Chuyên đề tích của hai vec to với một số

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

TÍCH CỦA HAI VEC TO VỚI MỘT SỐ

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

Chương

1

VECTO
CHUYÊN ĐỀ 4
TÍCH CỦA HAI VECTO VỚI MỘT SỐ

Câu 1:

Câu 2:

Chọn phát biểu sai?



A. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
=

AB k BC , k ≠ 0 .


B. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
=
AC k BC , k ≠ 0 .


C. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB k AC , k ≠ 0 .
=


D. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC .
Lời giải
Chọn D.



Ta có ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi ∃ k ∈ , k ≠ 0 sao cho AB = k AC .

Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G . Khi đó GA =

2 
2 
1 
B. GM .
C. − AM .
D. AM .
A. 2GM .

3
3
2
Lời giải
Chọn C.
A

G
B

M

C

2
AM
3



2 
Mặtkhác GA và AM ngược hướng GA = − AM .
3
Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM . Khẳng định nào sau đây là sai:
  
   
0.
3OG , với mọi điểm O .
A. GA + 2GM =
B. OA + OB + OC =

   


0.
C. GA + GB + GC =
D. AM = −2 MG .
Lời giải
Chọn D.

Ta có GA =

Câu 3:

A

G
B

M

C

Ta có AM = 3MG


Mặtkhác AM và MG ngược hướng


⇒ AM =
−3MG .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 1/15


Website: tailieumontoan.com
Câu 4:

  
Cho hình bình hành ABCD . Tổng các vectơ AB + AC + AD là




A. AC .
B. 2 AC .
C. 3 AC .
D. 5 AC .
Lời giải
Chọn B.
     

Do hình bình hành ABCD . Ta có AB + AC + AD = AB + AD + AC = 2 AC .


Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN = −3MP . Điểm P được xác định đúng trong
hình vẽnào sau đây:

(

Câu 5:

A. Hình 1.

Câu 6:

Câu 7:

B. Hình 2.

)

C. Hình 3.
Lời giải

D. Hình 4.

Chọn C.




Ta có MN = −3MP nên MN = 3MP và MN và MP ngược hướng. ChọnC.
Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
   
  
MB .
0.
A. ∀M : MA + MB + MC =
B. ∀M : MA + MC =



  
= AB + BC .
D. ∃k ∈ R : AB =k AC .
C. AC
Lời giải
Chọn D.
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng là


∃k ∈ R : AB =k AC .

 
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ AM theo hai véctơ AB và AC của tam giác ABC
với trung tuyến AM .
  

 
= AB + AC .
= 2 AB + 3 AC .
B. AM
A. AM
 1  
 1  
C.=
D. =
AM
( AB + AC ) .
( AB + AC ) .

AM
3
2
Lời giải
Chọn B.
A

G
B

Câu 8:

M

C

 1  
Do M là trung điểm của BC nên ta có =
AM
( AB + AC ) .
2
Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?
  
 

  
CD .
2CD . C. AC + BC =
AB .
A. AC − AD =

B. AC − BD =
Lời giải
Chọn D.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

 

2 BC .
D. AC + BD =

Trang 2/15


Website: tailieumontoan.com
A

D

C

B

Ta có

  
DC .
A. Sai do AC − AD =
 


 
 



B. Sai do AC − BD = 2CD ⇔ AB + AD − AD − AB = 2CD ⇔ 2 AB = 2CD .
  
 

 
AB ⇔ AC − AB =
− BC ⇔ BC =
CB .
C. Sai do AC + BC =

     
  
 
D. Đúng do AC + BD = AB + BC + BC + CD = 2 BC + AB + CD = 2 BC + 0 = 2 BC .

(

) (

)

(

Câu 9:

)

Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC .
Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
 


 

  3 
2GM .
B. AM = 2 AG .
C. AB + AC =
A. 2 AM = 3 AG .
AG . D. AB + AC =
2
Lời giải
Chọn A.
A

G
B

M

C

3
AG
2

 3 




AG hay 2 AM = 3 AG .
Mặtkhác AM và AG cùng hướng ⇒ AM =
2
Câu 10: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Câu
nào sau đây đúng?
 

 

  
 

2GM . B. GB + GC =
2GA . C. AB + AC =
2 AG . D. AB + AC =
3 AM .
A. GB + GC =
Lời giải
Chọn A.

Ta có AM =

A

G

B

M

C

 

2GM .
Do M là trung điểm của BC nên ta có: GB + GC =
Câu 11: Nếu G là trọng tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng.
 
 
 AB + AC
 AB + AC
A. AG =
.
B. AG =
.
2
3
 
 
 3( AB + AC )
 2( AB + AC )
C. AG =
.
D. AG =
.
2

3
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 3/15


Website: tailieumontoan.com
Lời giải
Chọn B.

A

G
B

C

M

Gọi M là trung điểm của BC nên ta có
 

AB + AC =
2 AM
 
 3 
 

 AB + AC
3 

Mà AM = AG ⇒ AB + AC
.
= 2. AG
= 3 AG ⇒ AG =
2
2
3
Câu 12: Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB .
 
A. OA = OB .
B. OA = OB .
 
  
D. OA + OB =
C. AO = BO .
0.
Lời giải
Chọn D.

Điểm O là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi OA = OB; OA và ngược hướng.
  
0.
Vậy OA + OB =
Câu 13: Đẳng thức nào sau đây mơ tả đúng hình vẽ bên:
  
  
  
  
0.
0.

0.
0.
A. 3 AI + AB =
B. 3IA + IB =
C. BI + 3BA =
D. AI + 3 AB =

I

B

A
Lời giải

Chọn A.


  



0
−3 AI ⇔ 3 AI + AB =
Ta có AB = 3 AI ; AI và AB ngược hướng nên AB =
  
0.
Vậy 3 AI + AB =

Câu 14: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm G . Khi đó BG =
 

1  
1  
1  
A. BA + BC .
B.
C. BA + BC .
D.
BA + BC .
BA + BC .
3
3
2
Lời giải
Chọn D.

(

(

)

)

A
M
G
C

B

Ta có
 2  2 1   1  
BG =BM =⋅ BA + BC = BA + BC .
3
3 2
3
Câu 15: Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của CM . Đẳng thức nào sau đây
đúng?

(

) (

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

)

Trang 4/15


Website: tailieumontoan.com

   
0.
B. DA + DC + 2 DB =
   
0.
D. DC + DB + 2 DA =
Lời giải

   
0.
A. DA + DB + 2 DC =
   
0.
C. DA + DB + 2CD =
A

M
D
C

B

Chọn A.
Ta có
  
 
 
 
DA + DB + 2 DC =
2 DM + 2 DC =
2 DM + DC =
2.0 =
0.
  
0 . Hình nào sau đây mô tả đúng giả thiết
Câu 16: Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa mãn IB + 3IA =
này?

(

A. Hình 1.

)

B. Hình 2.

C. Hình 3.
Lời giải

D. Hình 4.

Chọn D.
  


0 ⇔ IB =
−3IA .
Ta có IB + 3IA =


Do đó IB = 3. IA ; IA và IB ngược hướng. Chọn Hình 4.
Câu 17: Cho tam giác ABC có D, M lần lượt là trung điểm của AB, CD . Đẳng thức nào sau đây đúng?
   
    
0.
0.
A. MA + MC + 2 MB =
B. MA + MB + MC + MD =

   
   
0.
0.
C. MC + MA + MB =
D. MC + MA + 2 BM =
Lời giải
Chọn A.
A

D
M
C

B

Ta có
  
 
 
 
MA + MC + 2 MB =
2 MD + 2 MB =
2 MD + MB =
2.0 =
0.
  
   
Câu 18: Cho vectơ b ≠ 0, a =
a + b . Khẳng định nào sau đây sai?

−2b , c =




A. Hai vectơ b và c bằng nhau.
B. Hai vectơ b và c ngược hướng.

(

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

)

Trang 5/15


Website: tailieumontoan.com


C. Hai vectơ b và c cùng phương.



D. Hai vectơ b và c đối nhau.
Lời giải

Chọn A.



  
 

Ta có a =−2b ⇒ c =a + b =−2b + b =−b .


Vậy hai vectơ b và c đối nhau.
Câu 19: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau
đây là đẳng thức sai?
 

  
 
 
2OB .
CA .
A. OB − OD =
B. AC = 2 AO .
C. CB + CD =
D. DB = 2 BO .
Lời giải
A

D

O
C

B

Chọn D.


Ta có DB = 2OB . ChọnD.

 
Câu 20: Cho hình vng ABCD cạnh  a 2 . Tính S = 2 AD + DB ?
A. A =  2a .

C. A =  a 3 .
Lời giải

B. A =  a .
A

D. A =  a 2 .

D

C

B

Chọn A.
Ta có
       
=
=
2a .
=

+ DB AD
+ AB AC =
a 2. 2 =
S 2=
AD + DB AD + AD
Câu 21: Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
  
  
  
0.
0.
0.
A. 2 AI + 3 AB =
B. 3BI + 2 BA =
C. 2 IA + 3IB =
I

B

  
0.
D. 2 BI + 3BA =

A

Lời giải
Chọn D.





2
2 
BI ; BI và BA ngược hướng nên BA = − BI
3
3

  
2 
BA =
− BI ⇔ 2 BI + 3BA =
0
3
  
0.
Vậy 2 BI + 3BA =
 
Câu 22: Cho tam giác ABC và Ithỏa IA = 3IB . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?
Ta có BA =

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 6/15


Website: tailieumontoan.com

  
= CA − 3CB .
A. CI

  
 1  
 1  
CI 3CB − CA
B. CI
=
3CB − CA . C.
=
CI
CA − 3CB . D. =
2
2
Lời giải

(

)

(

)

Chọn B.


 
 

 

 1  
3CB − CA .
Ta có IA = 3IB ⇔ CA − CI = 3 CB − CI ⇔ 2CI = 3CB − CA ⇔ CI =
2
Câu 23: Phát biểu nào là sai?
 
 
 
B. AB = CD thì A, B, C , D thẳng hàng.
A. Nếu AB = AC thì AB = AC .
  
   
0 thì A, B, C thẳng hàng. D. AB − CD = DC − BA .
C. Nếu 3 AB + 7 AC =

(

)

(

)

Lời giải
Chọn B.
 
 AB / /CD
AB = CD thì 
. Nên Đáp án B SAI.
 AB ≡ CD

Câu 24: Cho hai tam giác ABC và A′B′C ′ lần lượt có trọng tâm là G và G ′ . Đẳng thức nào sau đây là
sai?
   
   
A. 3GG ' = AA ' + BB ' + CC ' .
B. 3GG ' = AB ' + BC ' + CA ' .
   
   
C. 3GG ' = AC ' + BA ' + CB ' .
D. 3GG ' = A ' A + B ' B + C ' C .
Lời giải
Chọn D.
Do G và G ′ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A′B′C ′ nên
   
   
0 và A ' G ' + B ' G ' + C ' G ' =
0
AG + BG + CG =
     
    
0 3GG ' .
A. AA ' + BB ' + CC ' =AG + BG + CG + GA′ + GB′ + GC ′ =+
     
    
0 3GG ' .
B. AB ' + BC ' + CA ' =AG + BG + CG + GA′ + GB′ + GC ′ =+
     
    
0 3GG ' .
C. AC ' + BA ' + CB ' =AG + BG + CG + GA′ + GB′ + GC ′ =+

     
    
A' G ' + B ' G ' + C ' G ' + G ' A + G ' B + G ' C =
0 + 3G ' G (SAI).
D. A ' A + B ' B + C ' C =


Câu 25: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
 
 
1 
1 
A. −3a + b và − a + 6b .
B. − a − b và 2a + b .
2
2
 
1 
1 
1 
C. a − b và − a + b .
D. a + b và a − 2b .
2
2
2
Lời giải
Chọn C.
1 
1 
Ta có a − b =−  − a + b  nênchọn Đáp ánC.

2
 2



Câu 26: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?

 
 3 

 3
 1 
u 2a + 3b và=
A. =
B. =
v
a − 3b .
u
a + 3b và =
v 2a − b .
2
5
5

 

 3
 2 



1
1
v 2a − 9b .
C.=
D. =
u 2a − b và v =
− a + b.
u
a + 3b và =
3
2
3
4
Lời giải
Chọn D.

)
)
)

) (
) (
) (

(
(
(

(

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

) (

)

Trang 7/15


Website: tailieumontoan.com

1 1
1  3 
1
Ta có v =
− a+ b=
−  2a − b  =
− u.
3
4
6
2 
6


Hai vectơ u và v là cùng phương.
 





Câu 27: Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2a − 3b và a + ( x − 1) b cùng

phương. Khi đó giá trị của x là:
1
3
A. .
B. − .
2
2

1
C. − .
2
Lời giải

D.

3
.
2

Chọn C.
 


1 x −1
1
⇒ x =− .
Ta có 2a − 3b và a + ( x − 1) b cùng phương nên có tỉ lệ: =

2
−3
2
Câu 28: Cho tam giác ABC , có trọng tâm G . Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB .
Chọn khẳng định sai?
   
A. GA1 + GB1 + GC1 =
0.
   
C. AA1 + BB1 + CC1 =
0.

   
0.
B. AG + BG + CG =


D. GC = 2GC1 .
A
B1

C1
G
B

A1

C

Lời giải

Chọn D.




Ta có GC = −2GC1 nên GC = 2GC1 sai.
Chọn D.
Câu 29: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng?
 
 
 
 
 AB + AC
 2( AB + AC )
 AB + AC
 3( AB + AC )
A. AG =
. B. AG =
. C. AG =
. D. AG =
.
3
3
2
2
Lời giải
Chọn B.
Gọi M là trung điểm BC .
 
 2  2 1  

 AB + AC
Ta có AG=
.
. AB + AC ⇒ AG=
AM=
3
3 2
3
 

 

Câu 30: Cho a, b không cùng phương, x =
−2 a + b . Vectơ cùng hướng với x là:
 1 
 


 
A. 2 a − b .
B. − a + b .
C. 4 a + 2 b .
D. − a + b .
2
Lời giải
Chọn B.
 1  1
 
1 
Ta có − a + b = −2 a + b = x . ChọnB.

2
2
2
  
AB . Khi đó M là trung điểm của:
Câu 31: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thoả mãn: MA + MC =
A. AB .
B. BC .
C. AD .
D. CD .

(

(

)

)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 8/15


Website: tailieumontoan.com
Lời giải
Chọn C.
A

D

I
C

B

 
 
Ta có MA + MC = 2 MI = AB .
Vậy M là trung điểm của AD .

  
6 là:
Câu 32: Cho tam giác ABC , tập hợp các điểm M sao cho MA + MB + MC =
A.một đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC .
B.đường trịn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 6 .
C.đường trịn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 2 .
D.đường trịn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 18 .
Lời giải
Chọn C.
  

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , ta có MA + MB + MC =
3MG .
  

6
3MG =⇔
6
MG =

2 , hay tập hợp các điểm M là
Thay vào ta được : MA + MB + MC =⇔
đường trịn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 2 .

 


IA mIM + nIB thì cặp số
Câu 33: Cho tam giác ABC , điểm I thoả mãn: 5MA = 2 MB . Nếu =

( m; n ) bằng:

3 2
A.  ;  .
5 5

 2 3
B.  ;  .
 5 5

 3 2
C.  − ;  .
 5 5
Lời giải

3 2
D.  ; −  .
5 5

Chọn A.

Ta có


 
 
  
 3  2 
5MA= 2 MB ⇔ 5 MI + IA = 2 MI + IB ⇔ 5 IA= 3IM + 2 IB ⇔ IA=
IM + IB .
5
5
Câu 34: Xét các phát biểu sau:


(1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA = −2 AC
 
(2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CB = CA


(3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là PQ = 2 PM
Trong các câu trên, thì:
A. Câu (1) và câu (3) là đúng.
B. Câu (1) là sai.
C. Chỉ có câu (3) sai.
D. Khơng có câu nào sai.
Lời giải
Chọn A.
Ta có



(1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA = −2 AC


(3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là PQ = 2 PM
 
Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CB = CA

(

) (

)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 9/15


Website: tailieumontoan.com
Do đó câu (1) và câu (3) là đúng.


Câu 35: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MB = 3MA . Khi đó, biễu diễn AM


theo AB và AC là:
 1  3 
 1  
A. =
B. =

AM
AB + AC .
AM
AB + 3 AC .
4
4
4
 1  1 
 1  1 
C. =
D. =
AM
AB + AC .
AM
AB + AC .
4
6
2
6
Lời giải
Chọn B.
A

B

M

C

    3   3  

1  3 
Ta có AM =AB + BM =AB + BC =AB + BA + AC = AB + AC .
4
4
4
4
Câu 36: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC sao cho CM = 2 MB và I là trung điểm của AB .
Đẳng thức nào sau đây đúng?
 1  1 
 1  1 
A. =
B. =
IM
AB − AC .
IM
AB + AC .
6
3
6
3
 1  1 
 1  1 
C. =
D. =
IM
AB + AC .
IM
AB + AC .
3
3

3
6
Lời giải
Chọn A.

(

)

A

I

B

C

M

Ta có
   1  1  1  1  
1  1 
IM = IB + BM =
AB + BC =
AB + AC − AB =
AB − AC .
2
3
2
3

6
3


Câu 37: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
1   
1  1 
A. − a + b và a − 2b .
B. a − b và a + b .
2
2
2







1
1
1
1
D. a + 2 b và a + b .
D. −3a + b và − a + 100b .
2
2
2
2
Lời giải

Chọn A.

(

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

)

Trang 10/15


Website: tailieumontoan.com

1 
1 
Ta có − a + b =− a − 2b nên chọn. A.
2
2
Câu 38: Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC sao cho BN = 2 NC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
 2  1 

1  2 
A. =
B. AN =
AN
AB + AC .
− AB + AC .
3
3
3

3
 1  2 
 1  2 
C. =
D. =
AN
AB + AC
AN
AB − AC .
3
3
3
3
Lời giải
Chọn D.

(

)

A

B

N

C

Ta có
    2   2    2  2  1  2 

AN = AB + BN = AB + BC = AB + BA + AC = AB − AB + AC = AB + AC .
3
3
3
3
3
3
Câu 39: Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I là trung điểm AB . Tập hợp các điểm M thoả:
   
MA + MB = MA − MB là:

(

A. Đường trịn đường kính AB .
C. Đường trịn tâm I , bán kính AB .

)

B. Trung trực của AB .
D. Nửa đường trịn đường kính AB .
Lời giải

Chọn A.
   
 
BA
Ta có MA + MB = MA − MB ⇔ 2 MI = BA ⇔ 2 MI = BA ⇔ MI =
2
Vậy tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AB .
 

Câu 40: Tam giác ABC vuông tại A, AB
= AC
= 2 . Độ dài vectơ 4 AB − AC bằng:
A. 17 .

B. 2 15 .

D. 2 17 .

C. 5.
Lời giải

C
B

B'

A

C'

D

Chọn D.

 

Vẽ AB ' = 4 AB; AC ' = − AC . Vẽ hình bình hành AC ′DB′
    
Ta có: 4 AB − AC = AB′ + AC ′ = AD = AD

AB′2 + AC ′2 = 82 + 22 = 2 17 .
Do đó AD =
Câu 41: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh AB sao cho AM = 3MB .Đẳng thức nào sau đây đúng?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 11/15


Website: tailieumontoan.com
 1  3 
A. CM
=
CA + CB .
4
4
 1  3 
C. CM
=
CA + CB .
2
4

 7  3 
B. CM
CA + CB .
=
4
4
 1  3 

D. CM
=
CA − CB
4
4
Lời giải
C

A

B

M

Chọn A.
    3   3  
1  3 
Ta có CM =CA + AM =CA + AB =CA + AC + CB = CA + CB .
4
4
4
4
Câu 42: Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC sao cho BN = 2 NC và I là trung điểm của AB .
Đẳng thức nào sau đây đúng?

 1  2 
1  2 
A. NI =
B.=
− AB − AC .

NI
AB − AC .
6
3
6
3
 2  1 



2
1 
D. NI =
C.=
NI
AB − AC .
− AB + AC .
3
3
3
6
Lời giải

(

)

A
I

B

C

N

Chọn B.
  
1  2   1  2 
1  2 
Ta có NI =−
BI BN =
− AB − BC =
AB − AC .
− AB − AC − AB =
2
3
2
3
6
3
Câu 43: Cho tam giác ABC có I , D lần lượt là trung điểm AB, CI , điểm N thuộc cạnh BC sao
cho BN = 2 NC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
 


 


A. AN = DN .

B. AN = 2 ND .
C. AN = 3DN .
D. AD = 4 DN .
Lời giải
Chọn D.
Gọi K là trung điểm BN.
Xét ∆CKI ta có
A
 DN / / IK


1

⇒ DN =
IK (1)

1
2
 DN = 2 IK

(

)

I

Xét ∆ABN ta có
 AN / / IK




⇒ AN =
2 IK (2)

1
 AN = 2 IK
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

D
B

K

N

C
Trang 12/15


Website: tailieumontoan.com





Từ (1) và (2) suy ra AN
= 2=
= 4 DN .
IK 2.2 DN
Câu 44: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM ,gọi I là trung điểm AM .Đẳng thức nào sau đây đúng?

   
   
A. 2 IA + IB + IC =
B. IA + IB + IC =
0.
0.
  
  

D. IB + IC =
C. 2 IA + IB + IC =
4 IA .
IA .
A

I
B

C

M

Lời giải
Chọn A.
  
 
 
 
Ta có 2 IA + IB + IC = 2 IA + 2 IM = 2 IA + IM = 2.0 = 0 .
  

5?
Câu 45: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thỏa MA + MB + MC =

(

A. 1 .
C. vơ số.

)

(

)

B. 2 .
D. Khơng có điểm nào.
Lời giải

Chọn C.

  

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , ta có MA + MB + MC =
3MG .
  

5
Thay vào ta được : MA + MB + MC =⇔
MG = , hay tập hợp các điểm M là
5

3MG =⇔
5
3

5
.
3
Câu 46: Cho tam giác ABC có I , D lần lượt là trung điểm AB, CI . Đẳng thức nào sau đây đúng?

 1  3 
3  1 
A. =
B. BD =
− AB + AC .
BD
AB − AC .
4
2
2
4

1  3 
C. BD =
D.
− AB + AC .
4
2

3  1 
BD =

− AB − AC .
4
2
Lời giải
Chọn B.

đường trịn có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng

A

I
D
C

B

  
1  1 
1  1  
BD =
BI + ID =
− AB + IC =
− AB + IA + AC
2
2
2
2










1
1
1
1
1
1 
3  1 
=
− AB + IA + AC =
− AB − AB + AC =
− AB + AC .
2
2
2
2
4
2
4
2
Câu 47: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 4 MC . Khi đó

(

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

)

Trang 13/15


Website: tailieumontoan.com
 4  1 
A. =
AM
AB + AC .
5
5
 4  1 
C. =
AM
AB − AC .
5
5

 4  
B. =
AM
AB − AC .
5
 1  4 
D. =
AM
AB + AC .
5

5
Lời giải
A

B

M

C

Chọn D.
    4   4   1  4 
AM =AB + BM =AB + BC =AB + BA + AC = AB + AC .
5
5
5
5
Câu 48: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD . Mệnh đề nào sau

(

)

đây đúng?
   

4 MN .
A. AC + BD + BC + AD =
  
= AC + BD .

C. 4 MN


=
B. 4 MN

D. MN =

 
BC + AD .
   
AC + BD + BC + AD .
D

A
N
M
C

B

Lời giải
Chọn A.

  
Do M là trung điểm các cạnh AB nên MB + MA =
0
  
Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên 2MN
= MC + MD

Ta có
            
2MN = MC + MD = MB + BC + MA + AD = AD + BC + MA + MB = AD + BC .
         
Mặt khác AC + BD = AC + BC + CD = BC + AC + CD = BC + AD
   

4 MN .
Do đó AC + BD + BC + AD =
Câu 49: Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD . Đẳng thức nào sau
đây sai?
 

 

 

 

2 MN . B. AC + BD =
2 MN . C. AB + DC =
2 MN . D. MB + MC =
2MN .
A. AC + DB =
Lời giải
Chọn B.

(

(

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

)

)

Trang 14/15


Website: tailieumontoan.com
B
A
N
M
C

D

  
Do M là trung điểm các cạnh AD nên MD + MA =
0
  
Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN
= MC + MB . Nên D đúng.
Ta có
            
2MN = MC + MB = MD + DC + MA + AB = AB + DC + MD + MA = AB + DC .
 


2 MN . Nên C đúng
Vậy AB + DC =
      

Mà AB + DC = AC + CB + DC = AC + DB = 2 MN . Nên A đúng.

(

(

)

)

Vậy B sai.
Câu 50: Gọi AN , CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
 2  2 
 4  2 
A.=
B.=
AB
AN + CM .
AB
AN − CM .
3
3
3
3
 4  2 
 4  4 

C.=
D.=
AB
AN + CM .
AB
AN + CM .
3
3
3
3
Lời giải
Chọn D.
A

M

B

N

C

 1  
1  1 
Ta có AN =
AB + AC = AB + AC
2
2
2
  




1
1
1 
CM =CA + AM ⇒ CM = CA + AM
2
2
2
 1  1  1  1  1  1  1  1  1 1  3 
Suy ra AN + CM = AB + AC + CA + AM = AB + AC − AC + ⋅ AB = AB
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
4
 4  2 
Do đó=
AB
AN + CM .
3
3

(

)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 15/15