Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (679.38 KB, 17 trang )

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác
vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường
hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có:
1) a 2

b2

2) b2

a.b ';c2

3) h 2

b '.c '

4) a.h

b.c .

1
5) 2
h

1
b2

6)

b'
a

c2 .

A

a.c '

b
c

B

h

c'

b'

H
a

1
.
c2

b2
.

a2

Chú ý: Diện tích tam giác vng: S

1
ab
2

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết
AB : AC 3 : 4 và AB AC 21cm .
a) Tính các cạnh của tam giác ABC .
b) Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH .

THCS.TOANMATH.com

C

A

Giải:
a). Theo giả thiết: AB : AC

3: 4,
H

B

suy ra

AB
3

AC
4

AC

3.4

12 cm .

AB
3

AC
4

3 . Do đó AB

3.3

C

9 cm ;

Tam giác ABC vng tại A , theo định lý Pythagore ta có:
BC 2

AB 2

AC 2

92

122

225 , suy ra BC

b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có AH .BC

AB.AC
BC

AH
AH 2

7,2

9.12
15

x

x 15
5, 4 x

Vậy BH

x2

x
9, 6

AB.AC , suy ra

7,2 cm .

BH .HC . Đặt BH
2

15cm .

0

x 0

15x
x

x

9 thì HC

51, 84

x x

0

5, 4 hoặc x

5, 4cm . Từ đó HC

BC

BH

15

5, 4

x , ta có:

9,6 x

9, 6 (loại)

9, 6 cm .

Chú ý: Có thể tính BH như sau:
AB 2

BH .BC suy ra BH

AB 2
BC

92
15

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC

b b

a .
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Dựng BK

AC . Tính tỷ số

THCS.TOANMATH.com

AK
.
AC

5, 4 cm .

2a , cạnh bên bằng

5, 4

0

Giải:
a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta có:
AH 2

AC 2

HC 2

b2

b). Ta có

1
BC .AH
2

AK

b2

a2

1
BK .AC
2

BK 2

2a 2
b

1
a b2
2

K

BC .AH
AC
giác vng AKB ta có:
AB 2

A

a2
SABC

2a 2
b
b

Suy ra BK

AK 2

a2

1
BC .AH
2

Suy ra SABC

AH

b2

AK
do đó
AC

C

a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam

4a 2 2
b
b2

b2

H

B

b2

b2

a2

2a 2

2

. Suy ra

b2

2a 2
b2

.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh đối diện với
các đỉnh tương ứng là: a, b, c .
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a
b) Chứng minh: a 2

b2

c2

4 3S

Giải:
A

a). Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác
ABC

B,C là các góc nhọn. Suy ra chân

đường cao hạ từ A lên BC là điểm

THCS.TOANMATH.com

B

H

C

H thuộc cạnh BC .
Ta có: BC

BH

HC . Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông
AHB, AHC ta có: AB2

AH 2

HB2, AC 2

AH 2

HC 2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

c2

b2

HB 2

HB
HB

c2

HC

HC

HC 2

HB

b2
a

a

BH

2

2

HC HB

HC

a. HB

HC

ta cũng có:

a2

c2
2a

b2

. Áp dụng định lý Pitago cho tam

giác vuông

AHB
a

AH
c

2

b2

2a
Đặt 2p

AH 2

a

b

16p p

c

.

b2

a2

c2
2a

a

c

b2

2

a2

c2
2a

c a

c

c
a

b

b2

a2

c

b b

a

c2
2a

b2

c b

c

4a 2

2a
c thì

a p

b p

c

AH

4a 2
1
Từ đó tính được S
BC .AH
2
b). Từ câu a ) ta có: S
Cơ si ta có: p

a p

p3
p.
27

p2

ra S

2

3 3

THCS.TOANMATH.com

p p

p p
b p

. Hay S

a p

p p

a

b p

b
12 3

c

b p

c
.

c

c . Áp dụng bất đẳng thức
p

b
3

a

a p
a

a p

b p

p

c

2

p

c

3

p3
. Suy
27

2

. Mặt khác ta dễ chứng minh

a

được: a

b

3 a2

S

c
b2

2

3 a2

c2

b2

a2

12 3

c 2 suy ra

b2

c2

4 3S

Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều.
Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tâm của tam
giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB

900 . S, S1, S2 theo thứ

tự là diện tích các tam giác AMB, ABC và ABH . Chứng minh rằng
S

S1.S 2 .

Giải:

A

Tam giác AMB vng tại M có

AB nên MK 2

MK

AHK

M

AK .BK (1).

H

CBK vì có
B

AKH

D

CKB

900 ; KAH

(cùng phụ với ABC ). Suy ra
Từ (1) và (2) suy ra MK 2

SAMB

1
.AB.MK
2

Vậy S

S1.S 2 .

C

K

KCB
AK
CK

HK
, do đó AK.KB
BK

CK .HK nên MK

1
AB. CK .HK
2

CK.KH (2)

CK.HK ;

1
1
AB.CK . AB.HK
2
2

S1S 2 .

Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD có

A

D

900, B

600,CD

THCS.TOANMATH.com

30cm,CA

CB . Tính diện tích của hình

thang.
Giải:
Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB ), vì thế trong tam giác
vng ACD ta có AC 2AD .

Theo định lý Pythagore thì: AC 2

2AD

2

AD2

Suy ra 3AD 2
Kẻ CH

AD 2

302
AD 2

900

300 nên AD

10 3 cm .

AB . Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có A

suy ra AH

CD

30cm;CH

AD

HB

CH 2
HA

AB

AH

10 3

300
30

30

1
CH AB
2

H

HA.HB , suy ra

2

30

HB

D

10 3 cm .

Tam giác ACB vng tại C , ta có: CH 2

SABCD

DC 2 hay

CD

10

10 cm , do đó

40 cm .

1
.10 3. 40
2

30

350 3 cm 2 .

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm2 .
Tỉ số lượng giác của góc nhọn

KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn

sin

AB
;cos
BC

THCS.TOANMATH.com

AC
; tan
BC

(hình) được định nghĩa như sau:

AB
;cot
AC

AC
AB

900 ,

B

+ Nếu

0

là một góc nhọn thì

sin

tan

1; 0

0; cot

cos

1;

Cạnh huyền

Cạnh đối

0

α

A

2. Với hai góc ,
ta có: sin

Nếu hai góc nhọn

0

và

C

90 ,

mà

cos ; cos

Cạnh kề

sin ; tan

có sin

sin

cot ; cot

tan .

hoặc cos

cos

thì

.
3. sin2

cos2

1;tg .cot g

1.

4. Với một số góc đặc biệt ta có:

1
; sin 450
2

sin 300

cos 600

cos 300

sin 600

3
;cot600
2

tan 450

cot 450

1;cot 300

Ví dụ 1. Biết sin

2
2

cos 450

tan 300
tan 600

1
3
3.

5
. Tính cos , tan
13

và cot .

Giải:
C

Cách 1. Xét
Đặt B

AC
suy ra
5

ABC vuông tại A .

. Ta có: sin

BC
13

THCS.TOANMATH.com

AC
BC

5
13
A

k , do đó

α

B

AC

5k, BC

AB2

BC 2

AC 2
AB
BC

Vậy cos

tan

13k . Tam giác ABC vuông tại A nên:

AC
AB

12k
13k

5k
12k

tan
cot

sin
cos
cos

sin

2

5k

2

1

5
; cot
12

5 12
:
13 13
12 5
:
13 13

144k 2 , suy ra AB

12k .

12
;
13
AB
AC

5
suy ra sin2
13
25
sin2
1
169

Cách 2. Ta có sin
do đó cos2

13k

5 13
.
13 12
12 13
.
13 5

12k
5k

12
5

25
, mà sin2
169

144
, suy ra cos
169

cos2

1,

12
.
13

5
;
12
12
.
5

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại
lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính

5
để
13
1 . Sau đó ta tính tan và

cos , tan , cot . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin
tính sin2 rồi tính cos từ sin2
cot qua sin và cos .

cos2

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại
H . Biết HD : HA 1 : 2 . Chứng minh rằng tgB.tgC 3 .
Giải:
Ta có: tgB

A

AD
; tgC
BD

Suy ra tan B. tanC
THCS.TOANMATH.com

E

AD
.
CD
AD 2
(1)
BDCD
.

H

B

D

C

HBD

CAD (cùng phụ với ACB ); HDB

Do đó

BDH

DH
DC
DH .AD (2). Từ (1) và (2) suy ra

BD.DC

900 .

ADC

BD
, do đó
AD

ADC (g.g), suy ra

AD 2
AD
HD
1
(3). Theo giả thiết
suy ra
DH .AD DH
AH
2
1
HD 1
hay
, suy ra AD 3HD . Thay vào (3) ta
2 1
AD 3

tan B.tanC
HD
AH HD

3HD
DH

được: tan B.tanC

3.
12
. Tính sin , cos .
25

Ví dụ 3. Biết sin .cos
Giải:

12
. Để tính sin , cos ta cần tính sin
25
giải phương trình với ẩn là sin hoặc cos .

cos

Biết sin .cos

rồi

Ta có:

sin
ra sin

cos

2

cos
cos
7
5

cos

sin2

cos2

7
5

7
nên sin
5
12
25

2 sin .cos

7
cos
5

cos2

12
25

5 cos

5 cos

35 cos

12

0

5 cos

4 5 cos

3

0 . Suy ra cos

4
thì sin
5

THCS.TOANMATH.com

12 4
:
25 5

2.

12
25

49
. Suy
25

cos . Từ đó ta có:

25 cos2

+ Nếu cos

1

3
.
5

4

3 5 cos

4
hoặc cos
5

4

3
.
5

0

+ Nếu cos

Vậy sin

3
thì sin
5
3
, cos
5

12 3
:
25 5

4
.
5
4
, cos
5

4
hoặc sin
5

3
.
5

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Trong một tam giác vng, mỗi cạnh góc vng bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề.
b) Cạnh góc vng kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc
kề.
b a.sin B a cosC ;c a.sinC a.cos B;b c.tgB c.cot gC ;
c b.tgC b.cot gC
2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam
giác vng đó.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB

16, AC

14 và B

600 .

a) Tính độ dài cạnh BC
b) Tính diện tích tam giác ABC .
Giải:

A

a). Kẻ đường cao AH .
Xét tam giác vuông ABH , ta có:

BH

AB.cos B

AB.cos 600

16.

1
2

8

B

600
H

3
8 3 . Áp dụng định lý
2
Pythagore vào tam giác vng AHC ta có:
AH

AB.sin B

AB.sin 600

THCS.TOANMATH.com

16.

C

HC 2

AC 2

Vậy BC

AH 2

CH

b) Cách 1. SABC

Cách 2. SABC

142

HB

8 3

2

8

2

196

192

4 . Suy ra HC

2.

10 .

1
BC .AH
2

1
.10.8 3
2

1
BC .BA.sin B
2

40 3 (đvdt)

1
3
.10.16.
2
2

40 3 (đvdt)

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC

450, ACB

600 bán kính

đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là R .
Giải:
Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam

A

giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam
giác vuông bằng cách. Dựng các đường
C

thẳng qua C , B lần lượt vng góc với

600

450
H

AC , AB . Gọi D là giao điểm của hai đường

thẳng trên. Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác

D

vuông và 4 điểm A, B,C , D cùng nằm trên đường tròn đường kính

AD

2R .

Ta có: AB

H

AH

AD.sin 600

BC .Tức là: BC

BH

BH

AB.sin 450

THCS.TOANMATH.com

3
R 3 . Kẻ đường cao AH suy ra
2
CH . Tam giác AHB vng góc tại H nên

AD.

AB 2
2

AD

3 2
.
2 2

R 6
. Mặt khác tam
2

B

giác ACH vuông tại H nên AC 2
R 1

BC

2

AH 2

CH 2

. Từ đó tính được diện tích S

2

R

CH

2

R2 3

3
.

4

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh đối diện với
các đỉnh tương ứng là: a, b, c . Chứng minh rằng:
a) a 2

b2

c2

2bc cos A

b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh:

2bc.cos
AD

b

A
2

c

Giải:
B

a). Dựng đường cao BH của tam giác
c

ABC ta có:

a

Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC .
Ta có: AC

AH

A

HC .

H

C

b

Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vng
AHB, BHC ta có: AB2

AH 2

HB2, BC 2

BH 2

HC 2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

c2

a2

HA

HA2

HC

HC 2

c2

a2

b

THCS.TOANMATH.com

HA

HC HA

ta cũng có:

HC

b. HA

HC

HA

HC

b
b2

AH
AB

cos A

b2

AH

c2
2b

c2 a 2
2bc

a2

a2

. Xét tam giác vuông AHB ta có:

b2

c2

2bc cos A .

Cách 2: Xét tam giác vng CHB ta có:

BC 2

BH 2

Ta có: AH
BC

2

BH 2

AC

AH

2

BH 2

AH 2

AC 2

c2

2bc cos A

2AC .AH

CB.cos A suy ra

BH

BC 2

HC 2

2

AH 2

BA2

AC 2

AC 2

2AC .CB.cos A hay

2AC .CB.cos A

a2

b2

b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:
+ sin2
+S

2sin .cos

1
ab sinC
2

*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A

BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB

900 , gọi M là trung điểm của

AMB

2 .

A

sinC

Ta có sin

cos

sin 2

cosC

AC
BC

sin AMH

Từ đó ta suy ra: sin2

AH
AC

h
b

b
h

b
a
AH
AM

B

h
a
2

H

2α

α

M

2h
.
a

2sin .cos .

*) Xét tam giác ABC . Dựng đường cao BE ta có:

A
E

THCS.TOANMATH.com

C

SABC

1
BE.AC
2

1
BE.b (1)
2

Mặt khác trong tam giác vng AEB

BE
AB

ta có: sin A

BE

c.sin A

thay vào (1)

1
ab sinC
2

Ta có: S

Trở lại bài tốn:
Ta có S ABD

1
A
AD.c.sin
2
2

1
AD.AB sin A1
2

A
1 2
b

c

S ACD

1
A
AD.b.sin
2
2

1
AD.AC sin A2
2

Suy ra SABC

SACD

1
A
AD sin
c
2
2

A
AD sin
c
2

b

D

B

SABD

1
bc sin A
2

b . Mặt khác SABC

bc sin A

C

2bc cos

bc sin A

AD
b

c sin

c

A
2

A

2

b

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:
cos 2

2 cos2

1

1

2 sin2

.

Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A

BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB
THCS.TOANMATH.com

900 , gọi M là trung điểm của

AMB

2 .

cosC

Ta có : cos

2

AM 2

cos AMH

cos 2
a
4

AB
BC

sinC

sin

AC
BC
c
,
a

b
a

A

c

MB 2 AB 2
2AM .MB

b

2α
a

B

α

M

2

a
c2
4
a a
2 .
2 2

a2

2c 2

1

a2

đó suy ra cos 2

2 cos2

Áp dụng a 2

c2

b2

1

c
2
a

A b2 c2 a 2
2 cos
2
2bc
thức đường phân giác ta có:

1

2.

b2

c2

a2

b

A
cos
2
2

1

a2

b2

b
2
a

a2

2

1 . Từ

2 sin2

1

2bc cos A

2

2

2bc 2 cos2

c

2

a2

4bc

A
2

1 .

. Thay vào công

2

b c
a2

A
2bc
2bc cos
4bc
2
AD
c b
b c
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

bc
2p

b
2
a b

c

AD

b

c

a b

bc

b

c
b

c

a

2

p(p

a b

c

a
.

c

a ) với

c.

Áp dụng công thức: a 2 b 2 c 2 2bc cos A . Ta cũng chứng minh được
hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:
‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có:
AB 2 .CD

AC 2 .BD

BC AB 2

BD.DC ’’
A

THCS.TOANMATH.com

C

+ Thật vậy :Ta giả kẻ AH

BC

khơng mất tính tổng quát,
ta giả sử D nằm trong đoạn

HC . Khi đó ta có:
AB2

AD2

BD2

AD2

2AD.BD.cos ADB

BD2

2DB.DH (1)

Tương tự ta có: AC 2 AD 2 DC 2 2DH .DC (2). Nhân đẳng thức (1)
với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có:
AB 2 .CD

AC 2 .BD

BC AB 2

BD.DC

Ví dụ 3. Khơng dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng

6

sin 750

2
4

.

Giải:
A

Vẽ tam giác ABC vuông tại A
với BC