Tài liệu Đề không chuyên toán THPT năng khiếu 2009 ppt

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
www.trungtamquangminh.tk 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009 - 2010
TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN
NĂNG KHIẾU Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
_________________________________________________________________________________________

Bài 1. (2 điểm)
a) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn số
5
4
x
t
x
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
:
2
2
400 5
35 24
4
x
x
xx
⎛⎞
+=+ −
⎜⎟
⎝⎠

b) Cho phương trình
()
2
31230mx m x m++−+=.
Tìm
m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,
x
x thỏa mãn
22
12
34xx
+
=

Bài 2. (2.5 điểm)
Xét biểu thức:
23345
15 4 5
xxxx
R
xxxx
+
++−
=−−
+
−−−

a) Rút gọn R .
b) Tìm số thực
x
để 2R >− . Tìm số tự nhiên
x
là số chính phương sao cho R là số nguyên.

Bài 3. (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
22
0
8
xxyy
xy
++=
⎧
⎨
+=
⎩

b) Cho ,,abc là độ dài ba cạnh của tam giác
A
BC
. Giả sử phương trình

()()()
(
)
(
)

(
)
0xaxb xbxc xcxa−−+−−+−−=

có nghiệm kép. Tính số đo các góc của tam giác
A
BC .

Bài 4. (1.5 điểm)
Cho tam giác
ABC
, có
n
n
00
60 , 45ABC ACB==
. Dựng
(
)
A
HBCHBC
⊥
∈ , và dựng
()
HK AB K AB⊥∈. Gọi
M
là trung điểm của
A
C . Biết
3AH =

, tính
B
C . Chứng minh
B
KMC là tứ giác nội tiếp.

Bài 5. (1 điểm)
Trong kỳ kiểm tra môn Toán một lớp gồm 3 tổ A, B, C, điềm trung bình của học sinh ở các tổ
được thống kê ở bảng sau:

Tổ
A
B C A và B B và C
Điểm trung bình 9.0 8.8 7.8 8.9 8.2

Biết tổ A gồm 10 học sinh, hãy xác định số học sinh và điểm trung bình của toàn lớp.

Bài 6. (1 điểm)
Cho tứ giác lồi
A
BCD nội tiếp đường tròn
(
)
O , có đỉnh A cố định và các đỉnh ,,BCD di
chuyển trên
()
O sao cho
n
0
90BAD > . Kẻ tia

A
x vuông góc với
A
D
cắt
B
C tại
E
, kẻ tia
Ay
vuông góc với
A
B
cắt CD tại
F
. Gọi
K
là điểm đối xứng của
A
qua
EF
. Chứng minh tứ
giác
EFCK nội tiếp được và đường thẳng
EF
luôn đi qua một điểm cố định.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
www.trungtamquangminh.tk 2
Hướng dẫn giải

Bài 1.
a) Đặt
5
4
x
t
x
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
, suy ra
2
222
22
5 25 400 5
16
216 2
x
txt
xx
⎛⎞
+= + ⇒ + = +
⎜⎟
⎝⎠

Phương trình trở thành
2
4
16 24 5 0

1
4
t
tt
t
5
⎡
=
⎢
−+=⇔
⎢
⎢
=
⎢
⎣

Với
5
4
t =
, ta có
1,2
5 5 5 105
44 2
x
x
x
−±
−=⇔ =

Với
1
4
t = , ta có
3
4
5
51
4
44
x
x
x
x
=
−
⎡
−=⇔
⎢
=
⎣

Vậy
5 105 5 105
5; 4; ;
22
S
⎧⎫
−+ −−
⎪⎪

=−
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭

b)
Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt
() ( )
2
0
0
914230
m
m
mmm
≠
⎧
⎪
⇔
≠
⎨
Δ= + − − + >
⎪
⎩

Với điều kiện trên, phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và theo định lý Viet ta có

()
12
12
31
23
m
Sxx
m
m
Pxx
m
⎧−+
=+=
⎪
⎪
⎨
−+
⎪
==
⎪
⎩

Khi đó
()
()
()
2
2
22
12 12 12

2
1
13 12 9
34 2 34 34
3
7
mn
mm
xx xx xx
m
mn
⎡=
++
⎢
+=⇔ + − =⇔ =⇔
⎢
=−
⎢
⎣

Đáp số:
3
1,
7
mm==−

Bài 2
a) Đặt tx= ta có
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
()()
()()
()( )
()()
2
2
2
2
25 31345
23345
15 1 5
45
12
32 2 2
15 15 5
5
tt tt tt
tt tt
R
tt tt
tt
tt

tt t x
tt tt t
x
+−+++−+−
++ +−
=−− =
+− +−
−−
++
−
−− + +
==−=−=−
+− +− −
−

b)* Điều kiện
0
x
≥
Ta có
5
2212
22200
12
555
t
ttt
R
t
ttt

<
⎡
++−
>− ⇔− >− ⇔ − > ⇔ > ⇔
⎢
>
−−−
⎣

Với
55025tx x<⇔ <⇔≤<
Với
12 12 144txx>⇔ >⇔>
Vậy giá trị
x
cần tìm là 025
x
≤< và 144
x
>
• Ta có
x
là số chính phương nên tx
=
∈`
Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
www.trungtamquangminh.tk 3
Khi đó
27
1

55
t
R
tt
+
=− =− + ∈ ⇒
−−
` t – 5 là ước của 7, mặt khác 55t
−
≥− do đó
51,1,7t
−=−
Từ đó những giá trị x cần tìm là
16,36,144
x
=

Bài 3.
a)
22
0
8
xxyy
xy
++=
⎧
⎨
+=
⎩

Đặt
,SxyPxy
=+ =
, khi đó ta có hệ
22
4
0
4
2
28 280
2
S
SP P S
P
S
SP SS
P
⎡
=−
⎧
⎨
⎢
+= =−
=
⎧⎧
⎩
⎢
⇔⇔
⎨⎨
⎢

=
−= +−=
⎧
⎩⎩
⎢
⎨
=−
⎢
⎩
⎣

Với
4
4
S
P
=−
⎧
⎨
=
⎩
ta có
42
42
xy x
xy y
+=− =−
⎧⎧
⇔
⎨⎨

==−
⎩⎩

Với
2
2
S
P
=
⎧
⎨
=−
⎩
ta có
2
2
xy
xy
+=
⎧
⎨
=−
⎩
giải hệ ta được
13
13
x
y
⎧
=−

⎪
⎨
=+
⎪
⎩
hoặc
13
13
x
y
⎧
=−
⎪
⎨
=+
⎪
⎩

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm
()
;
x
y là
(
)
(
)
(
)
2; 2 , 1 3;1 3 , 1 3,1 3−− + − − +

b)
()()()()()
(
)
0xaxb xbxc xcxa−−+−−+−−=
()( )
2
32 0xabcxabbcac⇔−+++++=
Ta có
()( )
2
222
3a b c ab ac bc a b c ab ac bc
′
Δ= + + − + + = + + − − −
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi
()()()
222
222
1
00 0
2
0
abcabbcac ab bc ca
abbc ca a bc
⎡⎤
′
Δ= ⇔ + + − − − = ⇔ − + − + − =
⎣⎦
⇔−=−=−=⇔==

Khi đó tam giác ABC đều, suy ra
l
l
l
0
60ABC===
Bài 4.

a)
Trong tam giác vuông ABH ta có
n
n
0
3
tan 1
tan60
tan
AH AH
ABH BH
BH
ABH
=
⇒= = =
Trong tam giác vuông AHC có
n
n
00
45 45ACH HAC=⇒ = nên AHC là tam giác vuông
cân, suy ra

3HC HA==

Do đó
13BC BH CH=+=+ (đvđd)
b) Tam giác AHC vuông cân, có AM là trung tuyến nên
cũng là đường cao, suy ra
A
MHC⊥

C1: Tứ giác AKHM có
n
n
00 0
90 90 180AKH AMH+=+= nên là tứ giác nội tiếp, suy ra
n
n
n
00
90 45AKM AHM HAM==−=
Tứ giác BKMC có
n
n
0
45AKM BCM== nên là tứ giáv nội tiếp.
C2: Ta có AK. AB = AH
2
, AM. AC = AH
2
, suy ra AK. AB = AM. AC
45

0
60
0
K
H CB
A
M
Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
www.trungtamquangminh.tk 4
Suy ra tam giác AKM và ABC đồng dạng (c.g.c), suy ra
n
n
0
45AKM BCM== nên là tứ BKMC giác
nội tiếp.

Bài 5. Gọi x, y lần lượt là số học sinh tổ B và C.
Ta có
910 8,8
8,9 10
10
x
x
x
×+ ×
=⇒=
+

Tương tự
8,8 7,8

8, 2
xy
xy
×+ ×
=
+
, với x = 10 thì y = 15
Vậy điểm trung bình của cả lớp là
910 8,810 7,815
8, 43
10 xy
×
+×+×
=
++

Bài 6.
* Tứ giác ABCD nội tiếp nên
n
n
0
180BAD BCD+=

Và
n
n
n
n
n
n

n
n
00 0
90 90 180
BAD EAF BAE EAF FAD EAF
BAF DAE
+=+++
=+=+=

Suy ra
n
n
BCD EAF= (1)
Mặt khác, do A và K đối xứng nhau qua EF nên
n
n
EKF EAF
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
n
n
EKF ECF=
, do đó tứ giác
EFKC nội tiếp.
* Vì tứ giác EFKC nội tiếp nên ta có
n
n
FCK FEK=

mà
n
n
FEK FEA
=
(do tính chất đối xứng)
Và
n
n
FEA KAD
=
(cùng phụ với
n
KAE )
Do đó
n
n
KAD FCK=
Suy ra tứ giác ADKC nội tiếp, suy ra K thuộc (O), suy ra OA = OK, suy ra O thuộc đường trung trực
của AK mà EF là đường trung trực của AK nên O thuộc EF. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O
cố định.



Nhận xét:

Đề năm nay cho khá dài so với thời gian 120 phút. Vì là đề chung cho tất cả các lớp chuyên nên kiến
thức dàn trải và có vài câu khó. Tuy nhiên để được 4 thì cũng không khó nếu các em làm bài cẩn thận.
Có thể nhận xét từng câu như sau:
Câu 1:

a) (0,75) Câu này nhiều em không làm được, vì không thể tính tất cả theo
t.
b)
(1,25) Câu này thuộc dạng cơ bản và dễ, các em sót điều kiện phương trình có hai nghiệm phân
biệt. (0,25) và nhiều em không hiểu sao lại bỏ trường hợp m = -3/7 (!)
Câu 2. a) (1) Câu này dễ và quen, và quan trọng vì nếu làm được thì câu b mới làm được. Tuy vậy có
nhiều không rút gọn triệt để hoặc sai dấu (!)
b)
*(1) Câu này nhiều bạn sai nhất, vì không chuyển vế xét trường mà quy đồng bỏ mẫu một cách
rất tự nhiên và tất nhiên là sai.
(*) (0,5) Câu này không khó và nhiều em làm đúng.
Câu 3. a) Bài hệ thì quá cơ bản, tuy vậy có nhiều em giải ra tích và tổng đúng nhưng khi áp dụng định
lý đảo Viet lại sai (X
2
– SX + P = 0 mà cứ lộn X
2
+ SX – P = 0)
y
x
K
F
E
O
A
D
B
C
Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
www.trungtamquangminh.tk 5
b) Bài này nhìn có vẻ rắc rối nhưng nếu đưa về phương trình bậc hai thì coi như xong. (lại một câu về

phương trình bậc 2)
Câu 4. Câu này có lẻ là dễ nhất trong đề, và hầu lết làm được và đúng.
Câu 5. Câu này không khó, nếu “chịu” làm thì sẽ làm đúng kết quả. Và cũng nhiều em làm đúng.
Câu 6. Câu này là câu khó nhất, và nhiều em bỏ nhất. Ý đầu tiên có lẽ không khó nhưng ý sau thì khó.
Câu này là câu phân loại và dành cho học sinh chuyên toán.

Trên đây là một vài nhận xét chủ quan của người vi
ết. Hy vọng rút kinh nghiệm trong các kỳ thi sau và
có kết quả tốt hơn.