )
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I
TỐN 8 – 2019-2020
THCS DỊCH VỌNG HẬU
Bài 1.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
1) 6 x 2 y 4 15 xy 2
2) x 2 y 2 z xy 2 z 2 x 2 yz 2
4) 3 x x a 5a ( a x )
5) 4 x ( y x) 7 y x y y 2 y x
6) y 2 x 2 y zx 2 zy 2
7) x 3 8 6 x x 2
8) 5 x 4 49 x 2
9) x 2 2 xy y 2 xz yz
10) 3 9 x 9 x 2 3 x 3
11) x 4 x 3 x 2 1
12) x 3 3 x 2 3 x 1 27 z 3
13) x x 1 x x 5 5 x 1
14) x 2 3 x 2
15) 3 x 2 9 x 30
16) x 2 5 x 14
17) x 2 4 xy 21y 2
18) x 2 2 xy 15 y 2
19) x 2 yz 5xyz 14 yz
20) x y 4 x y 12
21*) x 1 x 2 x 7 x 8 8
22*) x6 y 6
23*) x 5 x 4 1
2
Bài 2.
3) 2 x2 8xy 8 y 2
2
2
2
Tìm x , biết:
1. 4 x 2 9 0
2. 2 x x 3 5 x 3 0
3. 3x x 1 x 1 0
4. 2 x 3 x 2 3x 0
5. x 2 x 9 4 x 18 0
6. 4 5 2 x 16 0
7. 3 x 3 4 x 2 12 x 16 0
8. x 3 4 x 2 8 x 32 0
9. x3 27 x 3 x 9 0
10. x 2 10 x 16 0
11. 2 x 2 3 x 1 x 1 5 x x 1
12. x 3 x 3 x 2 x 5 0
2
Bài 3. Tính giá trị biểu thức sau :
a) Cho x y 7 . Tính giá trị của biểu thức A x x 2 y y 2 2 xy 37
b) Cho x y 9 ; xy 14 . Tính giá trị biểu thức B x 2 y 2 và C x3 y 3
c) Cho x y 3 và x 2 y 2 5 . Tính D x3 y 3
d) Biết x 3 x 6 . Tính giá trị của biểu thức A x 6 2 x 4 x 3 x 2 x
e) Cho các số x , y thỏa mãn đẳng thức 5 x 2 5 y 2 8xy 2 x 2 y 2 0
Tính giá trị của biểu thức M x y
2015
x 2
f) Cho x 2 4 x 1 0 . Tính giá trị biểu thức A
2016
y 1
x4 x2 1
x2
2017
Bài 4: Chứng tỏ :
a) a2 2a 5 0, a
b) 6b b2 10 0 , b
Bài 5:
1) Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A x2 2x 3
b) B x 5 x 1 9
c) C x2 y 2 4 x 5 y 7
d) D 4 x2 y 2 2 xy 6 x 5
e) E 4x5 2x 4 4x 3 x 1 : 2x3 x 1 (bỏ)
f) F
2x2 2x 1
x2 2x 1
, khi x 1
2) Tìm GTLN của các biểu thức:
a) 4 x x2
b) 6x x2 1
d) 5 x2 2 x 4 y 2 4 y
e)
c) (1 3x)( x 2)
2017
2
x 6 x 10
Bài 6. Làm tính chia
1) Làm tính chia
a) ( x3 6 x 2 2 x 3) : ( x 2 5 x 3).
b) 2 x 3 x 2 5 x 2 : x 2 x 2 .
c) x 2 4 x 10 : x 2 .
d) 27 x 3 8 : 3 x 2 .
e) x 3 4 x 2 x 6 : x 1 .
f) x 4 2 x 2 1 : 1 x 2 .
2) Tìm giá trị của m và n để:
a) A x 3 x 2 11x m chia hết cho B x 3.
b) A 2 x 4 3 x 3 3 x 2 mx n chia hết cho B x 2 1.
c) 3 x 2 mx n chia cho x 5 dư 27.
d) x 3 mx n chia cho x 1 dư 7, chia cho x 3 dư 5.
3) Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức A x chia hết cho giá trị của đa thức B x :
a) A x 6 x 3 15 x 2 4 x 7 và B x 2 x 5
b) A x x3 2 x 2 3 x 50 và B x x 3
Bài 6.
Cho biểu thức P
1
3
18
.
x 3 x 3 9 x2
a) Rút gọn P ;
b) Tìm x để P
1
;
2
c) Tính giá trị của P biết x thỏa mãn x 1 2 .
Bài 7.
Cho biểu thức: A
x2
x
2
.
2
x 4 x2 x2
a) Rút gọn A ;
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 .
c) Tìm x để A .
x2 2
x
1 x 1
Bài 8: Cho biểu thức A 3
2
:
x 1 x x 1 1 x 2
a) Rút gọn A
b) Tính x nếu A 2
c*) Với giá trị nào của x thì A ở dạng rút gọn có giá trị lớn nhất? Tính giá trị lớn nhất đó?
x3 1 x2 1
x
Bài 9: Cho biểu thức A 2
:x
x 1
x 1 x 1
a) Tìm ĐKXĐ của A và rút gọn A
b) Tìm x để A 3
c) Tìm x để A .
PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm thuộc cạnh BC, từ M vẽ các đường vng
góc với cạnh AB ở D và vng góc với cạnh AC ở E.
a) CM: AM = DE;
b) Gọi I là điểm đối xứng của D qua A và K là điểm đối xứng của E qua M. CM: Tứ giác DIEK là
hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn IK, DE, AM đồng quy.
c) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. CM: góc DHE bằng 90o
d) Khi M là trung điểm của BC. CM: DHME là hình thang cân
e) Tìm vị trí của M trên BC để tứ giác ADME là hình vng
f) Tìm vị trí của M trên BC để tứ giác DIEK là hình thoi
g) Khi M trùng với H, chứng minh DE vng góc với AN với N là trung điểm của BC
h) Khi M di chuyển trên BC thì trung điểm cạnh AM di chuyển trên đường nào?
Bài 2.
Cho hình bình hành ABCD , các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Gọi M , N là trung điểm
của BC và AD . Các đoạn thẳng BM , DN cắt đường chéo AC lần lượt tại E và F .
a) CM. tứ giác BMDN là hình binh hành
b) CM: AE EF CF
c) CM. MF // NE
d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác MENF là hình chữ nhật.
Bài 3. Cho hình chữ nhật MNPQ có tâm I . Gọi K là trung điểm của IN . Vẽ điểm A đối xứng với
điểm M qua điểm K .
a) Chứng minh: Tứ giác APQN là hình thang.
b) Chứng minh: Tứ giác APIN là hình thoi.
c) Gọi H là hình chiếu của A trên PQ . Chứng minh: Ba đường thẳng NP, AI , KH đồng quy.
d) Nếu E di động trên đoạn IN , khi đó trung điểm O của đoạn ME di động trên đoạn nào?
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn. Đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Lấy điểm
K đối xứng với điểm H qua BC.
a) Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình thoi.
b) Đường thẳng qua K song song với BC cắt đường thẳng qua C song song với AH tại I. Chứng
minh: DI = HC
c) Chứng minh: Tứ giác HDIC là hình bình hành.
d) Tia ID cắt BH tại M. Chứng minh: M là trung điểm của BH.
e) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HCIM là hình thang cân.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC), đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi D, E theo
thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Kẻ MK AB K AB . Giao điểm của AM và HE
là N.
a. Tứ giác AEHD là hình gì?
b. Lấy P đối xứng với H qua AB, Q đối xứng với H qua AC. Chứng minh BCDQ là hình
thang vng.
c. Chứng minh: AM DE và BN // DE
d. Chứng minh: AH, BN, MK đồng quy
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. D và E lần lượt là chân đường vng góc hạ
từ H xuống AB và AC
a) Chứng minh: DE=AH
b) M, N lần lượt là trung điểm của HB,HC. Chứng minh: DMNE là hình thang vng
c) Cho BH= 4cm, HC= 9cm, AH= 6cm. Tính diện tích hình thang DMNE
Bài 7: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 4 cm. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm
E, F, G, H sao cho AE = BF = CG =DH = 1cm.
a. Tứ giác EFGH là hình gì?
b. Tính diện tích EFGH
Xác định vị trí 4 điểm E, F, G, H sao cho( AE = BF = CG =DH) để SEFGH nhỏ nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
1) 6 x 2 y 4 15 xy 2
2) x 2 y 2 z xy 2 z 2 x 2 yz 2
4) 3 x x a 5a ( a x )
5) 4 x ( y x) 7 y x y y 2 y x
3) 2 x2 8 xy 8 y 2
6) y 2 x 2 y zx 2 zy 2
7) x 3 8 6 x x 2
8) 5 x 4 49 x 2
9) x 2 2 xy y 2 xz yz
10) 3 9 x 9 x 2 3 x3
11) x 4 x 3 x 2 1
12) x 3 3 x 2 3 x 1 27 z 3
13) x x 1 x x 5 5 x 1
14) x 2 3 x 2
15) 3 x 2 9 x 30
16) x 2 5 x 14
17) x 2 4 xy 21y 2
18) x 2 2 xy 15 y 2
19) x 2 yz 5xyz 14 yz
20) x y 4 x y 12
21*) x 1 x 2 x 7 x 8 8
22*) x6 y 6
23*) x 5 x 4 1
2
2
2
2
Lời giải
1) 6 x 2 y 4 15 xy 2 3 xy 2 2 xy 2 5
2) x 2 y 2 z xy 2 z 2 x 2 yz 2 xyz xy yz zx
3) 2 x 2 8 xy 8 y 2 2 x 2 4 xy 4 y 2 2 x 2 y
2
4) 3 x x a 5a ( a x ) 3 x x a 5a ( x a ) x a 3 x 5a
5) 4 x ( y x ) 7 y x y y 2 y x
x y zx zy y x y z x y x y y z
8 6 x x 2 x 2 x 2 x 4 6 x x 2 x 2 x
4 x( y x) 7 y y x y 2 y x y x 4 x 7 y y 2
6) y 2
7) x 3
2
2
2
2
2
2
2
8) 5 x 4 49 x 2 5 x 4 7 x
2
2
2
2
8x 4
2
5 x 4 7 x 5 x 4 7 x 2 x 4 12 x 4
9) x 2 2 xy y 2 xz yz x 2 2 xy y 2 xz yz
x y z x y x y x y z
2
10) 3 9 x 9 x 2 3 x 3 3 1 3x 3x 2 x3
3 1 x
3
11) x 4 x 3 x 2 1 x 4 x3 x 2 1 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x3 x 1
12) x 3 3 x 2 3 x 1 27 z 3
x 3 3 x 2 3 x 1 3 x
3
2
2
3
3
x 1 3x x 1 3x x 1 3x x 1 3x
2 x 1 x 2 2 x 1 3x 2 3x 9 x 2 2 x 1 13x 2 5 x 1
13) x x 1 x x 5 5 x 1
2
2
2
2
x x 1 5 x 1 x x 5
2
2
x 1 x 5 x x 5 x 5 x 1 x x 5 x 2 3x 1
14) x 2 3 x 2 x 2 2 x x 2 x x 2 x 2 x 2 x 1
15) 3 x 2 9 x 30 3 x 2 3 x 10
2
3 49
3 9 49
2
3 x 2 x. 3 x
2
4
2 4 4
3 7
3 7
3 x x 3 x 5 x 2
2 2
2 2
16) x 2 5 x 14 x 2 7 x 2 x 14
x x 7 2 x 7 x 7 x 2
17) x 2 4 xy 21y 2
x 2 4 xy 4 y 2 25 y 2 x 2 y 5 y
2
2
x 2 y 5 y x 2 y 5 y x 3 y x 7 y
18) x 2 2 xy 15 y 2 x 2 2 xy y 2 16 y 2
x y 4 y x y 4 y x y 4 y x 5 y x 3 y
2
2
19) x 2 yz 5xyz 14 yz yz x 2 5x 14
yz x 2 7 x 2 x 14 yz x x 7 2 x 7 yz x 2 x 7
20) x y 4 x y 12
2
x y 4 x y 4 16
2
x y 2 42
2
x y 2 4 x y 2 4
x y 2 x y 6
21*) x 1 x 2 x 7 x 8 8
x 1 x 7 x 2 x 8 8
x 2 6 x 7 x 2 6 x 16 8
Đặt t x 2 6 x 7 ta có biểu thức
t t 9 8 t 2 9t 8 t 2 8t t 8 t t 8 t 8 t 8 t 1
Khi đó: x 1 x 2 x 7 x 8 8
x 2 6 x 7 8 x 2 6 x 7 1 x 2 6 x 15 x 2 6 x 8
22*) x6 y 6 x 2 y 2 x 2 y 2 x 4 x 2 y 2 y 4
3
3
23*) x 5 x 4 1
x5 x 4 x 2 x 2 1
x 5 x 2 x 4 x 2 1
x 2 x3 1 x 4 2 x 2 1 x 2
x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1 x 2
2
x 3 x x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1
x 2 x 1 x 3 x 2 2 x 1
Bài 2.
Tìm x , biết:
1. 4 x 2 9 0
2. 2 x x 3 5 x 3 0
3. 3x x 1 x 1 0
4. 2 x 3 x 2 3x 0
5. x 2 x 9 4 x 18 0
6. 4 5 2 x 16 0
7. 3 x 3 4 x 2 12 x 16 0
8. x 3 4 x 2 8 x 32 0
9. x3 27 x 3 x 9 0
10. x 2 10 x 16 0
11. 2 x 2 3 x 1 x 1 5 x x 1
12. x 3 x 3 x 2 x 5 0
2
Lời giải
x
2
x
3
0
2
2
2
1. 4 x 9 0 2 x 3 0 2 x 3 2 x 3 0
2 x 3 0
x
3 3
Vậy x ;
2 2
x 3
x 3 0
2. 2 x x 3 5 x 3 0 x 3 2 x 5 0
5
x
2x 5 0
2
5
Vậy x 3;
2
x 1
x 1 0
3. 3x x 1 x 1 0 x 1 3x 1 0
1
x
3x 1 0
3
1
Vậy x 1;
3
3
2
3
2
4. 2 x 3 x 2 3 x 0
x 3 0
x 3
2 x 3 x x 3 0 x 3 2 x 0
2 x 0
x 2
Vậy x 3; 2
5. x 2 x 9 4 x 18 0
2 x 9 0
x 4,5
x 2 x 9 2 2 x 9 0 2 x 9 x 2 0
x 2 0
x 2
Vậy x 4,5; 2
6. 4 5 2 x 16 0
2
2
4 5 2 x 4 0 4 5 2 x 2 5 2 x 2 0
3
x 2
3 2 x 0
4 3 2 x 7 2 x 0
7 2 x 0
x 7
2
3 7
Vậy x ;
2 2
7. 3 x 3 4 x 2 12 x 16 0
x 2 3x 4 4 3x 4 0
3x 4 x 2 4 0
3 x 4 x 2 x 2 0
4
x
3 x 4 0
3
x 2 0 x 2
x 2
x 2 0
4
Vậy x ; 2; 2
3
8. x 3 4 x 2 8 x 32 0
x2 x 4 8 x 4 0
x 4 x2 8 0
x 4 0
x 4
2
2
x 8 0
x 8(loai)
Vậy x 4
9. x3 27 x 3 x 9 0
x3 33 x 3 x 9 0
x 3 x 2 3 x 9 x 3 x 9 0
x 3 x 2 3 x 9 x 9 0
x 3 0
x 3
x 0
x 3 x 2 x 0 x 3 x x 2 0 x 0
x 2 0
x 2
2
Vậy x 3;0; 2
10. x 2 10 x 16 0 x 2 2 x 8 x 16 0
x 2 0
x 2
x x 2 8 x 2 0 x 2 x 8 0
x 8 0
x 8
Vậy x 2;8
11. 2 x 2 3 x 1 x 1 5 x x 1 2 x 2 3 x 1 x 1 5 x x 1 0
2 x 2 x 1 3 x 1 5 x 0 2 x 2 x 1 2 x 3 0
2 x 2 2 x 2 3 x 2 x 3 0 5 x 3 0 x
3
5
3
Vậy x
5
12. x 3 x 3 x 2 x 5 0
x 2 9 x 2 5 x 2 x 10 0
x 2 9 x 2 3 x 10 0 3x 1 0 x
1
3
1
Vậy x
3
Bài 3.
Tính giá trị biểu thức sau :
a) Cho x y 7 . Tính giá trị của biểu thức A x x 2 y y 2 2 xy 37
b) Cho x y 9 ; xy 14 . Tính giá trị biểu thức B x 2 y 2 và C x 3 y 3
c) Cho x y 3 và x 2 y 2 5 . Tính D x3 y 3
d) Biết x 3 x 6 . Tính giá trị của biểu thức A x 6 2 x 4 x 3 x 2 x
e) Cho các số x , y thỏa mãn đẳng thức 5 x 2 5 y 2 8xy 2 x 2 y 2 0
Tính giá trị của biểu thức M x y
2015
x 2
f) Cho x 2 4 x 1 0 . Tính giá trị biểu thức A
2016
y 1
2017
x4 x2 1
x2
Lời giải
a) Cho x y 7 . Tính giá trị của biểu thức A x x 2 y y 2 2 xy 37
Ta có : A x x 2 y y 2 2 xy 37
x 2 2 x y 2 2 y 2 xy 37
x 2 2 xy y 2 2 x 2 y 37
x y 2 x y 37
2
Thay x y 7 vào A , ta có : A 7 2 2.7 37 49 14 37 100 .
b) Cho x y 9 ; xy 14 . Tính giá trị biểu thức B x 2 y 2 và C x3 y 3
+) Ta có : B x 2 y 2 x 2 2 xy y 2 2 xy x y 2 xy
2
Thay x y 9 ; xy 14 vào B , ta có : B 9 2 2.14 81 28 53 .
+) Ta có : C x 3 y 3 x 3 3 x 2 y 3 xy 2 y 3 3x 2 y 3xy 2 x y 3 xy x y
3
Thay x y 9 ; xy 14 vào C , ta có : C 93 3.14.9 729 378 351
c) Cho x y 3 và x 2 y 2 5 . Tính D x3 y 3
Ta có : x y x 2 y 2 2 xy
2
2 xy x y x 2 y 2 32 5 9 5 4 xy 2
2
Có : D x 3 y 3 x3 3 x 2 y 3xy 2 y 3 3 x 2 y 3 xy 2 x y 3 xy x y
3
Thay x y 3 ; xy 2 vào D , ta có : D 33 3.2.3 27 18 9
d) Biết x 3 x 6 . Tính giá trị của biểu thức A x 6 2 x 4 x 3 x 2 x
Ta có : A x 6 2 x 4 x 3 x 2 x
x6 x4 x 4 x3 x2 x
x 6 x4 x 4 x 2 x3 x
x3 x3 x x x3 x x3 x
x 3 x x 3 x x3 x
Thay x 3 x 6 vào A , ta có : A 6.6 6 36 6 42
e) Cho các số x , y thỏa mãn đẳng thức 5 x 2 5 y 2 8xy 2 x 2 y 2 0
Tính giá trị của biểu thức M x y
2015
x 2
2016
Ta có : 5 x 2 5 y 2 8 xy 2 x 2 y 2 0
4 x 2 8 xy 4 y 2 x 2 2 x 1 y 2 2 y 1 0
2 x 2 y x 1 y 1 0
2
2
2
2 x 2 y x 1 y 1 0
2
2
2
2 x 2 y 0
x 1
x 1 0
. Thay vào M , ta được:
y 1
y 1 0
y 1
2017
M 1 1
2015
1 2
2016
1 1
2017
0 1
2016
f) Cho x 2 4 x 1 0 . Tính giá trị biểu thức A
0 1
x4 x2 1
x2
x 2 x 1 3 x
Ta có : x 2 4 x 1 0 2
x x 1 5 x
3
2
x 4 x 2 1 x 4 x x 2 x 1 x x 1 x x 1
Có : A
x2
x2
x2
x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1
x
2
x
2
x 1 x 2 x 1
x
2
5 x.3x
15
x2
Bài 4: Chứng tỏ :
a) a2 2a 5 0, a
b) 6b b2 10 0 , b
Giải :
a) Ta có:
a 2 2 a 5 a 2 2 a 1 4 a 1 4 0, a
2
vì: a 1 0 , a và 4 0
2
b) Ta có:
6b b2 10 b2 6b 10 b2 6b 9 1 b 3 1 0, b
2
Vì: b 3 0 , b và 1 0
2
Bài 5:
1) Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A x2 2x 3
b) B x 5 x 1 9
c) C x2 y 2 4 x 5 y 7
d) D 4 x2 y 2 2 xy 6 x 5
e) E 4x5 2x 4 4x 3 x 1 : 2x3 x 1 (bỏ)
f) F
2x2 2x 1
x2 2x 1
, khi x 1
2) Tìm GTLN của các biểu thức:
a) 4 x x2
b) 6x x2 1
d) 5 x2 2 x 4 y 2 4 y
e)
Giải :
1) Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A x2 2 x 3 x 1 2 2
2
Dấu “ = “ xảy ra x 1 0 x 1
2017
2
x 6 x 10
c) (1 3x)( x 2)
GTNN của A 2 x 1
b) B x 5 x 1 9 x2 4 x 4 x 2 0
2
Dấu “ = “ xảy ra x 2 0 x 2
GTNN của B 0 x 2
25 13
c) C x2 y 2 4 x 5 y 7 x 2 4 x 4 y 2 5 y
4 4
C x 2
2
2
5 13
13
y
2
4
4
x 2 0
x 2
Dấu “ = “ xảy ra
5
5
y 0
y
2
2
x 2
13
Vậy GTNN của C
5
4
y
2
d) D 4 x2 y 2 2 xy 6 x 5
D x 2 2 xy y 2 3x 2 6 x 5 x y 3 x 1 2 2
2
2
x y 0
x 1
Dấu “ = “ xảy ra
x 1 0
y 1
x 1
Vậy GTNN của D 2
y 1
e) E 4x5 2x 4 4x 3 x 1 : 2x3 x 1 sai đề
f) F
2x2 2x 1
x2 2x 1
x
F
2
, khi x 1
2 x 1 x2
x 1
2
1
x2
x 1
2
1
Dấu “ = “ xảy ra x 0
Vậy GTNN của F 1 x 0
2) Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 4 x x 2 x2 4 x 4 4 x 2 4 4
2
Dấu “ = “ xảy ra x 2
Vậy GTLN của A 4 x 2
b) B 6 x x 2 1 x 2 6 x 9 10 x 3 10 10
Dấu “ = “ xảy ra x 3
Vậy GTLN của B 10 x 3
2
5
2
c) C (1 3x)( x 2) 3x 2 5x 2 3 x 2 x
3
3
2
2
5
25 49
5 49
5 49 49
C 3 x 2 x
3 x 3 x
3
36 36
6 36
6 12 12
Dấu “ = “ xảy ra x
Vậy GTLN của C
5
6
49
5
x
12
6
d) D 5 x 2 2 x 4 y 2 4 y x2 2 x 1 4 y 2 4 y 1 7
2
2
2
2
D x 1 2 y 1 7 x 1 2 y 1 7 7
Dấu “ = “ xảy ra x 1 , y
1
2
Vậy GTLN của D 7 x 1 , y
e) E
1
2
2017
2
x 6 x 10
Ta có: x2 6 x 10 x 3 1 1
2
1
2
x 6 x 10
1
2017
2
x 6 x 10
2017
Dấu “ = “ xảy ra x 3
Vậy GTLN của E 2017 x 3
Bài 6. Làm tính chia
d) 27 x 8 : 3 x 2 .
f) x 2 x 1 : 1 x .
a) ( x 3 6 x 2 2 x 3) : ( x 2 5 x 3).
e) x
c) x 2 4 x 10 : x 2 .
3
b) 2 x 3 x 2 5 x 2 : x 2 x 2 .
3
4 x 2 x 6 : x 1 .
4
2
2
2) Tìm giá trị của m và n để:
a) A x 3 x 2 11x m chia hết cho B x 3.
b) A 2 x 4 3 x 3 3 x 2 mx n chia hết cho B x 2 1.
c) 3 x 2 mx n chia cho x 5 dư 27.
d) x 3 mx n chia cho x 1 dư 7, chia cho x 3 dư 5.
3) Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức A x chia hết cho giá trị của đa thức B x :
a) A x 6 x 3 15 x 2 4 x 7 và B x 2 x 5
b) A x x3 2 x 2 3x 50 và B x x 3
Lời giải
a) x 3 6 x 2 2 x 3 : x 2 5 x 3
x3 6 x 2 2 x 3
x3 5x2 3x
x2 5x 3
x2 5x 3
0
x 2 5x 3
x 1
b) 2 x 3 x 2 5 x 2 : x 2 x 2
x2 x 2
2x 1
2 x3 x 2 5 x 2
2 x3 2 x 2 4 x
x2 x 2
x2 x 2
0
c) x 2 4 x 10 : x 2
x2
x6
x2 4 x 10
x2 2x
6 x 10
6 x 12
2
d) 27 x 3 8 : 3 x 2
3 x 2 3 : 3 x 2
3
3x 2 9 x 2 6 x 4 : 3 x 2
9 x2 6 x 4.
e) x 3 4 x 2 x 6 : x 1
x 1
x3 4 x 2 x 6
x3 x 2
x2 5x 6
5x2 x 6
5x2 5x
6x 6
6x 6
0
f) x 4 2 x 2 1 : 1 x 2
x 2 1 : 1 x 2
2
x 2 1
1 x2.
2) Tìm giá trị của m và n để:
a) A x 3 x 2 11x m chia hết cho B x 3.
x 3
x 3 x 2 11x m
3
2
x2 2 x 5
x 3x
2 x 2 11x m
2 x2 6 x
5x m
5 x 15
m 15
Để A x 3 x 2 11x m chia hết cho B x 3 thì m 15 0 m 15.
b) A 2 x 4 3 x 3 3 x 2 mx n chia hết cho B x 2 1.
2 x 4 3 x 3 3 x 2 mx n
x2 1
2 x2 3x 5
2 x2
2 x4
3 x 3 5 x 2 mx n
3x
3 x3
5 x 2 m 3 x n
5 x 2
5
m 3 x n 5
m 3 0 m 3
Để A 2 x 4 3 x 3 3 x 2 mx n chia hết cho B x 2 1 thì
n 5 0
n 5
c) 3 x 2 mx n chia cho x 5 dư 27.
x5
3 x 2 mx n
3x m 15
3 x 2 15 x
m 15 x n
m 15 x 5 m 15
n 5 m 15
Để 3 x 2 mx n chia cho x 5 dư 27 n 5 m 15 27 n 5m 48
d) x 3 mx n chia cho x 1 dư 7, chia cho x 3 dư 5.
x 1
x3
mx n
x2 x m 1
x3 x 2
x 2 mx n
x2 x
m 1 x n
m 1 x m 1
m n 1
Để x 3 mx n chia cho x 1 dư 7 thì m n 1 7 n m 6 1
x3
mx n
x3 3 x 2
3 x 2 mx n
x 3
x2 3x m 9
3x 2 9 x
m 9 x n
m 9 x 3 m 9
n 3 m 9
Để x 3 mx n chia cho x 3 dư 5 thì n 3 m 9 5 n 3m 22 2
Thay (1) vào (2) ta được m 6 3m 22 4m 16 m 4
n 4 6 n 10
3) Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức A x chia hết cho giá trị của đa thức B x :
a) A x 6 x 3 15 x 2 4 x 7 và B x 2 x 5
6 x 3 15 x 2 4 x 7
2x 5
6 x 15 x
3x2 2
3
2
4 x 7
4 x 10
3
b) A x x3 2 x 2 3 x 50 và B x x 3
x 3 2 x 2 3 x 50
x3
x 3x
x 2 5 x 18
3
2
5 x 2 3 x 50
5 x 2 15 x
18x 50
18x 54
4
Bài 6.
Cho biểu thức P
1
3
18
.
x 3 x 3 9 x2
a) Rút gọn P ;
b) Tìm x để P
1
;
2
c) Tính giá trị của P biết x thỏa mãn x 1 2 .
Lời giải
a) ĐKXĐ: x 3 .
Ta có P
1
3
18
1
3
18
2
x 3 x 3 9 x
x 3 x 3 x 3 x 3
=
Vậy P
x 3 3 x 3 18
4 x 3
4 x 12
4
.
x 3 x 3
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
4
.
x3
1
4
1
ta suy ra
x 3 8 x 11 .
2
x3 2
b) Cho P
x 1 2
x 3
c) x 1 2
x 1 (thỏa mãn ĐKXĐ).
x 1 2 x 1
Thay x 1 vào biểu thức P
P
4
ta có
x3
4
4
1 .
x 3 1 3
Bài 7.
Cho biểu thức: A
x2
x
2
.
2
x 4 x2 x2
a) Rút gọn A ;
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 .
c) Tìm x để A .
Lời giải
a) ĐKXĐ x 2 .
x2 x x 2 2 x 2
x2
x
2
4
4
Ta có A 2
2
. Vậy A 2
.
x 4 x2 x2
x 4
x 4
x 2 x 2
b) Thay x 1 vào biểu thức A ta có
A
4
4 4
.
x 4 1 4 3
2
4
x 2 4 Ư 4 4; 2; 1;1; 2; 4 x 2 0; 2;3;5; 6;8 , mà x 2 là số
x 4
chính phương nên x 2 0 x 0 .
c) Để A thì
2
x2 2
x
1 x 1
Bài 8: Cho biểu thức A 3
2
:
x 1 x x 1 1 x 2
a) Rút gọn A
b) Tính x nếu A 2
c*) Với giá trị nào của x thì A ở dạng rút gọn có giá trị lớn nhất? Tính giá trị lớn nhất đó?
Lời giải
a) ĐKXĐ: x 1
2
x x 1
x2 2
x
1 x 1
x2 2
x2 x 1
.
A 3
2
:
2
2
2
x 1 x x 1 1 x 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1
A
x2 2 x2 x x2 x 1
x 1 x 2 x 1
b) A 2
c*) A
x 1 .2
2
2
2
2
2
x 1 x 1 x x 1 x x 1
2
.
x 0
2
2 x 2 x 1 1 x x 1 0
TM
x x 1
x 1
2
2
2
1
3
x
2
4
8
3
2
2
1
1
3 3
2
3 8
Do x 0 x
2:
2
2
2
4 4
4 4
1
3
x
2
4
Vậy Amax
8
1
1
x 0 x
3
2
2
x3 1 x2 1
x
Bài 9: Cho biểu thức A 2
:x
x 1
x 1 x 1
a) Tìm ĐKXĐ của A và rút gọn A
b) Tìm x để A 3
c) Tìm x để A .
Lời giải
a) ĐKXĐ:
x2 1 0
x
0
x
x 1
x 1
x 0
2
x3 1 x2 1
x x 1 x x 1 x 2 1 x 2
:
A 2
:x
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
x2 x 1 x2 1 x 1 x2 x 1 x 2 1 x 1 2 x
A
. 2 2
.
x 1 x2
x 1
x
x
x 1
x 1 L
2 x
2
b) A 3 2 3 3x x 2 0 x 1 3 x 2 0
x 2
x
3
c) x để A
A
2 x
2
A. x 2 2 x Ax 2 x 2 0 x Ax 1 2 Ax 1
2
x
x
Do x và A nên Ax 1
2
x U 2 1; 2
x
x 1 L
x 2 Ax 0 A 0 TM
x 2 Ax 2 A 1TM
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm thuộc cạnh BC, từ M vẽ các đường vng
góc với cạnh AB ở D và vng góc với cạnh AC ở E.
a) CM: AM = DE;
b) Gọi I là điểm đối xứng của D qua A và K là điểm đối xứng của E qua M. CM: Tứ giác DIEK là
hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn IK, DE, AM đồng quy.
c) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. CM: góc DHE bằng 90o
d) Khi M là trung điểm của BC. CM: DHME là hình thang cân
e) Tìm vị trí của M trên BC để tứ giác ADME là hình vng
f) Tìm vị trí của M trên BC để tứ giác DIEK là hình thoi
g) Khi M trùng với H, chứng minh DE vng góc với AN với N là trung điểm của BC
h) Khi M di chuyển trên BC thì trung điểm cạnh AM di chuyển trên đường nào?
Lời giải:
I
A
D
N
E
B
H
M
C
K
a) Xét tứ giác ADME có:
D
E
90o
A
Tứ giác ADME là hình chữ nhật (DHNB)
AM = DE (t/c HCN)
b) Vì ADME là hình chữ nhật (cmt) => AD = ME (t/c HCN)
Có DI = 2 AD (gt) và KE = 2 ME (gt)
DI // KE và DI = KE
DIEK là hình bình hành (DHNB )
IK và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (t/c HBH)
Mà AM và DE cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi đg (t/c HCN)
AM, DE, IK đồng quy tại trung điểm của DE
c) Gọi Tlà trung điểm của DE.
Xét tam giác AHM vng tại H có HN là đường trung tuyến
1
1
HT AM AD
2
2
Tam giác DHE vuông tại H
90o
DHE
d) Khi M là trung điểm của BC thì D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC
=> DE là đường TB của tam giác ABC
=> DE // HM
=> Tứ giác DHME là hình thang (DHNB)
Vì tam giác AHC vng tại H có HE là đường trung tuyến, HE = ½ AC
MD là đường TB của tam giác ABC => MD = ½ AC
HE = MD =1/2 AC
Hình thang DHME là hình thang cân (DHNB)
e) ADME là hình vng Hình chữ nhật ADME có AM là đường phân giác của góc A;
f) DIEK là hình thoi IE = EK NM = ME NM = ME=EN góc NME = 60o góc MAC =
30o
g) Khi M trùng H, N là trung điểm của BC
Xét tam giác ABC vuông tại A, AN là đg trung tuyến
AN = NC = NB
Tam giác ANC vuông tại N
ANB 2
ACN 2TA
D
ATI
Mà tam giác AMN vuông tại M
MNA
90o TAI
MAN
ATI 90o
AIT 90o AN DE
h) Khi M di chuyển trên BC thì trung điểm của AM chuyển động trên đoạn thẳng nối trung điểm của
AB và AC
Bài 2.
Cho hình bình hành ABCD , các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Gọi M , N là trung điểm
của BC và AD . Các đoạn thẳng BM , DN cắt đường chéo AC lần lượt tại E và F .
a) CM. tứ giác BMDN là hình binh hành
b) CM: AE EF CF
c) CM. MF // NE
d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác MENF là hình chữ nhật.
Lời giải
AD // BC
a) Vì ABCD là hình bình hành
AD BC
+) AD // BC
Mà:
M AD
MD // BN
N BC
+) AD BC
Có M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC MD BN
Xét tứ giác BMDN có:
MD // BN
Tứ giác BMDN là hình bình hành.
MD BN
b) Vì BMDN là hình bình hành BM // DN
Mà :
E BM
ME // DF
F DN
Xét ADF có:M là trung điểm của AD, ME // DF E là trung điểm của AF.
AE EF
AE EF CF .
Cmtt : EF CF
c) Vì AE EF CF
AE EF EF CF
AF EC
Xét ADF và CBE có:
AD BC (Vì ABCD là hình bình hành)
= BEC
( AD // BC )
DAC
AF EC (cmt)
ADF CBE (c.g.c)
DF BE (2 cạnh tương ứng)
Có ME là đường trung bình của ADF ME
Tương tự FN
1
DF
2
1
BE
2
Mà DF BE ME FN .
Xét tứ giác MENF có:
ME NF (cmt )
Tứ giác MENF là hình bình hành MF // NE .
ME / / NF
d) Để MENF là hình chữ nhật. MN FE
Mà MN AB EF AB
Lạicó FE
1
1
AC AB AC Hay AC 3 AB
3
3
Vậy hình bình hành ABCD có AC 3 AB thì MENF là hình chữ nhật.
Bài 3. Cho hình chữ nhật MNPQ có tâm I . Gọi K là trung điểm của IN . Vẽ điểm A đối xứng với
điểm M qua điểm K .
a) Chứng minh: Tứ giác APQN là hình thang.
b) Chứng minh: Tứ giác APIN là hình thoi.
c) Gọi H là hình chiếu của A trên PQ . Chứng minh: Ba đường thẳng NP, AI , KH đồng quy.
d) Nếu E di động trên đoạn IN , khi đó trung điểm O của đoạn ME di động trên đoạn nào?
Lời giải
M
N
K
I
A
F
Q
P
H
a) Chứng minh: Tứ giác APQN là hình thang.
Vì tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có tâm I (gt)
MQN
MNP
NPQ
90
IM IN IP IQ (t/c) và QMN
Vì A đối xứng với điểm M qua điểm K (gt) K là trung điểm của MA KM KA (t/c).
Xét MPA có: IM IP; KM KA (gt)
IK là đường trung bình của MPA (đn) IK PA (t/c) hay QN PA .
Tứ giác APQN là hình thang (đn).
b) Chứng minh: Tứ giác APIN là hình thoi.
Xét tứ giác MNAI có:
KM KA (gt)
KI KN (gt)
Mà MA IN K
tứ giác MNAI là hình bình hành (dhbn) MI NA (t/c) IP NA .
Xét tứ giác APIN có: IP NA; IN PA (cmt)
tứ giác APIN là hình bình hành (dhbn).
Mà IN IP (cmt)
Nên tứ giác APIN là hình thoi (dhbn).
c) Gọi H là hình chiếu của A trên PQ . Chứng minh: Ba đường thẳng NP, AI , KH đồng quy.
Gọi F là giao điểm của NP và AI .
Mà tứ giác APIN là hình thoi (cmt) nên F là trung điểm của NP và AI (t/c) và NP AI
NF FP; IF FA và NP AI
90
+) Vì NP AI cmt AFP
AH QP gt
AHP 90
90 .
NPH
180 (2 góc kề bù) NPH
Vì NPQ
Xét tứ giác AFPH có
AFP NPH
AHP 90
AFPH là hình chữ nhật (dhnb) AF PH ; AF PH
Mà IF FA nên IF PH ; IF PH IFHP là hình bình hành (dhnb) FH IP (1)
+) Ta lại chứng minh được KF là đường trung bình của NIP KF IP (t/c) (2)
Từ (1) và (2) K , F , H thẳng hàng.
Ba đường thẳng NP, AI , KH đồng quy tại điểm F .
d) Nếu E di động trên đoạn IN , khi đó trung điểm O của đoạn ME di động trên đoạn nào?
M
N
C
K
B O
E
I
Q
A
F
P
H
Gọi B là trung điểm của đoạn thẳng MI B là điểm cố định; gọi C là giao điểm của BO và
MN
Xét MIE có
B là trung điểm của MI (gt)
O là trung điểm của ME (gt)
BO là đường trung bình của MIE BO IE (t/c)
Xét MIN có
B là trung điểm của MI (gt)
BC IN (vì BO IE )
C là trung điểm của MN (t/c) C là điểm cố định.
Vậy nếu E di động trên đoạn IN , khi đó trung điểm O của đoạn ME di động trên đoạn BC
cố định (với B, C lần lượt là trung điểm của MI , MN ).
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn. Đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Lấy điểm
K đối xứng với điểm H qua BC.
a) Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình thoi.
b) Đường thẳng qua K song song với BC cắt đường thẳng qua C song song với AH tại I. Chứng
minh: DI = HC
c) Chứng minh: Tứ giác HDIC là hình bình hành.
d) Tia ID cắt BH tại M. Chứng minh: M là trung điểm của BH.
A
e) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HCIM là hình thang cân.
Hướng dẫn
E
a) Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình thoi.
H
Vì H đối xứng với K qua BC (gt)
BC là đường trung trực của HK
BC HK
Mà BC HD ( vì AD BC, H AD)
B
D
K
C
H, D, K thẳng hàng
HK cắt BC tại D
D là trung điểm của HK; HK BC tại D
b) Đường thẳng qua K song song với BC cắt đường thẳng qua C song song với AH tại I. Chứng
minh: DI = HC
A
Vì KI // BC (gt), D BC nên KI// CD
Vì CI // AH (gt), D, K AH nên CI // DK
DCIK là hình bình hành (dhnb)
E
900 (vì HK BC tại D)
Mà CDK
H
DCIK là hình chữ nhật (dhnb)
c) Chứng minh: Tứ giác HDIC là hình bình hành.
B
C
D
Vì DCIK là hình chữ nhật (cm b)
DK = IC (t/c)
I
K
Mà HD = DK ( D là trung điểm của HK)
HD = IC
Vì CI // AH (gt), D AH nên CI // HD
HDIC là hình bình hành (dhnb)
d) Tia ID cắt BH tại M. Chứng minh: M là trung điểm của BH.
Vì HDIC là hình bình hành (cm c)
A
HC // DI (t/c)
Mà M DI
E
MD // HC
H
M
Xét ∆BHC có:
MD // HC (cmt), D là trung điểm của BC
B
C
D
M là trung điểm của BH.
I
K
e) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HCIM là hình thang cân.
A
Theo câu d, ta có: HC // DI, M DI
HC // MI
HCIM là hình thang.
E
CID
Để HCIM là hình thang cân thì HMD
KDI
( so le trong)
Vì DC // IK nên CID
HDM
( đối đỉnh)
KDI
HDM
(1)
HMD
Xét ∆BHD vuông tại D có M là trung điểm BH (cm d)
DM
1
BH BM MH
2
H
M
B
C
D
K
I
∆HDM cân tại M (đ/n)
HDM
(t/c) (2)
MHD
HDM
HMD
∆MHD đều MHD
HDM
HMD
60 0
Từ (1) và (2) suy ra: MHD
HMD
600 (so le trong) ECH
300 (vì ∆HCE vng tại E)
Vì HC // MI nên EHC
CID
60 0 HCD
30 0
Vì DCIH là hình DHIC là hình bình hành nên DHC
ACB 600
∆ABC đều
Vậy ∆ABC đều thì tứ giác HCIM là hình thang cân.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC), đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi D, E theo
thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Kẻ MK AB K AB . Giao điểm của AM và HE
là N.
e. Tứ giác AEHD là hình gì?
f. Lấy P đối xứng với H qua AB, Q đối xứng với H qua AC. Chứng minh BCDQ là hình
thang vng.
g. Chứng minh: AM DE và BN // DE
h. Chứng minh: AH, BN, MK đồng quy
Lời giải
Q
A
P
D
E
K
B
O
H
N
M
C
HD AB
ADH 900
AEH 900 AEMF là hình chữ nhật
a. HE AC
Lai co:
AAF 900
HAB
b. H đối xứng P qua AB PAB
HAC
H đối xứng Q qua AC QAC
QAC
HAB
HAC
900 PAQ
1800 P, A, Q thẳng hàng
Suy ra: PAB
900 BP AQ
Lại có: H đối xứng P qua AB
APB HPB
Tương tự: CQ AQ
