60 đề thi HSG toán 12 năm 2021 2022 lớp 12

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa
Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lào Cai
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT tỉnh Đồng Nai
Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hưng Yên
Đề kiểm tra đội tuyển HSG lần 1 Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa
Đề thi HSG Tốn 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thanh Hóa
Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia mơn Tốn năm học 2020 – 2021
Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Quế Võ 1 – Bắc Ninh
Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Gia Lai (Bảng B)
Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hải Phịng (Bảng B)
Đề thi HSG Tốn 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
Đề khảo sát HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình
Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Tiền Giang
Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT An Giang
Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia 2020 – 2021 trường chuyên Bến Tre (lần 2)

Đề thi chọn HSG cấp huyện Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Cao Bằng
Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT TP HCM
Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thái Nguyên
Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình
Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hưng Yên
Đề lập đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Định
Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Trị
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A)
Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hải Dương
Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Định
Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nội
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2021 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Đề thi HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình
Đề thi học sinh giỏi Tốn 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Trị
Đề thi HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia mơn Tốn năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Kiên Giang
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nội
Đề bồi dưỡng HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Liễn Sơn – Vĩnh Phúc
Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Thọ (Ngày 1)
Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Khánh Hịa (Vịng 1)
Đề chọn đội tuyển HSG Tốn 12 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Bình
Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2021 mơn Tốn sở GD&ĐT Đồng Tháp
Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang
Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2021 sở GD&ĐT tỉnh Đồng Nai


43.
44.
45.

46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)
Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 1)
Đề thi HSG Toán cấp trường năm 2020 – 2021 trường chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa
Đề thi chọn học sinh giỏi Tốn 12 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nam
Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bến Tre
Đề chọn học sinh giỏi Toán năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Bến Tre
Đề chọn đội tuyển Toán năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Trần Phú – Hải Phịng
Đề thi HSG Tốn 12 năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi
Đề thi thử HSG Tốn vịng 1 lần 2 năm 2020 – 2021 trường chuyên Hùng Vương – Bình Dương
Đề thi HSG Tốn 12 (vịng 2) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk
Đề thi HSG Toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk
Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Chu Văn An – Hà Nội
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Nam
Đề thi HSG Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh

Đề thi chọn HSG Tốn THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT An Giang
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đà Nẵng
Đề thi HSG cấp tỉnh Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bến Tre
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Tháp



SỞ GD & ĐT THANH HĨA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC ĐỘI TUYỂN HSG LẦN 1
LIÊN TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC - THẠCH THÀNH
NĂM HỌC 2020 -2021
Môn: Tốn - Lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra: 08 tháng 11 năm 2020
(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)

Câu I(4 điểm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  f  x   x3  3 x  2
2. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  3 m  x  2 x  3  2 cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt.
Câu II(4 điểm).
1. Giải phương trình lượng giác: cos 2 x  3 1  sin x  





2cos x  2sin 2 x  2sin x  1
2cos x  1

1

2
3 xy 1  9 y  1 
x 1  x
2. Giải hệ phương trình: 
427 x2 y 2  2 x2  9 y 2  4 x  4

Câu III(4 điểm).
1. Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ. Chủ quán không biết rõ chủ của những
chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để cả bốn người cùng được trả
sai mũ.
2. Số lượng của một loài vi khuẩn trong phịng thí nghiệm được tính theo cơng thức S (t )  A.e rt .
Trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S (t ) là số lượng vi khuẩn có được sau thời gian t (phút),
r  0 là tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời gian và t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng
vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng
vi khuẩn đạt 121500 con ?
Câu IV(6 điểm).
1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’, có đáy ABC là tam giác vng với AB  BC  2 và A’
cách đều các đỉnh A, B, C . Gọi L, K lần lượt là trung điểm của BC , AC . Trên các đoạn A’B , A’ A
lần lượt lấy M , N sao cho MA’  2 BM , AA’  3 A’ N . Tính thể tích khối tứ diện MNKL, biết
A’L  10.
2. Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu là mảnh tơn hình tam giác
đều ABC có cạnh bằng 90  cm  . Bạn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu
(với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có
chiều cao bằng MQ . Tính thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được.
3. Cho hình chóp S .ABC có AB  BC  CA  a , SA  SB  SC  a 3 , M là điểm bất kì trong

khơng gian. Gọi d là tổng khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB , BC , CA , SA , SB ,
SC . Tính giá trị nhỏ nhất của d .
Câu V(2 điểm).
Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  12 .
1
1
8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2
 2
 2
 3. ( a  2b)( a  2c) .
a  1 b  1 c  4c  8
...HẾT...
1


SỞ GD & ĐT THANH HĨA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

HDC CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC ĐỘI TUYỂN HSG
LIÊN TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC - THẠCH THÀNH
NĂM HỌC 2020 -2021
Môn: Tốn - Lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra:08 tháng 11 năm 2020
(Đáp án gồm có 09 trang, 05 câu)

Qui định chung

+) Tổng điểm của bài thi được làm tròn đến 0.25 điểm.
+) Học sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng cho điểm tối đa từng phần theo qui định.
+) Nếu bài hình nào khơng vẽ hoặc vẽ sai cơ bản thì khơng được chấm điểm bài đó.
Câu
I
(4đ)

Nội Dung
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  f  x   x3  3 x  2
 Tập xác định: D  R.
 Sự biến thiên:
+) Giới hạn và tiệm cận: lim y  , lim y   đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
x 

Điểm
2đ
0,5

x 

+) Chiều biến thiên: y '  3 x 2  3.
x  1
y '  0  3x 2  3  0  
.
 x  1

0,5

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và  1;   .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  1;1

ng biến thiên:
0,5

 Đồ thị:
+)Nhận điểm uốn I(0; -2) làm tâm đối xứng.
+) Cắt Ox tại điểm (1;0);  2;0  , cắt Oy tại điểm (0; 2)
Đồ thị như hình vẽ
0,5

2. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  3 m  x  2 x  3  2 cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt.

2đ

2


Nhận thấy số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hồnh là số nghiệm của phương trình
3
m  x  2x  3  2
3
Điều kiện: x  .
2
u0


3
Đặt u  m  x , v  2 x  3  0 ta có hệ 
uv  2

3
2u  v 2  2m  3


0,5

Từ u  v  2  v  2  u , thay vào phương trình cịn lại của hệ ta được
2
2u 3   2  u   2m  3  2u 3  u 2  4u  7  2m  .
Do v  0 nên u  2 .
Với cách đặt u  3 m  x ta suy ra với mỗi giá trị u  2 có một và chỉ một giá trị x
tương ứng.
Xét hàm số f  u   2u 3  u 2  4u  7 trên  ; 2 , ta có

0,5

u  1
f   u   6u  2u  4 ; f   u   0  
2
u 
3

Bảng biến thiên f  u  :
2

0,5

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình   có ba nghiệm u phân biệt khi và
chỉ khi

145
145
 2m  10 
 m 5.
27
54

cos 2 x  3 1  sin x  

1.Giải phương trình:
II
(4đ)

0,5

2cos x  2sin 2 x  2sin x  1
2cos x  1

Điều kiện 2 cos x  1  0
Phương trình đã cho tương đương với: cos 2 x  3 1  sin x  

 2 cos x  1 2 sin x  1

2đ
0,25
0,5

2 cos x  1

 cos 2 x  3 1  sin x   2sin x  1

0,5

sin x  1
 1  sin x  2 sin x  3  0  
sin x  3

2

+) sin x  1  x    k 2 , k  Z
2

0,5





3




 x  3  k 2
3
+) sin x 

k  Z 
2
 x  2  k 2


3
Đối chiếu điều kiện, ta có các nghiệm của phương trình đã cho là:

2
x    k 2 và x 
 k 2 (với k  Z )
2
3
1

2
3 xy 1  9 y  1  x  1  x 1
2. Giải hệ phương trình: 
 427 x2 y 2  2 x2  9 y 2  4 x  4
2






ĐK: x  0
NX: x = 0 không TM hệ PT
Xét x > 0
x 1  x
x

1

 3 y  3 y (3 y )  1 
2

x

2

 1 

  1 (3)
x  x

1



Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t. t 2  1 , t > 0.
t2
Ta có: f’(t) = 1 + t 2  1 
>0. Suy ra f  t  luôn đồng biến trên (0,+∞)
t2 1
 1 
1
PT (3)  f  3 y   f 
  3y =
x
 x

1
x

2đ

0.5

PT (1)  3 y  3 y 9 y 2  1 

Với 3y 

0,25

thay vào (2) ta được: 42 x

2

3 x



0.25

4 x2  4 x  1
 4
x

 2 x  1
4 x2  4 x  1
1 
Điều kiện có nghiệm
0 

 0  x   0;   \   .
x
x
2
2

 4  2

 2 x  1

2

 6 x  4 x  log 2  2 x  1  log 2 x .
x
2
 log 2  2 x  1  4 x 2  log 2 x  6 x .
4 x 2  6 x



2

0.5

2

 log 2  2 x  1  4 x 2  4 x  1  log 2 x  2 x  1
2

 log 2  2 x  1   2 x  1  log 2 2 x  2 x

2

.



 g  2 x  1

2

2

  g  2x  trên miền  0;  

Xét g  t   log 2 t  t  g   t  

 f  t  đồng biến.

1
 1  0 t  0 .
t ln 2

0.5

  2 x  1  2 x  4 x 2  4 x  1  2 x
2

4


3 5
x 
4
(nhận).
 4x2  6x  1  0  

3 5
x 

4

III
(4đ)

Với x 

3 5
3 5
y
4
3

0.25

3 5
3 5
y
4
3

 3  5 3  5   3  5 3  5  
;
 .
Vậy S  
;
;
  4

3
3
 4
 

1. Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ. Chủ quán không biết rõ
chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất
để cả bốn người cùng được trả sai mũ.
Số phần tử của không gian mẫu là n     4!  24 .
Với x 

2đ

0.5

Gọi biến cố A : " Cả bốn người cùng được trả sai mũ.”
A : " Có ít nhất 1 người trong bốn người được trả đúng mũ.”
+) TH1: Cả bốn người cùng được trả đúng mũ có: 1 cách.

0.25

+) TH2: Chỉ có một người được trả đúng mũ có:

Chọn 1 người trong 4 người để trả đúng mũ có: C41  4 cách.

0.5

Ba người cịn lại trả sai mũ có: 3! 1  C31 .1  2
Theo quy tắc nhân có: 4x2=8 cách.
+)TH3: Chỉ có đúng 2 người được trả đúng mũ có: C42 .1  6 cách.

 

 

Theop quy tắc cộng: n A  1  8  6  15  P A 
IV
(6đ)

 

Vậy P  A  1  P A 

15 5
 .
24 8

3
8

2. Số lượng của một loài vi khuẩn trong phịng thí nghiệm được tính theo cơng
thức S (t )  A.e rt . Trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S (t ) là số lượng vi
khuẩn có được sau thời gian t (phút), r  0 là tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời

gian và t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con
và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt
121500 con ?
 A  500
ln 3

 1500  500.e300 r  r 
.
Ta có  S1 (t )  1500
300
t  5h  300 phút
1

0.25
0.25

0.25
2đ

0.5

5


Ta lại có:

 A  500
ln 3
t


300
S
(
t
)

121500

121500

500.
e


ln 3
r 
300



ln 3
t  ln 243  t  1500 (phút )  25 (giờ).
300

0.5

0.5

Để số lượng vi khuẩn đạt 121500 con thì cần 25 giờ để 500 con vi khuẩn ban đầu
tăng trưởng.

0.5

1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A’B’C’, có đáy ABC là tam giác vng với
AB  BC  2 và A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi L, K lần lượt là trung điểm của
sao cho
BC , AC . Trên các đoạn A’B , A’ A lần lượt lấy M , N

2đ

MA’  2 BM , AA’  3 A’N . Tính thể tích khối tứ diện MNKL, biết A’L  10.

0.5

Gọi E là trung điểm AN, ta có ME//AB//LK  S MLK  S ELK  VMNKL  VNELK
ta cũng có S EKN 

1
S A ' KA
3

+) Do A ' A  A ' B  A ' C và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
nên A ' K   ABC   ( A ' AC )   ABC 
mà BK  AC  BK   A ' AC 
+) Ta có d  L,  NKE   

1
BK
, do L là trung điểm BC.
d  B,  NKE   

2
2

0.5
0.5

6


VNELK 

1
1
AC
d  L,  NKE   .S NKE  KB.S A ' KA KB 
 2
3
18
2

+) Vì A ' K   ABC   A ' K  KL  A ' K 
 S A ' AK 
VNELK 

A ' L2  LK 2  3

0.5

1
3 2

A ' K .KA 
. Vậy
2
2

1
1
3 2 1
1
KB.S A ' KC 
2.
  VMNLK  .
18
18
2
6
6

2. Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu là mảnh
tơn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90  cm  . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình

2đ

chữ nhật MNPQ từ mảnh tơn ngun liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q
tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ .
Tính thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được.
A

P

Q

B

M

N

0.5

C
A

Gọi I là trung điểm BC . Suy ra I là trung điểm MN . Đặt MN  x ,
 0  x  90  .
MQ BM
3

 MQ 
 90  x  ; gọi R là bán kính
AI
BI
2
x
của trụ  R 
2

Q

P

Ta có:

 x 
Thể tích của khối trụ là: VT   

 2 

Xét f  x  
f  x 

3

x
8

3

 3x
8

2

3

I

3
3
 90  x     x 3  90 x 2 

2
8

 x0
.
 180 x  , f   x   0  
 x  60

x(0;90)

max f  x   f  60  

M

N

C

0.5

 90 x 2  với 0  x  90 .

Khi đó suy ra max f  x   f  60  
x(0;90)

2

B

13500. 3



Khi đó suy ra

0.5

0.5

13500. 3



7


3. Cho hình chóp S . ABC có AB  BC  CA  a , SA  SB  SC  a 3 , M là điểm
bất kì trong không gian. Gọi d là tổng khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng
AB , BC , CA , SA , SB , SC . Tìm giá trị nhỏ nhất của d .

2đ

S

0.5
I

J

O

A

K

C

F
E

G

D

B
Ta có khối chóp S. ABC là khối chóp tam giác đều.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó SG là chiều cao của khối chóp
S .ABC .
Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của BC , AB , CA và I , J , K lần lượt là hình chiếu
của D , E , F trên SA , SC , SB .
Khi đó DI , EJ , FK tương ứng là các đường vng góc chung của các cặp cạnh SA và
BC , SC và AB , SB và CA .
Ta có DI  EJ  FK . Do đó SID  SJE nên SI  SJ .
Suy ra ED ∥ IJ (cùng song song với AC ). Do đó bốn điểm D , E , I , J đồng phẳng.
Tương tự ta có bộ bốn điểm D , F , I , K và E , F , J , K đồng phẳng.

Ba mặt phẳng  DEIJ  ,  DFIK  ,  EFJK  đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến DI , EJ
, FK . Suy ra DI , EJ , FK đồng quy tại điểm O thuộc SG .
Xét điểm M bất kì trong khơng gian.
d  M , SA   d  M , BC   DI


Ta có d  M , SC   d  M , AB   EJ  d  DI  EJ  FK .

d  M , SB   d  M , AC   FK
Do đó d nhỏ nhất bằng DI  EJ  FK  3DI khi M  O .
a 3
2
a 3
2a 6
Ta có AD 
, AG  AD 
, SG  SA2  AG 2 
,
2
3
3
3
  SG  2 2 .
sin SAG
SA
3
  a 3.2 2  a 6 .
Suy ra DI  AD.sin SAD
2
3
3
a 6
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 3DI  3
a 6.
3

0.5

0.5
0.5

8


V.

Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  12 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
8
P 2
 2
 2
 3. (a  2b)(a  2c) .
a  1 b  1 c  4c  8
Ta có (a  b  c) 2  3(a 2  b 2  c 2 )  36  a  b  c  6 . Mặt khác a, b, c  1 nên 5  a
+ b + c + 2  8.
1
1
2
1
1
1
1

Ta CM: 2
(1).
 2

(1)  2

 2

0
a  1 b  1 ab  1
a  1 ab  1 b  1 ab  1
ab  a 2
ab  b 2
(b  a ) 2 (ab  1)
 2
 2
0 2
 0 (2)
(a  1)(ab  1) (b  1)(ab  1)
(a  1)(b 2  1)(ab  1)
Vì a  1, b  1 nên (2) đúng . Do đó (1) đúng. Đẳng thức xảy ra  a = b.
1
1
2
2
 2


a  1 b  1 ab  1  a  b  2


 1
 2 
1
1
8
2
2
 2
 2
 2



2
2
a  1 b  1 c  4c  8  a  b 
c2

 1 
 1
 2 
 2 
1
1
8
64
 2
.
 2
 2


a  1 b  1 c  4c  8  a  b  c  2 2  16

Áp dụng (1), ta có:

2đ

0.25

2

0.5
4
2

a bc 2

 1
4



(a  2b)(a  2c)  a  b  c
64
 P
 3(a  b  c  2)  6 . Đặt t = a + b + c + 2, 5  t  8, ta có:
2
 a  b  c  2   16
64
P 2

 3t  6
t  16
Lại có:

Xét hàm số f (t ) 

64
 3t  6 , với t  [5 ; 8]
t  16
2

128t
 3  0, t  [5;8]  f(t) nghịch biến trên đoạn [5 ; 8].
(t  16) 2
86
86
 f (t )  f (8)   , t  [5;8]  P  
5
5
86
86
P
 a  b  c  2 . Vậy GTNN của P là  , khi a  b  c  2 .
5
5
f '(t ) 

2

Giáo viên thẩm định

Trịnh Đình Hiểu

0.5

0.25

0.5

Giáo viên ra đề

Phạm Thị Nga

9



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

LÀO CAI

NĂM HỌC 2020 – 2021

TOANMATH.com

Môn thi: TỐN THPT

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi: 18/01/2021
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 01 trang – 05 câu

Câu 1. (5,0 điểm)
a) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , biết f '( x)    x  2  x  4  , x   . Xét tính đơn điệu của
2

hàm số y  f  x 2  3 x  .

b) Cho hàm số y  f  x    x  2  x  1 , x   . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm
2

số y  f 2  x   2 f  x   m có 9 điểm cực trị.
Câu 2. (4,0 điểm)



a) Giải bất phương trình 2  3



x



 2. 2  3



x

 1.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 2  2 x  m   2 log 2 x  x 2  4 x  2m  1 có hai
nghiệm thực phân biệt.
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết AB  a , góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 60°.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC.
AM 1 SP 3
 ,
 . Gọi N là giao điểm của
AD 2 SC 5
SD với mặt phẳng  BMP  . Tính thể tích của khối đa diện SABMNP.

b) Lấy các điểm M, P lần lượt thuộc cạnh AD, SC sao cho

Câu 4. (4,0 điểm)
Cho tập S  1; 2;3;; 2016 .
a) Hỏi có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử khác nhau chọn từ tập S, sao cho 3 số được chọn là độ dài 3
cạnh của một tam giác mà cạnh lớn nhất độ dài là 1000.
b) Chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ tập S. Tính xác suất sao cho 3 số được chọn là độ dài 3 cạnh của
một tam giác mà cạnh lớn nhất độ dài là số chẵn.


Câu 5. (2,0 điểm)
a) Cho x, y  0 và thỏa mãn xy  1 . Chứng minh rằng

1

1
2


.
1  x 1  y 1  xy

b) Cho a, b, c là các số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a  b  c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 b
c  3a
.
M 


2 ab cb  ac
-------------------- HẾT ------------------- />Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .
Chữ kí của giám thị 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ kí của giám thị 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THI CHỌN HỌC SINH VÀ HỌC VIÊN GIỎI

TỈNH ĐỒNG NAI

LỚP 12 THPT VÀ GDTX NĂM HỌC 2020 – 2021

TOANMATH.com

Mơn thi: TỐN

Đề thi gồm 01 trang & 06 câu

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (5 điểm)
Cho hàm số y  f  x   x 3  3 x 2  9 x có đồ thị là  C  .
1) Tìm tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị  C  .
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  tại điểm có hồnh độ x  3 .
3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g  x   f  x   m có đúng 5 điểm cực trị.
Câu 2. (3 điểm)
 1 
1) Giải phương trình log 3  x 2  4 x  1  log 3 
  1 (với x   ).
 1 x 

2) Giải phương trình 4 sin x  4sin x.cos 2 x  2 sin 2 x  6 cos x  3  0 .
Câu 3. (2 điểm)
Bạn An làm hai cái bánh là hai khối trụ bằng nhau có tổng thể tích bằng 144 cm3 và dùng giấy carton
làm một cái hộp hình hộp chữ nhật (có đủ 6 mặt) để đựng vừa khít hai cái bánh như hình vẽ. Tính diện
tích nhỏ nhất của giấy carton dùng trong việc nêu trên.

Câu 4. (3,5 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có AB  AC  10a , BC  12a (với 0  a   ), hình chiếu vng góc của đỉnh S
lên mặt phẳng đáy trùng với tâm O của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa hai mặt phẳng
 SBC  và  ABC  bằng 60°.
1) Tính theo a diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
2) Gọi hai điểm D, E lần lượt thuộc hai cạnh AB, BC thỏa mãn AD.BE  60a 2 . Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ADE.

Câu 5. (3 điểm)
1) Một chiếc hộp đựng 20 viên bi giống nhau, mỗi viên bi được ghi một trong các số tự nhiên từ 1 đến
20 (khơng có hai viên bi ghi cùng một số). Bốc ngẫu nhiên 4 viên bi từ chiếc hộp nói trên, tính xác suất
để tổng các số ghi trên các viên bi chia hết cho 3.
2) Tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển 1  x3 1  x  

10

thành đa thức (với x   ).

Câu 6. (3,5 điểm)
 x3  y 3  3 x 2  6 x  3 y  4
1) Giải hệ phương trình 
(với x, y   ).
2
 3 x  2  2 x  y  2  y  4
2) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a  b  c  abc.
-------------------- HẾT ------------------- />Thí sinh được phép sử dụng máy tính cầm tay, không được phép sử dụng tài liệu khi làm bài./.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .
Trường / Trung tâm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

HƯNG YÊN

NĂM HỌC 2020 – 2021

TOANMATH.com

Môn thi: TOÁN

Đề thi gồm 01 trang

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I. (6,0 điểm)
1. Cho hàm số y  g  x   x 2   m  1 x  1 (m là tham số thực). Tìm m để đồ thị  C  của hàm số

y  f  x   x3   m  1 x 2  1  m  x  1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa
mãn g 2  x1   g 2  x2   g 2  x3   15 .
2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   9  x 2 , x   . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
1

hàm số y  f  x 2  2 x    m 2  1  ln x   nghịch biến trên nửa khoảng 1;   .
x


Câu II. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình 9 x   x 2  2 x  1 .3x  2 x3  x 2  0  x    .
2. Cho các số thực a, b thỏa mãn log a2 b2  20  6a  8b  4   1 và các số thực dương c, d thỏa mãn

 c  d  log 3  2c  d   2c 2  3cd  d 2  4c  4d  0 .
2
2
T   a  2c    b  d  .

Tìm

giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

Câu III. (5,0 điểm)
1. Cho hình chóp S.ABC có AB  AC  2a , BC  a , SA  3a  a  0  . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo

  SAC
  60 .
a biết SAB
2. Cho điểm A nằm trên mặt cầu  S  tâm O, bán kính R  9 cm. Gọi I, K là hai điểm trên đoạn OA sao cho
OI  IK  KA . Các mặt phẳng lần lượt đi qua I, K cùng vng góc với OA và cắt mặt cầu  S  theo đường

tròn  C1  ,  C2  . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích khối nón đỉnh O, đáy là đường trịn  C1  ,  C2  . Tính tỉ số
V1
.
V2

3. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vng tại A, AB  AC  a  a  0  , biết B ' A  B ' B  B ' C ;
góc giữa hai mặt phẳng  BCC ' B ' và  ABB ' A ' bằng  với tan  
đường thẳng A ' C ' và B ' C .

5
2 2

. Tính khoảng cách giữa hai


Câu IV. (1,0 điểm)
Tìm nguyên hàm I  

xdx
.
2 x  3x  1
2

Câu V. (2,0 điểm)

a1  2
Cho dãy số  an  xác định như sau: 
.
2
2021
a

a


2023
a

1,
n

1
n 1
n
n

 a  1 a2  1 a3  1
a 1 
Tính: L  lim  1


 n
.
n  a  1
a3  1 a4  1
an 1  1 
 2
Câu VI. (2,0 điểm)
Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn
ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3.
-------------------- HẾT ------------------- />Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .
Chữ ký của cán bộ coi thi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ 1

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

---------------

NĂM HỌC 2020 - 2021
MƠN: TỐN 12
(Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề gồm có 8 trang, 50 câu
(Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu)
Họ tên thí sinh:............................................................SBD:...............................................................

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
( I ) : Trên K , hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

( II ) : Hàm số

y = f ( x ) đạt cực đại tại x3 .

( III ) : Hàm số

y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x1 .

A. 2 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 1 .

y ln ( cosx + 2 ) − mx + 1 đồng biến trên R
Câu 2: Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số=

là:
1
A.  − ; +∞  .
 3





B.  −∞; −


1 

3

1
C.  −∞; −  .


3



1



D.  − ; +∞  .
 3


Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên tập hợp R . Biết f ( 3) = 2 và

1

∫ xf ( 3x ) dx = 5 .
0

3

Giá trị của ∫ x 2 f ' ( x ) dx bằng
0

A. 18.
B. 45.
Câu 4: Trong các hàm số sau
=
f ( x ) tan 2 x + 2

( II ) f ( x ) =

C. 25.
2
cos 2 x

f ( x)
( III ) =

D. −72.
tan 2 x + 1

Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g ( x ) = tan x

( II ) và ( III )
C. Chỉ ( III )
A.

B. Chỉ ( II )
D. ( I ) ; ( II ) ; ( III )

Trang 1/8 - Mã đề 001


Câu 5: Cho dãy số ( un )

A. u21 =

1

3


3
u1 =

3
với 
. Tính u21.
2
u
−
n
1
u
=
, ∀n ≥ 2
 n 1 − un2−1

B. u21 = 3

C. u21 = − 3

D. u21 = 1

Câu 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN

( M ∈ A′C; N ∈ BC ′) là đường vuông góc chung của
3
.

2

A′C và BC ′ . Tỷ số

NB
bằng
NC ′

2
.
3

5
.
2
Câu 7: Gọi S là tập các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2020 của tham số m để phương trình
2 x −1 −=
m log 4 ( x + 2m ) có nghiệm . Tính số phần tử của S

A.

B. 1.

C.

D.

A. 2021 .
B. 1020 .
C. 2020 .

Câu 8: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
C.

1

1

∫

f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx.

B.

∫

f ( x ) dx = 0.

D.

−1
1

0

−1

1

∫

f ( x ) dx =

∫

f ( x=
) dx

0
1

0

D. 2019 .

2

1
f ( x ) dx.
2 ∫0
1

∫ f (1 − x ) dx.
0

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên [ −1; 2] Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như
hình vẽ. Gọi ( K ) ; ( H )

là các hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ. Biết diện tích các hình

phẳng ( K ) ; ( H ) lần lượt là

A. f ( 2 ) = 3

5
12

và

19
8
và f ( −1) = Giá trị của f ( 2 ) bằng
12
3

B. f ( 2 ) = −

2
3

C. f ( 2 ) =

2
3

D. f ( 2 ) =

11
6

= AC
= a , SC ⊥ ( ABC ) và
Câu 10: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB
SC = a . Mặt phẳng qua C , vng góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối
chóp S .CEF .
a3
a3
2a 3
.
C. VSCEF =
.
D. VSCEF = .
36
36
18
3
2
2
2
Câu 11: Cho hàm số: y = 2 x − ( m + 6 ) x − ( m − 3m ) x + 3m có đồ thị là (Cm ) ( m là tham số). Gọi S

A. VSCEF =

2a 3
.
12

B. VSCEF =

là tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hồnh độ

6 . Tính số phần tử của S
x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) =
2

2

2

Trang 2/8 - Mã đề 001


A. 0

C. 3 .

B. 1

D. 2

Câu 12: Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a ,

ACB= 60° , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 45° . Tính thể
tích V của khối chóp S . ABC .

A. V =

a3
.
2 3

B. V =

a3 3
.
6

C. V =

a3 3
.
9

D. V =

a3 3
.
18

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ:

−π
Số nghiệm nằm trong  ;3π  của phương trình f ( cos x + 1=
) cos x + 1 là
 2

B. 2 .

A. 5.

C. f ( 2020) ( x ) =

2020!.x 2015

(1 − x )

2015

C. 3 .

B. f ( 2020) ( x ) =

.

2020!.

(1 − x )

D. 4.

x2
. Đạo hàm cấp 2020 của hàm số f ( x ) là
1− x

Câu 14: Cho hàm số f ( x ) =
A. f ( 2020) ( x ) =



2020!

(1 − x )

D. f ( 2020) ( x ) = −

2021

2020

.

2020!

(1 − x )

2021

.

Câu 15: Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của điểm
A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AA ' và BC bằng a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
4

A.

a

3

3

B.

6

a3 3
3

C.

a3 3
24

D.

a3 3
12

cos 2 2 x − sin x cos x + 4 trên R .
Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
9
2

A. max f ( x ) = .
x∈R

7
2

B. max f ( x ) = .

x∈R

C. max f ( x ) =
x∈R

19
.
4

D. max f ( x ) =
x∈R

Câu 17: Cho hàm số f ( x ) =+
(1 x )( 2 + x )( 3 + x ) .... ( 2020 + x ) . Gọi S là tập

81
.
16

giá trị nguyên

m ∈ [ −2020; 2020] để phương trình f ' ( x ) = m. f ( x ) có 2020 nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần

tử của S
A. 0 .
B. 1 .
C. 1010.2021 .
D. 2020
Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên m ≥ −2020 để hệ phương trình sau có nghiệm
2 x 3 − ( y + 2 ) x 2 + xy =

m
 2
 x + x − y =1 − 2m

Trang 3/8 - Mã đề 001