Chuong III 2 Phuong trinh duong tron

1


Kiểm tra bài cũ (7’) :

Cho đường tròn (C ): x2 + y2 – 6x +2y +9 = 0 vaø đường
thẳng d : 3x – 4y - 8 = 0.
a/ Hãy tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường
tròn (C ).
b/ so sánh d(I, d ) và R , có nhận xét gì về đt d và
đường tròn (C )?
ÑS :
a/ I(3 ;-1 ) , R = 1.
b/ d(I,d ) = 1 = R
nên d là tiếp tuyến của
(C )

I

R

Ghi nhớ: đt d là tt của đường tròn (C ) khi và
chỉ khi d(I, d ) = R

d


§4. ĐƯỜNG TRÒN
(Tiết 35)

3

 Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn tại
một điểm trên đường trịn.
 Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn qua
một điểm nằm ngồi đường trịn.
 Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn biết
tiếp tuyến song song hoặc vng góc với 1 đường
thẳng cho trước.
4


3. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn

a. Phương trình tuyếp tuyến tại một điểm thuộc (C)
VÝ dô 1: Cho ® êng trßn (C): x 2  y 2  4x 4y 17 0 và
điểm A(2;1). Viết ph ơng trình tiếp tuyến với (C) tại A.
y

Gii:

Đ
ờng
tròn
có
tâm
I(-2;-2).
Nhn xột: Phng trỡnh

d

Tiếp
đ ng
ờng tròntrũn
tại A(2;1)
tip tuyến
tuynvới
vi
là
đ tõm
ờng thẳng
và nhận
(C)
I ti qua
A A(C)
là

đường thẳng
quacãApttt
vàlµ :
IA(4;3)lµm
vtpt.Ta
nhận IA làm véctơ pháp
4(x-2)+3(y-1)=0

-2

A

1

O
I

2

x

-2

tuyến.

hay: 4x+3y-11= 0.
5


3.Phương trình tiếp tuyến của đường trịn

b.Phương trình tuyếp tuyến qua một điểm ngồi (C)
2

2

VÝ dơ 2: Cho ® êng trßn (C): x  y  4x  4y  17 0 và
điểm B(1;3). Viết ph ơng trình tiếp tuyến với (C) qua B.
Gii: Đ ờng tròn đà cho có tâm I(-2;-2) voi bán kính R = 5.

Đ ờng thẳng  qua B cã d¹ng: a(x-1)+b(y-3)=0(a 2 +b 2 0).
 lµ tiÕp tun víi (C) khi vµ chØ khi d(I ; )=R.
mµ d(I ; )=

a( 2  1)  b( 2  3)
2

a b

2



3a  5b
2

2

.

a b
3a  5b
 a 0

5  a(15b  8a) 0  
2
2
a b
 15b  8a 0

6

 a 0

5  a(15b  8a) 0  
2
2
a b
 15b  8a 0
*nÕu a = 0, chän b = 1 ta cã tiÕp tuyÕn 1lµ : y  3 = 0
3a  5b

*nÕu 15b  8a 0,chän a 15  b 8 ta cã tiÕp tuyÕn  2 lµ:
15(x  1) + 8(y  3) = 0 hay: 15x + 8y  39=0.

y

B

3

-2

1

O
I

1

x

-2

2

7


Nhận xét:
 Để viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn qua một
điểm ta thường sử dụng điều kiện đường thẳng tiếp xúc
với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường
trịn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn.
 Khi đề yêu cầu viết pttt với một đường trịn qua một
điểm thì ta cần kiểm tra xem điểm đó thuộc hay khơng
thuộc đường trịn để có cách viết tiếp tuyến cho phù hợp.

8


VD 3 :Viết ph ơng trình tiếp tuyến với đ êng trßn
2

2

(C) : (x  2)  (y  3) 1, biết tiếp tuyến đó
song song với đ ờng thẳng : 3x  y+2=0.

d là tiếp tuyến
với (C) khi
nào?

Gọi d là đường
Xácthẳng
định tâm
song song
và bán
kính
với ∆, khi đó d
đườngcó
trịn
dạng ?
(C)?

9


VD 3 : Viết ph ơng trình tiếp tuyến với ® êng trßn
2

2

(C) : (x  2)  (y  3) 1, biÕt tiÕp tun ®ã
song song víi ® êng th¼ng : 3x  y+2=0.
Giải:

Ta có (C) có tâm I(2; –3) và bán kính R=1. Gọi d là tiếp
tuyến với (C). Vì d // ∆ nên d có dạng: 3x–y+c=0 (c ≠ 2).
d là tiếp tuyến với (C) khi và chỉ khi d(I ; d) = 1. hay:
 c  9  10
3.2  ( 3)  c

1  c  9  10  
2
2
3 1
 c  9  10
 cã hai tiÕp tun víi (C) vµ song song với đà cho

là d1:3x y 9+ 10 0 vµ d 2 : 3x  y  9  10 0

10


Y

d1

2

-2/3

O

-3

2
2

d2

X

I

∆

11


Tóm lại
Phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C) tâm I tại
A  (C) là đường thẳng qua A và nhận IA làm véctơ
pháp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C) tâm I kẻ từ
A ngồi (C) là đường thẳng d qua A và khoảng cách từ
tâm I đến đường thẳng d là bằng bán kính R.
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I song song
với đường thẳng d:ax+by+c=0 là đường thẳng d’ dạng:
ax+by+c’=0 ( c khác c’) và khoảng cách từ tâm I đến đường
thẳng d’ là bằng bán kính R.
Phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C) tâm I vng góc
với đường thẳng d:ax+by+c=0 là đường thẳng d’’ dạng :
-bx+ay+c’’=0 và khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d’’
là bằng bán kính R.
12


Bài tập về nhà:
Cho đường tròn (C): (x-2)2 +(y-1)2 =0.
a) Tìm tâm và bán kính của (C).
b) Viết PTTT của ( C) tại điểm M(5;-3).

c) Viết PTTT của ( C) song song với d:5x12y+2=0.
d) Viết PTTT của ( C) vuông góc với d:3x+4y7=0.
e) Viết PTTT của ( C) biết tiếp tuyến đi qua
A(3;6).
13