de thi HSG TOAN 72018

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THAN UN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2017 - 2018
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm)
 2
3  193 33    7
11  1931 9 
A  

  : 

 
.
.
193
386
17
34
1931
3862
25
2 .








a) Thực hiện phép tính:

B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.

b) Rút gọn :
Câu 2 (4,0 điểm).

12a  15b 20c  12a 15b  20c


7
9
11
a) Tìm a, b, c biết
và a + b + c = 48.

b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có
một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
Câu 3 (4,5 điểm).
| x  2017 | 2018
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x  2017 | 2019 .
3 8 15
n2  1

   ...  2
n
b) Chứng tỏ rằng S = 4 9 16
không là số tự nhiên với mọi n  N, n > 2.

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC
lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vng góc với MN tại I ln ln đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.
y0  2
a) Tính tỉ số x0  4 .

b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

------------------------------------------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm – SBD: ……………


PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THAN UN

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2017 - 2018
Mơn thi: TỐN
(Đáp án gồm có 04 trang)

Câu 1. (4,0 điểm)
 2
3  193 33    7
11  1931 9 
A  

  : 

 
.
.
193
386
17
34
1931
3862
25
2 .








a) Thực hiện phép tính:

b) Rút gọn :

a

B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)49 + (-5)50.

 2
3  193 33 
2 193
3 193 33
2
3 33
.

.



  193  386  . 17  34 

 = 193 17 386 17 34 = 17 34 34 = 1
 
 7
11  1931 9 
7 1931 11 1931 9
7 11 9
.


.

 
  1931  3862  . 25  2 

 = 1931 25 3862 25 2 = 25 50 2 = 5
 
1
A=1:5= 5

(-5)B =
(-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 + (-5)2018.
B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.
2018
b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5) - 1
( 5) 2018  1 1  52018
4
4
Vậy B =
=
Câu 2 (4,0 điểm).

0,75
0,75
0,5
0,5
0,75
0,75

12a  15b 20c  12a 15b  20c


7
9
11
a) Tìm a, b, c biết
và a + b + c = 48.

b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có
một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
a Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12a  15b 20c  12a 15b  20c 12a  15b  20c  12a  15b  20c



7
9
11
27
=0

12a  15b

0  12a 15b 

7
a
b

c
  12a 15b 20c
 
20c  12a
1
1
1
0  20c 12a 

9
 12 15 20
và a + b + c = 48
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a
b
c
a bc
48
 

1
1
1
1 1 1
1
 
12 15 20 12 15 20 = 5 = 24
a
b
c

240  a 20
240  b 16
240  c 12
1
1
1
12
15
20
Vậy a = 20; b = 16; c = 12.

0,25

0,5

0,5

0,5
0,25


Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là x (m3) ĐK: x > 0.
Số đất dự định chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a, b, c (m3) ĐK: a,b,c > 0.
a b c a b c x
7x
6x
5x
  

 a  ;b  ;c 

18
18
18
18
18
Ta có: 7 6 5
(1)
3
Số đất sau đó chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a’, b’, c’ (m ) ĐK: a’,b’,c’ > 0.
a ' b ' c ' a ' b ' c ' x
6x
5x
4x
b
  

 a '  ;b '  ; c ' 
15
15
15
15
15 (2)
Ta có: 6 5 4
So sánh (1) và (2) ta có: a < a’; b = b’ ; c > c’ nên đội I nhận nhiều hơn lúc đầu.
7x 6x
x


4
 x 360

90
Vì a – a’ = 6 hay 18 15 = 6
Vậy tổng số đất đã phân chia cho các đội là 360m3 đất.
Câu 3 (4,5 điểm).

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

| x  2017 | 2018
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x  2017 | 2019 .
3 8 15
n2  1
   ...  2
n
b) Chứng tỏ rằng S = 4 9 16
không là số nguyên với mọi n  Z, n > 2.

c) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
| x  2017 | 2018
C = | x  2017 | 2019 =

a

b

 x  2017  2019  1
| x  2017 | 2019

=

1

1
| x  2017 | 2019

0,5

Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x  2017 | 2019 có giá trị nhỏ nhất

0,25

Mà | x  2017 | ≥ 0 nên | x  2017 | 2019 ≥ 2019.

0,25

2018
Dấu “=” xảy ra khi x = 2017  C = 2019 .
2018
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2019 khi x = 2017.

0,25

3 8 15
n2  1
22  1 32  1 42  1

n2  1
   ...  2



...

2
n
32
42
n2
S = 4 9 16
= 2
1
1
1
1
1  2  1  2  1  2  ...  1  2
2
3
4
n
=
1 
 1 1 1
(1  1  1  ...  1)   2  2  2  ...  2 
n 
2 3 4
=

0,25

0,25

1 
 1 1 1
(n  1)   2  2  2  ...  2 
n 
2 3 4
=

 S < n – 1 (1)
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
Nhận xét: 2 < 1.2 ; 3 < 2.3 ; 4 < 3.4 ; …; n < (n  1).n
1
1 1 1
1
1

1
1
1



...

2
2
2
2
 2 3 4
n < 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n  1).n = 1– n < 1.

0,25
0,25


1 
1
 1 1 1
1 1 1
  2  2  2  ...  2 
(n  1)   2  2  2  ...  2 
n  >-1 
n  > (n–1)–1= n – 2.
2 3 4
 2 3 4

c

 S > n – 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1 hay S không là số nguyên.
Ta có:
x - 2xy + y = 0.
 x(1 – y) + y = 0
 (1 – y) + x(1 – y) = 1
 (1 + x)(1 – y) = 1
Ta có: 1 = 1.1 = (-1).(-1)
Ta có bảng:
1+x
1
-1
1–y
1
-1
x
0
-2
y
0
2

0,25
0,25
0,25

0,5

0,25

0,5

abccjh

Vậy (x;y) {(0;0);(-2;2)}
0,25
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC
lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vng góc với MN tại I ln ln đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC.
GT ∆ABC
AB = AC
BD = CE
MD  BC; NE  BC
BC  MN = {I}
0,25
KL a) DM = EN
Vẽ
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
hình
c) Đường thẳng vng góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm
;
cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Ghi

GTKL
0,5

a
b

∆MDB = ∆NEC (g.c.g)
 DM = EN (cặp cạnh tương ứng)
 MB = NC (cặp cạnh tương ứng)
Ta có:

0,75
0,25
0,5


0


∆MDI vuông tại D: DMI  MID 90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vng)
0


∆NEI vng tại E: ENI  NIE 90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)




Mà MID NIE (đối đỉnh) nên DMI
= ENI

∆MDI = ∆NEI (g.c.g)
 IM = IN (cặp cạnh tương ứng)
Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC.
∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vng)


HAC
 HAB
(cặp góc tương ứng)
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I.
∆OAB = ∆OAC (c.g.c)


 OBA
OCA
(cặp góc tương ứng) (1)

OC = OB (cặp cạnh tương ứng)
c
∆OIM = ∆OIN (c.g.c)
 OM = ON (cặp cạnh tương ứng)
∆OBM = ∆OCN (c.c.c)


 OBM
OCN
(cặp góc tương ứng) (2)



Từ (1) và (2) suy ra OCA OCN =900, do đó OC  AC.
Vậy điểm O cố định.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.

0,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

y0  2
a) Tính tỉ số x0  4 .

b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

a

Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn hàm
số y = ax.
1
1
Do đó, 1 = a.2  a = 2 . Vậy hàm số được cho bởi công thức y = 2 x.

Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ
lệ thuận với nhau.
y0 1 2 y0  2
  
x
2 4 x0  4 (theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
0
Suy ra
y0  2
1
x

4
Vậy 0
= 2.

b

1
5
Nếu x0 = 5 thì y0 = 2 x0 = 2 = 2,5.
Diện tích tam giác OBC là:
1
Áp dụng cơng thức S = 2 (a.h) ta có:

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25

0,25
0,75


1
SOBC = 2 . 5. 2,5 = 6,25.
*Lưu ý. Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
_________________Hết__________________
(Cán bộ chấm thi:………………………..)