Chuyên đề đề cương về phương trình

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 9 năm 2021


Website: tailieumontoan.com
1
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I – LÝ THUYẾT
A– KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x  1
trong đó f  x  và g  x  là những biểu thức của x. Ta gọi f  x  là vế trái, g  x  là vế phải của
phương trình 1.
Nếu có số thực x 0 sao cho f  x 0   g  x 0  là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm
của phương trình 1.
Giải phương trình 1 là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình khơng có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập
nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình
Khi giải phương trình 1 , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f  x  và g  x  có
nghĩa (tức là mọi phép tốn đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của
phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).
3. Phương trình nhiều ẩn
Ngồi các phương trình một ẩn, ta cịn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

3 x  2 y  x 2  2 xy  8,
2 
2
2
2
4 x  xy  2 z  3 z  2 xz  y .
3
Phương trình 2 là phương trình hai ẩn ( x và y ), cịn 3 là phương trình ba ẩn ( x , y và z ).
Khi x  2, y  1 thì hai vế của phương trình 2 có giá trị bằng nhau, ta nói cặp  x ; y   2;1
là một nghiệm của phương trình 2.
Tương tự, bộ ba số  x ; y; z   1;1;2 là một nghiệm của phương trình 3.
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngồi các chữ đóng vai trị ẩn số cịn có thể có
các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
B – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà khơng làm thay đổi điều
kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức ln có giá
trị khác 0.
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế
với biểu thức đó.
3. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình f  x   g  x  đều là nghiệm của phương trình f 1  x   g1  x 
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
2
thì phương trình f 1  x   g1  x  được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f  x   g  x .
Ta viết
f  x   g  x   f 1  x   g1  x .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm khơng phải là nghiệm của phương trình ban đầu.
Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
Khi giải phương trình, khơng phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương.
trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng
hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức. Lúc đó để loại nghiệm
ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được.
II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải
-Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f  x , g  x  cùng
được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
- Điều kiện để biểu thức




f  x  xác định là f  x   0

1
xác định là f  x   0
f x 
1

f x 

xác định là f  x   0

A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Điều kiện xác định của phương trình x 
x ≠ 2
.
A. 
 x ≠ −2

B. x  2. .

5
 1 là:
x2  4
C. x  . .

D. x ≠ 2.

Lời giải
Chọn A.

 x  2
Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là x 2  4  0  x 2  4  
 x  2

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình 1 

A. 2  x  3 .
B. 2  x  3 .

3  x  x  2 là:
C. x  3 .
Lời giải

D. x  2

Chọn B.
3 − x ≥ 0
x ≤ 3
Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là 
⇔
⇔2≤ x≤3
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
3
Ví dụ 3: Điều kiện xác định của phương trình 1 + 2 x − 3=
A. 2  x  3 .

B. x 

2
.
3

3 x − 2 là:
C. x  3 .

D. x 

3
2

Lời giải
Chọn D.

 x ≥
−
≥
x
2
3
0

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là 
⇔
3 x − 2 ≥ 0
x ≥

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
x +1
là:
4 − 2x =
3
x − 3x + 2

Ví dụ 4: Điều kiện xác định của phương trình

x  2
.
A. 

x 1



3
3
2
⇔ x≥
2
2
3


x  2
B. 
.


x 1



C. x  2 .

D. x  2

Lời giải
Chọn B.
x≤2

 4 − 2x ≥ 0
Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là  3
⇔
2
 x − 3x + 2 ≠ 0
( x − 1) x + x − 2 ≠ 0

(

)

x ≤ 2
x≤2
x < 2


⇔
⇔ x ≠ 1 ⇔ 

2
x ≠1
( x − 1) ( x − 2 ) ≠ 0
x ≠ 2

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ)
NHẬN BIẾT.
Câu 1.

Tập xác định của phương trình
A.  \ {−2;2;1} .

Câu 2.

C. ( 2;+∞ ) .

2x
3
là:
− 5 =2
x +1
x +1

x ≠ 1
B. 
.
 x ≠ −1

C. x ≠ 1. .

Tập xác định của phương trình 3 x +
A.  \ {4} .

Câu 4.

B. [ 2;+∞ ) .

Điều kiện xác định của phương trình
A. x ≠ −1. .

Câu 3.

x +1 x −1 2x +1
+
= là:
x + 2 x − 2 x +1

A. [ 2;+∞ ) .

2

D. x ∈ . .

5
5
là:
=+
12

x−4
x−4

B. [ 4;+∞ ) .

Tập xác định của phương trình

D.  \ {±2; −1} .

C. ( 4;+∞ ) .

D.  .

x−2 1
2
− =
là:
x + 2 x x( x − 2)

B. ( 2;+∞ ) .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C.  \ {−2;0;2} .

D.  \ {2;0} .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

4
Câu 5.

A.  .
Câu 6.

4x
3 − 5x
9x +1
là:
− 2
=
2
x − 5 x + 6 x − 6 x + 8 x − 7 x + 12
B. ( 4;+∞ ) .
C.  \ {2;3; 4} .
D.  \ {4} .

Tập xác định của phương trình

2

Điều kiện xác định của phương trình
A. x ∈  .

1
3
4
là:
−

=
2
x+2 x−2 x −4

x ≠ 2
.
x
≠
−
2


B. 

C. x ≥ 2 .

D. x > 2 .

C. x ≤ 2.

D. x ≥ 2.

THÔNG HIỂU.
Câu 7.

Câu 8.

1
Điều kiện của phương trình 3 − x 2 =
.

2− x
A. x < 2.
B. x > 2.
Tập xác định của phương trình
4

A. =
D  ; +∞  .
5


Câu 9.

2x +1
+ 2 x − 3 = 5 x − 1 là:
4 − 5x

4
5

4
B. D =  −∞;  .
5


C. D =  \   .

Điều kiện xác định của phương trình x − 1 + x − 2=
A. ( 3;+∞ ) .

x − 3 là:

C. [ 2;+∞ ) .

B. [3; +∞ ) .

4
D. D =  −∞;  .
5


D. [1; +∞ ) .

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình 3 x − 2 + 4 − 3 x =
1 là:

2 4
3 3

A.  ;  .

4
3




2 4
3 3

B.  ; +∞  .

C.  \  ;  .

2 4
D.  ;  .
3 3

Câu 11. Điều kiện xác định của phương trình 2 x − 1 = 4 x + 1 là:
A. [3; +∞ ) .

1

B.  ; +∞  .
2


C. [ 2;+∞ ) .

D. ( 3;+∞ ) .

8
là
x−2
C. x ≠ 2. .

D. x ≥ 2. .

VẬN DỤNG.
Câu 12. Điều kiện xác định của phương trình

A. x < 2. .

x2
=
x−2

B. x > 2. .

1
là
x2 − 4 =
x−2
A. x > 2 hoặc x < −2. . B. x > 2 hoặc x ≤ −2. . C. x  2 hoặc x < −2. . D. x ≥ 2 hoặc x ≤ −2. .

Câu 13. Điều kiện xác định của phương trình

Câu 14. Điều kiện xác định của phương trình
1
A. x ≥ − . .
2

B. x ≥ −

2x +1
= 0 là
x + 3x
2

1
1

và x ≠ −3. . C. x ≥ − và x ≠ 0. . D. x ≠ −3 và x ≠ 0. .
2
2

Câu 15. Điều kiện xác định của phương trình x +
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

1
3 − 2x
= là
x
2x + 4
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
5
3
A. x > −2, x ≠ 0 và x ≤ .
2
3
C. x > −2 và x < .
2

B. x > −2 và x ≠ 0.
D. x ≠ −2 và x ≠ 0.
1
+ x2 −1 =
0 là:
x

Câu 16. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ≥ 0 và x 2 − 1 > 0. B. x > 0.

C. x ≥ 0.

Câu 17. Điều kiện xác định của phương trình x + 2 −
4
A. x > −2 và x < .
3
4
C. x ≥ −2. và x ≤ .
3
1
=
x −4
2

x−2 +

B. x < 7. .

Câu 20: Điều kiện của phương trình: x − 3 +
A. x > −1 , x ≠ 1 và x ≤ 5.

x + 3 là:
 x ≥ −3
C.  x ≠ 2 .
 x ≠ −2


x ≠ 2
B. 
..
 x ≠ −2

Câu 19. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ≥ 2. .

1
4 − 3x
là
=
x +1
x+2
4
B. −2 < x ≤ và x ≠ −1 .
3
D. x ≠ −2 và x ≠ −1.

Câu 18. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ≥ −3. .

D. x > 0 và x 2 − 1 ≥ 0.

x2 + 5
=
0 là:
7−x
C. 2  x  7. .

D. x > −3 và x ≠ ±2 .

D. 2  x  7.

1
5− x
+
=
0
x −1
x +1
B. x > -1 và x ≠ 1.

C. – 1 < x ≤5.
Câu 21: Tìm điều kiện xác định của phương trình

D. x ≤ 5 và x ≠ 1.
2
=
3x +
0.
3x − 3
x > 0
C. 
.
x ≠ 1

x ≥ 0
A. 

.
B. x ≠ 1 .
x ≠ 1
Câu 22: Giá trị x ≥ 2 là điều kiện của phương trình nào?
1
1
0.
A. x + + x − 2 =
B. x +
=
0.
x
x−2
1
1
=x − 2 .
C. x +
D. x +
=
2x −1 .
4− x
x−2
1
Câu 23: Tìm điều kiện xác định của phương trình 2 = x + 1.
x −4
A. x ≥ −1 và x ≠ 2.
B. x ≠ 2 và x ≠ −2.
C. x ≥ −1.
D. x ≥ −1 hoặc x ≠ 2.

 x ≥ −3
D. 
.
x ≠ 1

VẬN DỤNG CAO (NẾU CÓ).
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
6
Câu 24: Tìm m phương trình
A. m > 1 .

x 5
= 0 có điều kiện xác định là  .
x − 2x + m
B. m = 1 .
C. m < 1 .
2

D. m < 0 .

x + m − 2 + 2x − m =
0 . Tìm m để phương trình xác định với mọi x > 1

Câu 25: Cho hàm số
A. m ≥ 2

B. 1 ≤ m ≤ 2

C. m ≤ 1

D.

1
≤ m ≤1
3

C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

D

A

C

C

B

A

D

B

D

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

B

B

B

C

A

D

B

C

C

A

21

22

23

24

25

A

A

A

A

B

D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
2. Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Phương pháp giải
- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu mọi nghiệm của phương trình f  x   g  x  đều là nghiệm của phương trình f 1  x   g1  x 
thì phương trình f 1  x   g1  x  được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f  x   g  x .
- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với
phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng

 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương
trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định
của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
 Bình phương hai vế của phương trình(hai vế ln cùng dấu) ta thu được phương trình tương
đương với phương trình đã cho.
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho phương trình 2 x 2 − x =
0 (1) . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào

khơng phải là hệ quả của phương trình (1) ?
A. 2 x −

x
=
0.
1− x

(

C. 2 x 2 − x

)

2

=
0.

B. 4 x3 − x =
0.
D. x 2 − 2 x + 1 =0 .
Lời giải.

Chọn D.
Cách 1: Ta có: * 2 x −

x
0
=
0 ⇒ 2 x2 − x =
1− x

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
7


x = 0

x = 0
1
3
⇔
* 4x − x =

0
⇔ x =
 2

2
 4 x − 1 =0

1
x = −
2


(

* 2x − x
2

)

2

x = 0
=
0 ⇔ 2x − x =
0⇔
x = 1
2

2

1
* x 2 − 2 x + 1 =0 ⇔ x =
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 2: Phương trình x 2 = 3 x tương đương với phương trình:
A. x 2 + x − 2 =3 x + x − 2 .
C. x 2 x −=
3 3x x − 3 .

B. x 2 +

1
1
.
=
3x +
x−3
x−3

D. x 2 + x 2 + 1 =3 x + x 2 + 1 .
Lời giải.

Chọn D.
Cách 1: Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T = {0;3} .
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây sai?
A.

1⇒ x−2=

x−2 =
1.

B.

C. 3 x − 2 = x − 3 ⇒ 8 x 2 − 4 x − 5 =
0.

x ( x − 1)
=1 ⇔ x =
1.
( x − 1)

D.

x−3=

9 − 2 x ⇒ 3 x − 12 =
0.

Lời giải.
Chọn B.
Cách 1: Vì phương trình

x ( x − 1)
= 1có điều kiện xác định là x ≠ 1 .
( x − 1)

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương mx 2  2 m  1 x  m  2  0 (1) và

m  2 x2  3x  m2  15  0
A. m  1 .

(2)

B. m  4 .

C. m  2 .
Lời giải.

D. m  3

Chọn B.
Cách 1:Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

x 1
Ta có  1    x  1  mx  m  2   0  
 mx  m  2  0
Do hai phương trình tương đương nên x  1 là nghiệm của phương trình (2)
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
8
Thay x  1 vào phương trình (2) ta được

 m  2   3  m 2  15  0  m 2  m  20  0 

 m 4

 m  5


x  1

 Với m  5 : Phương trình (1) trở thành 5x  12x  7  0  
x  7

5
 x 1

2
Phương trình (2) trở thành 7x  3x  10  0  
 x   10

7
2

Suy ra hai phương trình khơng tương đương

1
x 
 Với m  4 : Phương trình (1) trở thành 4x  6x  2  0  
2
x  1


2

x  1

Phương trình (2) trở thành 2x  3x  1  0  
x  1

2
Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy m  4 thì hai phương trình tương đương.
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
2

Ví dụ 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 2 x 2  mx  2  0 (1) và
2 x 3  m  4 x 2  2 m  1 x  4  0 (2)

A. m  1 .
B. m  4 .
C. m  2 .
Chọn D.
Cách 1:Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương

D. m  3

Ta có 2 x 3  m  4 x 2  2 m  1 x  4  0   x  22 x 2  mx  2  0


x  2
 2

 2 x  mx  2  0

Do hai phương trình tương đương nên x  2 cũng là nghiệm của phương trình (3)
2

Thay x  2 vào phương trình (3) ta được 2 2  m 2  2  0  m  3
 x  2

 Với m  3 phương trình (3) trở thành 2 x  3 x  2  0  
 x 1

2
2

2

Phương trình (4) trở thành 2 x 3  7 x 2  4 x  4  0   x  2 2 x  1  0
 x  2


 x 1

2

Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4)
Vậy m  3 .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC

Website: tailieumontoan.com
9
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ)
NHẬN BIẾT.
Câu 1.

Cho phương trình ( x 2 + 1) ( x –1)( x + 1) =
0 . Phương trình nào sau đây tương đương với phương
trình đã cho ?
A. x − 1 =0. .

Câu 2.

Câu 3.

0. .
D. ( x –1)( x + 1) =

C. x 2 + 1 =0. .

B. x + 1 =
0. .

Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng tập xác định.
B. Cả A, B, C đều đúng.
C. Có cùng dạng phương trình.

D. Có cùng tập hợp nghiệm.
THƠNG HIỂU.
Khi giải phương trình x 2 − 5 = 2 − x (1) , một học sinh tiến hành theo các bước sau:
Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

x 2 − 5 = (2 − x) 2  2
( )
Bước 2 : Khai triển và rút gọn ( 2 ) ta được: 4 x = 9 .

9
4

Bước 3 : ( 2 ) ⇔ x =.
Vậy phương trình có một nghiệm là: x =

9
.
4

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Đúng.
B. Sai ở bước 1 .
C. Sai ở bước 2 .
Câu 4.

Câu 5.

D. Sai ở bước 3 .

Phương trình x 2 = 3 x tương đương với phương trình:

A. x 2 x −=
3 3x x − 3 .

B. x 2 + x 2 + 1 =3 x + x 2 + 1 .

C. x 2 + x − 2 =3 x + x − 2 .

D. x 2 +

Cho hai phương trình: x ( x − 2 ) = 3 ( x − 2 )

(1)

và

1
1
.
3x +
=
x−3
x−3

x ( x − 2)
x−2

=3

( 2 ) . Khẳng định nào sau đây

là đúng?
A. Phương trình 1 và 2 là hai phương trình tương đương.
B. Phương trình 2 là hệ quả của phương trình 1 .
C. Phương trình 1 là hệ quả của phương trình 2 .
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 6.

0?
Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 − 4 =
A. ( 2 + x ) ( − x 2 + 2 x + 1) =
0. .

B.

C. ( x − 2 ) ( x 2 + 3 x + 2 ) =
0. .

0. .
D. x 2 − 4 x + 4 =

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

x2 − 3 =
1. .

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
10

Câu 7.

Cho phương trình 2 x 2 − x =
0 (1) . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng
phải là hệ quả của phương trình (1) ?

(

A. 4 x3 − x =
0.

Câu 8.

B. 2 x 2 − x

Khi giải phương trình
Bước 1 : (1) ⇔
Bước 2 : ⇔

)

2

=
0 . C. 2 x −

x
D. x 2 − 2 x + 1 =0 .
=
0.

1− x

( x − 3)( x − 4 ) = 0 1
( ) , một học sinh tiến hành theo các bước sau:
x −2

( x − 3)
x −2

0  2
( x − 4) =
( )

( x − 3) = 0 ∪ x − 4 = 0

x −2
Bước 3 : ⇔ x = 3 ∪ x = 4 .

.

Bước 4 :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T = {3; 4} .
Cách giải trên sai từ bước nào?
B. Sai ở bước 1 .
A. Sai ở bước 2 .
Câu 9.

Khi giải phương trình
Bước 1 : (1) ⇔
Bước 2 : ⇔

C. Sai ở bước 4 .

D. Sai ở bước 3 .

( x − 5)( x − 4 ) = 0 1
( ) , một học sinh tiến hành theo các bước sau:
x −3

( x − 5)
x −3

0  2
( x − 4) =
( )

( x − 5) = 0 ∪ x − 4 = 0 .

x −3
Bước 3 : ⇔ x = 5 ∪ x = 4 .

Bước 4 :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T = {5; 4} .
Cách giải trên sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 3 .
B. Sai ở bước 2 .

C. Sai ở bước 1 .

D. Sai ở bước 4 .

Câu 10. Khẳng định nào sau đây sai?

A. 3 x − 2 = x − 3 ⇒ 8 x 2 − 4 x − 5 =
0.
C.

x ( x − 2)

( x − 2)

2.
=2⇔ x=

B.

x −3 =
2 ⇒ x −3 =
4.

D.

x+3 =

9 − 2 x ⇒ 3x − 6 =
0.

Câu 11. Phép biến đổi nào sau đây đúng
A. 5 x + x − 3 = x 2 ⇔ x 2 − 5 x =

x −3.

C. 3 x + x − 1 = x 2 + x − 1 ⇔ 3 x = x 2 .

x + 2 = x ⇔ x + 2 = x2 .
x+3
3 2− x
D.
+=
⇔ x 2 + 2=
x 0.
x( x − 1) x x − 1

B.

Câu 12. Khi giải phương trình x − 2 = 2 x − 3 (1) , một học sinh tiến hành theo các bước sau:
Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

x 2 − 4 x + 4= 4 x 2 − 12 x + 9  2
( )
Bước 2 : Khai triển và rút gọn ( 2 ) ta được: 3 x 2 − 8 x + 5 =
0.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
11

5
3

Bước 3 : ( 2 ) ⇔ x =1 ∪ x = .
5
Bước 4 :Vậy phương trình có nghiệm là: x = 1 và x = .
3

Cách giải trên sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 1 .
B. Sai ở bước 2 .
x
= − x là:
x
B. T = {−1} .

C. Sai ở bước 3 .

D. Sai ở bước 4 .

C. T = ∅ .

D. T = {0} .

Câu 13. Tậpnghiệm của phương trình
A. T = {1} .

Câu 14. Khi giải phương trình x +

1
2x + 3
=
−

(1) , một học sinh tiến hành theo các bước sau:
x+2
x+2

Bước 1 : đk: x ≠ −2

Bước 2 :với điều kiện trên (1) ⇔ x ( x + 2 ) + 1 =− ( 2 x + 3) ( 2 )

−2 .
Bước 3 : ( 2 ) ⇔ x 2 + 4 x + 4 =
0 ⇔x=
Bước 4 :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T =
Cách giải trên sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 1 .
B. Sai ở bước 2 .

{−2} .

C. Sai ở bước 3 .

D. Sai ở bước 4 .

0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng phải là
Câu 15. Cho phương trình 2 x 2 − x =
hệ quả của phương trình đã cho?
2
x
2
B. ( 2 x 2 − x ) + ( x − 5 ) =
A. 2 x −

=
0. .
0. .
1− x

0. .
C. 2 x 3 + x 2 − x =
Câu 16. Khi giải phương trình

0. .
D. 4 x 3 − x =
3 x 2 + 1 = 2 x + 1 (1) , ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
3x 2 +
=
1

2
( )
( 2 x + 1)  2

Bước 2 : Khai triển và rút gọn ( 2 ) ta được: x 2 + 4 x = 0 0
⇔ x = hay x = –4 .
Bước 3 : Khi x = 0 , ta có 3 x 2 + 1 > 0 . Khi x = −4 , ta có 3 x 2 + 1 > 0 .

Vậy tập nghiệm của phương trình là: {0; –4} .

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
B. Đúng.

C. Sai ở bước 2 .
A. Sai ở bước 1 .
VẬN DỤNG.
Câu 17. Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình x +
A. 7 + 6 x − 1 =−18. .

B. 2 x − 1 + 2 x + 1 =
0. .
0. C. x x − 5 =

D. Sai ở bước 3 .
1
=
1?
x

D. x 2 + x =
−1. .

3x − 2
2x
− 1 = . Với điều kiện x ≠ −1, phương trình đã cho tương đương
x +1
x +1
với phương trình nào sau đây?

Câu 18. Cho phương trình

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
12

2 x.
A. 3 x − 2 − ( x + 1) =

B. 3 x − 2 − 1 =2 x.

C. 3 x − 2 − x + 1 =2 x.

2 x.
D. 3 x − 2 =

Câu 19. Chọn cặp phương trình khơng tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. x 3 − 2 x + x 2 = x 2 + x và x 3 − 2 x =
x. .
.C. x + 1 = x 2 − 2 x và x + 2 =

( x − 1)

2

..

B. 3 x x + 1= 8 3 − x và 6 x x +=
1 16 3 − x .
5

D. x + 2 =
2 x và x = .
3

0?
Câu 20. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 − 3 x =
1
1
A. x 2 +
B. x 2 + x − 2 =3 x + x − 2. .
3x +
..
=
x −3
x −3
C. x 2 x −=
3 3 x x − 3. .

D. x 2 + x 2 + 1 =3 x + x 2 + 1. .

Câu 21. Khẳng định nào sau đây là sai?
x −1
= 0. .
A. x 2 + 1 = 0 ⇔
x −1

B. x 2 =1 ⇔ x =1. .

C. x − 2 = x + 1 ⇔ ( x − 2 ) = ( x + 1) . .
2

2

D.

x − 1= 2 1 − x ⇔ x − =
1 0. .

Câu 22. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3 x + x − 2 = x 2 + x − 2 ⇔ 3 x = x 2 . .

B.

C. 3 x + x − 2 = x 2 ⇔ 3 x = x 2 − x − 2. .

D.

2x − 3
=
x −1

x −1 ⇔ 2x − 3 =

( x − 1)

2

..

x − 1 = 3 x ⇔ x − 1= 9 x 2 . .

Câu 23. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. x + x − 1 =1 + x − 1 và x = 1 .

x và x + 2 =
B. x ( x + 2 ) =
1.

C. x + x − 2 =+
1
x − 2 và x = 1 .

D.

1.
x ( x + 2 ) =x và x + 2 =

Câu 24. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. 2x + x − 3 =+
1
x − 3 và 2 x = 1 .
C.

x + 1 = 2 − x và x + 1 =

(2 − x)

2

B.

x x +1
= 0 và x = 0 .
x +1

D. x + x − 2 =+
1
x − 2 và x = 1.

.

VẬN DỤNG CAO.
Câu 25.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

mx 2 − 2 ( m − 1) x + m − 2 =
0 1 và ( m − 2 ) x 2 − 3 x + m 2 − 15 =
0 2  .

−5; m =
4. .
B. m =

A. m = −5. .

D. m = 5. .

C. m = 4. .

Câu 26. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

2 x 2 + mx − 2 =
0 1 và 2 x3 + ( m + 4 ) x 2 + 2 ( m − 1) x − 4 =
0 2  .
A. m = 2. .

B. m = 3. .

1
D. m = . .
2

C. m = −2. .

C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

D

D

B

C

B

D

B

B

C

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
13

A

C

C

D

B

D

21

22

23

24

25

26

B

C

A

B

C

B

C

A

D

D

D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
Câu 3 : Chọn D.
Vì phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x =

(1)

9
vào phương trình
4

để thử lại.

Câu 8 : Chọn B.
Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên.
Câu 9 : Chọn B.
Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên.
Câu 12 : Chọn D.
Vì phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm vào phương trình (1) để
thử lại.
Câu 14 : Chọn D.
Vì khơng kiểm tra với điều kiện.
Câu 16 : Chọn D.

Vì phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x = 0 ; x = −4 vào phương
trình (1) để thử lại.
3. Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải
- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với
phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng
 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương
trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định
của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
 Bình phương hai vế của phương trình(hai vế ln cùng dấu) ta thu được phương trình tương
đương với phương trình đã cho.
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình x − x − 3 =
A. S = ∅ .

B. S = {3} .

3 − x + 3 là

C. S=

[3; +∞ ) .

D. S =  .

Lời giải.
Chọn B.
x − 3 ≥ 0

x ≥ 3
Cách 1: Điều kiện 
3.
⇔
⇔x=
3 − x ≥ 0
x ≤ 3
Thử x=3 vào phương trình ta thấy thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x=3
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
14
Ví dụ 2: Tập nghiệm của phương trình x + x = x − 1 là
A. S = ∅ .

B. S =

{−1} .

C. S = {0} .

D. S =  .

Lời giải.

Chọn A.
Cách 1: Điều kiện x ≥ 0 .
Ta có: x + x = x − 1 ⇔ x =−1 ( loại )
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

(

)

0 là
Ví dụ 3: Tập nghiệm của phương trình x − 2 x 2 − 3 x + 2 =
B. S = {1} .

A. S = ∅ .

C. S = {2} .

D. S = {1; 2} .

Lời giải.
Chọn C.
Cách 1: Điều kiện x ≥ 2 .
Ta có:

 x = 2 (tm)
0
x − 2 =


x − 2( x − 3 x + 2) =
0⇔ 2
⇔   x = 1 (l)
0

 x − 3x + 2 =
  x = 2 (tm)
2

Vậy phương trình có nghiêmx=2
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 4: Phương trình 2 x + 5 = −2 x − 5 có nghiệm là :
5
5
A. x = .
B. x = − .
2
2
2
2
C. x = − .
D. x = .
5
5
Lời giải.
Chọn B.
Cách 1: Điều kiện x ≥ 2 .
5
0 ⇔x=

Ta có: 2 x + 5 = −2 x − 5 ⇔ 2 x + 5 =
− .
2
Vậy phương trình có nghiêm x = 2
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
5
0 ⇔x=
2 x + 5 = −2 x − 5 ⇔ 2 x + 5 =
− .
2
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ)
NHẬN BIẾT.

Ta có:

Câu 1.

Cặp số ( x; y ) nào dưới đây là nghiệm của phương trình 2 x − y − 4 =
0 0?
A. ( x, y ) = (2;1) .

Câu 2.

Phương trình x + x − 1 =

B. ( x, y ) = (1; 2) .

C. ( x, y=
) (3; −2) .

D. ( x, y=
) (1; −2) .

1 − x có bao nhiêu nghiệm?

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
15
A. 1. .
Câu 3.

Câu 4.

Số nghiệm của phương trình x 2 +

Câu 8.

B. 3.

Tập nghiệm của phương trình
A. 3.

Câu 7.

B. 3.

Số nghiệm của phương trình: 2 x +
A. 1.

Câu 6.

C. 0. .

Số nghiệm của phương trình x + x − 2 − 1=
A. 2.
B. 3.

A. 0.
Câu 5.

B. 2. .

D. 3. .

x − 2 là:
C. 0.

D. 1.

1
1
9+
, là:
=
x −3

x −3
C. 2.

D. 1.

1
1
là:
=
4+
x +1
x +1
C. 2.

D. 0.

( x − 3) ( x 2 − 1)
x

= 0 có bao nhiêu phần tử?

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Giả sử a là nghiệm của phương trình x 2 − 3 x − 2 =
16 − 3 x − 2 .Khi đó ( 2a 2 − 7 a − 1 ) bằng:
A. 59.

B. 3.
C. -3.
D. -59.
Cặp số ( x; y ) nào sau đây là nghiệm của phương trình 3 x − 2 y =
7.
A. (1; −2) .

B. (1; 2) .

C. (−1; −2) .

D. (−2;1) .

2
C. S =   .
13 

 2
D. S = −  .
 13 

THƠNG HIỂU.
Câu 9.

Tập nghiệm của phương trình:
 13 
A. S = −  .
 2

2x + 3 =

4 là:

13 
B. S =   .
2

3x + 1
6
2 là:
−
=
2x − 3 x − 2
B. {−4} .
C. {−4;1} .

D. {1} .

x + 2 2x + 3
là
=
x
2x − 4
8
B. x = − .
3

3
D. x = .
8

Câu 10. Tập nghiệm của phương trình:
A. {∅} .

Câu 11. Nghiệm của phương trình
3
A. x = − .
8

Câu 12. Phương trình x +
A. 1 .
Câu 13.

8
C. x = .
3

1
2x −1
= có bao nhiêu nghiệm?
x −1 x −1
B. 2 .
C. 0 .

D. 3 .

Số nghiệm của phương trình: ( x 2 − 9 ) 5 + x =
0
A. 2.

B. 1.

C. 0.

Câu 14. Phương trình 3 x − 5 =
3 có tập nghiệm là
−14
17
A. S={
}.
B. S={ }.
3
3

(

)(

C. S={

D. 3.

14
}.
3

D. S={

22
}.
3

)

0 là
Câu 15. Số nghiệm của phương trình x 2 + 1 10 x 2 − 31x + 24 =
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
16
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

x +1
6
−
=
4 là:
2x − 3 x − 2
3

B. 1; 2;  .
C. {1} .

2


Câu 16. Tập nghiệm của phương trình:
 8
A. 1;  .
 7

Câu 17. Nghiệm của phương trình x+1+
A. -3.

8 
D.   .
7 

3
x+6
=
là
x+3 x + 3

B. -1.

C. 0 và -3.

D. 0.

2
Câu 18. Tập nghiệm của phương trình: x + 3x + 2 = 2 x − 5 là:

2x + 3

C. S = − 3  .

B. S = {1} .

A. S = ∅ .

Câu 19. Tập nghiệm của phương trình 2 x +
3
A. S =   .
2

4

 2

D. S = − 23  .
 16 

3
3x
= là:
x −1 x −1

B. Kết quả khác.

C. S = {1} .

4?

Câu 20. Tim số nghiệm của phương trình x 2 + 7 =
A. 2 .
B. 0 .
C. 4 .

 3
D. S = 1;  .
 2

D. 1 .

x −1
Câu 21. Nghiệm của phương trình x + 1 =
là:
x−2

A.  x = 1 . .

x−2

C.  x = 1 . .

B. x = 2 .

x = 2

x = 2

Câu 22. Số nghiệm của phương trình: ( x 2 − 3) x − 1=
A. 2.

Câu 23. Phương trình
A. 1.

B. 1.

x2 + 1
=
x+2

A. 2 .

15
.
4

D. 3.

10
có bao nhiêu nghiệm?
x+2
B. 3.
C. 2.

B. − 1 .
6

Câu 25. Nghiệm của phương trình
A.

x − 1 là:

C. 0.

Câu 24. Tổng các nghiệm của phương trình:

D. x = 1 .

D. Vơ nghiệm.

5
= 2 x − 1 là:
3x + 2

C. − 7 .

D. 1.

6

x − 1 3x − 5 2 x 2 + 3
−
=2 là:
x+2 x−2
4− x

B. 5.

C. −

15

.
4

D. −5 .

3. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình.
Câu 26: Cho phương trình 6 + 2 x =
A. −6.

B. 6.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

3
C. − .
2

9
D. − .
2

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
17
VẬN DỤNG.
Câu 27. Tập nghiệm của phương trình
A. S =

x − 2( x 2 − 3 x + 2) =
0 là

B. S= {1} .

{−2; 2} .

C. S= {1; 2} .

D. S= {2} .

Câu 28. Phương trình nào sau đây có nghiệm nguyên.

x 2 + 3x + 4
= x+4.
x+4
3x 2 + 1
4
C.
.
=
x +1
x +1

x2 +1
−4
=
.
2− x
2− x

3x 2 − x − 2
D.
= 3x − 2 .
3x − 2

B.

A.

Câu 29. Tập nghiệm của phương trình

x2 − 2x =

2 x − x 2 là:

B. S = {0} .

A. S = ∅ .

(

Câu 30. Số nghiệm phương trình
A. 2.

C. S = {0; 2} .

D. S = {2} .

)

2 x − 3 x 2 − 3x + 2 =
0 là

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Câu 31. Số nghiệm của phương trình ( x 2 − 5 x + 4). x − 2 =
0 là:
A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. vơ số nghiệm.

Câu 32. Phương trình
A. 1. .

2 x + x − 2 = 2 − x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
B. 2. .
C. 0. .

D. 3. .

Câu 33. Phương trình
A. 2. .

− x 2 + 6 x − 9 + x3 =
27 có bao nhiêu nghiệm?
B. 3. .
C. 0. .

D. 1. .

Câu 34. Số nghiệm của phương trình:

(

)

0 là:
x − 4 x 2 − 3x + 2 =

A. Có nghiệm duy nhất. B. Có ba nghiệm.
C. Có hai nghiệm.
D. Vơ nghiệm.
Câu 35. Nghiệm của phương trình 3 x  1  1 là:
 x=0
B. 
.
x = − 2
3


 x =1
A. 

.
x = 0

C. x = 0 .

x =0
D. 
.
x = 2
3


Câu 36. Phương trình x ( x 2 − 1) x − 1 =
0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .

B. 1 .

C. 3 .

(

Câu 37. Tập nghiệm S của phương trình x 2 − 3 x + 2
B. S = {2,3} .

A. S = {1, 2,3} .
Câu 38. Phương trình

( x − 3) ( 5 − 3x ) + 2 x=

A. 1 .
Câu 39. Giải phương trình

2

x−3 =
0 là
C. S = {3} .

D. S = {1, 2} .

3 x − 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm?

B. 2 .
x2 − 4
=
x +1

)

D. 0 .

C. 3 .

D. 0 .

x+3
+ x +1
x +1

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
18
A. x = –2 V x = 4.

B. x = –2.

C. x = 4.

D. x = 3.

Câu 40. Phương trình ( x 2 − x − 2 ) x + 1 =
0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 0 .

Câu 41. Tập nghiệm cuả phương trình ( x 2 − 4 x + 3) x − 4 =
0 là:
A. {4} .

B. {1;3; 4} .

C. {1;3} .

D. {3; 4} .

Câu 42. Phương trình x ( x 2 − 4 ) x − 1 =
0 có bao nhiêu nghiệm?
B. 1 .

A. 3 .

D. 2 .

C. 0 .

Câu 43: Cho phương trình ( x − 2 ) x + 1 = 4 x − 8. Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình.
A. 30.

B. 15.

C. 6.

D. 2.

VẬN DỤNG CAO.
Câu 44. Cho phương trình

1
x 1

 m 2 x  1  x  1 . Kết luận nào dưới đây là đúng?

A. Phương trình có nghiệm m .
B. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m  0 .
C. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi m  0 .
D. Phương trình vơ nghiệm m .
Câu 45. Phương trình
A. m ≤ 2 .

x + m −1
= 0 có nghiệm khi m thỏa
x +1 +1
B. m < 2 .
C. m ≥ 2 .

D. m > 2 .

Câu 46. Cho phương trình x 3 − 3mx 2 + mx + m 2 − 4 + −m = −m . Phương trình có nghiệm x = 1 khi:
A. m ∈∅ .
B. m =
C. m = −1 .
D. m = 3 .
3.
−1 ; m =
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

C

C

A

A

B

B

A

B

C

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

B

A

D

C

B

A

D

D

A

A

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

D

A

A

B

A

A

D

C

C

A

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

C

A

D

A

B

B

C

A

C

C

41

42

43

44

45

46

A

D

A

A

A

C

D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN

III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI
ĐỀ KIỂM TRA 01
Câu 1: Số nghiệm của phương trình: x x − 2 =
A. 0.
B. 2.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

2 − x là:
C. 1.

D. 3.
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
19
x −1
= 3 − x là
x+2
B. x ≠ −2 .
C. x ≠ 1; x ≠ −2 .

D. x ≠ 2 .

x
1
=
là:
x
x −1

B. x ≥ 0, x ≠ 1 .
C. x > 1 .

D. x ≥ 1 .

Câu 2: Điều kiện của phương trình
A. x ≠ 1; x ≠ −2; x ≠ 3 .

Câu 3: Điều kiện của phương trình:
A. x > 0, x ≠ 1 .

3

x −1 +

Câu 4: Cho phương trình 1 − x + x − m − 2 = 2 x − 3 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để tập xác định
phương trình trên có dạng là [ a; b ] .
A. m ≤ −1 .

B. m ≥ −1 .

(

)(

C. m < −1 .

)

D. m > −1 .

0 là
Câu 5: Số nghiệm của phương trình x + 1 10 x − 31x + 24 =
A. 4.

2

B. 1.

{−1} .

C. 3.

x − 4x
=
x −3
B. S = {5} .

Câu 6: Tập nghiệm của phương trình
A. S =

2

2

5
là:
x −3
C. S = ∅ .

D. 2.

D. S =

{−1;5} .

Câu 7: Cho phương trình x 3 − 3mx 2 + mx + m 2 − 4 + −m = −m . Phương trình có nghiệm x = 1 khi:
A. m = −1 .
B. m =
C. m ∈∅ .
D. m = 3 .
−1 ; m =
3.
Câu 8: ------Để giải phương trình x − 2 = 2 x − 3 (1). Một học sinh trình bày theo các bước sau:
B1 : Bình phương hai vế.
(1) ⇒ x 2 − 4 x + 4= 4 x 2 − 12 x + 9

0
B2 : (2) ⇔ 3 x 2 − 8 x + 5 =
B3 : (3) ⇔ x  1 hoặc x =

5
3

B4 : Vậy (1) có hai nghiệm x1 = 1 và x2 =

5
3

Cách giải trên sai từ bước nào?

A. B2.
B. B3.
Câu 9: Phương trình
A. x 2x + 1 =
x2 .
C. 2 x + 1 =x 2 .

D. B1.

2x + 1 =
x tương đương với phương trình nào sau đây?
B. x + 1 + 2x + 1 = x + x + 1 .
2
D. ( 2 x + 3) =
x2 .

Câu 10: Điều kiện của phương trình
A. x > −1 .

C. B4.

x 3 

B. x ≤ 3 .

x
 0 là:
x 1
C. x ≠ −1 .

D. x ≥ 3 .

Câu 11: Số nghiệm của phương trình x 2 + − x + 1 − 5 = 4 x + − x + 1 là:
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Câu 12: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 2x  1 ?
1
1
2
=
1−
A. 4 x = 1.
B. 2 x −
.
2x −1
2x −1
C. 2 x + x + 2 =
D. 2 x + x − 2 =+
1+ x + 2 .
1 x−2.
Câu 13: . Tìm điều kiện xác định của phương trình

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

x
3x − 2
=
1 − x −1

4− x
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
20
A. 1 ≤ x < 4, x ≠ 2 .

C. 1 ≤ x ≤ 4, x ≠ 2 .

B. 1 ≤ x < 4 .

D. x > 4 .

Câu 14: Phương trình x 2 + 3x + 2 =
0 tương đương với phương trình nào sau đây?
2
A. x + 4x + 3 =
B. ( x 2 + 3x + 2 )( x 2 + 3) =
0.
0.
C.

x 2 + 3x + 2
=0.
x+2

D. ( x 2 + 3x + 2 ) x + 1 =
0.

x − 2 ( x 2 − 3x ) =
0 bằng:

Câu 15: Tích các nghiệm của phương trình
A. 2.

B. 6.

C. 0.

Câu 16: Điều kiện xác định của phương trình
A. (1 + ∞ ).

B. ( −3; +∞ ) \ {±1} .

1
=
x −1
2

D. 3.

x + 3 là:

C. [ −3 ; + ∞ ) .

D. [ −3 ; +∞ ) \ {±1} .

Câu 17: Điều kiện xác định của phương trình 1 − x = 3 − x là
A. x ≤ 1 .

B. x ≥ 1 .
C. x ≠ 1 .

D. x > 1 .

1
3 − 2x
= là:
x
x+2
3
B. −2 < x ≤ và x ≠ 0 .
2
3
D. −2 < x ≤ . .
2

Câu 18: Điều kiện xác định của phương trình x +
A. x ≠ −2 và x ≠ 0. .
C. x > −2 và x ≠ 0. .
Câu 19: Tìm điều kiện xác định của phương trình:
B. [1; +∞ ) .
A. [3; +∞ ) .

x − 1 + x − 2=
C. ( 3; +∞ ) .

x −3

D. (1; +∞ ) .

Câu 20: Trong các phép biến đổi sau, biến đổi nào sai?
A. Nếu x > −1 thì ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) ⇔ x − 1 = 2 x − 3 .
B. x − 1 = 2 x − 3 ⇔ ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) .
C. Nếu x < −1 thì ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) ⇔ x − 1 = 2 x − 3 .
D. x − 1 = 2 x − 3 ⇒ ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) .

x2
=
x −1
B. S = {−2; 2} .

Câu 21: Tập nghiệm của phương trình
A. S = {2} .
Câu 22: Phương trình
A. m > 2 .

4
là
x −1
C. S =

{−2} .

x + m −1
= 0 có nghiệm khi m thỏa
x +1 +1
B. m < 2 .
C. m ≥ 2 .

Câu 23: Với giá trị nào của x sau thỏa mãn phương trình x  1  1  x
A. x  4 .
B. x  1 .
C. x  6 .

D. S = ∅ .

D. m ≤ 2 .
D. x  4 .

Câu 24: Tìm giá trị của tham số m để cặp phương trình sau tương đương?

x+2=
0 và m( x 2 + 3 x + 2) + m 2 x + 2 =
0
A. m = -1.
B. m = 1; m = -1.
Câu 25: Tập nghiệm của phương trình x 2 − 2 x =
A. S = {0} .
B. S = φ .

C. m =1.

D. m = 2.

2 x − x 2 là:
C. S = {2}.

D. S = {0 ; 2}.

----------------- Hết------------Bảng đáp án đề kiểm tra
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
21
ĐÁP ÁN ĐỀ 01
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

D

C

C

D

B

A

C

B

D

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A

C

A

B

B

D

A

B

A

B

21

22

23

24

25

A

D

B

C

D
Hướng dẫn giải các câu VD – VDC
ĐỀ KIỂM TRA 02
2x
3
là :
− 5 =2
x +1
x +1
x ≠ 1
B. x ≠ −1.
C. 
 x ≠ −1

Câu 1:Điều kiện xác định của phương trình
A. x ≠ 1.

1
= x + 3 là:
x −1
C. (1; +∞ )
B. [ −3 ; +∞ ) \ {±1} .

Câu 2:Điều kiện xác định của phương trình
A. Cả B, C, D đều sai.

2

2

x2 + 5
=
0 là
Câu 3:Điều kiện xác định của phương trình x − 2 +
7−x
A. x < 7 .
B. 2 ≤ x < 7 .
C. 2 ≤ x ≤ 7 .
Câu 4:Điều kiện xác định của phương trình
A.  x ≥ 0 .
x ≠ 2

D. x ∈ .

2x +

B. x ≠ 2 .

Câu 5:Điều kiện xác định của phương trình x +

3+ x
=
5 x − 1 là
x−2
C.  x < 0 .
 x ≠ −2

D. [ −3 ; + ∞ ) .

D. x ≥ 2 .

D.  x > 0 .
x ≠ 2

1
3 − 2x
= là
x
2x + 4

A. x > −2 và x ≠ 0.
3
C. x > −2 và x < .

2
Câu 6:Hai phương trình được gọi là tương đương khi:
A. Có cùng dạng phương trình.
C. Cả A, B, D đều đúng.

3
B. x > −2, x ≠ 0 và x ≤ .
2

D. x ≠ −2 và x ≠ 0.
B. Có cùng tập xác định.
D. Có cùng tập hợp nghiệm.

Câu 7:Phương trình x 2 = 3 x tương đương với phương trình:
A. x 2 + x − 2 =3 x + x − 2 .
C. x 2 x −=
3 3x x − 3 .
Câu 8:Khẳng định nào sau đây sai?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

B. x 2 +

1
1
.
=
3x +
x−3
x−3

D. x 2 + x 2 + 1 =3 x + x 2 + 1 .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
22
A.

x−2 =
1⇒ x−2=
1.

B.

C. 3 x − 2 = x − 3 ⇒ 8 x 2 − 4 x − 5 =
0.

D.

x ( x − 1)
=1 ⇔ x =
1.
( x − 1)
x −3 =

9 − 2 x ⇒ 3x − 12 =
0.

Câu 9:Phương trình x 2 + 3 x + 2 =
0 tương đương với phương trình nào sau đây?

x 2 + 3x + 2
=0.
B.
x+2

A. ( x + 3 x + 2 ) x + 1 =
0.
2

C. ( x 2 + 3 x + 2 )( x 2 + 3) =
0.

D. x 2 + 4 x + 3 =
0.

Câu 10:Trong các khẳng định sau, phép biến đổi nào là tương đương:
B. Cả A, C, D đều sai.

A. 3 x + x − 2 = x 2 + x − 2 ⇔ 3 x = x 2 .
C.

D. 3 x + x − 2 = x 2 ⇔ 3 x = x 2 − x − 2 .

x − 1 = 3 x ⇔ x − 1= 9 x 2 .

Câu 11:Phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả của phương trình x2 − 2x − 3 =
0?

B. ( x + 1) ( x 2 − 3) =

0. C. ( x 2 − 1) ( x − 3) =
0. D. ( x − 3) ( x 2 + 1) =
0.

A. ( x + 3) ( x 2 − 1) =
0.

Câu 12:Để giải phương trình x − 2 = 2 x − 3 (1). Một học sinh trình bày theo các bước sau:
B1 Bình phương hai vế.
(1) ⇒ x 2 − 4 x + 4= 4 x 2 − 12 x + 9

0
B2 :(2) ⇔ 3 x 2 − 8 x + 5 =
5
B3 :(3) ⇔ x = 1 hoặc x =
3
B4 :Vậy (1) có hai nghiệm x1 = 1 và x2 =

5
3

Cách giải trên sai từ bước nào?
A. B2.
B. B3.

C. B4.

D. B1.

Câu 13:Cho phương trình 2 x 2 − x =

0 . Tìm phương trình khơng phải là phương trình hệ quả của phương
trình đã cho.
2
x
0.
A. x 2 − 2 x + 1 =0 .
B. ( 2 x 2 − x ) =
C. 4 x3 − x =
D. 2 x −
0.
0.
=
1− x
Câu 14:Cho các phương trình:

x −1 =
3 (1) và

(

x −1

)

2

=
( −3) (2). Chọn khẳng định đúng:
2

A. Phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương.
B. Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1).
C. Phương trình (2) vơ nghiệm.
D. Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2).
Câu 15:Phương trình 3 − x + 5 = 5 x + 10 − 2 x − 5 tương đương với phương trình nào sau đây?
A. ( − x + 5 ) =
2

( 5 x + 10 )

2

.

C. 5 − x + 5 = x + 2 .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

B. 5 ( x − 5 ) =( x + 2 ) .
2

2

D. x − 5 = x + 2 .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
23
0
Câu 16:Phương trình nào tương đương với phương trình x − 2 =

A.

x2
=
x −1

4
.
x −1

0.
C. x 2 + x − 6 =

B. x 2 = 4 .
D. 1 − x + x = 2 + 1 − x .

Câu 17:Tìm điều kiện của phương trình
A. [ 6; +∞ )

15 + 2 x
= 2.
( x 2 − 1) x − 6

 −15

; +∞  \ {±1} . C. ( 6; +∞ )
B. 
 2


 −15

; +∞  \ {6} .
D. 
 2


Câu 18:Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. 2x + x − 3 =1 + x − 3 ⇔ 2 x =1. .

B.

C. 2 x − x + 5 = 3 ⇔ x + 5 = 2 x − 3. .

x2
1
D.
=
⇔ x 2= 1. .
x −1 x −1

Câu 19:Cách viết nào sau đây sai
A. x ( x − 1) = 0 ⇔ x = 0; x = 1 .
x = 0
.C. x ( x − 1) = 0 ⇔ 
.
x = 1

x − 1 = 3 x ⇔ x − 1= 9 x 2 . .

0 có hai nghiệm là x = 0 và x = 1
B. x ( x − 1) =
x = 0
D. x ( x − 1) = 0 ⇔ 
.
x = 1

Câu 20:Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?
A. x + 3 x − 5 = 3 x ⇔ 2 x =

3x − 5 .

15 ⇔ x =
−15 .
B. x =
C. x + x − 4 = 3 + x − 4 ⇔ x = 3 .
1
1
D.
x
x 1.
+ 2=
+2⇔=
x −1
x −1
Câu 21:Trong các phép biến đổi sau, biến đổi nào sai?
A. x − 1 = 2 x − 3 ⇒ ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) .
B. x − 1 = 2 x − 3 ⇔ ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) .
 x − 1= 2 x − 3
C. ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) ⇔ 

.
0
x +1 =
D. Nếu x  1 thì ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)(2 x − 3) ⇔ x − 1 = 2 x − 3 .

Câu 22:Hãy chỉ ra khẳng định sai :
A.

x − 1= 2 1 − x ⇔ x − =
1 0.

C. x − 2 = x + 1 ⇔ ( x − 2 ) = ( x + 1) 2 .
2

B. x 2 + 1 = 0 ⇔

x −1
= 0
x −1

D. x 2 =1 ⇔ x =1, x > 0 .

Câu 23`:Cho phương trình 1 − x + x − m − 2 = 2 x − 3 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để tập xác định
phương trình trên có dạng là [ a; b ] .
A. m < −1 .

B. m ≤ −1 .

C. m ≥ −1 .

D. m > −1 .

Câu 24:Tìm giá trị của tham số m để cặp phương trình sau tương đương?

x+2=
0 và m( x 2 + 3 x + 2) + m 2 x + 2 =
0
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
24
A. m = 2 .

B. m = −1 .

C. m = 1 ; m = −1

D. m = 1

Câu 25:Tìm tất cả giá trị của tham số m để hai phương trình x 2 + 1 =
0 và x 2 − 2 x + m =
0 tương đương.
A. m ≤ 1 .
C. m ≥ 1 .
B. m < 1 .
D. m > 1 .
----------------- Hết------------Bảng đáp án đề kiểm tra

ĐÁP ÁN ĐỀ 02
1-D

2-B

3-B

4-A

5-B

6-D

7-D

8-B

9-C

10-D

11-C

12-C

13-A

14-A

15-C

16-A

17-A

18-C

19-C

20-A

21-B

22-C

23-A

24-C

25-B

Hướng dẫn giải các câu VD – VDC

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC