DE THI HSG HUYEN KB MON TOAN 9 20172018

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KIM BƠI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP THCS, NĂM HỌC 2017 - 2018

Mơn: Tốn

Đề chính thức

(Thời gian làm bài 150 phút, khơng kể thời gian giao đề)
- Đề thi gồm 01 trang -

 x 2
x  2  x2  2x 1


.
x  1 x  2 x  1 
2

Câu 1: (4,0 điểm) Cho A =

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0.
Câu 2: (6,0 điểm)
2
2
a) Giải phương trình: 2 x  8 x  3 x  4 x  8 18
 x  y  xy  1
 2

2
b) Giải hệ phương trình  x  y  xy 7
c) Cho  ABC vuông cân tại A, điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC.
Chứng minh: 2KA2 = KB2 + KC2.

Câu 3 : (3,0 điểm)
a) Cho a  b  c 0 , tính giá trị của biểu thức:
1
1
1
 2 2
 2
2
2
2
b c  a
a c  b
a  b2  c2
2
b) Tìm số tự nhiên n sao cho A n  n  6 là số chính phương.
P

2

Câu 4 : (5,0 điểm)
Cho 3 điểm A, B, C nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ
đường tròn tâm O đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN
là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO
cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt
MN tại K.




a) Chứng minh AMO  ANO  AIO
b) Chứng minh AK.AI = AB.AC
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt
đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho ba số a; b; c  0 và a + b + c = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = abc(a+b)(b+c)(c+a).
------------------- Hết -------------------


HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Mơn: Tốn
Câu

ý
a

Đáp án và hướng dẫn chấm
ĐKXĐ: x 0, x 1
A  x ( x  1)
A  0   x ( x  1)  0 

1
b
2

2

1,0

x ( x  1)  0

 x  0

 0  x 1
 x  1  0

Điểm
1,0
1,0

(vì

x  x  1)

1,0

2

2 x  8 x  3 x  4 x  8 18
 2( x 2  4 x  8)  3 x 2  4 x  8  2 0

Đặt

a

x 2  4 x  8  y, y 0 ta được phương trình:

y=2
¿
1
y=−
2
¿
¿
¿
¿
2
2
¿ 2 y −3 y −2=0 ⇔2 y + y − 4 y −2=0 ¿
⇔ ( y − 2)(2 y +1)=0 ⇔
1

y = 2 <0 (loại); với y = 2 ta có
2

1,0

1,0

2

x  4 x  8 2  x  4 x  12 0
 ( x  6)( x  2) 0
 x 6 hoặc x  2 (thỏa mãn phương trình đã cho)
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: x 6 , x  2

b
1,0

1,0


A
E

c

F

Kẻ KE  AB, KF  AC
B
C
 các  KBE vuông cân ở E ;  KFC vuông cân K
ở F.
Mặt khác : Tứ giác AEKF là hình chữ nhật nên KE = FA
Vế phải = KB2 + KC2 = BE2 + KE2 + KF2 + FC2.
= 2(KE2 + KF2)= 2( FA2 + KF2) = 2AK2 (Theo Pitago)
1
1
1
 2 2
 2
2
2
2
b c  a

a  c  b a  b2  c 2
1
1
1
 2 2
 2 2
 2
2
2
2
b  c  (b  c ) a  c  (a  c) a  b  (a  b) 2
1
1
1
a b c




0
(voi : abc 0)
 2bc  2ac  2ab
 2abc
A n2  n  6 là số chính phương nên A có dạng
P

a

 4n 2  4n  24 4k 2  (2k ) 2  (2n  1) 2 23

b

1,0

2

A n 2  n  6 k 2 (k  N * )

3

1,0

(dk : abc 0)

0,5
1,0

0,5

2k  2n 1 23
 (2k  2n  1)(2k  2n  1) 23  
 2k  2n  1 1

(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n – 1)
2k  2 n  1 23


 2k  2n  1 1

 k 6


 n 5

Vậy với n = 5 thì A là số chính phương

1,0


M

Q

P
A

B

O D

H
K
I

a

C
E

d

N

I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O )
 OI  BC  AIO 900
0

Ta có AMO 90 ( do AM là hai tiếp tuyến (O) )
ANO 900

( do AN là hai tiếp tuyến (O) )
AMO  ANO  AIO
Vậy
( = 900)
AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân

giác MON mà ∆OMN cân tại O nên OA  MN
1


ANB=ACN=

2 sđ NB
∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( Vì
và
AB AN
=
 AB.AC=AN 2
CAN
chung ) suy ra AN AC
(1)

4

b

c

2,0

0,5
0,5

∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2 (2)
Suy ra AB.AC = AH.AO
0



∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì AHK=AIO=90 và OAI chung ) 1,0
AH AK

=
 AK.AI=AH.AO (3)
AI AO
Từ (1); (2); (3) suy ra AK.AI = AB.AC
0

Ta có PMQ=90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ).



Ta có ∆MHE đồng dạng ∆QDM có MEH=DMQ ( cùng phụ với
ME MH





DMP ), EMH=MQD
MQ
DQ
MPO
( cùng phụ với
)
∆PMH đồng dạng với ∆MQH (g.g)


1,0

MP MH MH


MQ HQ 2 DQ
MP 1 ME


MQ 2 MQ


 ME = 2 MP  P là trung điểm ME.

Áp dụng BĐT côsi cho 3 số a;b;c  0, ta có:
3
1 = a +b+c  3 abc

(1)

2 = (a+b)+(b+c)+(c+a) 3 (a  b)(b  c)(c  a) (2)
Nhân (1) và (2) vế với vế (do hai vế đều không âm), ta
3

5

1,0

được:
3
3

29 A

A

2
8

9  A 729

8
1
 a b c 

3
Do đó: Max A = 729

1,0