Tài liệu ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC pptx

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Ở đây không xét đến các đẳng thức lượng giác trong tam giác.
Bài 1 Tính
a/
0
sin15
và
0
cos15
b/
0
sin18
và
0
cos18
c/
0
sin 36
và
0
cos36
d/
8
tg
π
e/
0
37 30'tg
Bài 2 Tính
a/
( )

0 0 0
0 0
0
cot 44 226 cos406
cot 72 .cot 18
cos316
g tg
g g
+
−
b/
( )
( )
0 0
0
0 0
cos 288 cot 72
18
162 sin108
g
tg
tg
−
−
−
c/
( )
0 0
0 0 0
2sin 2550 .cos 188

1
368 2cos638 cos98tg
−
+
+
d/
2 0 2 0 2 0
2 0 2 0
cos 197 cos 287 sin 323
1 sin 217 cos 37
+
−
−
Bài 3 Tính giá trị các biểu thức sau
a/
0 0 0 0
20 40 60 80tg tg tg tg
d/
2 2 2
3 5
12 12 12
tg tg tg
π π π
+ +
b/
0
0
1
2sin 70
2sin10

−
e/
0 0 0 0
9 27 63 81tg tg tg tg− − +
c/
4 4 4 4
3 5 7
sin sin sin sin
16 16 16 16
π π π π
+ + +
f/
6 6 6 6
3 5 7
cos cos cos cos
16 16 16 16
π π π π
+ + +
Bài 4 Rút gọn
a/
3 3
sin 3 sin cos3 cosx x x x+
b/
( )
2
2
1 cos
1 cos
1
sin sin

x
x
x x
 
−
+
+
 ÷
 ÷
 
c/
2
2cos 1
sin cos
x
x x
−
+
d/
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
x x
x x
+ −
+
− +
Bài 5
a/ Cho
sin cosx x a+ =
.Tính

sin .cosx x

sin cosx x
−

3 3
3 3
sin cos
sin cos
x x
x x

+


−



4 4
4 4
sin cos
sin cos
x x
x x

+


−




5 5
5 5
sin cos
sin cos
x x
x x

+


−


b/ Cho
cottgx gx a+ =
.Tính
cottgx gx−

2 2
2 2
cot
cot
tg x g x
tg x g x

+



−



3 3
3 3
cot
cot
tg x g x
tg x g x

+


−



6 6
6 6
cot
cot
tg x g x
tg x g x

+


−



Bài 6
a/ Cho
2tgx =
.Tính
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3sin 5sin cos 11sin cos 4sin cos 2cos
5sin 3sin cos 2sin cos 10sin cos 3cos
x x x x x x x x
A
x x x x x x x x
− + − +
=
− + − + −
b/Cho tgx=4 .Tính
5 4 2 3 4 5
4 3 2
7cos 4cos sin 2cos .sin 5cos .sin 6sin
8sin cos 2sin cos
x x x x x x x x
B
x x x x
− + − −
=
−
Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến số
a/
( ) ( )

2
4 4 2 2 8 8
2 sin cos sin cos sin cosx x x x x x+ + − +
b/
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sinx x x x+ + +
c/
4 4
6 6
sin cos 1
sin cos 1
x x
x x
+ −
+ −
d/
( ) ( )
2
2
2 2
1
1 1 cot
tg x
tg x g x
tgx
 
−
− + +
 ÷
 

Bài 8 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x
a/
( )
2 2 2 2 2
2 2
cos cos cos cos 2sin
3 3 3 3
f x x x x x x
π π π π
       
= − + + + − + + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
b/
( )
2 2 2
2 2
cos cos cos
3 3
f x x x x
π π
   
= + + + −
 ÷  ÷
   
c/
( )
2 2 2
2 2
sin sin sin

3 3
f x x x x
π π
   
= + + + −
 ÷  ÷
   
d/
( ) ( )
2 2
cos cos 2cos cos cosx a x a x a x− + − −
e/
( )
3 3
cos cos3 sin sin 3
cos sin
m x x m x x
f x
x x
− +
= +

2
x k
π
 
∀ ≠
 ÷
 
Bài 9

a/Cho
sin .sin cos .cos 0a x y b x y− =
.Tính
2 2 2 2
1 1
sin cos sin cos
S
a x b x a y b y
= +
+ +
b/Cho hệ
2 2 2 2
2 2 2 2
1
cos cos 1
sin cos
m tg x n tg y
m x n
m x n y

+ =

+ =


=

.Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n không phụ thuộc x,y.
c/Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc x:
( )

6 6 4 4
sin cos sin cosS x x m x x= + − +
Bài 10
a/Cho
4 4
sin cos 1x x
m n m n
+ =
+
.Chứng minh
( )
10 10
4
4 4
sin cos 1x x
m n
m n
+ =
+
b/Cho
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 . . . . . 1tg x tg y tg z tg x tg y tg y tg z tg z tg x+ + + =
.Chứng minh
2 2 2
sin sin sin 1x y z+ + =
c/Cho
3 2
3 2
.cos 3 cos .sin
.sin 3 cos sin

a x a x x m
a x a x x n

+ =


+ =


.Chứng minh
( ) ( )
2 2
3 2
3 3
2m n m n a+ + − =

d/Cho
1 1
2 1 2
3 1 2
sin
cos sin
cos cos
a
a
a
α
α α
α α
=



=


=

.Chứng minh
2 2 2
1 2 3
1a a a+ + =
Bài 11 Gọi
,
α β
là các giá trị khác nhau của x thỏa mãn hệ thức
cos sina x b x c
+ =
.Biết
2 2
0; 2a b k
α β π
+ > − ≠
.
a/.Tính
2 2
sin .sin
2 2
α β
b/Chứng minh
2

2
2 2
cos
2
c
a b
α β
−
=
+
và
2
b
tg
a
α β
+
=
Bài 12 Tính
a/
0 9 0 0
cos20 cos 40 cos160 cos180A = + + + +
b/
0 0 0 0
20 40 160 180B tg tg tg tg= + + + +
c/
0 0 0
sin 5 sin10 sin 360C = + + +
Bài 13 Chứng minh
a/

6 4 2 6 4 2tg a tg a tg a tg atg atg a− − =
b/
( ) ( )
tg a b tga tgb tg a b tgatgb+ − − = +
c/
( ) ( )
2 2 2
sin sin sin 2sin sin cosa b a b a b a b+ − − = +
d/
( )
sin
. .
cos cos cos
a b c
tga tgb tgc tga tgb tgc
a b c
+ +
+ + − =
e/
( ) ( ) ( )
cos sin cos sin cos sin 0a b c b c a c a b− + − + − =
f/
( ) ( ) ( )
sin sin sin sin sin sin 0a b c b c a c a b− + − + − =
g/
( ) ( ) ( )
sin sin sin
0
cos cos cos cos cos cos
a b b c c a

a b b c c a
− − −
+ + =
Bài 14
a/ Cho
( ) ( )
cos cos cos sin sin sin
cos sin
x y z x y z
m
x y z x y z
+ + + +
= =
+ + + +
.Chứng minh
( ) ( ) ( )
cos cos cosx y y z z x m+ + + + + =
b/Cho
0 ,
2
π
α β
< <
và
2 2
3sin 2sin 1
3sin 2 2sin 2 0
α β
α β


+ =

− =

.Chứng minh
2
2
π
α β
+ =
.
c/Cho
0 ,
2
π
α β
< <
và
( )
2 2
sin sin sin
α β α β
+ = +
.Chứng minh
2
π
α β
+ =
.
d/ Cho

( ) ( )
cos cos 0
cos cos 0
a b
a b
α β
α ϕ β ϕ
+ =



+ + + =



( )
k
ϕ π
≠
.Chứng minh rằng với mọi x ta có
( ) ( )
cos cos 0a x b x
α β
+ + + =
e/ Cho
( ) ( )
cos cosm a b a b+ = −
với
( )
, ; 1a b k k m

π
− ≠ ∈ ≠¢
.Chứng minh
2
1 1 2
1 sin 2 1 sin 2 1m a m b m
+ =
− − −
Bài 15 Chứng minh các đẳng thức sau
a/
2
2
1 2sin
1
2cot cos
4 4
x
g x x
π π
−
=
   
+ −
 ÷  ÷
   

b/
2
1 cos cos 2 cos3
2cos

2cos cos 1
x x x
x
x x
+ + +
=
+ −

c/
4 4
3 1
sin cos cos 4
4 4
x x x+ = +
d/
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
x x x+ = +
e/
8 8
7 1
sin cos cos8 cos6
8 8
x x x x+ = +
f/
2
3 3
3 3

tgx tg x tg x tg x
π π
   
+ + + + =
 ÷  ÷
   
g/
2 2
3
3 3 3 3
tgxtg x tg x tg x tg x tgx
π π π π
       
+ + + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Bài 16 Tính
a/
4 5
cos cos cos
7 7 7
A
π π π
=
b/
0 0 0 0
sin 5 sin15 sin 75 sin 85B =
c/
cos cos2 cos 4 cos2
n

C x x x x=
d/
2 3
cos cos cos cos
2 1 2 1 2 1 2 1
n
D
n n n n
π π π π
=
+ + + +
Bài 17
a/ Đặt
cos 2cos 2 cosS x x n nx= + + +
.Chứng minh
( )
2
2
2 1
sin sin . sin
2 2 2
2sin
2
x n nx
n x
S
x
+
−
=

với
2x k
π
≠
b/Chứng minh rằng
1
1
sin 2 2 2 2 2 2
2
n
n
π
−
+
= + + + +
1 4 44 2 4 4 43
c/CMR
1
cos 2 2 2
2 2
n
π
= + + +
( n-1 dấu căn)
d/CMR
1
sin 2 2 2 2
2 2
n
π

= − + + +
( n-1 dấu căn)
e/
( )
1
2
2
0
4 1 4 1
1
1 cos 2 2
sin 2
sin
2
i n
n
i
n
i
+
=
 
 
= −
 
+
 
 
∑
Bài 18 Chứng minh

a/
4sin .sin .sin sin 3
3 3
x x x x
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
b/
4cos cos cos cos3
3 3
x x x x
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
c/
4 3
3 3
tgxtg x tg x tg x
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
d/
2
3 3

3 3
tgx tg x tg x tg x
π π
   
+ + + + =
 ÷  ÷
   
e/
2 2 2 2
9 3 6
3 3
tg x tg x tg x tg x
π π
   
+ + + − = +
 ÷  ÷
   
Bài 19 (Áp dụng bài 18)Tính:
a/
0 0 0
sin 20 sin 40 sin80A =
b/
0 0 0
cos10 cos 20 cos80B =
c/
0 0 0 0 0 0 0 0 0
sin 2 sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin82C =
d/
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 17 23 37 43 57 63 77 83 243D tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg=

e/
2 4 5 7 8 10 11 13
27 27 27 27 27 27 27 27 27
E tg tg tg tg tg tg tg tg tg
π π π π π π π π π
=
f/
0 0 0 0
1 5 9 177F tg tg tg tg= + + + +
g/
2 0 2 0 2 0 2 0
5 10 80 85G tg tg tg tg= + + + +
Bài 20 Giải hệ ( ẩn x,y,z)
a/ Cho
sin sin sin 0
α β γ
≠
và
cos ,cos ,cos
α β γ
đôi một khác nhau
sin sin 2 sin 3 sin 4
sin sin 2 sin3 sin 4
sin sin 2 sin 3 sin 4
x y z
x y z
x y z
α α α α
β β β β
γ γ γ γ

+ + =


+ + =


+ + =

b/Cho
cos cos cos 0
α β γ
≠
và
cos ,cos ,cos
α β γ
đôi một khác nhau
cos cos 2 cos3 cos 4
cos cos2 cos3 cos 4
cos cos2 cos3 cos 4
x y z
x y z
x y z
α α α α
β β β β
γ γ γ γ
+ + =


+ + =



+ + =

Bài 21 Rút gọn các biểu thức sau
a/
sin8 sin13 sin18
cos8 cos13 cos18
x x x
A
x x x
+ +
=
+ +
b/
( )
2 2 2
sin 2 cos cos 2B a b a b= − − −
c/
( )
2 2 2
sin 2 sin 2 sinC a b a b= − − −
d/
( )
( )
2 2 2
2 2 2
sin sin sin
sin cos cos
a b a b
D

a b a b
+ − −
=
+ − −
Bài 21 Chứng minh
a/
4
sin 4 4sin 3 6sin 2 4sin 16sin 2 sin
2
x
x x x x x− + − =
b/
2 3
1 1
cos cos3 cos5 8sin cos
2 2
x x x x x− − =
c/
0 0
6 2
cos27 cos 63
4
−
− =
d/
2 0 2 0
5 1
sin 24 sin 6
8
−

− =
e/
0 0 0 0 0
8 3
30 40 50 60 cos20
3
tg tg tg tg+ + + =
f/
0 0 0 0 0 0
9 15 27 cot 27 cot 15 cot 9 8tg tg tg g g g+ − − + + =
g/
( )
0 0 0 0 0
3 1
cos12 cos18 4cos15 cos 21 cos24
2
− +
+ − =
Bài 22
a/ Cho
( )
( )
( )
( )
sin cos
;
sin cos
x x
a A
x b x B

α α
β β
− −
= =
− −
Chứng minh
( )
cos
aA bB
aB bA
α β
+
= −
+
b/
( )
1
1
1
1 cos
2 1 2
n
k
k
k
n
π
+
=
− =

+
∑
c/
8 12 18 1 7
cos cos cos cos sin
35 35 35 2 5 2 5
π π π π π
+ + = +
Bài 23 Chứng minh
a/
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sin sin sin sin sin sin 0a b a b b c b c c a c a+ − + + − + + − =
b/
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos sin cos sin cos sin 0a b a b b c b c c a c a+ − + + − + + − =
c/
( ) ( ) ( )
sin sin sin sin sin sin 0a b c b c a c a b− + − + − =
Bài 24 Tính
a/
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
A
π π π
= + +
b/
2 3
cos cos cos
7 7 7

B
π π π
= + +
c/
5 7 11
sin sin sin sin
24 24 24 24
C
π π π π
=
d/
7 13 19 25
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
D
π π π π π
=
Bài 25 Tính
a/
1
2
sin sin 2 sin
cos cos 2 cos
A a a na
A a a na
= + + +


= + + +


b/
2 2 2
1
2 2 2
2
cos cos 2 cos
sin sin 2 sin
B a a na
B a a na

= + + +


= + + +


c/
1 1
2 2 2 2 2 cot 2
n n n n
C tga tg a tg a g a
+ +
= + + + +
d/
2 2 1 2
1
2 2 2
2 4 2 2 2 2
n n
n n n

a a a a a a
D tg tga tg tg tg tg tg
−
−
= + + + +
e/
1 1

2 2 2 2
n n
a a
E tga tg tg= + + +
f/
2 2 2 2
1 1 1

4cos 4 cos 4 cos
2 4 2
n
n
F
a a a
= + + +
Bài 26 (sử dụng dãy tỉ số bằng nhau)
a/Cho
2 2
2 2
1 1 2 cos
1 2 cos 1
r r y r

r x r r
− + +
=
+ + −
.Chứng minh
2
2 2
1
2 2 1
x y r
tg tg
r
+
 
=
 ÷
−
 
b/Cho a,b,c đôi một khác nhau và 4 góc
, , ,
α β γ ϕ
thỏa
( ) ( ) ( )
a b c
tg tg tg
ϕ α ϕ β ϕ γ
= =
+ + +
.Chứng minh
( ) ( ) ( )

2 2 2
sin sin sin 0
a b b c c a
a b b c c a
α β β γ γ α
+ + +
− + − + − =
− − −
Bài 27
a/Cho
1 2 3
cos cos 2 cos3x x x
a a a
= =
.Chứng minh
2
2 1 3
2
2
sin
2 4
a a a
x
a
− −
=
b/Cho
1 3 5
sin sin3 sin5x x x
a a a

= =
.Chứng minh
1 5 3 1
3 1
a a a a
a a
+ −
=
Bài 28
a/Cho
, ,
2
k
π
α β γ π
≠ +
( k nguyên) .Giả sử
2 2 2
sin ,sin ,sin
α β γ
lập thành cấp số cộng,
sin 0
β
≠
và
. 1tg tg
α γ
=
.Chứng minh rằng
, ,tg tg tg

α β γ
lập thành một cấp số nhân.
b/Cho
0
α β γ
+ + =
và
,
2 2
tg tg
β γ
có nghĩa.Chứng minh rằng
sin ,sin ,sin
β α γ
lập thành
cấp số cộng khi và chỉ khi
1
.
2 2 3
tg tg
β γ
=
.
c/Cho
, ,
α β γ
thỏa hệ
0 2
cos cos cos 0
sin sin sin 0

α β γ π
α β γ
α β γ
≤ ≤ ≤ ≤


+ + =


+ + =

Chứng mini rằng
, ,
α β γ
lập thành cấp số cộng với công sai
2
3
d
π
=

d/Cho
0
α β γ
+ + =
và
, ,
α β γ
đều khác
,

2
k k
π
∈¢
.Chứng minh rằng ta có
, , cos ,cos ,cos
2 2 2
cot .cot ,cot sin ,sin ,sin
2 2 2
tg tg tg
g g g
α β γ
α β γ
α β γ
α β γ

÷ ⇔ ÷




÷ ⇔ ÷


Các bài toán có liên quan với định lí Vi-et
Bài 1 Tính giá trị các biểu thức sau
a/
1 1 1
3 5
cos cos cos

7 7 7
A
π π π
= + +
b/
2 2 2
1 1 1
2 3 6
sin sin sin
7 7 7
B
π π π
= + +

c/
4 4 4
1 1 1
2 3
cos cos cos
7 7 7
C
π π π
= + +
d/
9 9 17 17
cos cos cos cos cos cos
12 12 12 12 12 12
D
π π π π π π
= + +

e/
4 4 4
2 2 2
3 5
cos cos cos
14 14 14
3 5
4cos cos cos
14 14 14
E
π π π
π π π
+ +
=
f/
3 3 3
2 4 8
cos cos cos
7 7 7
F
π π π
= + +
Bài 2 Tính
a/
2 2 2
5 7
18 18 18
A tg tg tg
π π π
= + +

b/
6 6 6
5 7
18 18 18
B tg tg tg
π π π
= + +
c/
6 6 6
2 4 8
18 18 18
C tg tg tg
π π π
= + +
d/
2 3 4
5 5 5 5
D tg tg tg tg
π π π π
=
Bài 3
a/Giả sử
1 2 3
, ,tg tg tg
α α α
là ba nghiệm của phương tình
3 2
0x ax bx c+ + + =
.
1 2 3

, ,tg tg tg
β β β
là ba nghiệm của phương trình
3 2
0x cx bx a+ + + =
.Chứng minh
1 2 3 1 2 3
k
α α α β β β π
+ + + + + =
b/Chứng minh
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
7 41 53 79 7 41 53 79 7 41 53 41 53 79
53 79 7 79 7 41
tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg g tg tg
tg tg tg tg tg tg
+ + + = + +
+ +
Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số
Trước tiên ta chứng minh một số bổ đề quan trọng sau
1/ Cho x,y,z đều khác
,
2
k k
π
π
+ ∈¢
. Chứng minh rằng
,tgx tgy tgz tgxtgytgz x y z n n

π
+ + = ⇔ + + = ∈¢
2/ Cho x,y,z đều khác
,
2
k k
π
π
+ ∈¢
.Chứng minh rằng
. . . 1 ,
2
tgx tgy tgy tgz tgz tgx x y z n n
π
π
+ + = ⇔ + + = + ∈¢
3/ Cho x,y,z đều khác
,
2
k k
π
π
+ ∈¢
.Chứng minh
1
,
4
tgx tgy tgz tgxtgytgz tgztgy tgytgz tgztgx
x y z n n
π

π
+ + − = − − −
⇔ + + = + ∈¢
4/Chứng minh rằng
2 2 2
cos cos cos 2cos cos cos 1
cos cos cos cos 0
2 2 2 2
x y z x y z
x y z x y z y z x z x y
+ + + = ⇔
+ + + − + − + −
=
Ứng dụng
Bài 1 Cho
1, 1, 1ab bc ca≠ − ≠ − ≠ −
.Chứng minh
1 1 1 1 1 1
a b b c c a a b b c c a
ab bc ca ab bc ca
− − − − − −
+ + =
+ + + + + +
Bài 2 Cho
0
1
xyz
xy yz zx
≠



+ + =

.Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
4
x y y z z x
xy yz zx
− − − − − −
+ + =
Bài 3 Giải hệ sau
1 1 1
3 4 5
1
x y z
x y z
xy yz zx

 
   
+ = + = +

 ÷
 ÷  ÷
   

 


+ + =

Bài 4Cho
0xyz ≠
và x+y+z-xyz=1-xy-yz-zx .Chứng minh
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
4
x y z x y z
x y z x y z
− − − − − −
+ + =
Bài 5 Cho x+y+z=xyz. Chứng minh
a/
( ) ( )
2 2
1 1 4x y z xyz− − =
∑
b/
3 3 3 3
2 2 2 2
3 3 3 3
1 3 1 3 1 3 1 3
x x x x y y z z
x x y z
− − − −
=
− − − −
∑
(

, , 3x y z ≠ ±
c/
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
0
x y x y
xy
+ + − + − +
=
∑
Bài 6 Cho x,y,z>0 và
2 2 2
2 1x y z xyz+ + + =
.Chứng minh
( ) ( )
2 2
1 1 1xyz x y z+ = − −
∑
Bài 7 Cho xy+yz+zx=1.Chứng minh
( )
2 2
3x y z xyz x y z+ + − = +
∑