De thi hoc ki 2 toan 7

ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 7 NĂM 2015-2016
Thời gian: 45 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2 điểm) Điều tra về điểm kiểm tra HKII mơn tốn c ủa các h ọc sinh l ớp 7A, ng ười đi ều tra có k ết
quả sau:
7
7
8

9
6
8

5
10
10

5
5
9

5
9
8

7
8
7

6
9

7

9
10
8

a) Lập bảng tần số, tính số trung bình cộng
b) Tìm mốt của dấu hiệu

9
9
8

4
10
6

7
8
8

8
7
8

7
7
10

3

2
1
2a b ( xy 2 ) − ab x3 y 2

( )

2

5
10
6

2
Bài 2: (1,5 điểm) Cho đơn thức
a) Thu gọn rồi cho biết phần hệ số và phần biến A
b) Tìm bậc của đơn thức A

(a, b là hằng số khác 0)

1
1
P ( x ) = x 2 +7x5 −4−x +
4
2
Bài 3: (2,5 điểm) Cho hai đa thức

1
1
Q ( x ) = x 2 + x+2 −7x5

4
2
và

a) Tính M(x) = P(x) + Q(x), rồi tìm nghiệm của đa thức M(x)
b) Tìm đa thức N(x) sao cho: N(x) + Q(x) = P(x)

Bài 4: (0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để đa thức
nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Bài 5:
a)
b)
c)
d)

A ( x )=x 2−5mx +10m−4

có hai nghiệm mà

^

(3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A, tia phân giác của A BC cắt AC tại D
Cho biết BC = 10cm, AB = 6cm, AD = 3cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CD
Vẽ DE vng góc với BC tại E. Chứng minh ∆ABD = ∆EBD và ∆BAE cân
Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AB và DE. So sánh DE và DF
Gọi H là giao điểm của BD và CF. K là điểm trên tia đ ối c ủa tia DF sao cho DK = DF, I là đi ểm trên
đoạn thẳng CD sao cho CI = 2DI. Chứng minh rằng ba điểm K, H, I thẳng hàng

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2 điểm) Điều tra về điểm kiểm tra HKII mơn tốn c ủa các h ọc sinh l ớp 7A, ng ười đi ều tra có k ết

quả sau:
7
7
8

9
6
8

5
10
10

5
5
9

5
9
8

7
8
7

6
9
7

9

10
8

9
9
8

4
10
6

5
10
6

7
8
8

8
7
8

a) Lập bảng tần số, tính số trung bình cộng
Giải:
Giá trị (x)
4
5
6
7

8
9

Tần số (n)
1
5
4
9
10
7

Tích (x.n)
4
25
24
63
80
63

Số trung bình cộng

X=

319
≈7,60
42

7
7
10

10

6
N = 42

60
Tổng: 319

b) Tìm mốt của dấu hiệu
Giải:

M 0 =8

Mốt của dấu hiệu

3
1
2a b ( xy ) − ab x3 y 2
2
Bài 2: (1,5 điểm) Cho đơn thức
22

2

( )

a) Thu gọn rồi cho biết phần hệ số và phần biến A
Giải:

3
1
2a b ( xy ) − ab x3 y 2
2
2

Ta có

(a, b là hằng số khác 0)

22

( )

=2a 2 b. x2 y 4 .

−1 3 3 3 2
a b .x y
8

( −18 ) . (a . a ) .( b .b ) . ( x . x ). ( y . y )

¿ 2.
¿

2

3

3

2

3

4

2

−1 5 4 5 6
ab x y
4

−1 5 4
ab
Phần hệ số của A là: 4
5 6

Phần biến của A là: x y

b) Tìm bậc của đơn thức A
Giải:
Bậc của đơn thức A là: 5 + 6 = 11

1
1
P ( x ) = x 2 +7x5 −4−x +
4
2
Bài 3: (2,5 điểm) Cho hai đa thức

a) Tính M(x) = P(x) + Q(x), rồi tìm nghiệm của đa thức M(x)
Giải:
Ta có M(x) = P(x) + Q(x)

Ta có

1
1 1
1
= x 2 +7x 5 −4−x + + x 2 +x +2 −7x 5
4
2 4
2
1
1
1 5
¿ 7x5 −7x 5 + x 2 + x 2 −x+x−4+ +
4
4
2 2
1
¿ x2 −1
2
M ( x )=0
1
⇒ x 2 −1=0
2
1
⇒ x 2 =1

2
⇒ x 2 =2

⇒ x= √2 hoặc x=−√ 2
Vậy nghiệm của đa thức M(x) là

x=√ 2 hoặc x=−√ 2

1
1
Q ( x ) = x 2 + x+2 −7x5
4
2
và


b) Tìm đa thức N(x) sao cho: N(x) + Q(x) = P(x)
Giải:
Ta có N(x) + Q(x) = P(x)

⇒ N ( x )=P ( x )−Q ( x )
1
1
1
1
= x 2 +7x5 −4−x+ − x 2 + x +2 −7x 5
4
2
4
2

1
1 1
5
¿ x2 +7x5 −4−x+ − x 2−x− +7x5
4
2 4
4
1
1
1 5
¿ 7x5 +7x5 + x2 − x 2 −x−x−4 + −
4
4
2 4
19
¿ 14x5 −2x−
4
2
Bài 4: (0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để đa thức A ( x )=x −5mx +10m−4 có hai nghiệm mà

(

Giải:

)(

)

nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của đa thức A(x) thỏa x2 = 2x1
Do x1, x2 là hai nghiệm của đa thức A(x) nên thỏa:
x 21−5mx 1 + 10m−4=0 và x 22−5mx 2 +10m−4=0

⇒ x 21 −5mx 1 +10m−4=x 22−5mx 2 +10m−4
⇒ x 21 −5mx 1−x 22 + 5mx 2=0
⇒ x 21 −5mx 1−( 2x1 )2 +5m . ( 2x 1 ) =0
⇒ x 21 −5mx 1−4x 21 +10mx 1 =0
⇒−3x 21 +5mx 1 =0
⇒ x 1 (−3x 1 +5m ) =0
⇒ x 1 =0 hoặc −3x1 +5m=0

⇒ x 1 =0 hoặc

x 1=

5m
3

10m−4=0⇒ 10m=4 ⇒m=

Với x 1=0 ⇒

2

2
5
2

2

5m 5m
5m
25m 25m
x 1= ⇒
−5m.
+10m−4=0⇒
−
+10m−4=0
3
3
3
9
3
Với

( )

⇒25m 2 −75m 2 +90m−36=0 ⇒−50m 2 +90m−36=0⇒ 25m 2 −45m +18=0

⇒ ( 5m−6 ) ( 5m−3 ) =0
5m−6=0 hoặc 5m−3=0
⇒5m =6 hoặc 5m=3

⇒

⇒m=

6
5

hoặc

m=

3
5

2
3
m= ; m=
5
5
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn bài tốn là:

và

m=

6
5

^
Bài 5: (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A, tia phân giác của A BC cắt AC tại D

a) Cho biết BC = 10cm, AB = 6cm, AD = 3cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CD
Giải:


Ta có ∆ABC vng tại A

⇒ BC2 =AB 2 +AC 2 (định lý Pytago)

102 =62 +AC2
2
100=36+AC
AC 2=100−36=64
AC=√ 64=8cm

Ta có CD=AC−AD=8−3=5cm
b) Vẽ DE vng góc với BC tại E. Chứng minh ∆ABD = ∆EBD và ∆BAE cân
Giải:

Xét ∆DAB và ∆DEB có:

0
D A^ B=D E^ B=90 (vì ∆ABC vng tại A, DE ¿ BC)
^ )
D B^ A=D B^ E (vì BD là phân giác A BC

⇒
⇒
⇒

BD: chung
∆DAB = ∆DEB (ch.gn)
BA = BE (2 cạnh tương ứng)
∆BAE cân tại B

c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AB và DE. So sánh DE và DF
Giải:

Ta có ∆DAB = ∆DEB (do trên)
⇒ DE = DA (1) (2 cạnh tương ứng)
Ta có ∆DAF vng tại F
⇒ DF > DA (2) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Từ (1) và (2) ⇒ DF > DE
d) Gọi H là giao điểm của BD và CF. K là điểm trên tia đ ối c ủa tia DF sao cho DK = DF, I là đi ểm trên
đoạn thẳng CD sao cho CI = 2DI. Chứng minh rằng ba điểm K, H, I thẳng hàng
Giải:

∆BCF có CA và FE là 2 đường cao cắt nhau tại D
⇒ D là trực tâm của ∆BCF
⇒ BH ¿ CF
∆BCF có BH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
⇒ ∆BCF cân tại B và BH cũng là đường trung tuyến
Xét ∆CFK có:
CD là trung tuyến (vì DK = DF nên D là trung điểm của FK)


2
CI CI
2DI
2DI 2
CI= CD
=
=
=
=

3
(vì CI = 2DI nên CD CI+DI 2DI+DI 3DI 3 )
I là trọng tâm của ∆CFK
KI đi qua trung điểm của CF
Mà H là trung điểm của KF (vì BH là đường trung tuyến ∆BCF)
Vậy K, I, H thẳng hàng
⇒
⇒