dao ham lop 11 CB

Bài 1: ĐỊNH NGHĨA
VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.
4. QH giữa sự tồn tại của ĐH và tính LT của HS.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
6. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.
II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG



I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.
Một đoàn tàu chuyển động thẳng
khởi hành từ 1 nhà ga. Quãng đường
s (mét) đi được của đoàn tàu là 1 hàm
số của thời gian t (phút). Ở những
phút đầu tiên, hàm số đó là

s t

2


t 2  t0 2
t  t0

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển

động trong khoảng [ t; to ] với:
2
2
2
s t
t  t0   t  t0 

ts  st00
 t + to
to = 3
vtb =
=
tt tt00
t  t0
t = 2.99
vtb = 5.99
t = 2.9
vtb = 5.9
t = 2.5
vtb = 5.5
t=2
vtb = 5
Khi t càng gần to thì vtb càng gần 6 = 2to


a. Bài tốn tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên s’Os
s’

O

so

s

to

t

s

Quãng đường s của chuyển động là
một hàm số của thời gian t
s = s(t)
Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức
độ nhanh chậm của chuyển động tại thời
điểm to ?


Trong khoảng thời gian từ to đến t, chất
điểm đi được quãng đường:
s’

O

so

s

to

t

s

s  s0 s  t   s  t0  s = s(t)
Nếu chất điểm chuyển động đều thì
s s  s0 s  t   s  t0 

v 
t t  t0
t  t0
là một hằng số với mọi t
Đó chính là vận tốc của chuyển động
tại mọi thời điểm


Nếu chất điểm chuyển động khơng đều
thì tỉ số
s  s0 s  t   s  t0 

t  t0
t  t0
là vận tốc trung bình của chuyển động
trong khoảng thời gian t  t0
Khi t càng gần to hay nói khác hơn khi
t  t0 càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng
thể hiện chính xác hơn mức độ nhanh
chậm của chuyển động tại thời điểm to.

* Định nghĩa
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
s  t   s  t0 
lim
t  t0
t  t0
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển
động tại thời điểm to
Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh
chậm của chuyển động tại thời điểm to


b. Bài tốn tìm cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là
một hàm số của thời gian t: Q Q  t 
Cường độ trung bình của dòng điện
trong khoảng thời gian t  t0 là
Q  t   Q  t0 
I tb 
t  t0
Nếu t  t0 càng nhỏ thì tỉ số này càng
biểu thị chính xác hơn cường độ dịng điện
tại thời điểm to


* Định nghĩa
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
Q  t   Q  t0 
lim

t  t0
t  t0
được gọi là cường độ tức thời của dòng
điện tại thời điểm to


Vận tốc tức thời

Cường độ tức thời

s  t   s  t0 
lim
t  t0
t  t0

Q  t   Q  t0 
lim
t  t0
t  t0

f ( x)  f ( x0 )
lim
x  x0
x  x0


2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a ; b) và xo  (a ; b)
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

f ( x)  f ( x0 )
lim
x  x0
x  x0
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm
của hàm số y = f(x) tại điểm xo và kí hiệu là
f’(xo) (hoặc y’(xo)), tức là

f ( x )  f ( x0 ) 
 f '( x0 ) xlim

 x0
x  x0




Chú ý :
Đại lượng x = x – xo được gọi là số
gia của đối số tại xo (số gia biến)
Đại lượng
y = f(x) – f(xo) = f(xo + x) – f(xo)
được gọi là số gia tương ứng của hàm
số (số gia hàm)
y
Như vậy y’(xo) = lim
x  0 x


3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) = x2. Hãy tính
f’(xo) bằng định nghĩa.
f ( x )  f ( x0 )
'
f ( x0 ) xlim
 x0
x  x0
2
2
x  x0
lim
x  x0 x  x
0
x  x0   x  x0 

lim
x  x0
x  x0
lim  x  x0  2x0
x  x0


* Quy tắc
Bước 1: Giả sử x là số gia đối số tại xo, tính
y = f(xo + x) – f(xo)
y
Bước 2: Lập tỉ số
x
y
Bước 3: Tìm lim

x  0 x
Áp Dụng: Sử dụng quy tắc trên để tính f’(xo) của
hàm số y = f(x) = x2 ?


Gọi x là số gia của đối số tại xo
y  f  x0  x   f  x0 
2

2

 x0  x   x0
2
2
2
x0  2.x0 .x   x   x0
2

2.x0 .x   x  x  2 x0  x 
x  2 x0  x 
y

2x0  x
x
x
y
 lim  2 x0  x  2x0
lim
x  0
x  0 x

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f  x   1
x
tại xo = 2
– Gọi x là số gia của đối số tại xo = 2
y  f  x0  x   f  x0 
 f  2  x   f  2 
1
1
x



2  x 2
2  2  x 
y
1

x
2  2  x 
y
1
1
lim
 lim

x  0 x
x  0 2  2  x 
4

Ghi nhớ
f ( x)  f ( x0 )
1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm: f '( x0 ) xlim
 x0
x  x0

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1: Giả sử x  x  x0 là số gia của đối số tại x0,
tính
.
f
( x) y
 f (
x ) f x  x  f x
f '( x0 )  lim

x  x0

0

x  x0



0



y
lim
Bước 2: Tìm x  0 x
Bài tập về nhà: Bài 2; 3a,c/156

 0