Tài liệu Kinh tế lượng cơ sở - Bài 3 docx

Bài 3. MÔ HÌNH HỒI QUI bội (Multiple regression)


1. Mô hình hồi qui 3 biến.

1.1. Mô hình:
Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào 2 biến giải thích X
2
,
X
3
có dạng
PRF: E(Y/ X
2i
, X
3i
) =
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
(1)

Đồ thị là một mặt phẳng
PRM: Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ u
i
trong đó: β
1
gọi là hệ số chặn ( intercept)
β
j
( j = 2,3) gọi là hệ số góc riêng phần ( partial slope)
Giả sử mọi giả thiết của OLS đều thoả mãn, lúc đó với mẫu kích thước n được
lập từ tổng thể sẽ xác định được:

SRF: = + X
i
Y

ˆ
1
ˆ
β
2
ˆ
β
2i
+ X
3
ˆ
β
3i
(2)
SRM: Y
i
=
β
ˆ
1
+
β
ˆ
2
X
2i
+
β
ˆ
3

X
3i
+ e
i
Tìm ( j =
j
β
ˆ
3,1
) sao cho Q = → min
∑∑
==
=−
n
i
i
n
i
ii
eYY
1
2
1
2
)
ˆ
(
⇒
∂
Q/

∂
β
ˆ
1
= 0

∂
Q/
∂
β
ˆ
2
= 0

∂
Q/
∂
β
ˆ
3
= 0

⇒
β
ˆ
1
n +
β
ˆ
2

∑X
2i
+
β
ˆ
3
∑X
3i
= ∑Y
i

β
ˆ
1
∑X
2i
+
β
ˆ
2
∑X
2i
2
+
β
ˆ
3
∑X
2i
X

3i
= ∑X
2i
Y
i

β
ˆ
1
∑X
3i
+
β
ˆ
2
∑X
2Ü
X
3i
+
β
ˆ
3
∑X
3i
2
= ∑X
3i
Y
i

Ký hiệu:
Y
= (∑Y
i
)/n
X
2
= (∑X
2i
)/n
X
3
= (∑X
3i
)/n
y
i
= Y
i
–
Y
x
2i
= X
2i
–
X
2
x

3i
= X
3i
–
X
3


⇒
β
ˆ
1
=
Y
-
β
ˆ
2
X
2
-
β
ˆ
3
X
3

∑x
2i
y

i
∑x
3i
2
- ∑x
3i
y
i
∑x
2i
x
3i

β
ˆ
2
=
∑x
2i
2
∑x
3i
2
– (∑x
2i
x
3i
)
2

∑x
3i
y
i
∑x
2i
2
- ∑x
2i
y
i
∑x
2i
x
3i

β
ˆ
3
=
∑x
2i
2
∑x
3i
2
– (∑x
2i
x
3i

)
2

⇒ = → Hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ.
i
y
ˆ
ii
xx
3322
ˆˆ
ββ
+



1.2. Các tham số của các ước lượng OLS.
E(
β
ˆ
j
) = β
j
j =
3,1

Var(
β
ˆ
1

) =
⎢
⎣
⎡
n
1
+
⎥
⎥
⎦
⎤
−
−+
∑∑ ∑
∑
∑
∑
2
32
2
3
2
2
3232
2
2
2
3
2
3

2
2
)(
2
iiii
iiii
xxxx
xxXXxXxX
σ
2
Var(
β
ˆ
2
) =
∑∑ ∑
∑
−
2
32
2
3
2
2
2
3
)(
iiii
i
xxxx

x
σ
2
=
∑
− )1(
2
23
2
2
2
rx
i
σ

Var( ) =
3
ˆ
β
∑∑ ∑
∑
−
2
32
2
3
2
2
2
2

)(
iiii
i
xxxx
x
σ
2
=
∑
− )1(
2
23
2
3
2
rx
i
σ

Se( ) =
j
β
ˆ
)
ˆ
var(
j
β
trong đó =
22

ˆ
σσ
≈
3−n
RSS

Cov( ) =
32
ˆˆ
ββ
2
3
2
2
2
23
2
23
)1(
ii
xxr
r
−
−
σ

1.3. Hệ số xác định bội R
2

ESS RSS
R
2
= = 1 -
TSS TSS
Với mô hình ba biến:
R
2
=
∑
∑
∑
+
2
3322
ˆˆ
i
iiii
y
yxyx
ββ

1.4. Hệ số tương quan.
a. Hệ số tuơng quan bội R: Là căn bậc hai của hệ số xác định bội và đo mức
độ tương quan tuyến tính chung giữa Y, X
2
và X
3
.
b. Hệ số tương quan cặp r
ij
: Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và
biến j của mô hình.
=
2
12
r
∑∑
∑
22
2
2
2
)(
ii
ii
yx
yx

=

2
13
r
∑∑
∑
22
3
2
3
)(
ii
ii
yx
yx

=
2
23
r
∑∑
∑
2
3
2
2
2
32
)(
ii
ii

xx
xx

c. Hệ số tương quan riêng phần r
ij , k
: Đo mức độ tương quan tuyến tính
giữa biến i và biến j của mô hình với điều kiện biến k không đổi.
r
12,3
=
)1)(1(
2
23
2
13
231312
rr
rrr
−−
−

r
13,2
=
)1()1(
2
23
2
12
231213

rr
rrr
−−
−

r
23,1
=
)1)(1(
2
13
2
12
131223
rr
rrr
−−
−




Ví dụ: Bảng sau đây cho Tỷ lệ lạm phát Y(%), Tỷ lệ thất nghiệp X
2
(%) và Tỷ lệ
lạm phát kỳ vọng X
3
(%) của Mỹ giai đoạn 1970- 1982:
Năm Y X
2

X
3
1970 5.92 4.9 4.78
1971 4.30 5.9 3.84
1972 3.30 5.6 3.13
1973 6.23 4.9 3.44
1974 10.97 5.6 6.84
1975 9.14 8.5 9.47
1976 5.77 7.7 6.51
1977 6.45 7.1 5.92
1978 7.60 6.1 6.08
1979 11.47 5.8 8.09
1980 13.46 7.1 10.01
1981 10.24 7.6 10.81
1982 5.99 9.7 8.00

a. Hồi quy Y với X
2
và cho nhận xét. Yt = õ1+ õ2*X2 + ut: õ2 < 0 do LP và TN
là nghịch biến. Kết quả do õ2>0 mô hìn sai.
b. Hồi quy Y với X
2
và X
3
và so sánh với kết quả thu được ở phần a.
c. Hãy phân tích kết quả thu được ở mô hình 3 biến.
Yt = õ1+ õ2*X2 + õ3*X3 + ut: õ2 < 0 do LP và TN là nghịch biến. Kết quả õ2 <
0 và õ3>0 (Tỷ lệ TN tỷ lệ thuận với LP kỳ vọng) vậy thêm mô hình thêm biến X3
là phù hợp hơn.

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 02/17/09 Time: 09:40
Sample: 1970 1982
Included observations: 13
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C 6.127172 4.285283 1.429817 0.1806
X2 0.244934 0.630456 0.388502 0.7051
R-squared 0.013536 Mean dependent
var
7.75692
3
Adjusted R-
squared
-
0.076143
S.D. dependent var 3.04189
2
S.E. of regression 3.155577 Akaike info
criterion
5.27685
8
Sum squared resid 109.5343 Schwarz criterion 5.36377
3
Log likelihood -

32.29958
F-statistic 0.15093
4
Durbin-Watson
stat
0.969568 Prob(F-statistic) 0.70505
8





Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 02/17/09 Time: 09:35
Sample: 1970 1982
Included observations: 13
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C 7.193357 1.594789 4.510538 0.0011
X2 -
1.392472
0.305018 -4.565214 0.0010
X3 1.470032 0.175786 8.362633 0.0000
R-squared 0.876590 Mean dependent
var
7.75692
3
Adjusted R-

squared
0.851907 S.D. dependent var 3.04189
2
S.E. of regression 1.170605 Akaike info
criterion
3.35209
2
Sum squared resid 13.70316 Schwarz criterion 3.48246
5
Log likelihood -
18.78860
F-statistic 35.5152
1
Durbin-Watson
stat
2.225465 Prob(F-statistic) 0.00002
9





2. Mô hình hồi quy tổng quát k biến - Dạng ma trận của mô hình

2.1. Mô hình
Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào k – 1 biến giải thích
X
2
, ,X
k

có dạng
PRF: E(Y
i
) =
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ … +
β
k
X
ki
(1)
PRM: Y
i
=
β
1
+
β
2

X
2i
+
β
3
X
3i
+ … +
β
k
X
ki
+ u
i
(2)
trong đó: β
1
gọi là hệ số chặn
β
j
( j=2,k) gọi là các hệ số góc riêng phần


Với mẫu W = {(X
2i
, X
3i
,…,X
ki
, Y

i
); i = 1
÷
n},
SRF: = + X
i
Y
ˆ
1
ˆ
β
2
ˆ
β
2i
+ X
3
ˆ
β
3i
+ … + X
k
β
ˆ
ki
(3)
SRM: Y
i
= + X
1

ˆ
β
2
ˆ
β
2i
+ X
3
ˆ
β
3i
+ … + X
k
β
ˆ
ki
+ e
i
(4)
2.2. Dạng ma trận
Y
1
=
β
1
+
β
2
X
21

+ …+
β
k
X
k1
+ u
1

Y
2
=
β
1
+
β
2
X
22
+ …+
β
k
X
k2
+ u
2

…
Y
n-1
=

β
1
+
β
2
X
2n-1
+ +
β
k
X
kn-1
+ u
n-1

Y
n
=
β
1
+
β
2
X
2n
+ …+
β
k
X
kn

+ u
n


⇔
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
×
⎟

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜

⎝
⎛
−−−
k
knn
knn
k
k
n
n
u
u
u
u
XX
XX
XX
XX
Y
Y
Y
Y
2
1
2
112
222
121
1
2

1
.

1
1

1
1

β
β
β
→ Y
(n×1)
= X
(n×k)
×

β
(k×1)
+ U
(n×1)


Y = X×β + U → E(Y) = Xβ
Tương tự, đặt = ;
Y
ˆ
⎟
⎟

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
n
n
Y
Y
Y
Y
ˆ
ˆ

ˆ
ˆ
1
2

1
β
ˆ
= ; e = , th×
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
k
β
β
β
ˆ

ˆ
ˆ
2
1
⎟
⎟

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
n
n
e
e
e
e
1
2
1



Y
ˆ
= X

β
ˆ

Y = X
β
ˆ
+ e




2.3. Phương pháp bình phương nhỏ nhất
Tìm
β
ˆ
sao cho
∑
= e’e → min
=
n
i
i
e
1
2
⇔ (Y - X
β
ˆ
)’ (Y - X
β

ˆ
) → min ⇔ X’X
β
ˆ
= X’Y
Nếu tồn tại (X’X)
-1
thì
β
ˆ
= (X’X)
-1
X’Y

Khi đó
β
ˆ
= (X’X)
-1
X’Y là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất
của β



2.4. Các tham số của ước lượng
Kì vọng : E(
β
ˆ
) = β
Phương sai – hiệp phương sai

Cov(
β
ˆ
) = =
σ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
)
ˆ
( )
ˆ
,
ˆ
()
ˆ
,
ˆ
(

)
ˆ
,
ˆ
( )
ˆ
()
ˆ
,
ˆ
(
)
ˆ
,
ˆ
( )
ˆ
,
ˆ
()
ˆ
(
21
2212
1211
kkk
k
k
VarCovCov

CovVarCov
CovCovVar
βββββ
βββββ
βββββ
2
(X’X)
-1

Với
σ
2
được ước lượng bởi =
2
ˆ
σ
kn −
ee'



2.5. Sự phù hợp của hàm hồi qui :


Hệ số xác định béi:
R
2
=
TSS
ESS

= 1 -
TSS
RSS
Đánh giá sự phù hợp của hàm hồi qui
Cho biết tỉ lệ sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi tất cả các
biến giải thích có trong mô hình.

R
2
có các tính chất sau:
+ 0
≤
R
2
≤ 1.
Tính chất này dùng để đánh giá mức độ thích hợp của hàm hồi quy.
+ Giá trị của R
2
đồng biến với số biến giải thích của mô hình. Tuy nhiên
không thể lấy điều đó để xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình.
KHông thể quyết định đưa thêm biến vào đúng hay sai. Phải tính thêm 2.6

2.6. Hệ số xác định bội hiÖu chỉnh.
⎯R
2
= 1 – (1 – R
2
)
kn
n

−
−
1


R
2
có các tính chất sau:
+
R
2
có thể nhận giá trị âm.(khi nào R
2
nhận giá trị âm?)
+ Khi số biến giải thích của mô hình tăng lên thì
R
2
tăng chậm hơn R
2
.
⎯
R
2
≤ R
2
≤ 1

Tính chất này được dùng làm căn cứ xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào
mô hình. Khi đưa thêm biến vào mô hình mà
2

R
còn tăng hoặc khi giá trị t của
kiểm định về sự bằng không của hệ số hồi quy tương ứng với biến đưa thêm còn
lớn hơn 1 thì việc đưa thêm biến còn hợp lý.



2.7. Hệ số tương quan.
a. Hệ số tương quan bội R.
b. Hệ số tương quan cặp r
ij
(i,j =
k,1
)
Các hệ số tương quan cặp thường được cho trong ma trận sau:
r
ij
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜

⎝
⎛
1

1
1
321
22321
11312
kkk
k
k
rrr
rrr
rrr
rij = rji(i,j = 1,k)
c. Hệ số tương quan riêng phần r
12,34. . . k
. . . r
k-1k,12 . . . k-2

r
k-1k,12 . . . k-2 :
: Biểu thị sự tương quan giữa biến X
k-1,Xk trong12 . . . k-2


→ Các hệ số tương quan cặp được gọi là hệ số tương quan riêng phần
bậc 0.

3. Suy diễn thống kê.

3.1. Ước lượng khoảng
i. Khoảng tin cậy cho từng hệ số
j
β
ˆ
– Se( )t
j
β
ˆ
α
2
(n – k) <
β
j
< + Se( )t
j
β
ˆ
j
β
ˆ
α
1
(n – k) (j =

k,1
)
→ Khoảng tin cậy đối xứng, bên phải, bên trái.

ii. Khoảng tin cậy cho hai hệ số

( ) – Se( )t
ji
ββ
ˆˆ
±
ji
ββ
ˆˆ
±
α
2
(n – k) <
β
i
±
β
j
<( ) + Se( )t
ji
ββ
ˆˆ
±
ji
ββ

ˆˆ
±
α
1
(n – k)
Se : Đ ộ l ệch chu ẩn
Với Se( ) =
ji
ββ
ˆˆ
±
)
ˆˆ
(
ji
Var
ββ
±
=
)
ˆ
()
ˆ
,
ˆ
(2)
ˆ
(
jjii
VarCovVar

ββββ
+±


iii. Khoảng tin cậy cho sai số ngẫu nhiờn

)(2
2
2
)(
ˆ
kn
kn
−
−
α
χ
σ
<
σ
2
<
)(2
11
2
)(
ˆ
kn
kn
−

−
−
α
χ
σ


→ Khoảng tin cậy hai phía, bên phải, bên trái.




3.2. Kiểm định giả thuyết :
a. Kiểm định T:

Cặp giả thuyết Tiêu chuẩn kiểm
định
Miền bác bỏ H
0
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
*
1
*
0

:H
:H
jj
jj
ββ
ββ


⏐T
qs
⏐>
)(
2/
kn
t
−
α
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
=
*
1
*
0
:H
:H

jj
jj
ββ
ββ

T
qs
=
)
ˆ
(
ˆ
*
j
jj
Se
β
ββ
−

T
qs
>
)( kn
t
−
α
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
<
=
*
1
*
0
:H
:H
jj
jj
ββ
ββ


T
qs
< –
)( kn
t
−
α
⎩
⎨
⎧
≠±
=±
a
a

ji
ji
ββ
ββ
:H
:H
1
0

T
qs
=
)
ˆˆ
(
ˆˆ
ji
ji
Se
a
ββ
ββ
±
−±

⏐T
qs
⏐>
)(
2/

kn
t
−
α

b. Kiểm định χ
2
:
Đối với σ
2
việc kiểm định cũng tiến hành tương tự với tiêu chuẩn kiểm
định:

χ
2
=
2
0
2
ˆ
)(
σ
σ
kn −


4. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi qui
⎩
⎨
⎧

≠
=
0:H
0:H
2
1
2
0
R
R
⇔
⎩
⎨
⎧
≠≠∃
===
)1(:0:H
0 :H
1
20
j
j
k
β
ββ
Tất cả các biến giải thích không giải thích cho
Y
Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y

F

qs
=
)/(1
)1/(
)/(
)1/(
2
2
knR
kR
knRSS
kESS
−−
−
=
−
−

F
qs
> F
α
(k - 1; n - k) thì bác bỏ H
0
: hàm hồi qui là phù hợp.

Tất cả các kiểm định trên cũng đều có thể tiến hành bằng phương pháp P-value.
Ví dụ: Với tệp số liệu đã cho, hãy tìm các ước lượng bằng phương pháp ma
trận và các tham số tương ứng của mô hình. Hãy tiến hành các ước lượng và kiểm
định cần thiết.

β
ˆ




5. Kiểm định thu hẹp hồi qui (Kiểm định Wald):
5.1. Thủ tục:
Xét mô hình:

E(Y/X
2
, ,X
k - m
, ,X
k
) =
β
1
+
β
2
X
2
+ … +
β
k
X
k
(UR)

Nghi ngờ m biến giải thích X
k-m+1
,…, X
k
không giải thích cho Y

⎩
⎨
÷+−=≠∃ )1(:0:H
1
kmkj
j
β
⎧
===
+−+−
0 :H
210 kmkmk
βββ

Tất cả m biến giải thích không giải thích cho Y
Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y
Nếu giả thuyết H
0
là đúng thì mô hình trở thành:
E(Y/X
2
,…, X
k - m
) =

β
1
+
β
2
X
2
+ … +
β
k-m
X
k - m
(R)
Tiêu chuẩn kiểm định:
F
qs
=
)/( knRSSur −
/)( mRSSurRSSr
−
=
)/()1(
2
knR
ur
ñur
−−
/)(
22
mRR −

Nếu F
qs
> F
α
(m, n – k) bác bỏ H
0

- Trường hợp m = 1: F
qs
= (T
qs
)
2
với T
qs
ứng với hệ số duy nhất cần
kiểm định.
- Trường hợp m = k – 1 : F
qs
trong kiểm định thu hẹp chính là F
qs

trong kiểm định sự phù hợp.
- Kiểm định thu hẹp hồi qui còn dùng cho những trường hợp khác.

Ví dụ: Với tệp số liệu ch3bt5 hãy ước lượng hàm cầu về thịt lợn phụ
thuộc vào giá và thu nhập theo dạng tuyến tính và tuyến tính lôga và
cho nhận xét. Có thể bỏ được biến nào ra khỏi mô hình hay không?

5.2. Các dạng thu hẹp hồi qui

Ví dụ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ u
i
(UR)
H
0
:
β
3
= 1; H
1
:

β
3
≠ 1.
H
0
đúng ⇒ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+ X
3i
+ u
i

⇔Y
i
– X
3i
=
β
1
+
β
2

X
2i
+ u
i
⇔ Y
i
*
=
β
1
+
β
2
X
2i
+ u
i
(R)


H
0
:
β
2
=
β
3
; H
1

:
β
2
≠
β
3
.
H
0
đúng ⇒ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
2
X
3i
+ u
i

⇔ Y
i
=

β
1
+
β
2
(X
2i
+X
3i
) + u
i
⇔Y
i
=
β
1
+
β
2
X
i
*
+ u
i
(R)

H
0
:
β

2
+
β
3
= a; H
1
:
β
2
+
β
3
≠ a
H
0
đúng ⇒ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+ (a –
β
2
)X
3i

+ u
i

⇔ Y
i
– aX
3i
=
β
1
+
β
2
(X
2i
–X
3i
) + u
i

⇔
Y
i
*
=
β
1
+
β
2

X
i
*
+ u
i
(R)


6. Dự báo.

6.1. Dự báo giá trị trung bình
0
ˆ
Y
0
ˆ
0
ˆ
Y
0
ˆ
– Se(
Y
)t
α
2
(n – k)

< E(Y/X
0

) < + Se(
Y
)t
α
1
(n – k)
0
’
β
ˆ
và Se(
Y
) =
0
Với
Y
= X
0
ˆ ˆ
00
X(X''X
ˆ
σ
ˆ
Y
ˆ
1
X)
−

6.2. Dự báo giá trị cá biệt
0
– Se(Y
0
)t
α
2
(n – k)

< Y
0
<
Y
+ Se(Y
0
0
) t
α
1
(n – k)
Với Se(Y
0
) =
00
1
XX)(X''X 1
ˆ
−
+

σ



7. Một số mô hình Kinh tế

7.1. Hàm thu nhập – chi tiêu
Y
i
: Thu nhập
C
i
: Chi tiêu
C
i
=
β
1
+
β
2
Y
i
+ u
i
- C là chi tiêu cho tiêu dùng :
β
1
> 0; 1 >
β

2
> 0
- C là chi tiêu cho hàng hóa thông thường
- C là chi tiêu cho hàng hóa cao cấp
- C là chi tiêu cho hàng hóa thứ cấp


7.2. Hàm cầu
Q
i
: cầu về hàng hóa
P
i
: giá cả hàng hóa
PT
i
: giá hàng hóa thay thế
PB
i
: giá hàng hóa bổ sung
Q
i
=
β
1
+
β
2
P
i

+
β
3
PT
i
+
β
4
PB
i
+ u
i



7.3. Hàm tăng trưởng
r : tỷ lệ tăng trưởng
t : thời gian
Y
t
và Y
0
là giá trị của biến Y tại thời kỳ t và thời kỳ gốc
Y
t
= Y
0
(1+ r)
t
⇒ LnY

t
= LnY
0
+ t.Ln(1 + r)
⇒ Y
’
t
= β
1
+ β
2
.t


7.4. Hàm chi phí – sản lượng
Q
i
: sản lượng
TC
i
: tổng chi phí, MC
i
: chi phí cận biên, AC
i
: chi phí trung bình, FC
i
: chi
phí cố định
TC
i

=
β
1
+
β
2
Q
i
+
β
3
Q
2 3
2
i
+
β
4
Q

i
+ u
i

→ FC
i
=
β
1
+ u

i
→ MC
i
=
β
2
+ 2
β
3
Q
i
+ 3
β
4
Q
i
+ u
i
→ AC
i
=
i
Q
1
β
2
+
β
2
+

β
3
Q
i
+
β
4
i
Q
+ u
i
7.5. Hàm hyperbol
Y=
X
21
1
ββ
+

Là hàm phi tuyến đối với X song tuyến tính đối với tham số
a. Nếu cả
β
1
và
β
2
đều dương, khi đó đồ thị cong xuống với mức tiệm cận dưới là
β
1
. Hàm này thường được dùng để phân tích chi phí trung bình để sản xuất 1 sản

phẩm.
b. Nếu
β
1
>0 và
β
2
< 0 khi đó đồ thị cong lên với mức tiệm cận trên là
β
1
. Hàm
này ding để phân tích sự phụ thuộc của chi tiêu vào thu nhập.
c. Nếu
β
1
<0 và
β
2
> 0 thì đó là đường cong Philips, nó cong xuống và tiệm cận
β
1
ở dưới trục hoành.

7.4. Hàm mũ – Hàm Loga tuyến tính
Mô hình kinh tế có dạng Y
i
=
β
0
X

2i
β
2
X
3i
β
3
⇔ lnY
i
= ln
β
0
+
β
2
lnX
2i
+
β
3
lnX
3i

Xét mô hình LY
i
=
β
1
+
β

2
LX
2i
+
β
3
LX
3i
+ v
i
⇔ E(Y / X
2i
, X
3i
) = e
β
1
X
2i
β
2
X
3i
β
3

β
1
: E(Y/X
2i

= X
3i
= 1) = e
β
1
β
2
=
ε
E(Y)/X2
: Khi X
2
thay đổi 1%, yếu tố khác không đổi, thì E(Y)
thay đổi
β
2
%
Ví dụ mô hình : E(Q
i
) = e
β
1
K
i
β
2
L
i
β
3

7.5. Hàm nửa Loga
*Mô hình : Y
i
=
β
1
+
β
2
lnX
i
+ u
i

β
1
= E(Y/X = 1)

β
2
: Khi X t¨ng 1% thì E(Y) thay đổi
β
2
đơn vị.
*M« h×nh : LnY
i
=
β
1

+
β
2
X
i
+ u
i

2
β
: Khi X t¨ng 1 ®¬n vÞ th× E(Y) thay ®æi
2
β
%.

7.6. Hàm chi phí – lợi ích
C
i
: chi phí
U
i
: lợi ích
U
i
=
β
1
+
β
2

C
i
+
β
3
2
i
C
+ u
i
β
2: >0 do LI
đồng biến CP
β
2 <0 : LI cận
biên giảm dần