Tài liệu Kinh tế lượng cơ sở - Bài 6 pptx

Bài 6. TỰ TƯƠNG QUAN


1. Hiện tượng tự tương quan ( Autocorrelation or Serial correlation)


1.1. Hiện tượng
MH ban đầu: Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t
+ u
t
Gt 5: Các sai sè ngẫu nhiên không tương quan
Cov(u
i
, u
j
) = 0 (i ≠ j) hoặc Cov(u
t
, u
t - p
) = 0 (p ≠ 0)
Nếu gt bị vi phạm : hiện tượng tự tương quan bậc p
Xét trường hợp p = 1

u
t
và u
t-1
có cùng trung bình và phương sai
→ u
t
=
ρ
u
t - 1
+
ε
t


( - 1 ≤
ρ
≤ 1,
ε
t
thỏa mãn các giả thiết của OLS)
•
ρ
= - 1 tự tương quan âm hoàn h¶o
• - 1 <
ρ
< 0 tự tương quan âm
•
ρ

= 0 không có tự tương quan
• 0 <
ρ
< 1 tự tương quan dương
•
ρ
= 1 tự tương quan dương hoàn h¶o
⇒ L-îc ®å AR(1)
Tổng quát : tự tương quan bậc p :
u
t
=
ρ
1
u
t - 1
+
ρ
2
u
t - 2
+ … +
ρ
p
u
t - p
+

ε
t

với
ρ
p
≠ 0
⇒ L-îc ®å AR(p) : Autoregresseve Procedure order p.

1.2. Nguyên nhân
- Bản chất, tính quán tính trong hiện tượng kinh tế xã hội
- Hiện tượng mạng nhện trong kinh tế
- Quá trình xử lý, nội suy số liệu
- Mô hình thiếu biến hoặc dạng hàm sai


2. Hậu quả
- Các ước lượng là không chệch nh
ưng không còn là ước lượng tốt
nhất.


3. Phát hiện

3.1. Quan sát đồ thị của e
t
theo e
t-1
Bứơc 1. Hồi quy mô hình gốc để tìm e
t
và e
t-1
Bước 2. Vẽ đồ thị của e

t
theo e
t-1
và nhận xét.



3.2. Kiểm định Durbin – Watson
Kiểm định Durbin – Watson dựa trên thống kê
d =
∑
∑
=
=
−
−
n
t
t
n
t
tt
e
ee
1
2
2
2
1
)(

≅ 2( 1 -
ρ
ˆ
)
với
∑
∑
=
=
−
=
n
i
t
n
i
tt
e
ee
1
2
1
1
ˆ
ρ
là ước lượng cho
ρ

Chú ý: Kiểm định DW sẽ chỉ áp dụng được nếu thoả mãn các điều kiện sau:
+ Mụ hỡnh phải cú hệ số chặn.

+ Biến giải thích phải là phi ngẫu nhiên.
+ Nếu có hiện tượng tự tươngquan thì đó chỉ là lược đồ AR(1).
+ Mô hình không chứa biến trễ của biển phụ thuộc làm biến giải thớch.
+ Không có quan sát nào bị mất trong tệp số liệu.


Do không tìm được chính xác phân phối xác suất của d nên dựa vào tính chất
của nó để kết luận.

Do - 1 ≤
ρ
ˆ
≤ 1 → 0 ≤ d ≤ 4
Với n, k’ = k – 1 vµ
α
= 0,05 cho trước, tra bảng → d
L
và d
U

Tự tương quan
dương
ρ
> 0
Không có kết
luận
Không có tự
tương quan
ρ
= 0

Không có kết
luận
Tự tương quan
âm
ρ
< 0
0 d
L
d
U
2 4 – d
U
4 – d
L
4

Hạn chế:
+ Vẫn còn hai miền không có kết luận ⇒ Dùng kiểm định DW cải biên.
+ Không áp dụng được với các mô hình tự hồi quy.




3.3. Hồi qui phụ
Kiểm định
u
t
=
ρ
1

u
t -1
+
ρ
2
u
t -2
+ …+
ρ
p
u
t-p
+

ε
t
MH hồi qui phụ : e
t
= (
α
0
) +
α
1
e
t -1
+ … +
α
p
e

t-p
+ v
t
(*)
⎩
⎨
⎧
≠
=
0:H
0:H
2
*1
2
*0
R
R
⇔
⎩
⎨
⎧
≠≠∃
===
)0(:0:H
0 :H
1
10
j
j
p

α
αα
Không có tự tương quan đến bậc p
Có tự tương quan ở bậc tương ứng

Kiểm định T hoặc F

3.4. Kiểm định Breusch- Goldfrey.
MH hồi qui phụ
e
t
= [
β
1
+
β
2
X
t
] +
α
1
e
t -1
+ … +
α
p
e
t-p
+ v

t
(*)
⎩
⎨
⎧
≠≠∃
===
)0(:0:H
0 :H
1
10
j
j
p
α
αα

Kiểm định χ
2
: , nếu thì bác bỏ H
2
*
2
**
2
)( RpnRn
qs
−==
χ
)(

22
p
qs
α
χχ
>
0

Kiểm định F:
Hồi qui
e
t
= [
β
1
+
β
2
X
t
] + v
t
(**)
F
qs
=
11
*
**
2

*
2
**
2
*
−
−
×
−
−
k
kn
R
RR
Nếu F
qs
> F
α
(
***
;1 knk
−
−
) thì bác bỏ H
0



Ví dụ: Tệp số liệu ch7bt4 gồm hai biến Tiêu dùng và thu nhập của Nigêria. Hãy
kiểm định hiện tượng tự tươngquan của mô hình.

Hồi quy Tiêu dùng theo Thu nhập được kết quả sau:

Dependent Variable: CONS
Method: Least Squares
Date: 11/19/08 Time: 22:08
Sample: 1960 1986
Included observations: 27
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C 155.2239 203.4712 0.762879 0.4527
GDP 0.597069 0.060594 9.853648 0.0000
R-squared 0.795240 Mean dependent
var
2037.44
9
Adjusted R-
squared
0.787050 S.D. dependent var 789.223
1
S.E. of regression 364.1989 Akaike info
criterion
14.7044
6
Sum squared resid 3316021. Schwarz criterion 14.8004
5
Log likelihood -
196.5103
F-statistic 97.0943
8

Durbin-Watson
stat
0.462830 Prob(F-statistic) 0.00000
0

Theo báo cáo thì thống kê DW=0,46283. Với n=27, k
’
=1 tra bảng được d
l
= 1,316
và d
u
= 1,496 suy ra mô hình có tự tươngquan dương.

Dùng phương pháp hồi quy phụ cho kết quả sau:

Dependent Variable: E
Method: Least Squares
Date: 11/21/08 Time: 08:46
Sample(adjusted): 1963 1986
Included observations: 24 after adjusting endpoints
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.256609 52.50711 0.004887 0.9961
E(-1) 0.843549 0.221024 3.816555 0.0011
E(-2) 0.020077 0.293835 0.068326 0.9462
E(-3) -
0.173636
0.233916 -0.742300 0.4665

R-squared 0.604411 Mean dependent
var
-
8.53041
8
Adjusted R-
squared
0.545072 S.D. dependent var 378.229
2
S.E. of regression 255.1093 Akaike info
criterion
14.0722
7
Sum squared resid 1301615. Schwarz criterion 14.2686
2
Log likelihood -
164.8673
F-statistic 10.1858
2
Durbin-Watson
stat
2.022007 Prob(F-statistic) 0.00027
8


Kiểm định BG cho kết quả sau:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic 34.31433 Probability 0.00000
5

Obs*R-squared 15.88781 Probability 0.00006
7

Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 11/19/08 Time: 22:11
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C -
60.84700
133.6292 -0.455342 0.6530
GDP 0.021511 0.039844 0.539890 0.5942
RESID(-1) 0.777523 0.132732 5.857844 0.0000
R-squared 0.588437 Mean dependent
var
-8.42E-
14
Adjusted R- 0.554140 S.D. dependent var 357.126
squared 4
S.E. of regression 238.4630 Akaike info
criterion
13.8907
4
Sum squared resid 1364750. Schwarz criterion 14.0347
3
Log likelihood -
184.5250

F-statistic 17.1571
7
Durbin-Watson
stat
1.846319 Prob(F-statistic) 0.00002
4


4. Khắc phục
Mục đích là chuyển MH ban đầu có khuyết tật tự tương quan thành MH
mới có cùng hệ số cũ nhưng không có tự tương quan
Mô hình ban đầu: Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t
+ u
t
Có tự tương quan : u
t
=
ρ
u
t -1
+

ε
t
với
ρ
≠ 0 ,
ε
t
thỏa mãn các giả thiết
OLS.
4.1. Khi
ρ
đã biết – Dïng ph-¬ng ph¸p sai ph©n tæng qu¸t.
Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t
+ u
t
↔ Y
t -1
=
β
1

+
β
2
X
t -1
+ u
t -1
↔
ρ
Y
t -1
=
ρβ
1
+
β
2

ρ
X
t -1
+
ρ
u
t -1
→ Y
t
–
ρ
Y

t-1
=
β
1
(1 –
ρ
) +
β
2
(X
t
–
ρ
X
t -1
) + u
t
–
ρ
u
t-1
(phương trình sai phân
tổng quát)
→ Y
t
*
=
β
1
*

+
β
2
X
t
*
+

ε
t
Ước lượng bằng OLS → → =
*
1
ˆ
β
1
ˆ
β
ρ
β
−1
ˆ
*
1
và
2
ˆ
β

4.2. Khi

ρ
chưa biết
Ước lượng
ρ
bằng các phương pháp khác nhau

i. Từ thống kê Durbin-Watson
d ≅ 2( 1 -
ρ
ˆ
) →
ρ
ˆ
= 1 -
2
d


ii. Từ hồi qui phụ
e
t
= (
α
0
) +
α
1
e
t - 1
+ v

t
→ lấy
1
ˆ
ˆ
α
ρ
=




iii. Phương pháp Cochran-Orcutt
Hồi qui mô hình ban đầu: Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t
+ u
t
→ , ,

)1(
1
ˆ

β
)1(
2
ˆ
β
)1(
t
e
Hồi qui mô hình =
α
+
ρ
+ v
)1(
t
e
)1(
1−t
e
t
→
)1(
ˆ
ρ
Lấy thay vào phương trình sai phân tổng quát → , ,

)1(
ˆ
ρ
)2(

1
ˆ
β
)2(
2
ˆ
β
)2(
t
e
Hồi qui mô hình =
α
+
ρ
+ v
)2(
t
e
)2(
1−t
e
t
→
)2(
ˆ
ρ
Lấy thay vµo ph-¬ng tr×nh sai ph©n tæng qu¸t → , ,
)2(
ˆ
ρ

)3(
1
ˆ
β
)3(
2
ˆ
β
)3(
t
e
…
Quá trình lặp cho đến khi
ρ
ˆ
ở hai bước kế tiếp chênh lệch
nhau không đáng kể, và ở bước cuối cùng là ước lượng
cho
β
1
ˆ
β
2
ˆ
β
1
và
β
2

iiii. Phương pháp Durbin – Watson hai bước.
Trước hết viết lại mô hình sai phân tổng quat dưới dạng:
Y
t
=
β
1
(1-
ρ
) +
β
2
X
t
-
β
2
ρ
X
t-1
+
ρ
Y
t-1
+ ( u
t
-
ρ
u

t-1
)
Bước 1. Ước lượng mô hình trên thu được
ρ
ˆ

Bước 2. Thiết lập mô hình sai phân tổng quát và ước lượng nó để tìm
β
ˆ
1

và
β
ˆ
2


iiiii. Đưa thêm biến vào mô hình.
Một trong các nguyên nhân của tự tươngquan là mô hình bị chỉ định sai do bỏ
sót biến giải thích vì vậy việc đưa thêm biến vào mô hình cũng có thể khắc phục
tự tươngquan.


Ví dụ: Tiếp tục ví dụ đã cho, ta tìm cách khắc phục hiện tượng tự tươngquan
của mô hình.
Nếu sử dụng thống kê DW, từ báo cáo ta có d = 0,46283
⇒
768585,0
2
1

ˆ
=−=
d
ρ
.
Thiết lập các biến sai phân tổng quát:
Cons1
t
= cons
t
– 0,768585cons
t-1
gdp1
t
= gdp
t
– 0,768585gdp
t-1
Hồi quy Cons1 với gdp1 thu được kết quả sau:

Dependent Variable: CONS1
Method: Least Squares
Date: 11/20/08 Time: 22:28
Sample(adjusted): 1961 1986
Included observations: 26 after adjusting endpoints
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C 143.5202 123.3592 1.163433 0.2561
GDP1 0.467009 0.140706 3.319044 0.0029

R-squared 0.314600 Mean dependent
var
523.522
9
Adjusted R-
squared
0.286042 S.D. dependent var 277.143
6
S.E. of regression 234.1754 Akaike info
criterion
13.8238
2
Sum squared resid 1316115. Schwarz criterion 13.9206
0
Log likelihood -
177.7097
F-statistic 11.0160
5
Durbin-Watson
stat
1.718728 Prob(F-statistic) 0.00287
5

Kiểm định DW cho thấy mô hình sai phân tổng quát đã không có tự tươngquan.

Để sử dụng phương pháp lặp Cochrane- Orcutt , ta khai báo thêm vào danh sách
biến giải thích bậc của tự tươngquan, chẳng hạn ở đây là AR(1) và hồi quy bằng
OLS thu được kết quả sau:

Dependent Variable: CONS

Method: Least Squares
Date: 11/20/08 Time: 22:37
Sample(adjusted): 1961 1986
Included observations: 26 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 39 iterations
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C 1290.375 864.3354 1.492910 0.1491
GDP 0.320087 0.180066 1.777612 0.0887
AR(1) 0.895753 0.097838 9.155465 0.0000
R-squared 0.917399 Mean dependent
var
2068.73
2
Adjusted R-
squared
0.910216 S.D. dependent var 787.596
7
S.E. of regression 235.9953 Akaike info
criterion
13.8736
7
Sum squared resid 1280957. Schwarz criterion 14.0188
3
Log likelihood -
177.3577
F-statistic 127.723
0
Durbin-Watson

stat
1.884378 Prob(F-statistic) 0.00000
0
Inverted AR Roots .90

Kết quả thu được là ước lượng ở bước cuối cùng, đồng thời kết quả cũng cho ước
lượng của lược đồ AR(1):

ttt
ttt
ee
egdpcons
ε
+=
+
+
=
−1
895753,0
320087,0375,1290

Kết quả cũng cho ước lượng của hệ số tự tươngquan bậc nhất bằng 0,895753
chứng tỏ mức độ tự tươngquan khá cao.
Ta cũng có thể khắc phục tự tươngquan của mô hình bằng cách đưa thêm biến
trễ vào mô hình vì theo lý thuyết kinh tế thì tiêu dùng thường còn phụ thuộc vào
tiêu dùng ở kỳ trước, vì vậy có thể thử nghiêm mô hình sau: Cons
t
= β
1
+

β
2
gdp
t
+ αCons
t-1
+ u
t
Kết quả như sau:

Dependent Variable: CONS
Method: Least Squares
Date: 11/20/08 Time: 23:07
Sample(adjusted): 1961 1986
Included observations: 26 after adjusting endpoints
Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C 3.962031 122.4302 0.032362 0.9745
GDP 0.207495 0.064345 3.224707 0.0038
CONS(-1) 0.695319 0.094013 7.396025 0.0000
R-squared 0.937124 Mean dependent
var
2068.73
2
Adjusted R-
squared
0.931656 S.D. dependent var 787.596
7
S.E. of regression 205.8988 Akaike info

criterion
13.6008
1
Sum squared resid 975068.9 Schwarz criterion 13.7459
8
Log likelihood -
173.8106
F-statistic 171.398
6
Durbin-Watson
stat
1.919159 Prob(F-statistic) 0.00000
0

5. Mô hình ARCH( Autoregressive Conditional Heterocedasticity Model)
Hiện tượng tự tươngquan thường xảy ra đối với các số liệu thời gian trong khi
hiện tượng phương sai của sai số thay đổi thường xảy ra đối với các số liệu chéo.
Tuy nhiên hiện tượng phương sai của sai số thay đổi cũng vẫn thường xảy ra đối
với các số liệu thời gian.
Trong kinh tế khi phân tích và dự báo các chuỗi thời gian như giá cổ phiếu, tỷ lệ
lạm phát, tỷ giá hối đoái…người ta nhận thấy rằng khả năng dự báo các biến này
trong các giai đoạn khác nhau là khác nhau đáng kể. Có giai đoạn sai số dự báo rất
nhỏ, ngược lại có giai đoạn lại rất lớn. Sự biến động này nằm trong tính không
chắc chắn của thị trường tài chính, sự nhạy cảm với các tin đồn, sự thay đổi chính
sách tiền tệ hay thuế…Điều đó làm cho phương sai của sai số dự báo thay đổi giữa
các giai đoạn khác nhau tức là có hiện tượng tươngquan chuỗi trong phương sai
của sai số dự báo.
Vì hành vi của sai số dự báo có thể giả thiết phụ thuộc vào hành vi của các sai
số ngẫu nhiên U
t

nên ta có thể áp dụng hiện tượng tươngquan chuỗi đối với
phương sai của U
t
. Để mô tả hiện tượng này ENGLE đã xây dung mô hình
ARCH. Tư tưởng cơ bản của mô hình này là phương sai của sai số ngẫu nhiên tại
thời điểm t ( ) phụ thuộc vào bình phương của sai số ngẫu nhiên tại thời điểm t
– 1( ).
2
t
σ
2
1−t
u
Xét mô hình k biến:
Y
t
=
β
1
+
β
2
X
2t
+…+
β
k
X
kt
+ u

t
Và giả thiết rằng
U
t

∼
N
[]

2
110
;0
−
+
t
u
αα
Tức là U
t
có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 phương sai bằng .
Lược đồ trên gọi là ARCH(1).
2
110 −
+
t
u
αα
Một cách tổng quát lược đồ ARCH(p) có dạng:

22

22
2
110
2
)var(
ptptttt
uuuu
−−−
++++==
αααασ
Nếu
α
1
=
α
2
=…=
α
p
( không có tươngquan chuỗi trong sai số của phương sai)
thì ta có phương sai của sai số là đồng đều.
Theo Engle để kiểm định cặp giả thuyết :
H
0
:
α
1
=
α
2

=…=
α
p
H
1
: Có ít nhất một hệ số khác không
Thì tiến hành hồi quy phụ:

tptpttt
eeee
εαααα
+++++=
−−−
22
22
2
110
2

Trong đó e
t
là phần dư của mô hình gốc và ding kiểm định F về sự thích hợp của
mô hình hồi quy phụ.
Ngoài ra có thể ding tiêu chuẩn kiểm định

χ
2
= nR
2
∼χ

2
(p)
Với R
2
là hệ số xác định của mô hình hồi quy phụ.
Nếu
χ
2
qs
>
χ
2(p)
α
thì bác bỏ H
0
.
Chẳng hạn với mô hình trên kiểm định ARCH cho kết quả sau:

ARCH Test:
F-statistic 10.59560 Probability 0.00336
0
Obs*R-squared 7.963025 Probability 0.00477
4

Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 11/20/08 Time: 23:10
Sample(adjusted): 1961 1986
Included observations: 26 after adjusting endpoints

Variable Coefficie
nt
Std. Error t-Statistic Prob.
C 57717.39 37683.49 1.531636 0.1387
RESID^2(-1) 0.551280 0.169359 3.255089 0.0034
R-squared 0.306270 Mean dependent
var
126786.
4
Adjusted R-
squared
0.277365 S.D. dependent var 186797.
1
S.E. of regression 158792.4 Akaike info
criterion
26.8623
9
Sum squared resid 6.05E+11 Schwarz criterion 26.9591
6
Log likelihood -
347.2110
F-statistic 10.5956
0
Durbin-Watson
stat
2.129578 Prob(F-statistic) 0.00336
0

Kết quả cho thấy mô hình có ARCH(1)

Nếu có hiện tượng ARCH thì áp dụng phương pháp GLS để khắc phục hiện
tượng phương sai của sai số thay đổi.
Với mô hình đang xét, phương pháp GLS cho kết quả sau:

Dependent Variable: CONS
Method: ML - ARCH (Marquardt)
Date: 11/20/08 Time: 23:17
Sample: 1960 1986
Included observations: 27
Convergence achieved after 73 iterations
Variance backcast: ON
Coefficie
nt
Std. Error z-Statistic Prob.
C 422.5544 58.32670 7.244614 0.0000
GDP 0.460517 0.018060 25.49888 0.0000
Variance Equation
C 2738.626 5899.843 0.464186 0.6425
ARCH(1) 1.927399 0.650321 2.963764 0.0030
R-squared 0.709273 Mean dependent 2037.44
var 9
Adjusted R-
squared
0.671352 S.D. dependent var 789.223
1
S.E. of regression 452.4448 Akaike info
criterion
13.7938
4

Sum squared resid 4708244. Schwarz criterion 13.9858
1
Log likelihood -
182.2168
F-statistic 18.7039
6
Durbin-Watson
stat
0.300423 Prob(F-statistic) 0.00000
2

Khái quát hóa của mô hình ARCH là các lớp mô hình GARCH, trong đó
phương sai có điều kiện của U
t
không chỉ phụ thuộc vào bình phương của sai số
ngẫu nhiên trong quá khứ mà còn phụ thuộc vào phương sai có điều kiện trong
quá khứ. Đó là các lớp mô hình GARCH, TARCH,
E-GARCH, GARCH-M…
Chú ý rằng kiểm định DW khi có hiện tượng ARCH có thể mất chính xác vì các
hiện tượng tự tươngquan và ARCH có thể kết hợp với nhau, do đó đối với các số
liệu tài chính cần tiến hành kiểm định ARCH trước khi đưa ra kết luận dựa vào
giá trị DW.