Chuyên đề, bài giảng môn toán lớp 10 phần đại số nguyễn phú khánh

§8. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
 DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp giải
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu
GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ
+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
+ Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối.
*Lưu ý: Sau đây là một số loại tốn phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức hiện bằng
phép biến đổi tương đương.
ïìï g(x ) ³ 0
ï
 f (x ) = g(x ) Û ïí éê f (x ) = g(x )
ïï
ïïỵ êêë f (x ) = -g(x )
é f (x ) = g(x )
 f (x ) = g(x ) Û êê
êë f (x ) = -g(x )
ìï g(x ) > 0
f (x ) < g(x ) Û ïí

ïïỵ g(x ) < f (x ) < g(x )
éì
ï g(x ) < 0
ê ïí
ê ï f (x ) có nghĩa
ê ïỵ
f (x ) > g(x ) Û êê ìïï g(x ) ³ 0


ê ïï é f (x ) < -g(x )
ê íï ê
ê ï ê f (x ) > g(x )
ïï êë
êëỵ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) 2x 2 - 3x - 1 = -x 2 + 2x + 1
b) x 2 - 5x + 4 = x 3 - 3x + 4
c) x 2 - 5x + 4 - x + 1 = x 2 + x
Lời giải

d) x 2 - 3x + 1 + x - 1 = 12 ( x - 3 )

ì x 2 + 2x + 1 ³ 0
ì x 2 - 2x - 1 £ 0
ïï
ïï
ï
ïé 2
2
2
ï
é
Ûï
a) Ta có phương trình Û í ê 2x - 3x - 1 = -x + 2x + 1
í ê 3x - 5x - 2 = 0
ïï 2
ï
2
ï

ê
ê 2
ïỵï êë 2x - 3x - 1 = -(-x + 2x + 1)
ï
ï êë x - x = 0
ỵ
ì
ï
1- 2 £ x £ 1+ 2
ï
éx = 2
ï
ï
ê
éx = 2
ï
ê
ï
ê
ï
êx = - 1
ê
ï
1
ï
Ûí
Û ê
êx = 3
ê
ï

ê
3
ï
x
=
0
ê
ê
ï
ï
ê
êx = 0
ï
êë x = 1
ï
ê
ï
x
=
1
ê
ï
ï
ỵ
ë
ü
1ï
ïì
Vậy nghiệm của phng trỡnh l x ẻ ùớ 0;1;2; - ùý
ùợù

3ù
ù
ỵ

b) Vi 1 £ x £ 4 Þ x 2 - 5x + 4 ³ 0 ta có
Phương trình Û - ( x 2 - 5x + 4 ) = x 3 - 3x + 4 Û x 3 + x 2 - 8x + 8 = 0

259

Chuyên đề, bài giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh


Áp dụng BĐT cơsi ta có x 3 + 4 + 2 ³ 3 3 8x 3 = 6x , x 2 + 2 ³ 2 2x

(

)

Suy ra x 3 + x 2 - 8x + 8 ³ 6x + 2 2x - 8x = 2 2 - 2 x > 0
Do đó phương trình vơ nghiệm.
éx > 4
Þ x 2 - 5x + 4 > 0 ta có
Với êê
x
<
1
êë
Phương trình Û x 2 - 5x + 4 = x 3 - 3x + 4
Û x 3 - x 2 + 2x = 0 Û x = 0 (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0

c) Bảng xét dấu
x
x +1
2
x - 5x + 4

-¥

+

-1
0
0

1
0
0

+
+

+
-

4
|
0

+
+

+¥

Từ đó ta có các trường hợp sau
 Với x £ -1 , ta có phương trình Û ( x 2 - 5x + 4 ) + ( x + 1 ) = x 2 + x Û x = 1 (loại)
 Với -1 < x £ 1 , ta có phương trình Û ( x 2 - 5x + 4 ) - ( x + 1 ) = x 2 + x
x=

3
(thỏa mãn)
7

 Với 1 < x £ 4 , ta có phương trình - ( x 2 - 5x + 4 ) - ( x + 1 ) = x 2 + x
Û 2x 2 - 3x + 5 = 0 phương trình này vơ nghiệm.

 Với x > 4 , ta có phương trình Û x 2 - 5x + 4 - ( x + 1 ) = x 2 + x Û x =
Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x =

3
.
7

3
(loại)
7

ìï
x ³3
d) Ta có phương trình ïí 2
ïï x - 3x + 1 + x - 1 = 12 ( x - 3 )

ỵ
ìï
ì
x ³3
x ³3
ï
Û ïí 2
Ûï
í 2
ïï x - 3x + 1 + x - 1 = 12 ( x - 3 )
ï
x - 14x + 36 = 0
ï
ỵ
ỵ
ìï
x ³3
Û ïí
Û x = 7 ± 13
ïï x = 7 ± 13
ỵ
Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 ± 13 .
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a) x 2 - x - 1 ³ x - 1
b) -x 2 + 3x + 2 < x 2 - 3x + 2

c) 3x 2 - 2 + 3 - 2x 2 £ 6 ( x 2 - 2 )

d) 2x 2 - 5x + 3 - x - 1 > x - 2 .

Lời giải
a) Với x < 1 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 1
Với x ³ 1 ta có bất phương trình tương đương với
ì
x ³1
x ³1
ï
ïìï
ï
ï
ï
2
2
ï
í éê x - x - 1 ³ x - 1 Û ïí éê x - 2x ³ 0
ï
ï
ï
ïï ê x 2 - 2 £ 0
ê 2
ï
ï êë x - x - 1 £ 1 - x
ỵ
ỵï êë

260
Chun đề, bài giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh


ì

x ³1
ï
ï
ìï x ³ 1
ï
ïï
ï
é
éx ³ 2
x
³
2
ï
ï
ê
Û íê
Û ïí éê x ³ 2 Û êê
x £0
ï
ïï ê
1£x £ 2
ê
ï
ëê
ï
ïï ê x £ 2
ê- 2 £ x £ 2
ï
ỵë
ï

ï
ỵ êë
Vậy nghiệm ca bt phng trỡnh l x ẻ (-Ơ; 2] ẩ [2; +¥)

b) Với x 2 - 3x + 2 < 0 Û 1 < x < 2 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vơ nghiệm
éx ³ 2
Với ta có x 2 - 3x + 2 ³ 0 Û êê
êë x £ 1
Bất phương trình tương đương với - ( x 2 - 3x + 2 ) < -x 2 + 3x + 2 < x 2 - 3x + 2
éx > 3
Û 2x 2 - 6x > 0 Û êê
êë x < 0
éx ³ 2
Đối chiếu với điều kiện êê
suy ra nghiệm bất phương trình là
êë x £ 1
Vậy bất phương trình có nghim x ẻ (-Ơ; 0) ẩ (3; +Ơ) .

ộx > 3
ê
êx < 0
êë

c) Nếu x 2 - 2 < 0 thì VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vơ nghiệm
ìï
x2 - 2 ³ 0
Do đó bất phương trình Û ïí 2
ïï 3x - 2 + 2x 2 - 3 £ 6 ( x 2 - 2 )
ỵ
2

é x ³ 7
ì
ì
ï
x ³2
ï
x2 ³ 2
ê
ï
ï
Ûí 2
Û
Û
í
ê
2
2
2
ï
ï
x
³
7
3
x
2
+
2
x
3

£
6
x
2
(
)
êë x £ - 7
ù
ù
ợ
ợ
Vy nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ (-¥; - 7] È [ 7; +¥)

d) 2x 2 - 5x + 3 - x - 1 > x - 2

Với x < 2 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 2

Với x ³ 2 ta có 2x 2 - 5x + 3 = ( x - 1 )( 2x - 3 ) > 0 suy ra bất phương trình tương đương với
2x 2 - 5x + 3 - ( x - 1 ) > x - 2 Û 2x 2 - 6x + 4 > x - 2

Û 2x 2 - 6x + 4 > x - 2 (vì x ³ 2 Þ 2x 2 - 6x + 4 = ( x - 1 )(2x - 4) ³ 0 )

éx > 2
ê
Û 2x - 7x + 6 > 0 Û ê
êx < 3
êë
2
Đối chiếu với điều kiện x ³ 2 ta có nghiệm bất phương trình là x > 2
Vậy bất phương trình có nghiệm là x Ỵ  \ { 2 } .

2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt
-x 2 - x + 6 = 4x + m .
Lời giải
Ta có -x 2 - x + 6 = 4x + m Û -x 2 - x + 6 - 4x = m
Xét hàm số f ( x ) = -x 2 - x + 6 - 4x

ìï-x 2 - 5x + 6 khi x Ỵ é -3;2 ù
ë
û
Ta có f ( x ) = ïí 2
ïï x - 3x - 6 khi x ẻ (-Ơ; -3 ) ẩ ( 2; +Ơ )
ợ

261
Chuyờn , bi ging y mụn Toỏn lp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh


Bảng biến thiên
x
-¥
f (x )

-

-3

+¥

5
2

3
2

2

+¥

99
4

12

+¥

-4
Từ bảng biến thiên ta có
Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số f cắt đường thẳng
y = m tại bốn điểm phân biệt Û 12 < m <

99
.
4

99
là giá trị cần tìm.
4
Nhận xét: Nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( m ) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

Vậy 12 < m <

y = f ( x ) và đường thẳng y = g ( m ) . Từ đó suy ra

 Phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm Û đường thẳng y = g ( m ) cắt đồ thị hàm số y = f ( x )
 Số nghiệm phương trình f ( x ) = g ( m ) Û số giao điểm của đường thẳng y = g ( m ) và đồ thị
hàm số y = f ( x ) .

Do đó khi gặp bài tốn liên quan đến phương trình f ( x , m ) = 0 mà ta có thể cơ lập được m thì ta
sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải.
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
x 2 - 3x + 2 ³ 3x 2 + 5x + 3m 2 + 5m .
Lời giải
Bất phương trình Û x 2 - 3x + 2 - 3x 2 - 5x ³ 3m 2 + 5m
Xét hàm số f ( x ) = x 2 - 3x + 2 - 3x 2 - 5x

ìï -2x 2 - 8x + 2 khi x Ỵ (-;1] È [2; +
Ta có f ( x ) = ïí
2
ïïỵ 4x - 2x - 2 khi x ẻ ( 1;2 )
Bng bin thiờn
x
1
1
-Ơ
-2
4
10
f (x )

-8
-Ơ

T ú ta có: max f ( x ) = f ( -2 ) = 10

2

+¥

-22
-¥

Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm Û 10 ³ 3m 2 + 5m
Û 3m 2 + 5m - 10 £ 0 Û

-5 - 145
-5 + 145
£m £
6
6

262
Chun đề, bài giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh


Vậy

-5 - 145
-5 + 145
£m £

là giá trị cần tìm.
6
6

Nhận xét . Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D

 Bất phương trình f ( x ) ³ k ( f ( x ) £ k ) có nghiệm trên D Û max f ( x ) ³ k ( min f ( x ) £ k ) với
D

điều kiện tồn tại max f ( x ) ( min f ( x ) ).
D

D

D

 Bất phương trình f ( x ) ³ k ( f ( x ) £ k ) nghiệm đúng với x  D Û min f ( x ) ³ k (
max f ( x ) £ k ) với điều kiện tồn tại max f ( x ) ( min f ( x ) ).
D

D

D

D

Loại 2: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 5: Giải các phương trình và bất phương trình sau
a) 3 ( x 2 - 4x ) - x - 2 > 12

( x 2 + 1)

2

b)

c) x 4 - 2x 2 + 4x - ( 2x + 5 ) x 2 - 1 + 7 = 0

x

2

£3x+

1
-2
x

Lời giải
a) Đặt t = x - 2 , t ³ 0 Þ t 2 = x 2 - 4x + 4
Bất phương trình trở thành 3 ( t 2 - 4 ) - t > 12

é t>3
ê
Û 3t - t - 24 > 0 Û ê
êt < - 8
êë
3
Kết hợp điều kiện t ³ 0 ta có t > 3 suy ra
é x -2 > 3

é x >5
x - 2 > 3 Û êê
Û êê
êë x - 2 < -3
êë x < -1
Vậy bất phương trình có nghiệm là x Ỵ ( -¥; -1 ) È ( 5; +¥ ) .
2

b) ĐKXĐ: x ¹ 0

Bất phương trình Û x 2 +
Đặt t = x +

1
1
+4£3 x +
2
x
x

1
1
Þ t2 = x2 + 2 + 2
x
x

Ta có t = x +

1
1

1
= x +
³2 x .
=2Þt ³2
x
x
x

Bất phương trình trở thành t 2 + 2 £ 3t
Û t 2 - 3t + 2 £ 0 Û 1 £ t £ 2
Kết hợp với t ³ 2 suy ra t = 2

é x 2 + 1 = 2x
1
2
Û x = ±1 (thỏa mãn)
Do đó 2 = x + Þ 2 x = x + 1 Û êê 2
x
êë x + 1 = -2x
Vậy bất phương trình có nghiệm là x = ±1 .

c) Phương trình Û ( x 2 - 1 ) - ( 2x + 5 ) x 2 - 1 + 4x + 6 = 0
2

Đặt t = x 2 - 1 , t ³ 0

Phương trình trở thành t 2 - ( 2x + 5 )t + 4x + 6 = 0

263
Chuyên đề, bài giảng đầy đủ mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh

é t = 2x + 3
Û ( t - 2x - 3 )( t - 2 ) = 0 Û êê
êë t = 2
ì 2x + 3 ³ 0
ï
ï
ï
Với t = 2x + 3 ta có 2x + 3 = x 2 - 1 Û ïí x 2 - 1 = 2x + 3
ï
ï
x 2 - 1 = -2x - 3
ï
ï
ỵ
ì
2x + 3 ³ 0
ï
ìï
ï
ïï x ³ - 3
ï
2
ï
é
x
2
x
4

=
0
Û íê
Ûí
2 Û x = 1± 5
ï
ïï
2
ï
ê
x
=
1
±
5
x + 2x + 2 = 0
ï
ïỵ
ï
ỵ êë
é x2 - 1 = 2
2
Û x2 = 3 Û x = ± 3
Với t = 2 ta có 2 = x - 1 Û êê 2
x
1
=
2
êë
Vậy phương trình có nghiệm là x Ỵ - 3;1 - 5;1 + 5; 3 .

{

}

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x 2 - 2x + m = x - 1 có nghiệm.
Lời giải
Phương trình tương đương với
2
ìï x 2 - 2x + m 2 = x - 1 2
(
) Û ìïï( x 2 - 2x ) + 2m ( x 2 - 2x ) + m 2 = x 2 - 2x + 1
)
ï(
í
í
ïï
ïï
x
³
1
x ³1
ỵï
ỵï
ìï x 2 - 2x 2 + 2m - 1 x 2 - 2x + m 2 - 1 = 0 (*)
)(
) (
)
ï(
Ûí

ïï
x ³1
ïỵ
Đặt t = x 2 - 2x , vì x ³ 1 Þ t = ( x - 1 ) - 1 ³ -1
2

Phương trình (*) trở thành t 2 - ( 2m - 1 )t + m 2 - 1 = 0 (**)

Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm t ³ -1
Û Đồ thị hàm số f ( t ) = t 2 - ( 2m - 1 )t + m 2 - 1 trên [ - 1; +¥) cắt trục hồnh. Ta có
b
2m - 1
=
2a
2
2m - 1
1
> -1 Û m > - ta có
+ TH1: Nếu
2
2
Bảng biến thiên
x
-¥
-1
-

+¥

2m - 1

2

f ( -1 )

+¥

f (x )
ổ 2m - 1 ửữ
f ỗỗ
ữ
ỗố 2 ứữ

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm
2
ỉ 2m - 1 ÷ư
ỉ 2m - 1 ữử
ổ 2m - 1 ữử
5
ỗ
ỗ
fỗ
ữữ Ê 0 ỗ
ữữ - ( 2m - 1 )ỗỗ
ữữ + m 2 - 1 Ê 0 m <
ỗố 2 ứ
4
ốỗ 2 ứ
ốỗ 2 ứ

264

Chuyờn , bi ging y mơn Tốn lớp 10 - Phần Đại số - Nguyễn Phú Khánh


1
1
5
suy ra - < m < thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
2
4
2m - 1
1
= -1 Û m = - phương trình (**) trở thành
+ TH2: Nếu
2
2
-2 + 7
1
3
-2 ± 7
> -1 suy ra m = - thảo mãn yêu cầu bài
t 2 + 2t - = 0 Û t =
có t =
2
2
4
2
toán
2m - 1
1

< -1 Û m < - ta có
+ TH3: Nếu
2
2
Bảng biến thiên
-¥
-1
+¥
x
+¥

Kết hợp với điều kiện m > -

f (x )

f ( -1 )

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm Û f ( -1 ) £ 0

Û 1 + 2m - 1 + m 2 - 1 £ 0 Û m 2 + 2m - 1 £ 0 Û -1 - 2 £ m £ -1 + 2
1
1
Kết hợp với điều kiện m < - suy ra -1 - 2 £ m < - thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
2
5
Vậy -1 - 2 £ m < là giá trị cần tìm.
4
Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình x ( x - 2 ) - m x - 1 + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi x Ỵ  .

Lời giải

Bất phương trình tương đương với ( x - 1 ) - m x - 1 + 1 > 0
2

Với x = 1 ta có bất phương trình ln đúng với mọi m
Với x ¹ 1 . Đặt t = x - 1 Þ t > 0

t2 + 1
> m (*)
t
Suy ra bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x ¹ 1 khi và chỉ khi bất phương trình (*)
t2 + 1
>m
nghiệm đúng với mọi t > 0 Û min
t >0
t
t 2 + 1 2t
³
= 2 , đẳng thức xảy ra Û t = 1
Ta có
t
t
t2 + 1
= 2 , do đó m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Suy ra min
t >0
t
Vậy m < 2 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyện tập.

Bài 4.113: Giải các phương trình sau
a) 3x - 2 = x 2 + 2x + 3
b) | 2x 2 - 7x + 2 |= x + 2

Bất phương trình trở thành t 2 - mt + 1 > 0 Û

c) x 2 - 3x + 2 - x + 2 = x 2 - 3x
Bài 4.114: Giải các bất phương trình sau

265

d)

2x
1
1
=
+
x +1
x +1 x -1


a) x 2 - 5x + 4 > x - 2

b) x 2 - x - 6 < x

c) x - 3 x - 1 > x + 2

d) 2x - 1 + 3x - 2 £ x + 3

e) x 3 -

1
1
£3x3
x
x

Bài 4.115: Biện luận số nghiệm của phương trình : x - 1 - x 2 - 3x + 2 = 5m - 3 .
Bài 4.116: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:
-2x 2 + 10x - 8 = m - 5x + x 2 .
Bài 4.117: Tìm m để bất phương trình 2x 2 - 3x - 2 ³ 5m - 8x - 2x 2 nghiệm đúng với mọi
x.
Bài 4.118: Cho bất phương trình x 2 - 4x - 3 | x - 2 | +2m - 2 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 4.119: Cho bất phương trình x 2 - 2mx + 2 x - m - m 2 + 2 > 0

a) Giải bất phương trình khi m = 2
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với "x Ỵ 

 DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn mục đích chúng ta phải khử căn thức
đi. Sau đây là một số phương pháp thường dùng.
+ Biến đổi tương đương( Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử)
Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế khơng âm thì mới thu về bất phương trình tương
đương cùng chiều
+ Đặt ẩn phụ
+ Đánh giá

2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Lưu ý một số phương trình, bất phương trình cơ bản sử dụng phép biến đổi tương đương như sau
Phương trình:
ïì f (x ) ³ 0 ( hoặc g ( x ) ³ 0 )
f (x ) = g(x ) Û ïí

ïï f (x ) = g(x )
ỵ
ïìï g(x ) ³ 0

f (x ) = g(x ) Û í
ïï f (x ) = [ g(x ) ]2
ïỵ
Bất phương trình:
ìï f (x ) > g(x )
f (x ) > g(x ) Û ïí

ïï g(x ) ³ 0
ỵ
ìï f (x ) ³ 0
ïï

f (x ) < g(x ) Û ïí g(x ) > 0
ïï
2
ïï f (x ) < [ g(x ) ]
ỵ

266



éì
ï g(x ) < 0
ê ïí
ê ï f (x ) ³ 0
ï
f (x ) > g(x ) Û êê ỵì
ê ïï g(x ) ³ 0
êí
2
ê ïïï f (x ) > [ g(x ) ]
ëỵ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) x 3 - x + 1 = -2x 2 - x + 2
c)

x + 4 - 1-x =

Lời giải

1 - 2x

b)

2x 2 + 3x - 1 = 3 - x 2

d)

x-

1
1
+ 1- = x
x
x

ìï
-2x 2 - x + 2 ³ 0
a) Ta có phương trình Û ïí 3
ïï x - x + 1 = -2x 2 - x + 2
ỵ
ì
ï
-1 - 17
-1 + 17
ï
£x £
ï
ì
ï
ï
1
17
1
+
17

4
4
ï
ï
£x £
ï
é
x
=
1
Ûï
Û
í
í
4
4
ê
ï
ï
3
2
ï
ï
ê
x
+
2
x
1
=

0
ï
ï
ï
ỵ
ê x = -1 ± 5
ï
ï
ï
ỵ
ëê
2
é x = -1
ê
Û ê
ê x = -1 ± 5
êë
2

ìï -1 - 5
ï
-1 + 5 ü
ï
; -1;
Vậy phương trình cú nghim l x ẻ ùớ
ý.
ùù
ù
2
2

ù
ợ
ỵ
2
ỡù
3-x 0
ù
b) Phng trỡnh Û í 2
2
ïï 2x + 3x - 1 = ( 3 - x 2 )
ïỵ
ìï
ìï
- 3£x £ 3
- 3£x £ 3
ï
Û ïí 4
Û
í
2
ïï x - 8x - 3x + 10 = 0
ïï ( x - 1 )( x + 2 )( x 2 - x - 5 ) = 0
ỵ
ỵ
ì
ï
- 3£x £ 3
ï
ï
ï

é x = -2
ï
ï
ê
Ûï
Ûx =1
í êx = 1
ï
ê
ï
ê
ï
ï
ê x = 1 ± 21
ï
ï
ï
ỵ êë
2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 .
1
c) ĐKXĐ: -4 £ x £
2
Phương trình Û x + 4 = 1 - 2x + 1 - x
Û x + 4 = 1 - 2x + 2 (1 - 2x )(1 - x ) + 1 - x
ìï 2x + 1 ³ 0
Û 2x + 1 = (1 - 2x )(1 - x ) Û ïí
ïï(2x + 1)2 = (1 - 2x )(1 - x )
ỵ

267


ì
ï
ïx ³ - 1
Ûï
Û x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
í
2
ï
2
ï
2x + 7x = 0
ï
ỵ
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 .
ìï x > 0
ïï
ïï
1
ïï x - ³ 0
ì
x ³1
ï
ï
x
ïï
ï

Ûí
d) Phương trình Û í
1
1
ïï1 - 1 ³ 0
ï
x - = x - 1ï
ïï
ï
x
ỵ
x
x
ïï
1
1
ïï x - + 1 - = x
ïỵ
x
x
x ³1
ïìï
ì
x ³1
ï
ï
Û ïí
Û
í
1

1
1
2
ïï x - = x 2 + 1 - - 2x 1 ïï x - x - 2 x 2 - x + 1 = 0
ỵ
ïỵ
x
x
x
ì x ³1
ï
ì
ìï
ï
x ³1
ï
x ³1
1+ 5
ï
ï
Ûí 2
Ûí 2
Ûï
Ûx =
í
1
±
5
ï
ïï x - x - 1 = 0

ï
2
ï x -x = 1
ïx =
ỵ
ỵ
ï
ỵ
2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

1+ 5
.
2

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a) -5x 2 + 8x - 3 + 5x - 3 = 1 - x + 1
b) x 2 + ( 3 - x ) 2x - 1 = x 3 2x 2 - 5x + 2 - x - 2

(

Lời giải

)

ìï -5x 2 + 8x - 3 ³ 0
ïï
3
5x - 3 ³ 0

Û £x £1
a) ĐKXĐ: ïí
ïï
5
1-x ³ 0
ïïỵ

Phương trình

( 5x - 3 )(1 - x ) +

5x - 3 =

1-x +1

Û ( 5x - 3 - 1)( 1 - x + 1) = 0

4
(thỏa mãn điều kiện)
5
4
Vậy phương trình có nghiệm x = .
5
ìï 2x 2 - 5x + 2 ³ 0
ïï
Ûx ³2
b) ĐKXĐ: ïí 2x - 1 ³ 0
ïï
ïïỵ x - 2 ³ 0
x - 2 2x - 1 - x x - 2 + 3x - x 2 - 3 2x - 1 + x 2x - 1 = 0

Phương trình Û
Û

Û

5x - 3 = 1 Û x =

x -2

(

(

)

)

2x - 1 - x + x ( 3 - x ) + 2x - 1 ( x - 3 ) = 0

é
2x - 1 = x
Û ( 2x - 1 - x )( x - 2 - 3 + x ) = 0 Û êê
êë x - 2 = 3 - x

268


é
ê
Û êê ïìï

ê íï
êëỵ
ïï x
é
ê
ê ìï
Û ê ïï
êí
ê ïx
ïï
êëỵ

2x - 1 = x 2
3-x ³ 0

- 2 = (3 - x )

2

x =1

é x 2 - 2x + 1 = 0
ê
x £3
Û êê ìïï
í
ê ï x 2 - 7x + 11 = 0
êëỵ
ï

é x =1
ê
Û ê
êx = 7 - 5
7± 5
êë
=
2
2
x £3

7- 5
thỏa mãn
2
7- 5
Vậy phương trình có nghiệm là x =
.
2
Ví dụ 3: Giải các phương trình 5 x + 3 + 3x - 2 = 5x 2 - 31x + 41

Đối chiếu với điều kiện x ³ 2 suy ra x =

(

Lời giải

)

ìï x ³ -3
ìï x + 3 ³ 0

ï
2
ï
Û ïí
Ûx ³
ĐKXĐ: í
2
ïï 3x - 2 ³ 0
ïï x ³
3
ỵ
ïỵ
3
Phương trình tương đương với
5 x + 3 - x - 9 + 5 3x - 2 - 3x - 2 = 5x 2 - 35x + 30

(

) (

Û

-x 2 + 7x - 6

+

-x 2 + 7x - 6

)

= 5x 2 - 35x + 30

5 x + 3 + x + 9 5 3x - 2 + 3x + 2
ỉ
ư
1
1
Û ( x 2 - 7x + 6 ) çç
+
+ 5 ÷÷÷ = 0
çè 5 x + 3 + x + 9 5 3x - 2 + 3x + 2
ø
éx = 1
Û x 2 - 7x + 6 = 0 Û êê
(thỏa mãn điều kiện)
êë x = 6
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 6 .
Nhận xét: Ở phương trình đầu (câu a) dễ thấy x = 1, x = 6 là nghiệm do đó ta tìm cách làm xuất

hiện nhân tử chung x 2 - 7x + 6 . Đối với 5 x + 3 ta ghép thêm với ax + b , như thế sau khi trục
căn thức ta có 5 x + 3 - ( ax + b ) =

25 ( x + 3 ) - ( ax + b )

2

5 x + 3 + ( ax + b )

như vậy để có đại nhân tử

ìï 5 1 + 3 - ( a + b ) = 0
ìa = 1
ï
ï
Ûï
x - 7x + 6 thì í
. Hồn tồn tương tự với đại lượng
í
ïï 5 6 + 3 - ( a.6 + b ) = 0
ï
b =9
ï
ỵ
ïỵ
5 3x - 2 . Do đó ta tách được như lời giải ở trên.
Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau
a) x + 1 ³ 2(x 2 - 1)
b) (x + 5)(3x + 4) > 4(x - 1)
2

c) 5x - 1 - x - 1 > 2x - 4 d) (x - 3) x 2 - 4 £ x 2 - 9
Lời giải
ìï 2(x 2 - 1) ³ 0
ïï
a) Bất phương trình Û ïí x + 1 ³ 0
.
ïï 2
2
ïï 2(x - 1) £ (x + 1)
ỵ

269


ïìï é x ³ 1
ïìï é x ³ 1
ïï êê
ïï êê
x
£
1
ïï ëê
ïï ëê x £ -1
é x = -1
ï
Û í x ³ -1
Û ïí x ³ -1 Û êê
ïï 2
ïï
1£x £3
ëê
ïï x - 2x - 3 £ 0
ïï1 £ x £ 3
ïï
ïï
ïỵ
ïỵ
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = { -1} È éë 1; 3 ùû .
éì
ï 4(x - 1) < 0

ê ïí
ê ï(x + 5)(3x + 4) ³ 0
b) Bất phương trình Û êê ïỵ
ì
ê ïï x - 1 ³ 0
ê íï(x + 5)(3x + 4) > 16(x - 1)2
êëỵ
ï
éì
ïx < 1
é é x £ -5
êï
êê
ïé
êï
4
êê 4
ï
êí êx ³ ê ê- £ x < 1
êï
ê
3
êê
ï
ê x £ -5
Û êï
Û êë 3
êï
ê
ïë

ê ïìï x ³ 1
êỵ
ê ïí
ì
x ³1
êï
êï 1
êï
í
ê ïï - < x < 4
2
êï
13
x
51
x
4
<
0
ëỵ 13
ï
ëỵ
é x £ -5
ê
é x £ -5
ê 4
ê
Û ê- £ x < 1 Û ê 4
ê 3
ê- £ x < 4

ê
êë 3
ê1 £ x < 4
ë

4
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (-¥; -5] È [ - ; 4) .
3
ì
ï
5x - 1 ³ 0
ï
ï
ï
c) ĐKXĐ: í x - 1 ³ 0 Û x ³ 2
ï
ï
2x - 4 ³ 0
ï
ï
ỵ
Bất phương trình Û 5x - 1 > x - 1 + 2x - 4
Û x +2 >

( 2x - 4 )( x - 1 )

Û x 2 + 4x + 4 > 2x 2 - 6x + 4 (do x ³ 2 )
Û x 2 - 10x < 0 Û 0 < x < 10
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [2;10)

d) (x - 3) x 2 - 4 £ x 2 - 9
é x ³2
ĐKXĐ: x 2 - 4 ³ 0 Û êê
êë x £ -2
Nhận xét x = 3 là nghiệm bất phương trình
+) Với x > 3 : ta có
Bất phương trình Û x 2 - 4 £ x + 3
2
13
Û x 2 - 4 £ (x + 3) Û x ³ 6
Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là S = ( 3; +¥ ) .
+) Với x < 3

270


Bất phương trình Û x 2 - 4 ³ x + 3
ìï x + 3 £ 0
ïìï x + 3 > 0
(I) hoặc í 2
Û ïí 2
2 (II)
ïï x - 4 ³ 0
ïï x - 4 ³ ( x + 3 )
ỵ
ïỵ
ïìï x £ -3
ï
Ta có (I) Û ïí éê x ³ 2 Û x £ -3
ïï

ïïỵ êêë x £ -2
ìï x > -3
ì x > -3
ï
ï
13
Û ïí
Û -3 < x £ (II) Û ïí
13
ï
ïï x £ 6
ï 6x + 13 £ 0
ỵ
ïỵ
6
Kết hợp với điều kiện x < 3 suy ra bất phương trình có tập nghiệm S = (-¥; Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = (-¥; Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau
a)

51 - 2x - x 2
<1
1-x

b)

13
] È [3; +¥)
6

2(x 2 - 16)
x -3

+ x -3 >

2x - 3
4
+ 3 ³ 6 2x - 3 +
x +1
x +1
Lời giải
a) * Nếu 1 - x > 0 Û x < 1
ìï x < 1
ïï
Ta có bất phương trình Û ïí 51 - 2x - x 2 ³ 0
ïï
ïï 51 - 2x - x 2 < 1 - x
ïỵ
ïìï x < 1
ï
Û ïí1 - 52 £ x £ 1 + 52 Û 1 - 52 £ x < -5 .
ïï 2
ïï x > 25
ỵ
* Nếu x > 1 Þ ln đúng vì VT < 0 < 1 .

7 -x

x -3

.

c) 8

Vậy nghiệm tập bất phương trình đã cho là S = [1 - 52; -5) È ( 1; +¥ ) .
ìï é x ³ 4
ïï ê
ìï x 2 ³ 16
Û ïí êêë x £ -4 Û x ³ 4 .
b) ĐKXĐ: ïí
ïï x > 3
ïï
ỵ
ïïỵ x > 3
Bất phương trình Û 2(x 2 - 16) + x - 3 > 7 - x
Û

2(x 2 - 16) > 10 - 2x kết hợp với điều kiện x ³ 4 ta có bất phương trình
ïìï x ³ 4
ì
10
2
x
<
0
ï
ï
Ûï
(I) hoặc ïí10 - 2x ³ 0
(II)
í
ï

ïï 2
x ³4
ï
2
ỵ
ïï 2(x - 16) > (10 - 2x )
ỵ
ìï x > 5
Ûx >5
Ta có ( I ) Û ïí
ïï x ³ 4
ỵ

271

13
]
6


ì
ï
x ³4
ï
ì
4£x £5
ï
ï
ï
ï

.
II
Û
10
2
x
³
0
Û
( ) íï
í 2
ï
x
20
x
+
66
<
0
ï
ï
ỵ
2(x 2 - 16) > (10 - 2x )2
ï
ï
ỵ
ì
4£x £5
ï
ï

Û 10 - 34 < x £ 5
í
ï
10 - 34 < x £ 10 + 34
ï
ỵ
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 10 - 34; +¥

(

)

ìï 2x - 3 ³ 0
3
Ûx ³ .
c) ĐKXĐ: ïí
ïï x + 1 > 0
2
ỵ
Bất phương trình Û 8 2x - 3 + 3 x + 1 = 6 (2x - 3)(x + 1) + 4

(

)

Û 4(2 2x - 3 - 1) + 3 x + 1 1 - 2 2x - 3 ³ 0

(

)(

)

Û 2 2x - 3 - 1 4 - 3 x + 1 ³ 0
Û

(2

(8x - 13)(7 - 9x )

)(

2x - 3 + 1 4 + 3 x + 1

Û (8x - 13)(7 - 9x ) ³ 0 Û

)

³0

7
13
£x £
9
8

é 3 13 ù
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ê ; ú .
êë 2 8 úû
Loại 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau
a) ( x + 1 )( x + 4 ) < 5 x 2 + 5x + 28

b) ( x + 1 )( x - 3 ) <

1 - x 2 + 2x

-x 2 + 2x + 3

7x + 7 + 7x - 6 + 2 49x 2 + 7x - 42 < 181 - 14x
3
1
< 2x +
-7
d) 3 x +
2x
2 x
Lời giải
a) Bất phương trình Û x 2 + 5x + 4 < 5 x 2 + 5x + 28

c)

Đặt t =

x 2 + 5x + 28, t > 0 Þ x 2 + 5x + 4 = t 2 - 24

Bất phương trình trở thành t 2 - 24 < 5t
Û t 2 - 5t - 24 < 0 Û -3 < t < 8

Suy ra x 2 + 5x + 28 < 8 Û x 2 + 5x - 36 < 0 Û -9 < x < 4

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = ( -9; 4 )
b) ĐKXĐ: -x 2 + 2x + 3 > 0 Û -1 < x < 3
Bất phương trình Û (x 2 - 2x - 3) -x 2 + 2x + 3 < 1 - x 2 + 2x
Đặt t =

-x 2 + 2x + 3, t > 0 Þ -x 2 + 2x = t 2 - 3 .

Bất phương trình trở thành -t 3 < -2 + t 2 Û t 3 + t 2 - 2 > 0
Û (t - 1)(t 2 + 2t + 2) > 0 Û t > 1
Do đó ta có -x 2 + 2x + 3 > 1 Û -x 2 + 2x + 3 > 1
Û x 2 - 2x - 2 < 0 Û 1 - 3 < x < 1 + 3 .

272


Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là
S = 1 - 3;1 + 3

(

)

ìï 7x + 7 ³ 0
6
Ûx ³ :
c) ĐKXĐ: ïí
ïï 7x - 6 ³ 0
7
ỵ
Đặt : t = 7x + 7 + 7x - 6, t ³ 0

Þ t 2 = 7x + 7 + 7x - 6 + 2
Þ 14x + 2

( 7x + 7 )( 7x - 6 )

( 7x + 7 )( 7x - 6 ) = t 2 - 1

Bất phương trình trở thành t 2 + t - 1 < 181
Û t 2 + t - 182 < 0 Û -14 < t < 13
Ta có 7x + 7 + 7x - 6 < 13

ì
x < 12
ï
ï
49x 2 + 7x - 42 < 84 - 7x Û í
2
2
ï
49
x
+
7
x
42
<
84
7
x
(

)
ï
ï
ỵ
ì
x
<
12
ï
Ûï
Ûx <6
í
ï
x
<
6
ï
ỵ
Û

6
Đối chiếu với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = [ ;6)
7
d) ĐKXĐ: x > 0 .
ỉ
ỉ
1 ư÷
1 ÷ư
Bất phng trỡnh 3 ỗỗ x +
ữ < 2 ỗỗ x +

ữ-7
ỗố
ỗố
4x ữứ
2 x ứữ

t t =

x +

1

,t > 0 Þ t 2 = x +

1
1
+1 Þ x +
= t2 - 1
4x
4x

2 x
Bất phương trình trở thành 3t < 2 ( t 2 - 1 ) - 7

é t>3
ê
Û 2t - 3t - 9 > 0 Û ê
Û t > 3 (do t > 0 )
êt < - 3
êë

2
2

Ta có x +

1

2 x

> 3 Û x +1+

1
>9
4x

é
êx > 8 + 3 7
ê
2
Û 4x 2 - 36x + 1 > 0 Û ê
ê
8-3 7
êx <
êë
2
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là
ỉ 8 - 3 7 ửữ ổ 8 + 3 7
ửữ
ữữ ẩ ỗỗ
ữữ

S = ỗỗỗ 0;
;
+Ơ
ỗ
ữứ
2
2
ốỗ
ứữ ỗố
Vớ d 7: Gii cỏc bt phng trình

a) x + 1 + x 2 - 4x + 1 ³ 3 x
Lời giải

273

b) 1 >

3

1 - x2

+

1
x -1
2


ìï é x ³ 2 + 3

ïï ê
é x ³2+ 3
ì x 2 - 4x + 1 ³ 0
ï
ê
ï
ï
Û í ê x £ 2 - 3 Û êê
a) ĐKXĐ: í
ïï
ïï ë
x ³0
êë 0 £ x £ 2 - 3
ỵ
ïï x ³ 0
ỵ
Dễ thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình.

Với x > 0 , bất phương trình tương đương với
Đặt t =

x +

1

x

,t > 0 Þ t 2 - 2 = x +

x +

1

x

+ x+

1
-4 ³ 3
x

1
, bất phương trình trở thành
x

ét>3
é
3 -t < 0
ê
ê
êìt £ 3
5
ê
3 -t ³ 0
Û ê ïìï
Û ê ïïï
Ût ³
êí
2
2

ê íï 2
ê ïït ³ 5
êëỵ
ïït - 6 ³ ( 3 - t )
êëỵ
ï
2
1
5
1
25
³ Û x + +2 ³
Từ đó ta có x +
2
x
4
x
éx ³ 4
ê
2
Û 4x - 17x + 4 ³ 0 Û ê
êx £ 1
êë
4
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trình đã cho là
é 1ù
S = ê 0; ú È [4; +¥)
êë 4 úû

b) ĐKXĐ: 1 - x 2 > 0 Û -1 < x < 1

1
3
Bất phương trình Û
-1+ 2 >
2
1-x
1 - x2
x2
x
Û
-3
+ 2 > 0.
2
1-x
1 - x2

ét < 1
ta có bất phương trình : t 2 - 3t + 2 > 0 Û êê
1 - x2
êë t > 2
é -1 < x < 0
ê
x
ì0 £ x < 1
< 1 Û 1 - x 2 > x Û êê ï
* t <1Û
ï
1 - x2
2
2

êí
êï
ï1 - x > x
ëỵ
é -1 < x < 0
ê
1
Û ê
Û -1 < x <
.
1
ê0 £ x <
2
êë
2

Đặt t =

*t>2Û
Û

2

5

x

ì0 < x < 1
ï
> 2 Û x > 2 1 - x2 Û ï

í 2
ï
x > 4(1 - x 2 )
1 - x2
ï
ỵ
x

< x < 1.

ổ
1 ửữ ổỗ 2 ữử
;1 ữữ .
Vy nghim ca bt phng trỡnh ó cho l: T = ỗỗ -1;
ữữ ẩ ỗ
ốỗ
2 ứ ốỗ 5 ứ
Vớ d 8: Gii các bất phương trình sau

274

t2 - 6 ³ 3 - t


a) x 3 - 3x 2 + 2

(x + 2)

3

- 6x ³ 0

b) x 3 - 4x 2 - 5x + 6 £

3

7x 2 + 9x - 4

Lời giải
a) ĐKXĐ: x ³ -2 .
Đặt y =

x + 2 , điều kiện y ³ 0 .

x 3 - 3xy 2 + 2y 3 ³ 0
é x +2 = x
éx = y
2
Û êê
Û ( x - y ) ( x + 2y ) ³ 0 Û êê
êë 2 x + 2 ³ -x
êë x + 2y ³ 0
ìï x ³ 0
Với x + 2 = x Û ïí
Ûx =2
ïï x + 2 = x 2
ỵ
éx ³ 0
éx ³ 0
ê

Với 2 x + 2 ³ -x Û êê ìïï x £ 0
Û x ³ 2-2 3.
Û êê
êë 2 - 2 3 £ x £ 0
ê íï 4(x + 2) ³ x 2
êëỵ
ï
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S = éê 2 - 2 3; +¥
ë

Bất phương trình trở thành:

)

b) Bất phương trình tương đương với
Û ( x + 1) + x + 1 £
3

Đặt a = x + 1, b =

3

3

( x + 1)

3

- 7x 2 - 8x + 5 £

3

7x 2 + 9x - 4

7x 2 + 9x - 4 + 7x 2 + 9x - 4

7x 2 + 9x - 4 , bất phương trình trở thành :

a 3 + a £ b 3 + b Û (a - b ) (a 2 + ab + b 2 ) + a - b £ 0

Û ( a - b )( a 2 + ab + b 2 + 1 ) £ 0 Û a £ b (do a 2 + ab + b 2 + 1 > 0 )

Suy ra x + 1 £

7x 2 + 9x - 4 Û x 3 - 4x 2 - 6x + 5 £ 0
é
ê x £ -1 - 5
ê
2
Û ( x - 5 )( x 2 - x + 1 ) £ 0 Û ê
ê -1 + 5
£x £5
ê
êë
2
æ
-1 - 5 ùú éê -1 + 5 ùú
;5 ú .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho l S = ỗỗỗ -Ơ;

ỳẩờ
2
2
ốỗ
ỳỷ
ỷỳ ởờ
2
Vớ d 9: Cho phương trình x + 1 - x + x - x = m
a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
b) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm.
Lời giải
ĐKXĐ: 0 £ x £ 1
a) Giả sử phương trình cso nghiệm duy nhất x 0 tức là ta có
3

x 0 + 1 - x 0 + x 0 ( 1 - x 0 ) = m ta có thể viết lại là

1 - x0 + x0 +

(1 - x 0 ) x 0

= m do đó 1 - x 0 cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì x 0 = 1 - x 0 Û x 0 =
thay vào ta có m =

275

1+2 2
2

1
2


Với m =

1+2 2
ta có phương trình
2
x - x2 =

Áp dụng BĐT cơsi ta có
Mặt khác

(

x + 1-x

)

2

x + 1 - x + x - x2 =
x (1 - x ) £

x +1-x
1
=
2

2

= 1 + 2 x (1 - x ) £ 2 Þ

1+2 2
(*)
2

x + 1-x £

2

1
1+2 2
, đẳng thức xảy ra Û x =
2
2
Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Suy ra

x + 1 - x + x - x2 £

1+2 2
là giá trị cần tìm.
2
b) Đặt t = x + 1 - x Þ t 2 = 1 + 2 x ( 1 - x )

Vậy m =

Theo câu a ta có 1 £
Suy ra 1 £ t £

2

(

x + 1-x

)

2

= 1 + 2 x (1 - x ) £ 2

t2 - 1
= m Û t 2 + 2t - 1 = 2m (**)
2
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm thỏa mãn 1 £ t £
Û Đồ thị hàm số y = t 2 + 2t - 1 trên éê 1; 2 ùú cắt đường thẳng y = 2m .
ë
û
2
é
ù
Xét hàm số y = t + 2t - 1 trên ê 1; 2 ú
ë
û
Bảng biến thiên
t

1
2

Phương trình trở thành t +

1+2 2

y

0

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm Û 1 £ 2m £ 1 + 2 2 hay Û
Ví dụ 10: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ³ 1
Lời giải
ĐKXĐ: x ³ 1 .
Chia hai vế phương trình cho

1
1+2 2
£m £
2
2

3 x - 1 + m x + 1 ³ 24 x2 - 1 .

x + 1 > 0 ta có

Bất phương trình tương đương với 3

x -1

x -1
+ m ³ 24
.
x +1
x +1

x -1
2
= 4 1Þ 0 < t < 1, "x ³ 1
x +1
x +1
Bất phương trình trở thành: 3t 2 + m ³ 2t Û -3t 2 + 2t £ m (*) .
Bất hương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ³ 1 Û (*) nghiệm đúng t Ỵ (0;1)

Đặt t =

4

Û m ³ max f ( t ) với f ( t ) = -3t 2 + 2t .
( 0;1 )

Xét hàm số f ( t ) = -3t 2 + 2t trên ( 0;1 )
Bảng biến thiên

276

2


t

1
3
1
3

0

f (t )

0

1

-1

Từ bảng biến thiên suy ra max f ( t ) =
( 0;1 )

1
3

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ³ 1 Û m ³
Vậy m ³

1
là giá trị cần tìm.
3

1

3

Loại 3: Phương pháp đánh giá
Đối với phương trình ta thường làm như sau
Cách 1: Tìm một nghiệm và chứng minh nó là nghiệm duy nhất.
Cách 2: Biến đổi hằng đẳng thức đưa về bất phương trình f ( x ) = 0 trong đó f ( x ) là tổng các bình
phương.
Cách 3: Với phương trình f (x ) = g(x ) có tập xác định D
ì
ì
ï f (x ) ³ m(x )
ï f (x ) = m(x )
Nếu ïí
, "x Ỵ D thì f (x ) = g(x ) Û ïí
.
ï
ï
g(x ) £ m(x )
g(x ) = m(x )
ï
ï
ỵ
ỵ
Ví dụ 11: Giải các phương trình sau
a)

6
+
3-x

8
=6
2-x

c) x - x - 1 - x = 1
Lời giải
a) ĐKXĐ: x < 2 .

x - 1 + x x 3 - 3x + 2 = 1 - x

b)
d)

4

x +8+ x +4 =

Ta thấy rằng phương trình có một nghiệm là x =
Thật vậy
* Với x <

3
6
>4Þ
ta có
2
3-x

2x + 3 +

3x

3
và ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất .
2

6
> 2 và
3-x

8
>
2-x

6
8
+
> 6 Þ phương trình vơ nghiệm.
3-x
2-x
3
6
6
< x < 2 ta có
<4Þ
< 2 và
* Với
2
3-x
3-x

8

3
22

=4

Þ

8
< 6 Þ phương trình vơ nghiệm.
2-x
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2
ìï x - 1 ³ 0
x -1 ³ 0
ïì
b) ĐKXĐ: ïí 3
Û ïí
Û x ³1
ïï x - 3x + 2 ³ 0
ïï( x - 1 )2 ( x + 2 ) ³ 0
ỵ
ïỵ

Suy ra

277

6
+
3-x

8
<
2-x

8

3
22

=4


Dễ thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
Với x > 1 ta có x - 1 + x x 3 - 3x + 2 > 0, 1 - x < 0 do đó phương trình vơ nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

ì x ³0
ï
Û 0 £ x £ 1 (*)
c) Rõ ràng phương trình có nghiệm phải thỏa mãn ïí
ï
1-x ³ 0
ï
ỵ
x =

Phương trình tương đương với
Do

x - 1-x +1 ³ 1 Þ

x - 1-x +1

x ³ 1 Þ x ³ 1 (**)

ì
ï0 £ x £ 1
Ûx =1
Từ (*) và (**) phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn ïí
ï
x ³1
ï
ỵ
Thử x = 1 vào thấy khơng là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
d) ĐKXĐ: x ³ 0

Phương trình tương đương với 2x + 3 - x + 4 = 4 x + 8 - 3x
Dễ thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
Với x > 1 ta có 2x + 3 > x + 4 Û 2x + 3 - x + 4 > 0
Và ( x - 1 )( 9x + 8 ) > 0 Û 9x 2 - x - 8 > 0 Û x + 8 < 9x 2 Û 4 x + 8 - 3x < 0
Suy ra phương trình vơ nghiệm
Với 0 £ x < 1 ta có 2x + 3 < x + 4 Û

2x + 3 - x + 4 < 0

Và ( x - 1 )( 9x + 8 ) > 0 Û 9x 2 - x - 8 > 0 Û x + 8 > 9x 2 Û
Suy ra phương trình vơ nghiệm
Vậy phương trình cso nghiệm duy nhất x = 1 .
Ví dụ 12: Giải các phương trình sau
a) x 2 - 9x + 28 = 4 x - 1
b) 1 - 2x + 1 + 2x = 2 - x 2
c) 20x + 38 = 4 x + 1 + 6 2x + 3 + 12 2x 2 + 5x + 3
Lời giải
a) ĐKXĐ: x ³ 1

4

x + 8 - 3x > 0

Phương trình tương đương với x 2 - 10x + 25 + ( x - 1 ) - 4 x - 1 + 4 = 0
Û (x - 5)2 + ( x - 1 - 2)2 = 0 (*)

Vì (x - 5)2 + ( x - 1 - 2)2 ³ 0 với mọi x nên
ìï x - 5 = 0
Ûx =5
Phương trình (*) Û ïí
ïï x - 1 - 2 = 0
ỵ
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 .
ì
ï 1 - 2x ³ 0
1
1
Û- £x £

b) ĐKXĐ: ïí
ï
1 + 2x ³ 0
2
2
ï
ỵ
Phương trình tương đương với

(

1 - 2x + 1 + 2x

Û 2 + 2 1 - 4x 2 = 4 - 4x 2 + x 4 Û

(

2

1 - 4x 2 - 1

ìï
x =0
Û ïí
Ûx =0
ïï 1 - 4x 2 - 1 = 0
ỵ
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 .

278

)

= (2 - x 2 )

2

)

2

+ x4 = 0


ì
ï x +1 ³ 0
Û x ³ -1
c) ĐKXĐ: ïí
ï
2x + 3 ³ 0
ï
ỵ
Phương trình tương đương với
x + 1 - 4 x + 1 + 4 + 2x + 3 - 6 x + 1 + 9 + 9x + 9 - 12 (x + 1)(2x + 3) + 8x + 12 = 0

(

) (

) (

Û ( x + 1 - 2)2 + ( 2x + 3 - 3)2 + (3 x + 1 - 2 2x + 3)2 = 0
ì
ï
x +1-2 = 0
ï
ï
ï
Û í 2x + 3 - 3 = 0
Û x = 3 (thỏa mãn điều kiện)
ï
ï
ï
ï 3 x + 1 - 2 2x + 3 = 0
ï
ỵ
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 .
Ví dụ 13: Giải các phương trình sau
a) x 2 + x - 1 + -x 2 + x + 1 = x 2 - x + 2
2x 2 + x - 1
= x (x - 1)
b)
1+ 3 x +1

c) 3 x 2 - 1 + x = x 3 - 2
Lời giải
a) Giả sử PT có nghiệm x . Theo bất đẳng thức cơsi ta có :
1 + x2 + x - 1 x2 + x
1.(x 2 + x - 1) £
=

2
2
2
1 - x + x + 1 -x 2 + x + 2
1.(-x 2 + x + 1) £
=
2
2
2
2
Cộng vế với vế ta được x + x - 1 + -x + x + 1 £ x + 1
Suy ra x 2 - x + 2 £ x + 1 Û ( x - 1 ) £ 0 Û x = 1
2

Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
b) Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó nghiệm của nó phải thỏa mãn
ì
x +1 > 0
ù
ù
ù
ù
x ẻ {-1 } ẩ [1; +Ơ)
ớx ( x - 1) ³ 0
ï
ï
2x 2 + x - 1 ³ 0
ï
ï

ỵ
Rõ ràng x = -1 khơng là nghiệm của phương trình, ta xét x ³ 1
Phương trình đã cho Û 2x 2 + x - 1 = x 2 - x + 3 x (x 2 - 1) (*)
Áp dụng BĐT cơsi ta có
3 ( x + x 2 - 1)
x2 - x
2
2
x -x £
, 3 x (x - 1) £
2
2
2
x 2 - x 3 ( x + x - 1)
+
= 2x 2 + x - 1 = VT (*)
Suy ra VP (*) £
2
2
1± 5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 - x - 1 = 0 Û x =
2
1+ 5
Thử lại phương trình ta thấy x =
là nghiệm của phương trình
2
1+ 5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
.
2

279

)


c) ĐKXĐ: x 3 - 2 ³ 0 Û x ³
Giả sử phương trình có nghiệm

3

2

Sử dụng bất đẳng thức côsi, ta được

3

x2 - 1 £

2(x - 1) + (x + 1) + 4
x +1
=
.
6
2

x +1
+ x ³ x3 - 2
2
Û 4(x 3 - 2) £ (3x + 1)2 Û (x - 3)(4x 2 + 3x + 3) £ 0 Û x £ 3

Kết hợp với phương trình suy ra

Như vậy ta có
Ta có
và

3

3

2 £ x £ 3. (**)

x 2 - 1 ³ x - 1 Û x + 1 ³ (x - 1)2 Û x (3 - x ) ³ 0 (đúng với đk (**))

x 3 - 2 £ 2x - 1 Û (x - 3)(x 2 - x + 1) £ 0 (đúng với đk (**))

Suy ra 3 x 2 - 1 + x ³ 2x - 1 ³ x 3 - 2
Đẳng thức xảy ra khi x = 3 . Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 .
Nhận xét: Với điều kiện xác định của phương trình thì việc đánh giá của chúng ta khó khăn, đơi khi
là khơng thể đánh giá vì miền của biến lúc đó rộng khơng đảm bảo cho việc đánh giá. Do đó ràng
buộc thêm điều kiện đối với nghiệm của phương trình giúp chúng ta thuận lợi trong đánh giá từ đó
giải quyết được bài tốn.
Ví dụ 14: Giải các bất phương trình sau
2
> 2x
a) x 2 +
b) 2x 2 - 11x + 21 £ 3 3 4x - 4
2

-x + 6x - 5
Lời giải
a) ĐKXĐ : -x 2 + 6x - 5 > 0 Û 1 < x < 5
2
2
Ta có x 2 +
= x2 +
³ x 2 + 1 (1)
2
2
-x + 6x - 5
-(x - 3 ) + 4
Mặt khác x 2 + 1 ³ 2x , dấu bằng xảy ra Û x = 1 suy ra x 2 + 1 > 2x , "x Ỵ ( 1;5 ) (2)
Từ (1) và (2) ta có với mọi x Ỵ ( 1;5 ) ta có
x2 +

2

> 2x
-x + 6x - 5
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = ( 1;5 ) .
2

b) Xét tam thức f ( x ) = 2x 2 - 11x + 21 , có a = 2 > 0, D = -47 < 0
Suy ra f ( x ) > 0, "x

Do đó phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 3 3 4x - 4 > 0 Û x > 1
Áp dụng BĐT Cơsi ta có :
3 3 4x - 4 = 3 3 2.2 ( x - 1 ) £ 2 + 2 + x - 1 = x + 3
Kết hợp với phương trình suy ra 2x 2 - 11x + 21 £ x + 3

Û 2(x - 3) £ 0 Û x = 3
2

Thử x = 3 ta thấy là nghiệm của bất phương trình
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 .
3. Bài tập luyện tập
Bài 4.120: Giải các bpt sau :
a. x - 3 < 2x - 1
b.
c.

280

3x - 2 > 4x - 3

d.

x2 - x + 1 £ x + 3

3x 2 + x - 4 ³ x + 1


Bài 4.121: Giải các bất phương trình sau.
a) (x 2 - 3x ) 2x 2 - 3x - 2 ³ 0

b)

c) x 2 + 3x + 1 £ (x + 3) x 2 + 1 .
Bài 4.122: Giải các bpt sau :
a ) 2x - 1 £ 8 - x

x2

(1 + 1 + x )2

b) 2x 2 - 6x + 1 - x + 2 > 0

c)

-x 2 + 6x - 5 > 8 - 2x

d)

e)

x +2 - x +1 <

f)

x

x +3 ³

(

2x 2

a)

-3x 2 + x + 4 + 2

<2
x

c)

x 2 - 8x + 15 + x 2 + 2x - 15 £

b)

g)
h)

25 - x 2 + x 2 + 7x > 3

(

b)

)

d) 1 + x + 1 - x £ 2 -

1+x - 1-x ³ x
2x

2x + 9

<

2x + 1 - 1

1
1
2
+ x- 2 >
2
x
x
x
2
4x - 18x + 18

f)

x+

2x + 4 - 2 2 - x >12x - 8

Bài 4.125: Giải các bất phương trình sau:
a ) 3x 2 + 6x + 4 < 2 - 2x - x 2
c)

< x + 21

4x 2 - 18x + 18

d)

-3x 2 + x + 4 + 2
<2

x
x 2 - 8x + 15 + x 2 + 2x - 15 >
9x 2 + 16

)

2

x 2 - 3x + 2 + x 2 - 4x + 3 ³ 2 x 2 - 5x + 4

Bài 4.124: Giải các bất phương trình sau:
a) 4(x + 1)2 ³ (2x + 10)(1 - 3 + 2x )2

e)

2x - 8 + 7 - x

3 - 9 + 2x

Bài 4.123: Giải các bất phương trình sau :

c)

> x -4

3x 2 + 5x + 7 - 3x 2 + 5x + 2 ³ 1

b) 2x 2 + 4x + 3 3 - 2x - x 2 > 1
d)

1
x
x +1
+ 4 f)
-2
>3
2x
x +1
x
2 x
Bài 4.126: Giải các phương trình sau:
a) x + 2 7 - x = 2 x - 1 + -x 2 + 8x - 7 + 1
(2x - 1)2
b) 2x + 1 + 3 - 2x =
2
c) 10x + 1 + 3x - 5 = 9x + 4 + 2x - 2
e) 5 x +

5

< 2x +

3
2
x
35
>
x 2 - 1 12

x + 2 x -1 + x -2 x -1 >

g) x +

d) x - 1 - (x - 1)2 = 8 - x 3
Bài 4.127: Giải các phương trình sau
a) x 2 - 2x + 3 = 2x 2 - x + 1 + 3x - 3x 2
b) 3 14 - x 3 = 2 x 2 - 2x - 1 + 2 - x
2
=5
c) 2 1 + 3x - x +
x
Bài 4.128: Giải phương trình 2x + 3 + x + 1 = x 2 - 11x + 33 + 3x - 5
Bài 4.129: Cho phương trình: 2x 2 - 2 ( m + 1 ) x + m 2 + m = x - 1 (1 )

281

x2
4


a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 4.130: Cho phương trình x 2 - m x 2 + 1 + 3m + 2 = 0 (1 ) .
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
ƠN TẬP CHƯƠNG IV
Bài 4.131: Cho các số thực a, b, c là số thực. Chứng minh rằng:
a2
+ b 2 + c 2 ³ ab - ac + 2bc

4
c) (a 5 + b 5 )(a + b) ³ (a 4 + b 4 )(a 2 + b 2 ) , với ab > 0 .
Bài 4.132: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Chng minh rng
ổ1
ửổ 1
ửổ 1
ử
a) ỗỗ - 1 ữữữ ỗỗ - 1 ữữữ ỗỗ - 1 ữữữ 8
ốỗ a
ứốỗ b
ứốỗ c
ứ

a) a 4 + b 4 + c 2 + 1 ³ 2a(ab 2 - a + c + 1)

b)

a +b
b +c
c +a
+ 2
+
³3
2
2
2
b + 4bc + c
c + 4ca + a
a + 4ab + b 2
Bài 4.133: Cho a, b, c là số dương và abc = 1 . Chứng minh rằng :

b)

a)

2

a3
b3
c3
3
+
+
³
(a + 1)(b + 1) (c + 1)(b + 1) (a + 1)(c + 1) 4

1
1
1
1
+
+
£
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
Bài 4.134: Giải các bất phương trình sau
a ) x 2 - 3x - 4 £ 0
b) (1 - x )(x 2 - 5x + 6) > 0 .

b)

x3  3x  3
1
x2  x  1

x2 1  x  1

0
2 x3  1  3 x  1
Bài 4.135: Cho tam thức f (x ) = x 2 + 2(m - 3)x + m + 3 . Tìm m để
a) Phương trình f (x ) = 0 có nghiệm
b) f (x ) > 0 "x Ỵ  .

c)

c)

3

Bài 4.136: Cho tam thức: f (x ) = (m - 1)x 2 - 4(m - 1)x + 2m + 3 . Tìm m để

a) Phương trình f (x ) = 0 có nghiệm
b) Hàm số y = f (x ) xác định "x Ỵ 
Bài 4.137: Giải các hệ bất phương trình sau:
ìï x 2 - 4x + 4 £ 0
ì
ï
-2x 2 + x + 1 > 0
ï
ï
a) í

b) í 2
ïï x 2 - 3x < 0
ï
ï 3x + 2x - 3 £ 0
ỵ
ỵ
ìï x + 1
x 1

ïï
x
³0
 2
c) í 3 - 2x
d)  x  4 x  5
ïï x 2 - x - 1 £ 0
4 x 2  7 x  4  0
ỵï
Bài 4.138: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình và hệ bất phương trình sau:

282


ìï 2x + y > -3
ïï
b) ïí 2 ( 3x - y + 3 ) < 3 ( 2x - y + 2 )
ïï
ïïỵ x + y + 1 < 0
Bài 4.139: Giải bất phương trình:
a) 2x 2 - 6x + 1 - x + 2 < 0

b) x + 9 - x £ -x 2 + 9x + 6
x + 2y
2x + y
>
a)
-2
-3

x 2  3x  2  x 2  4 x  3  2 x 2  5 x  4
( 9m + 4 ) x
7mx
Bài 4.140: Cho bất phương trình: 2
- 2
³2
x +x +9 x -x +9
a) Giải bất phương trình với m = 28 .
b) Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm.
Bài 4.141: Giải các bất phương trình sau:
a) x 2 + 2x 2 + 4x + 3 ³ 6 - 2x b) 2 x - 1 - x + 5 > x - 3

c)

c)

x- x

1 - 2 ( x 2 - x + 1)

³1

d)

x + 2 - x - 1 ³ x - x2 + x - 2 -

7
2

Bài 4.142: Tìm m để bất phương trình (x 2 + x - 1)(x 2 + x + m ) ³ 0 có tập nghiệm là 

283