Chuong III 2 Phuong trinh mat phang

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
Hãy cho biết mối
quan hệ giữ n
()
và ?

* Định nghĩa :

 n  ( )
 n 0

n

được gọi là véctơ phỏp tuyn()


n

n

Mỗi mặt phẳng có
bao nhiêu vectơ
pháp tuyến?

* Chỳ ý:


n là vectơ
 pháp tuyến của mặt phẳng ()
kn
=>
(k  0) cũng là các vectơ pháp


§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
Bài tốn :

Trong khơng gian Oyxz cho
mp() và hai véc tơ không

a
cùng phương : = (a1;a 2;a3),


b = (b ;b ;b )
1 2 3

a.n (a1 ; a2 ; a3 ).(a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 )
a1a2b3  a1a3b2  a2 a3b1  a1b3  a3a1b2  a3a2b1
0

a  n

b.n (b1; b2b3 ).(a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 ) 
b1a2b3  b1a3b2  b1a3b2  b3a1b2  b3a1b2  b1a2b3

có giá song song hoặc nằm
0 b  n
trong
mp()
.
Chứng
minh
rằng

nmp()
kiện
cần và đủ để
 Điều
= (a2bnhận
b2; atơ

a
;
b

n
=>mp() nhận véc tơ
3 – a3véc
3b1 – a1b3;
n
vng

góc
với a vµ b


a1b2 – a2b1) làm véc
n = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 –
n tơ pháp
n
 véc tơ pháp tuyến
a2b1)là
làm
tuyến
gì

Véc tơ n?xác định như trên gọi là

a
b'

α

a'

b

tích có hướng của hai véc tơ




Kí hiệu: a
 b
 vµ




 




n a  b hc n  a,b 


§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. Véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng
Tìm toạ độ của
* Định nghĩa :
Tìm
n ? toạ độ của
* Chú ý:
AB; AC ?
* Bài tốn :
* Ví dụ :

n
.B

A.

.C

Trong Oxyz cho 3 điểm
A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). AB (4  2;0  1;1  3) (2;1; 2)
AC ( 10  2;5  1;3  3) ( 12;6;0)
Hãy tìm toạ độ một véc tơ
n (1.0  6.2;2.12  0.2;2.6  12.1)
pháp tuyến của mp(ABC).
(12;24;24) là véctơ pháp tuyến (ABC)


2. Phương trình của mặt phẳng.
Bài tốn 1: Trong khơng gian 0xyz

M
(
x
;
y
;
z
)
Cho mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0 nhËn n ( A; B; C )



làm VTPT. Chng minh rng iều kiện cần và ®đ ®Ĩ ®iĨm M (x; y; z) thc

lµ:

A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 ) 0
n

Ta có : M 0 M ( x  x0 ; y  y0 ; z  z0 )

M0

M  ( )  M 0 M  ( )  n  M O M


M

n.M 0 M 0
 A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 ) 0


Bài toán 2
Trong kg Oxyz, tập hợp các điểm thoả mãn phương trình
Ax + By+ Cz + D = 0 (A2+B2+C20) là một mặt phẳng nhận
Véctơ n( A; B;C ) làm véctơ pháp tuyến.

M
(
x
;
y
;
z

)
n
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0 và nhận ( A; B;C )
làm véctơ pháp tuyến
M  ( )  A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 ) 0

 Ax  By  Cz  ( Ax0  By0  Cz0 ) 0

Ax  By  Cz  D 0

vì

D  ( Ax0  By0  Cz0 )

=>Tập hợp các điểm thoả mãn pt Ax + By + Cz
+D=0

(A2+B2+C20) là mp có véc tơ pháp tuyến là: n( A; B;C )


§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
II. PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa (sgk – 72)
PT có dạng Ax+By+Cz+D = 0,
trong đó A, B, C khơng đồng
thời bằng 0, được gọi là Pt
tổng quát của mặt phẳng
Nhận xét:
a) mp() có pt Ax+By+Cz+D=0

thì có
 một véc tơ pháp tuyến

là: n( A; B;C )
b) PT mp đi qua điểm M0(x0;
y0; z0) và có véc tơ pháp
tuyến n( A; B;C ) là:
A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0  0

Bài tập vận dụng
Tìmmột
mộtvéc
véctơtơpháp
Hãy tìm
tuyến của
tuyếnpháp
của mp()
:
4x - 2ymp()
- 6z +có
7 =pt0
Ax+By+Cz+D=0 ?
véc tơ pháp tuyến của mp() là

n (4; 2;6)
pt mp
2. Lập pt Tìm
tổng quát
củaqua
mp qua

điểm M0(x0; y0; z0)
A(1; 2 -3) và có véc tơ pháp tuyến
vàcó véc tơ pháp
n ( 2;1;0)
n( Atuyến
; B;C )

mp qua A(1; 2 -3) và có véc tơ
pháp tuyến n (  2;1;0)

 2(x  1 )  1( y  2)  0( z  3) 0


§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
II. PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

Bài tập vận dụng
3. Lập pt tổng quat của của

1. Định nghĩa (sgk – 72)
PT có dạng Ax+By+Cz+D = 0,
mp(MNP) với M(1; 1; 1),
trong đó A, B, C khơng đồng
thời bằng 0, được gọi là Pt
N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
tổng qt của mặt phẳng
Nhận xét:
a) mp() có pt Ax+By+Cz+D=0
thì có
 một véc tơ pháp tuyến

MN (3;2;1)
MP ( 4;1;0)

là: n( A; B;C )
n (2.0  1.1;1.4  0.3;3.1  4.2) ( 1;4; 5)
b) PT mp đi qua điểm M0(x0;
Là véctơ pháp tuyến(MNP)
  1( x  1)  4( y  1)  5( z  1) 0
y0; z0) và có véc tơ pháp
  x  4 y  5 z  2 0
tuyến n( A; B;C ) là:
A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0  0