CHUYEN DE HE THUC LUONG TRONG TAM GIAC VUONG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (381 KB, 16 trang )
CHUYÊN ĐỀ: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A
b
c
B
h
c'
b'
a
C
H
I. Một số hệ thức:
1) c2 = ac', b2 = ab' a2 = b2 + c2
2) h2 = b'c'
3) ah = bc
1
1 1
2 2
2
4) h b c
a2 3
S
4
a 3
h
;
2
-Với tam giác đều cạnh là a, ta có:
II. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
AC
AB
;CosB
BC
BC
AC
AB
tan B
;CotB
AB
AC
1. Định nghĩa:
cạ n h kề
SinB
cạ n h huyề n
2. Tính chất:
Khi α+ β
cạ n h đố i
A
= 900 Ta có:
Sin Cos ; Cos Sin
tan Cot ; Cot tan
B
C
* Định lý: Nếu hai góc phụ nhau thì: Sin góc này bằng cơsin của góc kia; tang của góc này bằng
cơtang của góc kia
- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:
sin 2 cos 2 1;
- Chú ý:
tan .cot 1;
+) 0 sin 1;
tan
sin
;
cos
cot
cos
sin
0 cos<1;
+) Khi góc tăng từ 0o đến 90o thì sin và tan tăng còn cos và cot giảm.
BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo
vng góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Bài giải sơ lược:
A
B
X
Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x
X
AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn)
D
10 x
Suy ra : DH = CK = 2 .
H
C
K
10cm
10 x
x 10
Vậy HC = HK + CK = x + 2 = 2
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vng ở A có đường cao AH
10 x 10 x
x2
.
5x2 = 100
2
2
Ta có : AH = DH . CH hay
2
Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5 (loại)
Vậy : AH = 2 5
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao
ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
A
Giải:
Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
2
2
Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15, 6 x
Từ KBC
15,6
HAC
BC KB
AC AH hay
2x
12
15, 62 x 2 15, 6
B
//
Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2
Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
0
Bài Tập 3 : Cho ABC : A 90 . Qua trung điểm I của AC, dựng ID BC.
2
2
2
Chứng minh : BD CD AB
Giải: Hạ AH BC . Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình)
Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2
K
12
H
2x
//
C
= BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2
= BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC
= BC2 – AC2 = AB2
( Chú ý : AB2 = BC2 – AC2)
Bài Tập 4 : Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vng góc với AB,
EB AB
FC
AC
AC. Chứng minh rằng: a)
3
b) BC . BE . CF = AH3
Giải: a) Trong AHB có HB2 = BE . BA (1)
AHC
có HC2 = CF . CA (2 )
HB 2 BE AB
.
2
FC AC
Từ (1) và (2) có : HC
.
A
;
F
E
(1)
B
C
H
2
4
HB AB 2 HB AB
2
2
2
HC
AC
HC
AC (2)
ABC
Trong
có: AB = BH . BC và AC = HC . BC suy ra
3
Từ (1) và (2). Ta có :
b) ABC
EB AB
FC AC .
BE BH
AB 2
AB 3
BH
BE 2
EBH
BA BC . Thay
BC
BC (3)
Tương tự ta cũng có
CF
AC 3
BC 2
AB3 . AC 3
4
( 4) . Từ (3) và (4) Ta có : BE .CF = BC
3
AB 3 AC 3
AB AC
2 BC
2
BC = AH3
Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = BC BC
Bài 5: Cho hình vng ABCD. Qua A, vẽ cát tuyến
Bất kì cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F.
1
1
1
2
2
AD 2 .
Chứng minh : AE AF
Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD.
Ta có : ABE ADH ( c – g –c ) ) AE AH .
0
Áp dụng hệ thức lựơng cho AHF : HAF 90 ; AD HF .
.
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
AD nên AE
AF
AD 2
Ta có : AH AF
0
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có A 120 , tia Ax tạo với
1
1
4
2
2
2
BAx 15o
Tia AB góc
, cắt BC, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh: AM AN 3 AB
Giải: Từ A, dựng đường thẳng vng góc với AN
Cắt CD tại P, hạ AH CD .Ta có : ABM ADP ( g – c – g) ) AM AP
0
Áp dụng hệ thức lượng cho NAP : NAP 90 , AH NP
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
AH nên AM
AN
AH 2 (1)
Ta có : AP AN
3
AB
Mà AH = sinD.AD = sin60 .AD = 2
2
0
(2)
1
1
1
2
2
2
AM
AN
3
AB 1 1 4
2
AM 2 AN 2 3 AB 2
Thay (2) và (1). Ta có :
BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
0
0
Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB 9 , AC 6, 4 , AN 3,6 ; AND 90 , DAN 34 .
Hãy tính (làm trịn đến số thập phân thứ tư ). a) CN
b) ABN
c) CAN
d) AD.
0
0
Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB 9 , AC 6, 4 , AN 3,6 ; AND 90 , DAN 34 .
Hãy tính (làm trịn đến số thập phân thứ tư ). a) CN
b) ABN
c) CAN
d) AD.
Bài giải
2
2
2
2
a) CN AC AN 6, 4 3,6 5, 2915 .
b)
c)
sin ABN
cos CAN
A
3,6
0, 4
0
9
ABN 23 34'41'' .
34
9
AN 3,6
0,5625
0
AC 6, 4
CAN 55 46'16'' .
B
6,4
C
3,6
N
D
0
d) AN AD.cos A AD.cos34
AD
AN
3,6
4,3426
0
cos34
0,8290
.
Q
0
0
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết QPT 18 , PTQ 150 , QT 8 , TR 5 .
Hãy tính : a) PT
8
b) Diện tích tam giac PQR.
P
18
Hướng dẫn : Từ T và R hạ các đường vng
góc
với PQ.
150
T
Bài giải
5
R
0
0
0
0
a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có PQT 180 150 18 12 .
TK TQ.sin Q 8.sin12 0 ; TK PT .sin P PT .sin180 PT .sin180 8.sin120 ;
8.sin120
PT
5,3825 cm
sin180
.
b) Ta có
PR PT TR 5,3825 5 10,3825 cm
;
0
Kẻ đường cao RH, ta có RH PR.sin P 10,3825.sin18 3, 2084 .
0
0
0
Xét PTQ, ta có P 18 , Q 12 : PK PT .cos P 5,3825.cos18 5,1191 ;
QK QT .cos Q 8.cos120 7,6085 PQ PK KQ 5,1191 7,6085 12,7276 .
1
1
S PQR PQ.RH .12,7276.3, 2084 20, 4176 cm2 Q
2
2
Diện tích tam giác PQR :
.
H
K
P
18
8
150
5
T
R
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao
cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC.
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
Hướng dẫn câu c:
Hạ CI AD . Chứng minh : AB = CI.
Giải :a) Áp dụng định lí Pitago. Ta có :
AD AB 2 BD 2 62 82 10cm
E
b) Áp dụng tỉ số lượng giác. Ta có :
BD 8
BAD
5307 '
AD 10
BC 3
tgBAC
0,5 BAC
26 034'
AB 6
(*)
BAD ( g-g)
c) Hạ CI AD . Ta có : ICD
CI CD
CD AB 5 6
CI
3cm
AB AD
AD
10
nên ABC AIC (CH-CGV) AI AB 6cm
sin BAD
Suy ra :
tgCAI
CI 1
AI 2
(**)
BAC
IAC
Từ (*) và (**). Ta có :
B
3cm
A
C
D
I
hay AC là tia phân giác của BAD
.
d) Mặt khác : BAC E ( cặp góc soletrong) nên E IAC hay ADE cân tại D.
Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB
tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm
a) Tính AP ? ; BP ?
b) CP ?
Hướng dẫn :
AH
KH BC
AB ABC
Câu a : Từ KH = BC.CosA
AHK
600
Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và chú ý A
B
Hướng Dẫn
60
P
a) Kẻ AH BC ; AHB tại H
AH = AB . SinB
B
A
C 60
P
1
= 60.Sin300 = 60. 2 = 30
AHC ( Hˆ = 1v) nên AH = AC. Cos400
A
30
AH
0
AC = Cos40 = 0,7660 = 39,164
APC có ( Pˆ = 1v) nên AP = AC.Cos 200 = 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198
C
H
b) APC ( Pˆ = 1v) nên CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394
600
Bài 5: Cho ABC có A
. Kẻ BH AC và CK AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều
600
Bài 5: Cho ABC có A
. Kẻ BH AC và CK AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều
AKC ( g-g)
Giải : a) AHB
K
AH AB
AK AC và A chung
Suy ra : AHK
B
ABC
AH HK
AH
HK
BC
AB BC
AB
Mặt khác :
Hay HK = cosA.BC
M
A
60
H
C
I
1
HK cos600 BC BC
2
b)
.
1
BC
Mặt khác : HM = KM = 2
( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
nên HK = HM = KM hay MKH là tam giác đều.
µ
Bài 6: Cho ABC ( A
= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF BC.
Nối AF và BE.
a) Chứng minh AF = BE.cosC.
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
·
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin AOB
.
Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài 5.
Câu b: Sử dụng tính chất 2 diện tích miền đa giác hình học 8.
·
Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vng góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE . Suy ra sin AOB
µ
Bài 6: Cho ABC ( A
= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF BC.
Nối AF và BE.
a) Chứng minh AF = BE.cosC.
B
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
·
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin AOB .
H
F
O
Giải: a) CEF
CBA ( g-g)
CF AC
CE BC
nên CFA
K
B
A
E
C
CEB ( c -g- c)
AF AC
AF
nên
cos C
BE BC
BE
Vậy AF = BE.cosC
F
O
µ
b) Vì ABC ( A
= 900 ).
nên AB = SinC. BC = 0,6.10 = 6cm.
AC 8cm nên AE = EC = 4cm.
A
Mặt khác : EF = SinC. EC = 0,6. 4 = 2,4cm.
FC 3, 2cm ( Định lí Pitago)
SABFE = SABC - SCFE
1
1
AB AC EF FC 6 8 2, 4 3, 2
2
= 2
= 20,16 (cm2)
c) Hạ AH BE; FK BE.
Ta có : SABFE = SABE + SBFE
1
AO SinAOB BE OF sinAOB BE
= 2
1
1
sinAOB BE AO OF sin AOB BE AF
2
2
mà + BE = 52 ( Định lí Pitago)
FEC ( g - g)
+ ABC
(1)
(2)
AC BC
BCE ( c-g-c)
FC EC và C
chung nên ACF
AF AC
AC
8
AF
BE 52
BC
10
nên BE BC
(3)Từ (1), (2) và (3). Ta có :
2 SABFE
2 20,16
63
52 0,8 52 65
SinAOB = BE AF
E
C
µ
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B
= 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC.
Kẻ AH BM, CK BM.
MC BH.tan 2 BAC
=
BK
a) Chứng minh : CK = BH.tan BAC . b) Chứng minh : MA
.
Hướng dẫn :
Câu a : Tương tự cách giải bài 5.
Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần 2.
C
H
M
K
Giải:
a) Ta có : AHB
BKC ( g - g)
CBK
0
Vì K H 90 ; BCK ABH ( cùng phụ với
B
A
)
CK BC
BC
CK BH
BH tgBAC
BH AB
AB
MC CK
·
b) Từ câu a), ta có : CK = BH.tgBAC mà MA AH
BKC ( g - g)
BK BC
1
BC
tgBAC
AH AB = AH AB BK = BK
MC BH .tan BAC
AH
Suy ra : MA
(1)
Mặt khác : AHB
( 2)
·
MC BH.tan 2 BAC
=
BK
Thay (2) vào (1). Ta có : MA
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH AD
và CK AB a) Chứng minh CKH
BCA.
·
b) Chứng minh HK = AC.sin BAD
.
·
= 600 , ABK= 4 cm và AD = 5 cm.
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD
GIẢI:
a) BKC
DHC ( g - g)
C
B
0
B
Vì K H 90 ; D
( cùng bằng A )
KC BC
KC BC
hay
HC DC
HC AB
(*)
Mặt khác : Xét tứ giác AKCH
A
D
H
1800 ; A ABC 1800
Ta có : A HCK
Suy ra : ABC HCK
(**)
Từ (*) và (**). Ta có : CKH
b)
BCA( c-g-c).
HK CK
CK
HK AC
AC sin KBC
AC BC
BC
mà BAD KBC ( cặp góc đồng vị)
nên HK AC sin BAD
BC AH
BK CK
CH
2
2
c) SAKCH = SABCH + SBKC
=
BC AD CosA AB
CosA BC SinA BC
SinA AB
2
2
=
+
5 5 4 Cos600
Cos600 5 Sin600 5
4 Sin600
2
2
=
25 sin 600 cos600
26.2
2
=2. ( 10+4cos600).sin600 +
Bài 9: Cho ABC , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. C/ minh: tanB.tanC = 2.
A
E
H
A
E
B
D
H
C
M
Giải :
tan B
AD
BD
tan C cot DBH
BD ;
HD
N
B
D
A
C
B
AD BD AD
2 HD
K
2
HD
nên tanB.tanC = BD HD HD mà AD = 2HD nên tanB.tanC
=
O
H
Bài 10: Cho hai hình chữ nhật có 2 kích thước 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho các cạnh hình
L
chữ nhật song song với nhau.
D
C
Tính diện tích tứ giác?
1
Q
P
N
M
A
B
C
D
Q
P
1
AH NQ CK NQ
Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ = 2
mà AH = CosOAH AO ; CK CosOCK CO ;
+ OAH OCK ( cặp góc soletrong)
1
1
SANCQ CosOAH NQ AO OC
CosOAH AC NQ
2
= 2
Ta chứng minh số đo OAH
không đổi.
Thật vậy :
OAH
900 AOH 900 OCD
OLC
( Tính chất góc ngồi đỉnh O)
0
mà OLC 90 MQN
Suy ra :
OAH
900 OCD
900 MQN
MQN
OCD
( Cố định )
1
1
CosOAH AC NQ
Cos MQN
OCD
AC NQ
2
2
Vậy
=
=
MN 3
30057 ' ; OCD
NQ
5 MQN
330 41'
Và tgMQN =
SANCQ
Vậy :
SANCQ
1
Cos20 44 ' 34 52 20,9998 21
= 2
(cm2)
0
0
A
Bài tập 11: Cho ABC : B 60 ; C 80 . Tính sđ góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM.
MH
Giải: Ta có : tan = AH
Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH )
= 2MH.
B
M
H
C
BH HC
2
AH
AH
BH
;
HC
tan B
tan C
mà
MH
1
1
AH
tan B tan C
2
nên MH =
1
1
AH
tan B tan C 1 1 1
tan
2 AH
2 tan B tan C 110 20 '
Vậy
Bài 12: Cho ABC , phân giác AD, đường cao CH và trung tuyến BM gặp nhau tại một điểm.
Chứng minh : CosA = bCosB.
A
H
O
C
D
B
0
0
Bài 13: a) Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, D 40 , F 58 . Kẻ đường cao EI của
tam giác đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.
b) Cạnh EF.
90 0
b) Giải tam giác vuông ABC, biết rằng A
, AB = 5, BC = 7.
Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng . Ta có :
+ EI = sinD. DE = sin 400.7 4,5 (cm)
EI
4,5
5,3
0
+ EF = SinF Sin58
(cm)
2
2
2
2
b) AC BC AB 7 5 4,9(cm)
AB 5
0
CosB BC 7 B 44 25'
900 B
45035'
C
+
E
7cm
D
40
58
I
F
0
Bài 14: Cho ABC : A 90 ; AB 5cm; BC 13cm . Vẽ phân giác AD, đường cao AH.
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC.
KAH .
b) Từ H, kẻ HK AC. Chứng minh : ABC
c) Tính độ dài đoạn thẳng AK và KC ?
Giải :
a) Áp dụng định lí Pitago, ta có :
B
H
AC 2 BC 2 AB 2 12cm
D
+ Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có :
BD CD
BD CD
BC
13
AB AC
AB AC AB AC 17
13
14
13
3
BD 5 3 cm
12 9 cm
17
17
17
Suy ra :
. CD = 17
KAH ( g-g)
b) ABC
c) Ta có : AH .BC = AB .AC
KAH
Từ ABC
AH
A
K
C
AB AC 60
9
3 cm
BC
13
17
AB BC
AB AH
131
38
AK
1
cm
10
cm
AK AH
BC
169
; KC 169
BÀI TẬP VỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN
Bài 1: Khơng dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng
dần.
a.
Cot 40o, sin 50o, tan 70o, cos 55o.
b.
Sin 49o, cot 15o, tan 65o, cos 50o, cot 41o.
Bài 2:
5
a) Biết sin = 13 , hãy tính cos , tan , cot .
12
b) Biết tan = 35 , hãy tính sin , cos , cot .
c) Tìm x biết tan x + cot x = 2.
3
d) Biết cos = 4 , hãy tính sin , tan , cot .
8
e) Biết cot = 15 , hãy tính sin , cos , tan .
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o.
b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o.
1
c) A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 2
Bài 4: C/minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn .
(cos sin ) 2 (cos sin ) 2
cos.sin
a) (cos - sin )2 + (cos + sin )2. b)
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:
1
1
S ∆ ABC = . a . c . sin B= . AB . BC .sin B
2
2
o
^
Áp dụng để tính diện tích tam giác ABC biết AC = 10, BC = 15, C=60
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.
a
b
c
a) Chứng minh răng: sin A sin B sin C
b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?
Bài 7: Cho biểu thức
1 2sin cos
A 2
sin cos 2 với 45o.
a) Chứng minh rằng
A
sin cos
sin cos
b) Tính giá trị của A biết
tan
1
3.
Bài 8: Hãy đơn giản các biểu thức
a . 1−sin2 a b . ( 1−cosa ) (1+ cosa ) c . sina−sina. cos 2 a
d .sin 4 a+cos 4 a+2 sin 2 a . cos2 a e . tan 2 a−sin 2 a . tan 2 a g . cos2 a+ tan 2 a .cos 2 a
Bài 9: Chứng minh các đẳng thức sau :
1
2
a) 1+ tan2x = cos x
1
2
b) 1+ cot2x = sin x
c) cos4x – sin4x = 2cos2x -1
d) sin6x + cos6x = 1- 3.sin2x.cos2x
Bài 10: Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi 0o < α <90 o .
cotg 2 α −cos 2 α sinα . cosα
+
=1
cotα
cot 2 α
^
(0o < α <90 o) .
Bài 11: Cho tam giác ABC có ^A=90o , BC =a khơng đổi, C=α
a. Lập cơng thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và α .
b. Tìm góc α để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất ấy và vẽ hình
minh họa.
ACB=α , ^
AMB=β .
Bài 12: Cho tam giác ABC, ^A=90o , AB< AC , trung tuyến AM, ^
2
Chứng minh rằng: (sinα + cosα) =1+ sinβ .
Bài 13: Cho hình thang có độ dài hai đường chéo lần lượt là 9 cm và 12 cm.
a. Tính diện tích hình thang khi tổng độ dài của hai đáy là 15 cm.
b. Tính diện tích hình thang khi tổng độ dài của hai đáy là 16 cm.
Bài 14: Chứng minh rằng sin < tg ; và cos < cotg .
Bài 15: Tìm x:
a. 3 cosx+2 sin ( 90o −x ) =4,15
b. 2 sin2 x +cos 2 x=1,8281
c. cos 2 x−sin2 x=0,5
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đặt BC = a; AC = b; AB = c. Chứng
minh rằng : a) AH = a.sinB.cosB
b) BH = a.cos2B
c) CH = a.sin2B
Bài 17: Tam giác ABC có góc B= 300 ; góc A= 450 ; AB= a. Tính khoảng cách từ C đến cạnh
AB .
Bài 18: Một tam giác cân có đường cao ứng với đáy đúng bằng độ dài đáy. Tính các góc của
tam giác đó.
o
^
Bài 19: Cho hình thang ABCD vng tại A và D, C=50
Biết AB = 2; AD = 1,2. Tính diện
tích hình thang.
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB = AC = a ). Phân giác của góc B cắt AC tại D
a) .Tính DA ; DC theo a.
Tính tan22030’.
Bài 21: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường
hợp:
a) ^A=40o
b) ^A=140 o
Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13 cm ; BC = 10 cm. Tính cos A .
Bài 23: a. Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD.
Biết AB = 6, AC = 9 và ^A=68o . Tính độ dài AD.
b. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và góc C.
o
^
c. Tam giác ABC cân tại A, B=65
, đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại C, phân giác CD. Cho BC = a; AC = b. Chứng minh :
CD =
ab
(a b) sin 450 .
o
^
Bài 25*: Cho tam giác ABC có các góc nhọn A và B. Biết ^A=ao , B=b
, a> b . Chứng minh
rằng:
a . ¿ sin ( a+b )=sina. cosb+ sinb . cosa b ¿ . sin ( a−b )=sina .cosb−sinb . cosa
c ¿ cos ( a+b )=cosa .cosb−sina . sinb d ¿ cos ( a−b )=cosa . cosb+ sina. sinb
Từ đó suy ra:
1−tan 2 x
2tanx
a ¿ cos 2 x=1−2 sin x=2 cos x−1=
b ¿ sin 2 x=2 sinx . cosx=
2
1+tan x
1+ tan 2 x
2tanx
c ¿ tan 2 x=
1−tan 2 x
2
2
Bài 26: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC = 700.
Bài 27: Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
Biết IA=2 √5 , IB=3. Tính AB.
Bài 28: Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp và các góc thỏa mãn:
^
^ . Tính độ dài các cạnh của tam giác.
^ +2 C
A= B
Bài 29: Tứ giác lồi ABCD có các đường chéo khơng vng góc nhau và cắt nhau ở O. Gọi H và
K lần lượt là trực tâm hai tam giác AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm hai tam giác
BOC và AOD.
a. Gọi E là trọng tâm tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK. Chứng minh rằng các
tam giác IEG và HFK đồng dạng.
b. Chứng minh IG vuông góc HK.
Bài 30: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:
sin
A
a
≤
2 2 √ bc
Từ đó duy ra:
sin
A
B
C 1
sin sin ≤ .
2
2
2 8
Bài 31: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vng góc nhau. Chứng minh
rằng:
2
cotg B+ cotgC ≥ .
3
Bài 32: Cho góc nhọn α . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=
1
1
+ 4 .
4
sin α cos α
