De thi HSG huyen mon Toan

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017
MƠN: TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài 90 phút không kể thời gian giao đề)
Đề có 01 trang

PHẦN TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN
Câu 1. (3điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
y  x 2 x  1  x  2 x  1

Câu 2. (3,5điểm) Giải phương trình.
x 2 - 3x + 2 +

x+3 =

x-2 +

x 2 + 2x - 3

Câu 3. (4điểm). Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn tại
hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường
tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường trịn nội tiếp tam
giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị
trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.
Câu 4. (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
1 2 3

3
18
9
  


a b c a  b 3b  4c c  6a

Họ và tên thí sinh:…………………………………..........................................., SBD:…………………
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016-2017. MÔN: TỐN
Câu

Nội dung
Câu 1. (3điểm) Tìm các nghiệm ngun của phương trình:

Điểm

y  x2 x  1  x 2 x 1

Điều kiện: x 1

0,25
0,25

y  ( x  1)  1  2 x  1  ( x  1)  1  2 x  1

0,25
0,25

| x  1  1 |  | x  1  1 |

1
(3điểm)

 x  1  1 | x  1  1|

Xét hai trường hợp:
a) Với x = 1 thì y =2.

1

b) Với x 2 thì y  x  1  1  x  1  1 2 x  1
2
2
Do đó: y 4( x  1) . Do x 2 nên có thể đặt x – 1 = t với t nguyên
dương.

 x t 2  1

Ta có:  y 2t

0,5

2
Kết luận: nghiệm của phương trình là: (1 ; 2), ( t  1 ; 2t) với t là

số nguyên dương tùy ý.
Câu 2. (3,5điểm) Giải phương trình.

x 2 - 3x + 2 +

2
(3,5điểm)

x+3 =

Ta có: x2 - 3x + 2 = (x - 1) (x - 2),
Điều kiện: x ≥ 2 (*)
Phương trình đã cho

x-2 +

(x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) +



x - 1 ( x - 2 - x + 3) - ( x - 2 - x + 3) = 0



x-2 - x+3



 x-2 = x+3
 

 x - 1 - 1 = 0

x+3 - x-2 =0

0,5
1
0,25
0,25



0,25

 x 2

1

x-1 -1 =0
(VN)

0,25

x 2 + 2x - 3

x2 + 2x - 3 = (x - 1) (x + 3)





0,25

(thoả mãn đk (*))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2.
Câu 3. (4điểm). Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không

0,25


qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối
của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các
tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một
đường tròn.
b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
c) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt các tia MC, MD
thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam
giác MPQ bé nhất.
P
C
A
d

H
B
I

O

M

D
Q

3
(4đ)

a
(1đ)

0

Vì H là trung điểm của AB nên OH  AB hay OHM 90 .



0,5
0

Theo tính chất của tiếp tuyến ta lại có OD  DM hay ODM 90 .
Suy ra các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường trịn.
Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD  MCD cân tại M 

MI là một đường phân giác của CMD .

1

DCI


CD

2 sđ DI
Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ
nên
=
b
1
(1,5đ)


2 sđ CI
= MCI

MCD

 CI là phân giác của
tam giác MCD.

. Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp

c
Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích
1
(1,5đ)
S 2 SOQM 2. .OD.QM R( MD  DQ)
2
của nó được tính:
Từ đó S nhỏ nhất  MD + DQ nhỏ nhất

0,5
0,5

0,5

0,5

0,25
0,25


Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ ta có
DM .DQ OD 2 R 2 khơng đổi
nên MD + DQ nhỏ nhất  DM = DQ = R
Khi đó OM = R 2 hay M là giao điểm của d với đường trịn tâm
O bán kính R 2 .
Câu 4. (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

0,25
0,25
0,5

1 2 3
3
18
9
  


a b c a  b 3b  4c c  6a

Có thể viết lại vế trái của BĐT cần chứng minh như sau:
1 1 1
 
a b c
2 3
S=

0,25

Chính vì thế, ta cũng viết lại vế phải là:
3

4
(1,5đ)

P=

a  2.

b
2



3
b
c
 2.
2

3



3
c
 2a
3

0,25

Và ta cần chứng minh S ≥ P.
b
c
x a; y  ; z 
2
3 , bây giờ ta phải chứng minh
Đặt
 1
1 1 1
1
1 
  3 



x y z
 x  2 y y  2z z  2x 
1
1

1 1 1 1  1 1 2

       
Ta có x  2 y x  y  y 9  x y y  9  x y 

0,25

0,25

Tương tự ta có điều cần chứng minh,
b c
a   0
2 3
Dấu “=” xảy ra  x = y = z 

0,5

Lưu ý:
+ Hướng dẫn chấm dưới đây là lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám
khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic và có thể chia nhỏ
điểm đến 0,25 điểm.
+ Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì Tổ chấm thống
nhất và cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
+ Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.