- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH ETTINGHAUSENTRONG HỐ LƯỢNG TỬ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (446.91 KB, 76 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
NGUYỄN TIẾN LONG
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG QUANG
KÍCH THÍCH ETTINGHAUSENTRONG HỐ LƯỢNG
TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
NGUYỄN TIẾN LONG
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG QUANG KÍCH
THÍCH ETTINGHAUSENTRONG HỐ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 604401103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
HÀ NỘI - 2015
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến
GS.TS Nguyễn Quang Báu - Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong
2
22
quá trình thực hiện đề tài luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cơ
giáo trong bộ mơn Vật lý lý thuyết – Khoa Vật lý – trường Đại học Khoa học Tự
Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học
tập và hoàn thành đề tài luận văn một cách tốt nhất.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ln động viên
em trong suốt q trình học tập và hồn thành đề tài luận văn.
Mặc dù em đã có nhiều cố gắng nhưng do trong thời gian ngắn và lượng kiến
thức của bản thân cũng chưa thực sự được hoàn thiện nên luận văn vẫn khơng tránh
khỏi những thiếu sót và hạn chế, em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn của các
thầy, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Luận văn được hoàn thành với sự tài trợ của đề tài NAFOSTED (Number
103.01-2015.22)
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Học viên
Nguyễn Tiến Long
3
33
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Dnah mục hình - bảng
4
44
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay, chúng ta ngày càng quan tâm nghiên cứu hơn về các đặc tính
của hệ bán dẫn thấp chiều. Những cấu trúc thấp chiều như các hố lượng tử
(quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây lượng tử (quantum wires)
và các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo nên nhờ sự phát triển của công
nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ
(MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc nano như vậy,
chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với
một vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie, các tính
chất vật lý của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất vật lý mới khác,
gọi là hiệu ứng kích thước. Ở đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu
lực, khi đó đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ
năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang,
điện của hệ thấp chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện
tử, ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học,
kỹ thuật. Ví dụ như: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch…
Trong các cấu trúc thấp chiều đó, cấu trúc hố lượng tử thu hút được rất nhiều sự
quan tâm của các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Trong các hệ này, sự giới
hạn chuyển động của các điện tử dẫn tới thay đổi hầu hết các tính chất của
chúng. Từ đó, nhièu đặc tính củahệ bán dẫn thấp chiều như: hấp thụ sóng điện
từ [1], hiệu ứng Hall[2,11],Hiệu ứng từ trở[3], và nhiều hiệu ứng khác[8-13].
[4-7]… rất khác biệt so với các hiệu ứng tương ứng trong các hệ bán dẫn khối
đã được nghiên cứu trước đây.
Hiệu ứng Ettinghausen đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối [13-1415-16] là một trong những hiệu ứng quan trọng của các hệ bán dẫn.Nó là 1
hiệu hứng nhiệt điện từ gây ra dòng điện trong vật dẫn khi từ trường xuất
hiện. Tuy nhiên, hiệu ứng này vẫn chưa được nghiên cứu trong các hệ bán dẫn
thấp chiều nói chung và trong hố lượng tử có thế parabol nói riêng.
5
Do đó trong luận văn này, tơi chọn đề tài nghiên cứu hoàn toàn mới:
“Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích Ettingshausen trong hố
lượng tử (cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang”
2. Phương pháp nghiên cứu.
Trong luận văn của mình, tơi đã sử dụng:
- Phương pháp phương trình động lượng tử để xây dựng biểu thức giải tích
hệ số Ettinghaussen (EC) trong hố lượng tử trong điện trường và từ trường không
đổi với hố thế cao parabol (cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang). Biểu thức này chỉ
ra rằng EC phụ thuộc phức tạp và khơng tuyến tính vào tần số Ω của laser, nhiệt độ
T của hệ và các tham số của dây lượng tử. Đây là phương pháp được sử dụng nhiều
và có những ưu việt khi nghiên cứu các vật liệu bán dẫn và bán dẫn thấp chiều [5] .
- Ngoài ra tơi cịn sử dụng chương trình Matlab để tính tốn số và đồ thị sự
phụ thuộc của EC vào Ω , tần số phonon quang , nhiệt độ T của hố lượng tử thông
dụng GaAs/GaAsAl để minh họa về sự phụ thuộc phi tuyến của EC vào các đại
lượng này như đã tính tốn lý thuyết ở chương 2.
3. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận
văn gồm có 3 chương, cụ thể:
Chương 1: Hệ số Ettinghausen trong bán dẫn khối thông thường
Chương 2: Hệ số Ettinghausen trong hố lượng tử thế Parabol và trường
điện từ ngồi khơng đổi.
Chương 3: Tính tốn số và vẽ đồ thị.
4. Các kết quả thu được của luận văn.
- Thiết lập được phương tŕnh động lượng tử cho điện tử giam cầm trong
hố lượng tử với thế Parabol cao vô hạn và 1 điện từ trường ngồi khơng đổi.
- Xây dựng được biểu thức giải tích của Hệ số Ettinghausen trong hố lượng
tử với thế Parabol cao vô hạn và trường điện từ ngồi khơng đổi, laser kích thích (cơ
chế tán xạ điện tử – phonon quang). Từ đó kết luận hệ số EC phụ thuộc phức tạp và
phi tuyến vào tần số của sóng điện từ , tần số phonon ,cường độ điện – từ trường và
nhiệt độ của hệ. Đồng thời khi cho độ rộng hố lượng tử tiến tới vô cùng, ta thu được
6
biểu thức EC trong hố lượng tử.
- Các kết quả lư thuyết đă được tính tốn số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của hệ số Ettinghausen vào các thông số đối với hố lượng tử
GaAs/GaAsAl.
Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học , góp
phần vào phát triển lư thuyết về hiệu ứng quang kích thích Ettinghausen trong
bán dẫn thấp chiều.
7
CHƯƠNG 1
HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN TRONG BÁN DẪN KHỐI
Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử, xuất phát từ Hamiltonian
của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối dưới tác động của điện, từ trường không
r
r r
E0 ( t )
E
,
H
đổi
và một sóng điện từ mạnh (bức xạ laser)
, xây dựng phương trình
động lượng tử cho hàm phân bố điện tử, từ đó tính tốn mật độ dịng và mật độ
thơng lượng nhiệt trong hiệu ứng Ettingshausen.
1.1. Phương trình động lượng tử hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối dưới tác động của điện,
r
r r
E
t
từ trường không đổi E , H và một sóng điện từ mạnh (bức xạ laser) 0 ( ) , có dạng:
r e r
H = ∑ ε p − A ( t ) ÷a +pr a pr + ∑
ωkr bkr+ bkr +
r
r
c
p
k
r +
+ ∑r Ckr a +pr + kr a pr bkr + b−+kr + ∑
ϕ
k
a pr + kr a pr
r
r
p ,k
k
(1)
(
Trong đó :
a +pr , a pr ; ( bkr+ , bkr )
)
( )
lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử (phonon).
r
r
p2
ε ( p ) ≡ ε pr =
2m là phổ năng lượng của điện tử.
Ckr
là hằng số tương tác điện tử - phonon.
r
∂
A
1
( t ) = Er cos Ωt
r
−
0
A( t )
là thế véc-tơ. c ∂t
.
r
r r ∂
r
r
r
3
r
ϕ
k
=
2
π
i
eE
+
ω
k,
h
δ
k
(
)
ϕ k
H
∂k
là thế vơ hướng
.
(
( )
( )
)
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử
∂n pr ( t )
∂t
=
1
a +pr a pr , H
i
t
( )
n pr ( t ) = a +pr a pr
t
:
(2)
Áp dụng các hệ thức giao hoán tử cho toán tử sinh hủy điện tử (phonon):
8
{ a ,a } = a a
k
+
l
+
l
k
{ ak , al } = { ak+ , al+ }
+ al+ ak = δ k ,l ;
=0
bk , bl+ = bk bl+ − bl+bk = δ k ,l ; [ bk , bl ] = bk+ , bl+ = 0
+
r e r
r e r
ε p '− A ( t ) ÷a +pr 'a pr ' = ∑ ε p '− A ( t ) ÷( a +pr a pr a +pr 'a pr ' − a +pr 'a pr 'a +pr a pr ) =
a pr a pr , ∑
r
r
c
c
p'
p'
*
r e r
= ∑ ε p '− A ( t ) ÷ a +pr δ pr , pr ' − a +pr 'a pr a pr ' − a +pr ' δ pr , pr ' − a +pr a pr ' a pr =
r
c
p'
( (
)
) )
(
r e r
= ∑ ε p '− A ( t ) ÷( a +pr a pr 'δ pr , pr ' − a +pr 'a prδ pr , pr ' + a +pr a +pr 'a pr a pr ' − a +pr 'a +pr a pr 'a pr ) =
r
c
p'
r e r
r e r
= ∑ ε p '− A ( t ) ÷a +pr a pr 'δ pr , pr ' − ∑ ε p '− A ( t ) ÷a +pr 'a prδ pr , pr ' = 0
r
r
c
c
p'
p'
(2.1)
+
+
r b r br = 0
ω
a pr a pr , ∑
k
k
k
r
k
*
(3)
+
+
+
r a r r a r ( br + b r ) =
rar ,
a
C
Ckr a +pr a pr a +pr ' + kr a pr ' − a +pr '+ kr a pr 'a +pr a pr ( bkr + b−+kr ) =
p p ∑
∑
p'
k
p
'
+
k
k
−
k
r
r
r
r
p ', k
p ',k
*
(
)
(
)
= ∑r Ckr a +pr a pr 'δ pr , pr '+ kr − a +pr ' + kr a prδ pr , pr ' ( bkr + b−+kr ) =
r
p ', k
=∑
Ckr a +pr a pr − kr ( bkr + b−+kr ) − ∑
Ckr a +pr + kr a pr ( bkr + b−+kr ) =
r
r
k
k
(
=∑
Ckr Fpr , pr − kr ,kr + Fpr*− kr , pr ,− kr − Fpr + kr , pr ,kr − Fpr*, pr + kr ,− kr
r
k
với
Fpr , pr ,kr = a +pr1 a pr2 bkr ;
1
2
)
(4)
(
Fpr* , pr ,kr = a +pr1 a pr2 bkr
1
2
)
*
= a +pr2 a pr1 bkr+
r +
r r ∂
r
r
3
k, h r δ k a +pr a pr a +pr ' + kr a pr ' − a +pr ' + kr a pr 'a +pr a pr =
* a +pr a pr , ∑
ϕ
k
a
r r a pr ' = ∑ ( 2π i )
eE
+
ω
H
p
'
+
k
r
r
∂k
k
k
(
( )
)
( )(
r r ∂
r +
r
3
r
=∑
2
π
i
eE
+
ω
k,
h
δ
k
a pr a pr 'δ pr , pr ' + kr − a +pr ' + kr a prδ pr , pr '
(
)
H
∂k
r
k
+
r
r r ∂a pr a pr
= −i eE + ωH p, h
r
∂p
(
(
)
( )(
)
Thay (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) vào (2) thuđược:
9
)
)
(5)
∂n pr ( t )
∂t
r
r r ∂n pr ( t )
+ eE + ωH p, h
r
∂p
(
)
(
= i∑
Ckr Fpr + kr , pr ,kr ( t ) + Fpr*, pr + kr ,− kr ( t ) − Fpr , pr −kr ,kr ( t ) − Fpr*−kr , pr ,− kr ( t )
r
k
Để tìm
∂Fpr , pr
1
Fpr , pr
1
r
2 ,k
∂t
( t)
2
r
,k
=
( t)
)
(6)
ta thiết lập phương trình động lượng tử:
1 +
a pr a pr b r , H
i 1 2 k t (7)
+
r e r
ε p '− A ( t ) ÷a +pr 'a pr ' =
a pr1 a pr 2 bkr , ∑
r
c
p'
*
r e r
= ∑ ε p '− A ( t ) ÷ a +pr1 a pr2 bkr a +pr 'a pr ' − a +pr ' a pr ' a +pr1 a pr2 bkr =
r
c
p'
(
)
r e r
= ∑ ε p '− A ( t ) ÷ a +pr1 a pr 'bkrδ pr2 pr ' − a +pr ' a pr2 bkrδ pr1 pr ' =
r
c
p'
(
)
r e r
r e r
= ε p2 − A ( t ) ÷− ε p1 − A ( t ) ÷ a +pr1 a pr 2 bkr =
c
c
e r r r
= ε pr2 − ε pr1 −
( p2 − p1 ) A ( t ) Fpr1 , pr2 ,kr
mc
(8)
Xem xét từ trường là yếu ωH << Ω , không dẫn tới sự tách mức năng lượng của
điện tử thành các mini vùng Landau, ta có:
2
2
r e r r e r
r e r
r e r 1
ε p2 − A ( t ) ÷− ε p1 − A ( t ) ÷ =
p2 − A ( t ) − p1 − A ( t ) =
c
c
c
c
2m
=
r r
r r
1 r2 r2
e r
e r
( p2 − p1 ) A ( t )
p2 − p1 − 2 ( p2 − p1 ) A ( t ) = ε pr2 − ε pr1 −
2m
c
mc
+
ωkr 'bkr+'bkr ' = ∑
ωkr ' a +pr1 a pr2 ( bkr bkr+'bkr ' − bkr+'bkr 'bkr ) =
a pr1 a pr2 bkr , ∑
r
r
k'
k'
*
=∑
ωkr 'a +pr1 a pr 2
r
k'
( ( b b +δ ) b
+
r r
k' k
r r
k ,k '
r
k'
)
− bkr+'bkr 'bkr = ∑
ωkr 'a +pr1 a pr 2 bkr 'δ kr ,kr ' =
r
k'
= ωkr a +pr1 a pr2 bkr = ωkr Fpr pr kr
1 2
10
(9)
+
+
+
r a r r a r ( br + b r ) =
C
a pr1 a pr 2 bkr , ∑
p
'
k
'
p
'
+
k
'
k
'
−
k
'
r r
p ', k '
*
=
∑C
=
∑C
r r
p ',k '
r r
p ', k '
r
k'
r
k'
a +pr1 a pr2 a +pr '+ kr ' a pr 'bkr ( bkr ' + b−+kr ' ) − ∑r Ckr ' a +pr '+ kr ' a pr ' a +pr1 a pr2 ( bkr ' + b−+kr ' ) bkr =
r
p ', k '
(
a +pr1 δ pr
r
r
2 , p '+ k
'
)
− a +pr ' + kr ' a pr 2 a pr 'bkr ( bkr ' + b−+kr ' ) −
(
)
− ∑r Ckr ' a +pr ' + kr ' δ pr ', pr1 − a +pr1 a pr ' a pr 2 ( bkr ' + b−+kr ' ) bkr =
r
p ',k '
=
∑C
r r
p ', k '
r
k'
(
)
a +pr1 a pr 'bkr bkr ' + b−+kr ' δ pr
r
r
2 , p '+k
(
)
− ∑r Ckr ' a +pr ' + kr ' a pr2 bkr ' + b−+kr ' bkrδ pr ', pr1 −
'
r
p ', k '
− ∑r Ckr ' a +pr1 a +pr ' + kr ' a pr 2 a pr ' ( bkr b−+kr ' − b−+kr 'bkr ) =
r
p ',k '
=∑
Ckr 'a +pr1 a pr − kr 'bkr ( bkr ' + b−+kr ' ) − ∑
Ckr 'a +pr +kr 'a pr2 ( bkr ' + b−+kr ' ) bkr −
r
r
2
k'
1
k'
−∑ C− kr a +pr1 a +pr '− kr a pr2 a pr '
r
p'
(10)
Trong phép lấy tổng trên ta chỉ xét các số hạng là trung bình số hạt điện tử
n pr ( t ) = a +pr a pr
t
và trung bình số hạt phonon
N kr ( t ) = bkr+ bkr
t
r
r r
p
−
p
=
−
k
2
1
và lưu ý:
,
thu được:
= Ckr a +pr1 a pr1bkrbkr+ − Ckr a +pr2 a pr 2 bkr+bkr − C− kr a +pr1 a +pr2 a pr2 a pr1 =
= Ckr a +pr1 a pr1 bkr bkr+ − Ckr a +pr2 a pr 2 bkr+bkr − Ckr a +pr1 a +pr2 a pr2 a pr1 ( bkr bkr+ − bkr+ bkr ) =
(
)
(
)
= Ckr a +pr1 a pr1 1 − a +pr2 a pr2 bkrbkr+ − Ckr a +pr2 a pr2 1 − a +pr1 a pr1 bkr+bkr
(11)
Bỏ qua số hạng thứ tư trong phép tính gần đúng.
Thay (8), (9), (11) vào (7) thu được:
∂Fpr , pr ,kr ( t )
1
2
∂t
+iCkr
{a
+
r
p2
e r r r
= i ε pr1 − ε pr2 −
( p1 − p2 ) A ( t ) − ωkr Fpr1 , pr2 ,kr ( t ) +
mc
a pr2
t
(1− a
+
r
p1
a pr1
t
)
bkr+bkr
t
− a +pr1 a pr1
t
( 1−
a +pr2 a pr2
t
)
bkr bkr+
t
} (12)
Phương trình (5) là phương trình vi phân tuyến tính cấp một khơng thuần
11
∂Ft
= M t Ft + N t
∂t
nhất, có dạng :
∂Ft 0
= M t Ft 0
Ta giải phương trình thuần nhất tương ứng ∂t
thu được
t
Ft = D.exp ∫ M t1 dt1
−∞
0
t
Ft = Dt F0t = Dt .exp ∫ M t1 dt1
−∞
ta có:
Biến thiên hằng số:
t
t
t'
∂Dt
exp ∫ M t1 dt1 = N t
Dt = ∫ dt 'N t ' exp − ∫ M t1 dt1
∂t
∞
−∞
−∞
. Suyra
Ta thu được nghiệm
t'
t
t
t
Ft = Dt F = ∫ dt 'N t ' exp − ∫ M t1 dt1 .exp ∫ M t1 dt1 = ∫ dt 'N t ' exp ∫ M t1 dt1
∞
−∞
−∞
−∞
t '
t
t
0
Như vậy, nghiệm của (5) là:
t
Fpr , pr
1
r
2 ,k
( t ) = i ∫ dt 'Ckr
∞
{a
+
r
p2
a pr 2
t'
(1−
a +pr1 a pr1
t'
)
bk+r bkr
t'
− a +pr1 a pr1
t'
( 1−
a +pr 2 a pr 2
t'
)
bkr bkr+
t'
t
e r r r
× exp i ∫ ε pr1 − ε pr2 −
( p1 − p2 ) A ( t1 ) − ωkr dt1
mc
(13)
t'
r
r
r
cE0
1 ∂A ( t ) r
A( t ) =
cos Ωt
−
= E0 sin Ωt
Ω
Ta có c ∂t
. Suy ra
. Do đó:
t
ec r r r
exp i ∫ ε pr1 − ε pr2 − ( p1 − p2 ) A ( t1 ) − ωkr dt1 =
m
t'
t
e r r r
= exp i ∫ ε pr1 − ε pr2 −
( p1 − p2 ) E0 cos Ωt1 − ωkr dt1 =
mΩ
t'
−ie r r r
= exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr ( t − t ') exp
p − p2 ) E0 ( sin Ωt − sin Ωt ' )
2 ( 1
mΩ
{(
)
}
r
r
eE
0
exp { ±iα sin θ } = ∑ J µ ( α ) exp ( ±i µθ )
a=
µ
mΩ 2 ,
Áp dụng cơng thức
và đặt
12
}×
thu được:
{(
)
= exp i ε pr1 − ε pr 2 − ωkr ( t − t ')
} ∑ J ( ar ( pr − pr ) ) J ( ar ( pr − pr ) ) exp{ −isΩt + ilΩt '} =
s
1
2
l
1
2
s ,l
{(
}
r r r
r r r
= ∑ J s ( a ( p1 − p2 ) ) J l ( a ( p1 − p2 ) ) exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr − lΩ ( t − t ' ) exp { i ( l − s ) Ωt }
s ,l
)
Khi đó, (6) trở thành:
t
Fpr , pr
1
r
2 ,k
( t ) = i ∫ dt 'Ckr
∞
{a
+
r
p2
a pr 2
t'
(1−
a +pr1 a pr1
t'
)
bk+r bkr
t'
− a +pr1 a pr1
t'
( 1−
rr
rr
×∑ J s ak J l ak exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr − l Ω ( t − t ') exp { i ( l − s ) Ωt }
( ) ( ) {(
s ,l
}
)
a +pr 2 a pr 2
t'
)
bkr bkr+
t'
}×
t'
)
bk+r bkr
t'
}×
(14)
Tương tự:
t
Fpr* , pr
1
r
2 ,k
( t ) = i ∫ dt 'Ckr
∞
{a
+
r
p1
a pr1
t'
(1−
a p+r 2 a pr 2
t'
)
bkrbkr+
t'
− a +pr 2 a pr 2
t'
( 1−
a p+r1 a pr1
rr
rr
×∑ J s ak J l ak exp i ε pr2 − ε pr1 + ωkr − lΩ ( t − t ') exp { i ( l − s ) Ωt }
s ,l
( ) ( ) {(
)
Từ (7), (8) ta tìm được biểu thức của
}
(15)
Fpr + kr , pr ,kr ( t ) , Fpr*, pr + kr ,− kr ( t ) , Fpr , pr − kr ,kr ( t ) , Fpr*− kr , pr ,− kr ( t )
Và thay vào (3) thu được:
∂n pr ( t )
∂t
r
r r ∂n pr ( t )
+ eE + ωH p, h
Ckr
r = −∑
r
∂p
k
(
)
{
(
2
rr
rr
J
ak
J
ak
exp { i ( l − s ) Ωt } ∫ dt ' ×
∑ s
l
s ,l
t
( ) ( )
∞
)
× n pr ( t ') 1 − n pr + kr ( t ' ) N kr ( t ' ) − n pr + kr ( t ' ) ( 1 − n pr ( t ' ) ) ( N kr ( t ' ) + 1) ×
(
× exp i ε pr + kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ
(
+ n pr ( t ') 1 − n pr + kr ( t ')
)(N
r
k
) ( t − t ') +
( t ') + 1) − n pr + kr ( t ') ( 1 − n pr ( t ') ) N kr ( t ') ×
(
× exp i ε pr + kr − ε pr + ωkr − lΩ + iδ
) ( t − t ') −
(
− n pr − kr ( t ') ( 1 − n pr ( t ' ) ) N kr ( t ' ) − n pr ( t ' ) 1 − n pr −kr ( t ' )
(
× exp i ε pr − ε pr − kr − ωkr − lΩ + iδ
) ( t − t ') −
13
)(N
r
k
( t ') + 1) ×
(
)
− n pr −kr ( t ') ( 1 − n pr ( t ' ) ) ( N kr ( t ') + 1) − n pr ( t ') 1 − n pr −kr ( t ' ) N kr ( t ' ) ×
(
}
)
× exp i ε pr − ε pr − kr + ωkr − lΩ + iδ ( t − t ')
(16)
Phươngtrình (9) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong
bán dẫn khối khi có mặt trường điện từ không đổi và trường bức xạ cao tần (laser).
Sử dụng phương pháp gần đúng lặp, ta thay
t
∫ dt 'exp i ( ε
hiện phép tính tích phân ∞
=
( −1) exp i ( ε pr
1
(
r
p1
n pr ( t ') ≡ n pr ; N kr ( t ' ) ≡ N kr
− ε pr2 ± ωkr − lΩ + iδ
− ε pr2 ± ωkr − l Ω + iδ
) ( t − t ') −∞
i ε pr1 − ε pr2 ± ωkr − lΩ + iδ
và thực
) ( t − t ') =
t
)
=
i
ε pr1 − ε pr2 ± ωkr − lΩ + iδ
Đồng thời ta chỉ xét l = s , thu được:
∂n pr
∂t
r
+ eE + ωH
(
(
r r ∂n r
p, h rp = −i ∑ C r
k
∂p
r
k
)
2
r
2 r
J
ak
×
∑ l
l
( )
)
(
)
n pr 1 − n r r N r − n r r ( 1 − n pr ) ( N r + 1) n pr 1 − n r r ( N r + 1) − n r r ( 1 − n pr ) N r
p+k
k
p +k
k
p+k
k
p +k
k
×
+
−
ε pr + kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ
ε pr + kr − ε pr + ωkr − l Ω + iδ
−
(
n pr −kr ( 1 − n pr ) N kr − n pr 1 − n pr − kr
) ( N + 1) − n ( 1 − n ) ( N + 1) − n ( 1 − n ) N
r
k
r r
p−k
ε pr − ε pr −kr − ωkr − lΩ + iδ
r
p
r
k
r
p
ε pr − ε pr −kr + ωkr − lΩ + iδ
r r
p −k
r
k
2
rr
Ckr , J l2 ak
( ) là các hàm chẵn đối với kr, l :
Thực hiện phép đổi chỉ số và lưu ý
r
r
Đổi k → − k ở số hạng thứ hai và số hạng thứ tư.
Đổi l → −l ở số hạng thứ ba và số hạng thứ tư.
Sau đó nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ tư, số hạng thứ hai với số
hạng thứ ba:
r
r r ∂n r
+ eE + ωH p, h rp = −i ∑
Ckr
r
∂t
∂p
k
∂n pr
(
)
14
2
r
2 r
J
ak
×
∑ l
l
( )
(
)
(
)
n pr 1 − n r r N r − n r r ( 1 − n pr ) ( N r + 1) n r r ( 1 − n pr ) ( N r + 1) − n pr 1 − n r r N r
p +k
k
p +k
k
p +k
k
p +k
k
×
−
ε pr + kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ
ε pr − ε pr + kr + ωkr + l Ω + iδ
+
(
n pr 1 − n pr −kr
) ( N + 1) − n ( 1 − n ) N
r
k
r r
p −k
r
p
ε pr −kr − ε pr + ωkr − lΩ + iδ
r
k
(
n pr −kr ( 1 − n pr ) N kr − n pr 1 − n pr −kr
−
) ( N + 1)
r
k
ε pr − ε pr − kr − ωkr + l Ω + iδ
hay
r
r r ∂n r
+ eE + ωH p, h rp = −i ∑
Ckr
r
∂t
∂p
k
∂n pr
(
(
)
)
2
r
2 r
J
ak
×
∑ l
( )
l
(
)
n pr 1 − n r r N r − n r r ( 1 − n pr ) ( N r + 1) n pr 1 − n r r N r − n r r ( 1 − n pr ) ( N r + 1)
p +k
k
p +k
k
p+k
k
p +k
k
×
−
ε pr + kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ
ε pr + kr − ε pr − ωkr − l Ω − iδ
+
(
)
n pr 1 − n pr −kr ( N kr + 1) − n pr −kr ( 1 − n pr ) N kr
ε pr −kr − ε pr + ωkr − lΩ + iδ
(
)
n pr 1 − n pr −kr ( N kr + 1) − n pr −kr ( 1 − n pr ) N kr
−
ε pr −kr − ε pr + ωkr − l Ω − iδ
(17)
1
ρ
1
1
= miπδ ( X )
−
= −2π iδ ( X )
Áp dụng X ± iδ X
. Suyra X + iδ X − iδ
Do vậy phương trình trên trở thành:
r
r r ∂n r
+ eE + ωH p, h rp = 2π ∑
Ckr
r
∂t
∂p
k
∂n pr
(
)
{
(
)
2
r
2 r
J
ak
×
∑ l
( )
l
(
)
× n pr + kr ( 1 − n pr ) ( N kr + 1) − n pr 1 − n pr + kr N kr δ ε pr + kr − ε pr − ωkr − lΩ +
(
+ n pr − kr ( 1 − n pr ) N kr − n pr 1 − n pr − kr
) ( N + 1) δ ( ε
r
k
r r
p −k
− ε pr + ωkr − lΩ
) } (18)
Phương trình động lượng tử (18) gần đúng trong từ trường yếu (từ trường
không ảnh hưởng lên phổ năng lượng điện tử, lên hệ số tương tác điện tử-phonon).
Xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm ωk =Ω; ωk =kT ; ωk =ε . Khi đó,
r
r
k
→
−
k
ta thực hiện việc đổi chỉ số
ở số hạng thứ hai, và phương trình (17) trở
r
thành:
15
r
r
∂n pr ( t )
∂t
r
r r ∂n pr ( t )
+ eE + ωH p, h
2π Ckr
r =∑
r
∂p
k
(
)
(
) (
)
r
W ( k ) = 2π C ( 2 N + 1)
C
Đặt
, trong đó
2
( 2N
r
k
rr
+ 1) ∑ J l2 ak ×
l
( )
× n pr + kr − n pr δ ε pr + kr − ε pr − lΩ
r
k
2
r
k
(19)
r
k
2
không phụ thuộc vào từ trường,
ta thu được phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn
khối với trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm:
r
r
r
r r ∂n pr
p ∂n pr r
2 r
+
eE
+
ω
p
,
h
,
=
W
k
J
ak
n pr +kr − n pr δ ε pr + kr − ε pr − l Ω (20)
r
∑l l
H
∂pr ÷ ∑
r
m ∂r
k
( )(
( )
) (
)
r
r H
eH
h=
ωH =
m là tần số Cyclotron,
H là véc-tơ đơn vị dọc theo chiều từ trường.
với
Trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cường độ của trường ngoài, ta chỉ lấy
l = 0, ±1 với
e r
pδ ( ε − ε pr )
J ( x ) = 1 − x / 2; J ( x ) = x / 4
m
. Ta nhânhaivếcủa (12) với
rồi
2
0
2
2
1
2
r
lấy tổng theo p thu được:
r
r r
r
r
R( ε )
+ ωH h , R ( ε ) = Q ( ε ) + S ( ε )
τ (ε)
Trong đó:
τ (ε)
(21)
là thời gian phục hồi xung lượng của điện tử.
r
r
e
R ( ε ) = ∑ pn prδ ( ε − ε pr )
m pr
(22)
r
r r ∂n r
e
Q ( ε ) = − ∑ p F , rp ÷δ ( ε − ε pr )
m pr ∂p
(23)
r rr 2
r
e
S(ε) = −
W
k
ak ∑ n pr 2δ ε pr + kr − ε pr − δ ε pr + kr − ε pr − Ω −
∑
r
4m kr
p
r r
r
− δ ε pr + kr − ε pr + Ω
p + k δ ε − ε pr + kr − pδ ( ε − ε pr )
(24)
{ (
( )( )
(
)} { (
) (
) (
)
16
}
)
r
r r ∂n pr
e
r
p
δ
ε
−
ε
ω
p
∑ ( p ) H , h , ∂pr ÷
m pr
* Tính:
r
r
r
r
r
r
∇ ( ϕ a ) = ∇ ( ϕ ) a + ϕ∇ ( a ) ⇒ a∇ ( ϕ ) = ∇ ( ϕ a ) − ϕ∇ ( a )
Áp dụng
rr r r r r
r r
rr r r
∇ a.b = a∇b + b ∇a ⇒ a∇b = ∇ a.b − b ∇a
( )
và
( )
thu được
r
r r ∂n pr e
r
r r
e
r r
r ) ω p, h ,
r
p
δ
ε
−
ε
=
p
δ
ε
−
ε
ω
p
(
(
)
∑
p H
p
H , h , ∇ pnp =
∂pr ÷ m ∑
r
m pr
p
(
{ (
)
{ (
) }
{ (
)
)
)} =
=
r
r r
r r
e
r
r
r
r
r
p
δ
ε
−
ε
∇
n
ω
p
,
h
−
n
∇
ω
p
∑ ( p ) p p H p p H , h
m pr
=
r
r r
e
r
r
r
p
δ
ε
−
ε
∇
n
ω
p
∑ ( p ) p p H , h − 0 =
m pr
=
r
r r
r r
r
e
r ) ∇ r pn r ω p , h − n r ω p , h ∇ r p =
δ
ε
−
ε
(
∑
p
p
p H
p
H
p
m pr
=
(
}
r e
r r
r
e
δ ( ε − ε pr ) 0 − n prω H p, h .1 = ω H h , ∑ pn pr δ ( ε − ε pr ) =
∑
r
m pr
m p
r r
= ωH h , R ( ε )
(25)
{
}
*) Giải phương trình (22):
r
ω Hτ ( ε ) h
Nhân trái, có hướng hai vế của (14) với
ta có:
r r
r r r
r r
r
ωH h , R ( ε ) + ωH2 τ ( ε ) h , h , R ( ε ) = ω Hτ ( ε ) h , Q ( ε ) + S ( ε )
(26)
Biếnđổi:
r r r
r r r
r r r r r
r
r
h , h , R ( ε ) = h h , R ( ε ) − R ( ε ) h , h = h h , R ( ε ) − R ( ε )
(27)
r
r
τ (ε) h
h
Nhân trái, vơ hướng hai vế của (13) với
, sau đó lại nhân với ta có :
r r r
r r r r
r r r
r
h h , R ( ε ) + ωHτ ( ε ) h h , h , R ( ε ) = h h , Q ( ε ) + S ( ε )
(28)
(
(
)
)
(
( ) (
) (
17
)
)
r r r
h , h , R ( ε ) = 0
Thay (28) vào (27) rồi thay (27) vào (26) và lưu ý
thu được:
r r
r r r
r r
r
r
r
ωH h , R ( ε ) + ωH2 τ ( ε ) h h , Q ( ε ) + S ( ε ) − R ( ε ) = ω Hτ ( ε ) h , Q ( ε ) + S ( ε )
(29)
{ (
}
)
Trừ vế với vế của (23) cho (29) ta được:
r
r r r
r r
r
r
r
r
r
R( ε )
− ωH2 τ ( ε ) h h , Q ( ε ) + S ( ε ) − R ( ε ) = Q ( ε ) + S ( ε ) − ω Hτ ( ε ) h , Q ( ε ) + S ( ε )
τ (ε)
{ (
}
)
Suy ra:
r
R( ε ) =
r r
r
r
r
Q ( ε ) + S ( ε ) − ωHτ ( ε ) h , Q ( ε ) + S ( ε ) +
τ (ε)
r r r
2 2
r
2 2
1 + ωHτ ( ε ) +ω τ ( ε ) h h , Q ( ε ) + S ( ε )
H
(
(30)
)
1.2. Mật độ dịng tồn phần trong bán dẫn khối
Biểu thức mật độ dịng tồn phần:
+∞
+∞ r
r e
r
r
e
r
r
r
j = ∑ pn p = ∫ ∑ pn pδ ( ε − ε p ) d ε = ∫ R ( ε ) d ε
m pr
m pr
0
0
hay
với
(31)
r
r
r
j = L0 Q + L0 S
( )
( ) (23)
r r
r r r
r +∞ d ε .τ ( ε )
r
2 2
L0 A = ∫
A
ε
−
ω
τ
ε
h
,
A
ε
+
ω
τ
ε
h
h, A ( ε )
(
)
(
)
(
)
(
)
H
H
2 2
1
+
ω
τ
ε
(
)
H
0
{
( )
(
)}
(32)
Ta tìm hàm phân bố khơng cân bằng của điện tử dưới dạng:
n pr = f 0 ( ε n , pr ) + f1 ( ε n, pr ) ; f1 ( ε n, pr ) = f 0 ( ε n , pr )
rr
n pr = f 0 ( ε n , pr ) − p χ ( ε n , pr ) f 0' ( ε n , pr )
Trong đó
r
χ(ε) =
f 0 ( ε n , pr )
τ (ε)
m ( 1 + ωH2 τ 2 ( ε ) )
* Tính
(25)
là hàm phân bố cân bằng của điện tử.
r r
r r r
r
F − ω Hτ ( ε ) h , F + ω H2 τ 2 ( ε ) h , h , F
{
( ( ) )}
r
Q( ε )
Từ (15) ta tính
r
Q( ε )
(33)
trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cường độ trường ngồi
18
r
r r ∂n r
e
Q ( ε ) = − ∑ p F , rp
m pr
∂p
e 1
=−
m 2π 2
+∞
∫
0
+∞
r '
∂ε pr
e 4π
2
r) = −
r)
δ
ε
−
ε
Fpf
ε
(
(
r δ ( ε − ε pr ) p dp
÷
p
0
p
3 ∫
m
∂
p
( 2π ) −∞
r
3/2
F ( 2mε pr ) f 0' ( ε pr ) δ ( ε − ε pr ) dε pr = −
* Tính
e r
3/2
F ( 2mε ) f 0' ( ε )
2
2π m
r
S(ε)
Từ (16) ta có:
SA ( ε ) =
(34)
Si ( ε ) = SA ( ε ) + SB ( ε )
r rr
e
W
k
ak
∑
4m kr
( ) ( ) ∑ n 2δ ( ε
r rr
e
=−
W
k
ak
∑
4m kr
( )( )
(
2
) (
2
r
p
r
p
1
2π 2
r r
p+k
r r
− ε pr − Ω p + k δ ε − ε pr + kr
)(
) (
)
+∞
ki k j
'
r ) f ( ε r ) δ p +
p
χ
ε
(
×
j
n
,
p
0
n
,
p
ij
∫
mk
−∞
)
×δ ε − ε pr + kr δ ε pr + kr − ε pr − Ω p 2 dp
r rr
e
=−
W
k
ak
∑
4m kr
( )( )
(
2
1
2π 2
+∞
∫ ( 2mε )
p
0
) (
3/2
χj (ε
r
n, p
) f (ε
'
0
r
n, p
)
ki k j
) δij +
×
1/2
m ( 2mε pr ) k
×δ ε − ε pr + kr δ ε pr + kr − ε pr − Ω mdε pr
r rr
em3/2
=−
W
k
ak
∑
2 2π 2 kr
( )( )
SB ( ε ) = −
=
=
2
( ε − Ω)
r rr
e
W
k
ak
∑
4m kr
3/2
k 2
ki k j
χ j ( ε − Ω ) f ( ε − Ω ) δ ij +
− Ω÷
δ
m 2m ( ε − Ω ) k 2m
'
0
( ) ( ) ∑ n 2δ ( ε
r rr
e
W
k
ak
∑
4m kr
( )( )
2
1
2π 2
2
r
p
r
p
r r
p+k
)
r
− ε pr − Ω pδ ( ε − ε pr )
+∞
∫ pχ ( ε ) f ( ε ) δ
j
r
n, p
'
0
r
n, p
−∞
ij
(
)
pδ ( ε − ε pr ) δ ε pr + kr − ε pr − Ω p 2 dp
r r r 2 1 +∞
3/2
e
r)
W
k
ak
2
m
ε
χ j ( ε n , pr ) f 0' ( ε n , pr ) δ ijδ ( ε − ε pr ) δ ε pr +kr − ε pr − Ω md ε pr
(
∑
p
2
∫
r
4m k
2π 0
(
( )( )
e ( 2m )
=
2π 2
3/2
r r r 2 3/2
k2
1
'
W
k
ak
ε
χ
ε
f
ε
δ
δ
−
Ω
(
)
(
)
∑
÷
j
0
ij
4 kr
2m
( )( )
Ta viết lại:
19
)
e ( 2m )
Si ( ε ) = −
2π 2
3/2
{ ( ε − Ω)
3/2
χ j ( ε − Ω ) f 0' ( ε − Ω ) λij − ε 3/2 χ j ( ε ) f 0' ( ε ) β ij
} (35)
Trong đó:
r rr
1
λij = ∑
W
k
ak
4 kr
( )( )
2
k 2
ki k j
− Ω÷
δ ij +
δ
m 2m ( ε − Ω ) k 2m
(36)
r rr 2
k2
1
℘ij = ∑
W
k
ak
δ
δ
−
Ω
÷
ij
4 kr
2m
( )( )
(37)
Xét khí điện tử suy biến hoàn toàn, hàm phân bố cân bằng của điện tử có
dạng:
f 0 ( ε pr ) = θ ( ε F − ε pr )
. Khi đó
f 0' ( ε pr ) = −δ ( ε F − ε pr ) = −δ ( ε pr − ε F )
Thay vào (28) và (29) ta thu được các biểu thức của
r
Q( ε ) =
r
r
Qi ( ε ) , Si ( ε )
:
e r
3/2
F ( 2mε ) δ ( ε − ε F )
2
2π m
(38)
e ( 2m )
Si ( ε ) =
2π 2
3/2
{ ( ε − Ω)
3/2
χ j ( ε − Ω ) δ ( ε − Ω − ε F ) λij − ε 3/2 χ j ( ε ) δ ( ε − ε F ) ℘ij
} (39)
Thay (38), (39) vào (25) và lấy tích phân ta thu được: (ở đây ta kí hiệu
τ ≡τ ( εF )
)
r r
r r r
r +∞ e ( 2mε ) 3/2 d ε .τ ( ε )
r
2 2
L0 Q = ∫
F
−
ω
τ
ε
h
,
F
+
ω
τ
ε
h
h, F δ ( ε − ε F )
(
)
(
)
H
H
2π 2 m 1 + ωH2 τ 2 ( ε )
0
{
( )
e ( 2mε F )
L0 ( Qi ) =
2π 2 m
3/2
(
{
r r
r r
τ
2 2
δ
F
−
ω
τ
h
,
F
+
ω
τ
h
h
,F
ij
j
H
H
j
j
1 + ωH2 τ 2
r r
h , F = ε jpk hp Fk = −eε jkp hp Ek
j
Do F j = δ jk Ek nên ta biểu diễn
và
r r
h j h , F = h j hk Fk = eh j hk Ek
, thu được:
(
(
)
e 2 ( 2mε F )
L0 ( Qi ) =
2π 2 m
3/2
τ
δ δ + ωHτε jkp hp + ωH2 τ 2 h j hk } Ek
2 2 ij { jk
1 + ωHτ
(40)
20
)}
)}
L0 ( Si ) =
+∞
∫
0
e ( 2m ) ε F3/2 d ε .τ ( ε )
δ il + ωHτ ( ε ) ε ilm hm + ω H2 τ 2 ( ε ) hi hl } ×
{
2
2 2
2π
1 + ω Hτ ( ε )
3/2
×{ λljδ ( ε − Ω ) −℘ljδ ( ε − ε F ) } χ j
χ j ≡ χ j ( εF ) =
Từ (20):
eτ
δ + ωHτε jkp hp + ωH2 τ 2 h j hk } Ek
2 2 { jk
m ( 1 + ω Hτ )
e 2 ( 2mε F )
L0 ( Si ) =
2π 2 m
3/2
{δ
il
, thu được
+ ωHτ ( Ω ) ε ilm hm + ω H2 τ 2 ( Ω ) hi hl } ×
τ ( Ω )
τ
τ
×
λ
−
℘
δ + ω Hτε jkp hp + ωH2 τ 2 h j hk } Ek
lj
lj
2 2
2 2
2 2 { jk
1 + ω Hτ
1 + ωHτ ( Ω )
1 + ω Hτ
(41)
1/2
ε
τ ( Ω ) >> τ ( ε F ) F ÷
Ω
với
Thay (32), (33) vào (34) và biểu diễn ji = σ ik Ek + βik ∇Tk ta tìm được biểu
thức của ten-xơ độ dẫn:
e2 ( 2mε F )
σ ik =
2π 2 m
3/ 2
τ ( Ω)
2 2
δ
+
ω
τ
Ω
ε
h
+
ω
τ
Ω
h
h
λ
(
)
(
)
(
)
δ ij +
×
il
H
ilm
m
H
i
l
lj
1 + ω H2 τ 2 ( Ω )
2
τ
τ
×
δ + ωHτε jkp hp + ωH2 τ 2 h j hk ) −
δ + ωHτ ( Ω ) ε ilm hm +
2 2 ( jk
2 2 ÷ ( il
1 + ω Hτ
1
+
ω
τ
H
+ωH2 τ 2 ( Ω ) hi hl ) ℘lj ( δ jk + ω Hτε jkp hp + ω H2 τ 2h j hk )
e ( 2mε F )
β ik = −
2π 2 mT
< (ε − ε F )
3/2
} (42)
τ ( Ω)
δ il + ω Hτ (Ω)ε ilm hm + ω H2 τ 2 (Ω) hi hl ) λlj ]
(
[δ ij +
2 2
1 + ω Hτ ( Ω )
τ
δ + ωHτε jkp hp + ω H2 τ 2 h j hk ) > −
2 2 ( jk
1 + ω Hτ
2
τ
< (ε − ε F )
δ + ωHτε ilm hm + H2 2hi hl )jk ì
2 2 ữ ( il
1 + ω Hτ
(δ
jk
+ ωHτε jkp hp + ω H2 τ 2 h j hk )
Giả thiết
}
r
r
E = ( Ex ,0,0 ) ; h = ( 0,1,0 )
(43)
)
21
Ta biểu diễn lại:
e 2 ( 2mε F )
σ ik =
2π 2 m
+
3/2
τ
δ + ωHτε ikp hp + ωH2 τ 2 hi hk ) +
2 2 ( ik
1 + ω Hτ
τ ( Ω)
τ
δ + ωHτ ( Ω ) ε ilm hm + ωH2 τ 2 ( Ω ) hi hl ) λlj ×
2 2
2 2 ( il
1 + ω Hτ ( Ω ) 1 + ω Hτ
2
τ
× ( δ jk + ωHτε jkp hp + ω τ h j hk ) −
δ + ωHτ ( Ω ) ε ilm hm +
2 2 ÷ ( il
1
+
ω
τ
H
2
H
2
+ωH2 τ 2 ( Ω ) hi hl ) ℘lj ( δ jk + ω Hτε jkp h p + ω H2 τ 2 h j hk )
eΩ 2 ( 2mε F )
βik = −
2π 2 mT
×
3/2
}
(44)
τ ( Ω)
δ il + ωHτε ilm hp + ωH2 τ 2 hi hl ) λlj ×
(
2 2
1 + ω Hτ ( Ω )
τ
( δ jk + ωHτε jkp hp + ωH2 τ 2h j hk )
1 + ωH2 τ 2
(45)
22
1.3.Mật độ thông lượng nhiệt
uu
r 1∞
qe = ∫ (ε − ε F ) R (ε )d ε
e0
Biểu thức mật độ thơng lượng nhiệt có dạng:
Tính tương tự như ở phần 2, nhưng các biểu thức tương ứng nhânvới (ε − ε F )
vào các biểu thức (22), (23) ta thu được
Ω
τ (r )
δ ik + ω H τ (r)ε ik l hl + ω H2 τ 2 ( r ) hi hk } λkl χ l
{
2 2
e 1 + ω Hτ ( r )
qe =
−en
ε −εF
τ
.
δ + ω H τ (r)ε ik l hl + ωH2 τ 2 (r )hi hl }
2 2 { ik
e 1 + ω Hτ
uu
r
r ur
r r ur
×℘ik F j − ω H τ (r) h, F (ε ) + ω H2 τ 2 h h, F (ε ) ×
{
×
}
uu
r
r ur
r r ur
τ
en ε − ε F
τ
2 2
h, F (ε )
+
.
F
−
ω
τ
(r)
h
,
F
(
ε
)
+
ω
τ
h
j
H
H
2 2
m ( 1 + ωH2 τ 2 ) m e 1 + ωHτ
{
}
Biểudiễn qi = γ ik Ek + ξik ∇Tk ta tìmđượcbiểuthứccủa ten-xơđộdẫn:
γ ik =
×
τ ( Ω)
eΩ(2mε F )3/2
δ il + ωHτε ilm hm + ωH2 τ 2 hi hl } λlj
{
2
2 2
2π m
( 1 + ωHτ ( Ω ) )
τ
δ + ωHτ ( Ω ) ε jkp hp + ωH2 τ 2 ( Ω ) h j hk }
2 2 { jk
1 + ω Hτ
(39)
τ ( Ω)
Ω3 (2mε F )3/2
γ ik =
δ il + ωHτε ilm hm + ω H2 τ 2 hi hl } λlj
{
2
2 2
2π mT ( 1 + ωHτ ( Ω ) )
×
τ
δ + ωHτ ( Ω ) ε jkp hp + ωH2 τ 2 ( Ω ) h j hk }
2 2 { jk
1 + ω Hτ
(46)
1.4. HệsốEttingshausentrongbándẫnkhối
Biểu thức hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối có dạng:
P=
σ xxγ xy − σ xyγ xx
1
H σ xx β xxγ xx − σ xx ( ξ xx − K L )
23
(47)
Từ biểu thức (43), đặt :
σ0 =
e 2 nτ
; η = ωHτ ; ξ = ωHτ (Ω) ; α ik = λikτ (Ω) ; ψ ik = Η ikτ
m
(48)
Khi đó:
σ0
1
{[δ ij +
(δ il + ξε ilm hm + ξ 2 hi hl )α lj ](δ jk + ηε ikp hp + η 2 h j hk ) −
2
2
1+η
1+η
1
1
−
{[δ il +
(δ il + ηε ilm hm + η 2 hi hl )ψ lj ](δ jk + ηε ikp hp + η 2 h j hk )
2
2
1+η
1 +η
σ ik =
Hay ta có thể
viết:
σ xx =
σ0
1
{[δ xj +
(δ xl + ξε ilm hm + ξ 2 hi hl )α lj ](δ jx + ηε ixp hp + η 2 h j hx ) −
2
2
1+η
1 +η
−
1
1
{[δ il +
(δ xl + ηε xlm hm + η 2 hx hl )ψ lj ](δ jx + ηε ixp hp + η 2 h j hx )
2
2
1+η
1 +η
Chọn: hx = hz = 0 ; hy = h = 1
Ta thu được:
2
σ 0 α ( 1 − ξη ) ψ ( 1 − η )
1 +
σ xx =
−
1+η 2
1+ ξ 2
1+η2
(49)
Tương tự ta cũng thu được các tenxo
σ xy =
σ 0 α ( ξ + η ) 2ψη
−
η +
1 +η 2
1+ξ 2
1 +η 2
σ yx = −
(50)
σ 0 α ( ξ + η ) 2ψη
−
η +
1+η 2
1+ ξ 2
1+η 2
(51)
γ xx =
en
αΩτ
( 1 − ξη )
m (1 + ξ 2 )(1 + η 2 )
(52)
γ xx =
en
αΩτ
( ξ +η )
m (1 + ξ 2 )(1 + η 2 )
(53)
24
= L0 (Qi ) + L0 (Si )
τ (ε )
2 2
b0b1 1 + ω 2τ 2 (ε ) δ ik − ωcτ (ε )ε ikl hl + ωc τ (ε )hi hk δ (ε − ε F ) +
c
= ∑ ∫ a0δ ikδ (ε − ε F ).χ (ε ) +
τ (ε )
N , N ' −∞
2 2
+b0b2 1 + ω 2τ 2 (ε ) δ ik − ωcτ (ε )ε ikl hl + ωc τ (ε )hi hl δ (ε + −ε F )
c
(54)
+∞
CHƯƠNG 2
HIỆU ỨNG ETTINGHAUSEN TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ
PARABOL CÓ MẶT ĐIỆN TRƯỜNG VA TỪ TRƯỜNG KHÔNG ĐỔI (CƠ
CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
2.1. Hamiltonian của điện tử trong hố lượng tử với hố thế Parabol và
điện trường, từ trường ngoài:
Xét hố lượng tử với thế giam giữ parabol
v( z) =
1 1 2 2 hK rωc eE1
h K −
÷÷
ε N ( K r ) = hω p N + ÷+
ω
÷÷
2 2m
p
ur uur
Trường bức xạ laze : E = E0 sin Ωt
1
mω0 2 z − z 0
2
(
N = 0,1,2
)
2
ω p 2 = ω0 2 + ωc 2
Hamiltanian của electron trong trường hợp có mặt sóng điện từ:
v e ur +
uu
ε
k
−
A ( t ) ÷a N ,uKuuva N , uKuuv + ∑
hωqr bqr+bqr +
∑
uuu
v n x
r
x
x
hC
N ,Kx
q
r +
r +
+
uuuv br + b
C
q
a
a
+
ϕ
q
'
∑uuuuuv NN
∑ aN ,uKuuvx +quuvx aN ,uKuuvx
v N ,K
−q
q
' uuuv uuu
x
H=
( )
N , N ,' K x , qr
N , K x + qx
(
)
r
q
( )
( 1)
2.2.Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện từ :
(
nN ,Kuuur = aN+ ,uKuuraN , uKuur
x
ih
(
x
x
∂ aN+ ,uKuuvaN ,Kuuuv
x
∂t
x
)
t
)
t
((
)
= aN+ , uKuuvaN , uKuuv , H
x
x t
)
( 2)
t
25
