Khai niem dao ham t1

Nhiệt liệt chào mừng các thầy cô tới dự giờ!

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh


Kiểm tra bài cũ
Tính giới hạn

x2  4
1) A  lim
.
x 2 x  2
 x2  9 
2) B  lim 
.
x   3  x  3 

HD.
x2  4
(x  2)(x  2)
1) A  lim
 lim
 lim (x  2) 4.
x 2
x 2 x  2 x 2
x 2
 x2  9 
(x  3)(x  3)
2) B  lim 
 lim (x  3)  6.
  lim

x 3
x   3  x  3  x   3
x  3


Chương 5. ĐẠO HÀM
Tiết 74

KHÁI NIỆM
NIỆM ĐẠO
ĐẠO HÀM
HÀM
KHÁI
1.Ví dụ mở đầu
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm


1. Ví dụ mở đầu
O

M0
M0M1
M1
y

Tại thờiM
điểm
ở 0vị) trí O.
M1t = 0f viên
(t1) bif (t

0
v tb 

.
Đến thời 
điểm
t t = t0 tviên
1  t 0bi ở vị trí
f(t0)
M0 và
đã đinhỏ
được
Nếu
t càng
thì qng
vtb càngđường
phản
= f(t0).xác hơn sự nhanh chậm
ánh 0chính
f(t1) OM
Đến
thời bi
điểm
= t1 điểm
viên bi
vị trí
của viên
tại tthời
t0. ởNgười
M

và giới
đã đihạn
được
ta 1xem
của quãng
vtb khi đường
t1 dần
OM
tới t10 =làf(tvận
0). tốc tức thời của viên
Tính
thờiđiểm
điểm tt0 và
đếnkíthời
điểm
bi tạitừthời
hiệu
là
0
tv(t
1 (t).
0 < t1) viên bi đã đi được quãng
0
f)(t–1f(t
)  )fvà
(t 0mất
)
đường
M
M

=
f(t
v(t 0 ) 0 lim
.
1
1
0
t1 
t 0 t = tt11 – tt00. Tính
khoảng thời
gian
vận tốc trung bình của viên bi trên
quãng đường M0M1.


Nhiều vấn đề trong tốn học, vật lí, hố học, sinh
Vận
Cường
dịng
phản ứng
học,tốc
... tức
dẫnthời
tới bài
tốnđộtìm
giới Tốc
hạnđộ
dạng
điện tức thời

hóa học tức thời

f (x)  f (x 0 )
lim
.
xQ (tx)0 Q(t0 )
f (t )  f (t0 )
s (t )  s (t0 ) x  x 0
C (t0 ) lim
I (t0 ) lim
v(t0 ) lim
t t
t

t
t  t0
t  t0
0
t  t0
t  t0
0

lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a; b) và x0 thuộc khoảng đó.
f(x) - f(x 0 )
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
khi x
x - x0
dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại
điểm x0, kí hiệu là f ’(x0) hoặc y’(x0), nghĩa là:

f(x) - f(x 0 )
f'(x 0 ) = lim
(1).
x  x0
x - x0


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

f(x) - f(x 0 )
f'(x 0 ) = lim
(1).
x  x0
x - x0
Chú ý
1) f ’(x0) (nếu có) là một số.
2) Nếu giới hạn viết ở vế phải (1) không tồn
tại hoặc bằng vơ cực thì f(x) khơng có đạo

hàm tại điểm x0.


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

f (x)  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim
(1).
x  x0
x  x0
Ví dụ 1.
HD

Cho f (x)  x 2 , tính f '(2), f '(  3).

f (x)  f (2)
x2  4
f '(2)  lim
 lim
 lim (x  2) 4.
Lưu ý:x Có
thể
áp
dụngx (1)
để
tínhx f ’(x
)
x


2
x

2
2
2
2
0
- Áp dụng (1).
2 bài
sau
đó lần
thay
x
=
2,
x
=
-3
được
0
0
- Xem
lại lượt
các
bài
tập
phần
kiểm
tra

f (x)  f ( 3)
x để9 cũ!
f f'(’(2)
3) vàlim
 lim
f
’(-3).
x 3
x  3
x  3 x  3

 lim ( x  3)  6.
x  3


Đặt x x  x 0 gọi là số gia của biến số tại x0 , và đặt
y f f(x 0  x)  f(x 0 )

gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Ta có x x 0  x và y f f (x 0  x)  f (x 0 ) f (x)  f (x 0 ).

Từ định nghĩa

f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 ) lim
x x
x  x0
0

f (x 0  x)  f (x 0 )
y
 f (x 0 )  lim
 lim
.
x
x  0
x  0 x


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

f (x)  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim
(1).
x  x0
x  x0
f (x 0  x)  f (x 0 )
y
f '(x 0 )  lim
 lim
(2).
x
x  0
x  0 x


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

CHÚ Ý
3) Số x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
4) x, y là những kí hiệu, khơng được nhầm lẫn
rằng: x là tích của  với x, y là tích của  với y.
Như vậy có thể thay kí hiệu x bởi kí hiệu khác.


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
Công thức ở định nghĩa có thể viết

f (x)  f (x 0 )
y
f '(x 0 )  lim
f '(x 0 )  lim
x  x0
x  x0
x  0 x
f ( x 0  x )  f (x 0 )
f (x 0 )  lim
x
x  0
f (x 0  h )  f (x 0 )
f (x 0 )  lim
h
h 0
f (x 0  t )  f (x 0 )
f (x 0 )  lim
...
t

t 0


b. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo
định nghĩa ta thực hiện 2 bước sau :

B1. Tính Δy = f(x 0 +Δx) – f(x 0 ).
Δy
B2. Tìm lim
.
Δx  0 Δx


Ví dụ 2: Cho f (x)  x , tính f '(1).
HD. C1.
-Tính y:

y f f (1  x)  f (1)

B1.
– –f(x
f(x
+Δx)
– f(x
f(x
B1. Tính
TínhΔy
Δy===f(x
f(x

+Δx)
0 00+Δx)
0 ).00).).

C2.

Δy
Δy
Δy
B2. Tìm lim
... f (x)  f (1)
Δx
Δx
Δx


000Δx
f '(1)
lim
x 1
x 1

x
 1  x  1 
.
1  1  x
y
-Tính lim
:
x  0 x

y
1
1
lim
 lim
 .
x  0 x x  0 1  1  x 2
1
 f '(1)  .
2

x1
 lim
x 1 x  1
x1
 lim
x  1 ( x  1)( x  1)
1
1
 lim (
) .
2
x 1 1 x


1
Ví dụ 3. Cho f(x) = . Tính f '(2).
x

HD.

Cách 2.1.
Cách
Δf = f(x0 +Δx) - f(x0 ) = f(2+Δx)
1 1 - f(2)
f(x) - f(2)
1
1
x
2
1
1Δx
f '(2) =
= lim
= -lim
=. lim ( ) = - .
=
2
4
x2
+
2 Δxx - 22
x 2(2
2 x+- Δx)
x  2 2x
Δf
1
1
 lim
= lim
=- .

4
Δx  0 Δx Δx  0 2(2 +Δx)
1
 f '(2) = - .
4


Nhận xét:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0, tức là
f(x) - f(x 0 )
f '(x 0 ) = lim
.
x  x0
x - x0

Ta có

lim (x  x 0 ) 0

x x0

 f ( x)  f ( x0 )

lim  f ( x)  f ( x00 )   lim 
 x  x0   f ’(x0).0 = 00.
x  x0
x  x0
x  x0



f ( x)  f ( x0 ) hay
Vậy xlim
f (x)hàm
 f (x 0số
) f liên tục tại x0.
x
0

lim

x x0

x  x0

f '(x 0 )


Nhận xét :
Mối quan hệ giữa đạo hàm với tính liên tục

- Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó
liên tục tại điểm x0 .
- Một hàm số liên tục tại một điểm
có thể có, có thể khơng có đạo hàm tại điểm đó.
đó
- Nếu hàm số y =f(x) gián đoạn tại điểm x0 thì nó
khơng có đạo hàm tại điểm x0 .

Nhận xét :
Mối quan hệ giữa đạo hàm với tính liên tục
f(x) có đạo hàm tại x0

f(x) liên tục tại x0


Qua tiết này, HS cần nắm được định nghĩa và cách
tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

f (x)  f (x 0 )
y
f (x 0 )  lim
 lim
.
x  x0
x  x0
x  0 x
BTVN
Bài 1, 2, 3 SGK trang 192.
Câu hỏi bổ sung
Cho f(x) = x3. Tính f ’(x0), với x0 là một số thực.


Chân thành cảm ơn các thầy cô và các em!