HÌNH học 12 CHƯƠNG II KHỐI TRÒN XOAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.65 MB, 46 trang )
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
CHƯƠNG II: KHỐI TRỊN XOAY :MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
BÀI 1:MẶT NÓN
I.LÝ THUYẾT
MẶT NÓN TRÒN XOAY
Trong mặt phẳng
( P ) . Cho hai đường thẳng Δ và
cắt nhau tại O và tạo thành góc . Khi quay mặt
( P ) xung quanh Δ thì đường thẳng sinh
phẳng
ra một mặt trịn xoay đỉnh O gọi là mặt nón trịn
xoay.
HÌNH NĨN TRỊN XOAY
Cho OMI vng tại I quay quanh cạnh góc
vng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình, gọi là hình nón trịn xoay.
KHỐI NĨN TRỊN XOAY
Phần khơng gian được giới hạn bởi một hình
nón trịn xoay kể cả hình đó ta gọi là khối nón
trịn xoay hay ngắn gọn là khối nón.
1.CÁC CƠNG THỨC
S xq = r
Diện tích xung quanh
Sht = r 2
Diện tích đáy
Diện tích tồn phần
Thể tích
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
Stp = r + r 2
1
1
V = Sht .h = r 2 h
3
3
1
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
2. TƯƠNG GIAO GIỮA NĨN VÀ MẶT PHẲNG. BÀI TOÁN THIẾT DIỆN
a) Phương pháp giải
TRƯỜNG HỢP 1: Thiết diện qua trục của hình nón: mp ( P) đi qua trục của hình nón và cắt mặt
nón theo 2 đường sinh Thiết diện là tam giác cân.
Cách vẽ hình: trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB
Cách 1
Cách 2
Thiết diện qua trục của hình nón thơng thường hay gặp ở một số dạng như:
•
•
•
•
•
Thiết diện qua trục là một tam giác vuông
Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân
Thiết diện qua trục là một tam giác đều
Thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng số độ cho trước (60 độ hay 120 độ.)
….
TRƯỜNG HỢP 2: Thiết diện qua đỉnh của hình nón: mp( P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt mặt
nón theo 2 đường sinh Thiết diện cũng là tam giác cân.
Cách vẽ hình: trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB
Cách 1
Cách 2
Lưu ý: Khi vẽ thiết diện qua đỉnh, nếu kẻ OH ⊥ AB thì theo tính chất đường kính và dây cung của
đường trịn (đường kính vng góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung và ngược lại),
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
2
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
thì H chính là trung điểm của AB . Khi đó góc giữa mặt phẳng ( SAB ) với đường trịn đáy chính là
SHO
Thiết diện qua đỉnh của hình nón thơng thường hay gặp ở một số dạng như:
•
•
•
•
•
•
•
Thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông
Thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân
Thiết diện qua đỉnh là một tam giác đều
Thiết diện qua đỉnh có góc tạo bởi thiết diện và trục là số cho trước (60 độ hay 120 độ.)
Thiết diện qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng chứa thiết diện là a
(cm)
Thiết diện là một tam giác cân đồng thời tạo với mặt phẳng đường trịn đáy góc cho trước
…
TRƯỜNG HỢP 3: Thiết diện vng góc với trục của hình nón và song song với đường trịn đáy
hình nón: mp( P) vng góc với trục hình nón giao tuyến là một đường trịn.
Cách vẽ hình: trên hình vẽ, thiết diện là đường trịn tâm O '
II. CÁC VÍ DỤ
1. Cho khối nón có chiều cao bằng 8 và độ dài đường sinh bằng 10. Tính thể tích của khối nón?
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
2. Tính thể tích khối nón có chiều cao 20cm và đường sinh tạo với mặt phẳng đáy góc 300.
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
3
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
3. Cho hình chóp đều S.ABC biết AB = a, SA=3a. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đường
trịn đáy ngoại tiếp ABC .
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
4. Cho hình chóp đều S.ABCD biết AB=a, SA=3a. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đường
trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD.
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
5. Cho hình chóp đều SABC biết AB=a, biết (SA;(ABC)) = 600. Tính thể tích khối nón đỉnh S, đường trịn
đáy nội tiếp ABC .
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
6. Cho hình chóp đều SABCD biết AB=2a, biết (SA;(ABCD)) = 600. Tính thể tích khối nón đỉnh S, đường
trịn đáy nội tiếp hình vng ABCD.
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
4
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
7. Thiết diện chứa trục của hình nón là một tam giác đều cạnh 50cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
8. Tính diện tích xung quanh của hình nón được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a khi quay xung quanh trục AA’.
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
9. Thiết diện chứa trục của một hình nón là một tam giác vng, cạnh huyền 50cm. Tính thể tích khối nón?
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
10. Trong khơng gian, cho tam giác vuông ABC tại A , AB = a và AC = a 3 . Tính độ dài đường sinh l của
hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
5
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
11. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Biết B, C thuộc
đường trịn đáy. Tính thể tích của khối nón?
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
12. Cho khối nón có đỉnh S, cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua đỉnh của khối nón tạo thành thiết diện là
SAB. Biết khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến thiết diện bằng 2, AB = 12, bán kính đường trịn đáy
bằng 10. Tính chiều cao của khối nón?
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết về mặt nón, hình nón, khối nón
Ví dụ 1: Cho đường thẳng l cắt và khơng vng góc với Δ quay quanh Δ thì ta được
A. khối nón trịn xoay.
B. mặt trụ trịn xoay.
C. mặt nón trịn xoay.
D. hình nón trịn xoay.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Đẳng thức nào
sau đây luôn đúng?
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
6
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
1 1
1
A. l 2 = hR .
B. 2 = 2 + 2 . C. l 2 = h2 + R 2 .
l
h
R
D. R 2 = h2 + l 2 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết
diện của hình nón
Ví dụ 1: Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện
tích tồn phần của hình nón đó.
A. 6a2 .
B. 24a 2 .
C. 3a2 .
D. 12a 2 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy, diện tích đáy của hình nón bằng 9 . Độ dài đường
cao của hình nón bằng
A. 3 3 .
B.
3.
C.
9 3
.
2
D.
3
.
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vng có cạnh góc vng bằng 1. Mặt phẳng ( )
qua đỉnh S của hình nón đó cắt đường trịn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN, biết góc giữa ( ) và đáy
hình nón bằng 60 .
A.
1
.
3
B.
1
.
2
C.
2
.
3
D.
3
.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
7
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ
O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
a 3
và SAO = 30 , SAB = 60 . Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng
3
A. a 2 .
B. a 3 .
C. 2a 3 .
D. a 5 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường trịn tâm O bán kính bằng 2a và độ dài đường sinh bằng a 5 . Mặt
(
)
phẳng ( P ) qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có chu vi bằng 2 1 + 5 a . Khoảng cách d
từ O đến mặt phẳng ( P ) là
A. d =
a 3
.
3
B. d =
a
.
2
C. d =
a 3
.
7
D. d =
a 3
.
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Tính diện tích
xung quanh S xq của hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A. S xq =
a 2 3
.
3
B. S xq =
a 2 10
.
8
C. S xq =
a 2 7
.
4
D. S xq =
a 2 7
.
6
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
8
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng 3: Tính thể tích khối nón, bài tốn cực trị
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ABC = 45, ACB = 30, AB =
2
. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta
2
được khối trịn xoay có thể tích V bằng
A. V =
(
3 1+ 3
)
2
B. V =
(
1+ 3
)
24
C. V =
(
1+ 3
8
)
D. V =
(
1+ 3
)
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón ( N ) có đỉnh A và đường trịn đáy là đường trịn
ngoại tiếp tam giác BCD. Thể tích V của khối nón ( N ) là
A. V =
3a 3
27
B. V =
6a 3
27
C. V =
6a 3
9
D. V =
6a 3
27
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3: Cho hình nón ( N ) có góc ở đỉnh bằng 60 . Mặt phẳng qua trục của ( N ) cắt ( N ) theo một thiết diện
là tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 2. Thể tích khối nón ( N ) là
A. V = 3 3 .
B. V = 4 3 .
C. V = 3 .
D. V = 6
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
9
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 4: Cho hình tứ diện ABCD có
AD ⊥ ( ABC ) , ABC là tam giác vuông tại B. Biết
BC = a, AB = a 3, AD = 3a . Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) xung
quanh đường thẳng AB ta được hai khối trịn xoay. Thể tích phần chung của hai khối trịn xoay đó bằng:
A.
3 3a3
.
16
B.
8 3a3
.
3
C.
5 3a3
.
16
D.
4 3a 3
16
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có đường trịn đáy là đường trịn nội tiếp
tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường trịn đáy là đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và
hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
A.
1
.
2
B.
1
.
3
C.
2
.
3
D.
1
.
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 6: Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón
tạo với đáy một góc 60 như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng
hồ là 1000 ( cm3 ) . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích
lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần dưới là bao nhiêu?
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
10
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
A.
1
3 3
.
B.
1
.
8
C.
1
.
27
D.
1
.
64
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 7: Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng
A.
3
3
9
.
B.
2
3
3
9
.
. Hình nón có thể tích lớn nhất bằng
C.
3
3
27
.
D.
2 3 3
.
27
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 8: Trong các hình nón cùng có diện tích tồn phần bằng S. Hình nón có thể tích lớn nhất khi ( r ,
lần
lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón)
A.
= 3r .
B.
= 2 2r .
C.
=r.
D.
= 2r
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
11
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường trịn tâm O. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác cân với
cạnh đáy bằng a và có diện tích là a 2 . Gọi A, B là hai điểm bất kỳ trên đường trịn ( O ) . Thể tích khối chóp
S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng
A.
a3
.
2
B.
a3
.
6
C.
a3
.
12
D.
a3 2
12
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ABC = 45, ACB = 30, AB =
2
. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta
2
được khối trịn xoay có thể tích V bằng
A. V =
(
3 1+ 3
)
2
B. V =
(
1+ 3
24
)
C. V =
(
1+ 3
8
)
D. V =
(
1+ 3
)
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
12
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón ( N ) có đỉnh A và đường trịn đáy là đường trịn
ngoại tiếp tam giác BCD. Thể tích V của khối nón ( N ) là
A. V =
3a 3
27
B. V =
6a 3
27
C. V =
6a 3
9
D. V =
6a 3
27
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 3: Cho hình nón ( N ) có góc ở đỉnh bằng 60 . Mặt phẳng qua trục của ( N ) cắt ( N ) theo một thiết
diện là tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 2. Thể tích khối nón ( N ) là
A. V = 3 3 .
B. V = 4 3 .
C. V = 3 .
D. V = 6 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 4: Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , ABC là tam giác vuông tại B. Biết
BC = a, AB = a 3, AD = 3a . Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác)
xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối trịn xoay. Thể tích phần chung của hai khối trịn xoay đó bằng:
A.
3 3a3
.
16
B.
8 3a3
.
3
C.
5 3a3
.
16
D.
4 3a 3
16
Hướng dẫn giải
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
13
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường trịn bán kính
AE = 3 cm. Gọi I = AC BE, IH ⊥ AB , tại H.
Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh
B có đáy là đường trịn bán kính IH.
Ta có IBC đồng dạng với IEA
Mặt khác IH // BC
IC BC 1
=
= IA = 3IC .
IA AE 3
AH IH
AI 3
3
3a
.
=
=
= IH = BC =
AB BC AC 4
4
4
Gọi V1; V2 lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình trịn tâm H.
1
1
V1 = IH 2 . AH ; V2 = IH 2 .BH
3
3
2
9a 2
3a3 3
V = V1 + V2 V = IH . AB V = .
.a 3 V =
.
3
3 16
16
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội
tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường trịn đáy là
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón
nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
A.
1
.
2
B.
1
.
3
C.
2
.
3
D.
1
.
4
Hướng dẫn giải
Hai hình nón có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích mặt đáy. Vì tam
giác ABC đều nên bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng
bán kính đường trịn nội tiếp bằng
Suy ra
2
đường cao của tam giác,
3
1
đường cao của tam giác.
3
V
S 1
r 1
= 1 = 1 = .
R 2 V2 S2 4
Chọn D.
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
14
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Ví dụ 6: Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón
tạo với đáy một góc 60 như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của
đồng hồ là 1000 ( cm3 ) . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ
thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần dưới là bao nhiêu?
A.
1
3 3
.
B.
1
.
8
C.
1
.
27
D.
1
.
64
Hướng dẫn giải
Gọi bán kính của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là x, y ( x y ) .
Suy ra chiều cao của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là x 3, y 3 .
x 3 + y 3 = 30
Theo giả thiết, ta có 1 2
1 2
x .x 3 + y . y 3 = 1000
3
3
x + y = 10 3
20 3
10 3
x=
, y=
.
3
3
3
3
x + y = 1000 3
3
y 1
Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính bằng = .
x 8
Chọn B.
Ví dụ 7: Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng
A.
3
9
3
.
B.
2
3
9
3
.
. Hình nón có thể tích lớn nhất bằng
C.
3
27
3
.
D.
2 3 3
.
27
Hướng dẫn giải
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
15
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Gọi h ( 0 h
) là chiều cao hình nón, suy ra bán kính
r=
2
− h2 .
Suy ra thể tích khối nón là
1
1
1
V = r 2 h = ( 2 h − h3 ) = f ( h ) .
3
3
3
Xét hàm f ( h ) =
2
h − h3 trên ( 0;
).
h = 3
2
2
f ( h ) = − 3h = 0
h = − 3 ( khong thoa man )
Lập bảng biến thiên ta được
2 3
Ta thấy max f ( h ) = f
.
=
3 3 3
Vậy Vmax =
2 3 3
. Dấu “=” xảy ra h =
.
27
3
Chọn D.
Ví dụ 8: Trong các hình nón cùng có diện tích tồn phần bằng S. Hình nón có thể tích lớn nhất khi ( r ,
lần
lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón)
A.
= 3r .
B.
= 2 2r .
C.
=r.
D.
= 2r .
Hướng dẫn giải
Ta có S = r + r 2 → =
S − r 2
.
r
Thể tích
1
1
V = r 2 h = r 2
3
3
1
2
− r 2 = r 2
3
( S − r )
2 2
r
2 2
− r2 =
1
S ( Sr 2 − 2r 4 ) .
3
Lập bảng biến thiên cho hàm f ( r ) = Sr 2 − 2r 4 trên ( 0; + ) , ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại
r=
S
→ = 3r .
4
Chọn A.
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
16
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Ví dụ 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường trịn tâm O. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác cân
với cạnh đáy bằng a và có diện tích là a 2 . Gọi A, B là hai điểm bất kỳ trên đường trịn ( O ) . Thể tích khối
chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng
a3
A.
.
2
a3
B.
.
6
a3
C.
.
12
a3 2
D.
.
12
Hướng dẫn giải
1
1
Tam giác cân SCD, có SSCD = CD.SO a 2 = a.SO → SO = 2a .
2
2
Khối chóp S.OAB có chiều cao SO = 2a khơng đổi nên để thể tích lớn nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác
OAB lớn nhất.
1
1
Mà SOAB = OA.OB.sin AOB = r 2 .sin AOB (với r là bán kính đường trịn mặt đáy hình nón). Do đó để
2
2
S OAB lớn nhất khi sin AOB = 1 . Khi đó Vmax =
a3
.
12
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho hình nón ( N1 ) có đỉnh S, chiều cao h. Một hình nón ( N 2 ) có đỉnh là tâm của đáy ( N1 ) và
có đáy là một thiết diện song song với đáy của ( N 2 ) như hình vẽ.
Khối nón ( N 2 ) có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng
A.
h
.
2
B.
h
.
3
C.
2h
.
3
D.
h 3
.
3
Hướng dẫn giải
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
17
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với O, I lần lượt là tâm đáy của hình nón ( N1 ) , ( N 2 ) ;
R, r lần lượt là các bán kính của hai đường trịn đáy của ( N1 ) , ( N 2 ) .
Ta có
R (h − x)
SI
r
h−x r
.
=
= →r=
SO R
h
R
h
Thể tích khối nón ( N 2 ) là
2
1 2
1 R (h − x)
R 2
2
= r x =
x = 2 .x ( h − x ) .
2
3
3
h
3h
2
V( N2 )
Xét hàm f ( x ) = x ( h − x ) = x 3 − 2hx 2 + h 2 x trên ( 0; h ) . Ta có
2
x = h
.
f ( x ) = 3x − 4hx + h ; f ( x ) = 0
x = h
3
2
2
Lập bảng biến thiên ta có
Vậy f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng ( 0; h ) tại x =
h
.
3
Chọn B.
Ví dụ 11: Xét các hình nón có đường sinh với độ dài đều bằng 10cm. Chiều cao của hình nón có thể tích lớn
nhất là
A. 5 3 cm.
B. 10 3 cm.
C.
5 3
cm.
3
D.
10 3
cm.
3
Hướng dẫn giải
Xét hình nón có chiều cao là x cm và bán kính đáy là y cm (x, y dương).
Ta có x 2 + y 2 = 102 y 2 = 100 − x 2 , ta có điều kiện x, y ( 0;10 ) .
Thể tích khối nón là
1
1
V = r 2 h = (100 − x 2 ) x .
3
3
Xét hàm số f ( x ) = (100 − x 2 ) x = 100 x − x 3 , x ( 0;10 ) ;
f ( x ) = 100 − 3x 2 ; f ( x ) = 0 x =
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
10 3
.
3
18
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Bảng biến thiên
Ta thấy V lớn nhất khi f ( x ) lớn nhất tại x =
10 3
cm.
3
Chọn D.
Ví dụ 12: Giả sử đồ thị hàm số y = ( m2 + 1) x 4 − 2mx 2 + m 2 + 1 có 3 điểm cực trị là A, B, C mà xA xB xC
. Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích của khối trịn
xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. ( 4;6 ) .
B. ( 2; 4 ) .
C. ( −2;0 ) .
D. ( 0; 2 ) .
Hướng dẫn giải
y = 4 ( m 2 + 1) x 3 − 4mx = 4 x ( m 2 + 1) x 2 − m .
x = 0
y = 0 4 x ( m + 1) x − m = 0
.
m
x =
m
0
(
)
m2 + 1
2
2
Với m 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với xA xB xC ) là
m
m2
A −
;
−
+ m 2 + 1 ; B ( 0; m 2 + 1) ;
2
2
m +1 m +1
m
m2
2
C
;
−
+
m
+
1
.
2
2
m +1 m +1
Quay ABC quanh AC thì được khối trịn xoay có thể tích là
2
1
2
2 m2
m
2
V = 2. r 2 h = BI 2 .IC = 2 . 2
=
3
3
3 m +1 m +1 3
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
m9
( m2 + 1)
5
.
19
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
m9
f
m
=
Xét hàm ( )
.
5
( m2 + 1)
Ta có f ( m ) =
m8 ( 9 − m 2 )
(m
2
+ 1)
6
; f ( m) = 0 m = 3( m 0) .
Ta có bảng biến thiên
Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3 .
Chọn B.
Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 6 cm, AC = 3 cm. Gọi M điểm di động trên cạnh BC sao
cho MH vng góc với AB tại H. Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên một hình nón, thể tích lớn
nhất của hình nón được tạo thành là
A.
.
3
B.
4
.
3
C.
8
.
3
D. 4 .
Hướng dẫn giải
Đặt AH = x ( cm ) , 0 x 6 .
Khi đó BH = 6 − x ( cm ) .
Xét tam giác BHM vng tại H.
Ta có tan HBM =
HM
BH
HM = BH .tan HBM = ( 6 − x ) .tan HBM .
Mà tan HBM = tan ABC =
AC 3 1
= = .
AB 6 2
1
Do đó HM = ( 6 − x ) . .
2
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
20
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Thể tích của khối nón tạo thành khi
V=
tam
giác
AHM
quay
quanh
cạnh
AH
là
1
1
2
AH ..HM 2 = .x. ( 6 − x ) = ( x 3 − 12 x 2 + 36 x ) (1).
3
3 4
12
Xét hàm số f ( x ) = x3 − 12 x 2 + 36 x với 0 x 6 , ta có
x = 2
f ( x ) = 3x 2 − 24 x + 36; f ( x ) = 0 3x 2 − 24 x + 36 = 0
.
x = 6
Bảng biến thiên của hàm số f ( x ) = x3 − 12 x 2 + 36 x với 0 x 6
Từ (1) và bảng biến thiên ta có thể tích lớn nhất của khối nón tạo thành là
V=
8
.
.32 =
12
3
Chọn C.
Ví dụ 14: Cho hình lập phương ABCD. ABCD có thể tích bằng 1. Gọi ( N ) là một hình nón có tâm đường
trịn đáy trùng với tâm của hình vng ABCD, đồng thời các điểm A, B, C, D nằm trên các đường sinh của
hình nón như hình vẽ. Thể tích khối nón ( N ) có giá trị nhỏ nhất bằng
A.
2
.
3
B.
3
.
4
C.
9
.
8
D.
9
.
16
Hướng dẫn giải
Xét phần mặt cắt qua trục hình nón và đi qua mặt phẳng ( AAC C ) , kí hiệu như hình vẽ. Với I, H lần lượt là
tâm của hình vng ABCD, ABCD và đỉnh A nằm trên đường sinh EF của hình nón.
Hình lập phương có thể tích bằng 1 nên AA = HI = 1, AH =
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
2
.
2
21
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
Đặt EH = x ( x 0 ) . Khi đó, ta có
EH AH
x
2
2 x +1
=
=
→ FI =
=r.
EI
FI
x + 1 2 FI
2 x
Thể tích khối nón ( N ) là
V( N )
1
1 x +1
= r 2 EI =
3
6 x
Xét hàm số f ( x )
( x + 1)
=
( x + 1)
.
( x + 1) =
6 x2
3
2
3
x2
trên ( 0; + ) . Ta có f ( x )
( x − 2 )( x + 1)
=
x3
2
.
Lập bảng biến thiên
Ta được min f ( x ) =
( 0;+ )
27
9
tại x = 2 . Suy ra min V( N ) =
.
4
8
Chọn C.
Ví dụ 15: Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R = a 3 , góc ở đỉnh là 120 . Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt
hình nón theo thiết diện là một tam giác. Diện tích lớn nhất của tam giác đó bằng
A.
B. 2a 2 .
3a 2 .
C.
3 2
a .
2
D. 2 3a 2 .
Hướng dẫn giải
Giả sử SAM là thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình nón.
(
)
Gọi AM = x 0 x 2a 3 .
Gọi H là trung điểm của AM
OH ⊥ AM AM ⊥ ( SOH ) AM ⊥ SH .
AO
SA = sin 60 = 2a
Vì ASB = 120 ASO = 60
.
SO = AO = a
tan 60
OH = OA2 − AH 2 = 3a 2 −
x2
x2
SH = OH 2 + SO 2 = 4a 2 − .
4
4
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
22
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
SSAM =
1
1
x2
AM .SH = x 4a 2 − .
2
2
4
Ta có
1
x2
x2
S = 4a 2 −
−
2
4
x2
4 4a 2 −
4
2
2
= 16a − 2 x S = 0 x = 2a 2 .
x2
2
8 4a −
4
Smax = 2a2 . Chọn B.
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
23
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
BÀI 2. MẶT TRỤ
I.LÝ THUYẾT
MẶT TRỤ TRÒN XOAY
Trong mp
, cho hai đường thẳng
và d song
song với nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay
mp
xung quanh
thì đường thẳng d sinh ra
một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ trịn xoay.
KHỐI TRỤ TRỊN XOAY
Phần khơng gian được giới hạn bởi một
hình trụ trịn xoay kể cả hình trụ đó ta gọi
HÌNH TRỤ TRỊN XOAY
là khối trụ trịn xoay hay ngắn gọn là khối
Ta xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay
trụ.
hình đó xung quanh đường thẳng chứa
một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường
gấp khúc ADCB tạo thành một hình
được gọi à hình trụ trịn xoay hay gọi
tắt là hình trụ.
CÁC CƠNG THỨC
Diện tích xung quanh
Diện tích đáy
Diện tích tồn phần
Thể tích
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
24
HÌNH HỌC 12_CHƯƠNG II_KHỐI TRỊN XOAY
II.CÁC VÍ DỤ
1. Tinh thể tích khối trụ có đường kính đáy là 10m và chiều cao 2,5m ?
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
2. Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy là a, đường cao 2a?
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
3. Tính thể tích của khối trụ có hai đáy nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a.?
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
4. Tính diện tích tồn phần của một hình trụ có chiều cao 20cm và bán kính đáy là 5cm?
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, AD = 2. Gọi M, M là trung điểm của AD và BC, quay hình chữ nhật
xung quanh MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích tồn phần của hình trụ đó?
Giáo viên : Nguyễn Thị Thu hiền
25
