DE THI HSG TOAN

UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỂ KIỂM TRA HỌC KÌ II MƠN TỐN LỚP 9
Năm học 2016 - 2017

Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

A. Phần trắc nghiệm. (3điểm) Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
2 x  y 5

Câu 1. Nghiệm (x; y) của hệ phương trình 3x  y 10 là: A.(3;-2); B.(3; 1); C.(1;3); D.(-3;1).

Câu 2. Đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm A(-2;-8). Khi đó hệ số a bằng:
A.- 2;
B. - 8;
C. 4;
D. – 4.
Câu 3. Diện tích hình quạt trịn bán kính 3cm, cung 600 là:

A. 2 cm2

5
B. 2 cm2

3
C. 4 cm2

3
D. 2 cm2
 1



1; 
  1; 
Câu 4. Phương trình 3x2 - 4x +1 = 0 có tập nghiệm là: A.  1;3 ; B.  3  ; C.  1;  3 ; D. 

1

3

Câu 5. Tam giác ABC nhọn nội tiêp đường trịn tâm O. Biết góc BOC = 800. Khi đó số đo
góc BAC bằng: A. 800 ;
B. 600 ;
C. 400;
D.1600.
Câu 6. Hình trụ có bán kính đáy 2cm, diện tích xung quanh 20  (cm2). Đường cao của hình
trụ là:
A. 3cm;
B. 4cm;
C. 5cm;
D. 6cm.
B. Phần tự luận. (7 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm). Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m + 3)x - 2m + 1.
a. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 0.
b. Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân
biệt với mọi giá trị của m.

1

1

3

c. Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để x + x + x x =2 .
1
2
1 2
Bài 2. (1,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m, người ta định thu nhỏ diện tích trồng trọt
cịn 4256m2 để làm lối đi xung quanh vườn rộng 2m. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu
khu vườn.
Bài 3. (3,5 điểm). Cho đường tròn (O, R) và một điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O).
Vẽ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm) và một cát tuyến di động
AMN (AM < AN). Gọi E là trung điểm của MN; CE cắt (O) tại I.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh: AB2 = AM. AN và MN // BI
c. Gọi giao điểm của OA và BC là H. Chứng minh MON = MHN.
d. Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4. (0,5 điểm). Cho x  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = (2017 + x) - ( x - 3 + 2 x )
--------------------- Hết --------------------(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)


Đáp án - Biểu điểm
A. Phần trắc nghiệm (3điểm). Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm
Câu 1
Câu 2 Câu 3 Câu 4

Câu 5 Câu 6
B
A
D
B
C
C
B. Phần tự luận. ( 7 điểm)
Bài

Đáp án

Điểm

a. Xét PT hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = 2(m + 3)x - 2m +1
 x2 - 2(m+3)x + 2m – 1 = 0

(1)
2

1

Thay m = 0 vào PT (1) và giải được x1 3  10; x2 3  10 y1 (3  10) ; y2 (3  10)
Vậy khi m = 0 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là: A(
2
3  10;(3  10) 2 )
B( 3  10; (3  10) ) .
;
b. Xét phương trình x2 - 2(m + 3)x + 2m – 1 = 0

2

0,5

(1)

 ' (m  3)2  (2m  1) m2  4m  10

= (m+2)2 + 6 > 0 với mọi m
 PT (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Vậy đường thẳng (d) luôn cắt
parabol (P) tại hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

0,5

c. Vì x1; x2 là hồnh độ giao điểm của (d) và (P) nên x1; x2 là nghiệm của PT(1).Theo hệ

thức Vi-et ta có

 x1  x2 2( m  3)

:  x1.x2 2m  1 .

1

1

3

1

Theo đề bài ta có x + x + x x =2 nên suy ra x1x2  0  m  2 .
1
2
1 2
Có
được

1 1
3
+ +
=2
x1 x2 x1 x2
2( m+3)+3
=2
2 m− 1



x 1 + x 2+ 3
=2
x1 x 2

0,5

thay x1 + x2 = 2(m + 3) và x1x2 = 2m – 1 ta

 2(m + 3) + 3 = 4m – 2  m =

11
2

(t/m đk)

KL….
Gọi chiều dài của khu vườn là a (m), Kchiều rộng khu vườn là b (m) (ĐK: a > b > 4)
0,25đ
Chu vi khu vườn hình chữ nhật là 280 m, ta có phương trình:
(a + b).2 = 280  a +Bb = 140I (1)
Sau khi làm lối đi xung quanh khu vườn rộngN 2m thì diện tích cịn lại là 4256 m2, ta có
0,25 đ
phương trình: (a – 4)(b – 4) = 4256 (2)
2

E
a  b 140


(
a

4)(
b

4)

4256

Từ (1) và (2) ta có hệ PT:
O
M

a  b 140

ab 4800

Giải hệ, taAcó: a = 80; b = 60H ( TMĐK)
Vậy khu vườn ban đầu có chiều dài là 80m, chiều rộng 60m.
C

0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ


Hình vẽ :

K
I

B

0,25

N

3

E
M
O

H

A

C

a, HS lập luận để có ABO + ACO = 1080. Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

0,75

b, - Chứng minh ABM  ANB (g.g)  AB2 = AM. AN.
- E là trung điểm của MN nên OE  MN. Do đó E thuộc đường trịn đường kính AO.
 5 điểm A, B, E, O ,C cùng nằm trên đường trịn đường kính AO
 ABC = AEC ( góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

(1)

1,0

Xét (O) có: ABC = BIC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và day cung
cùng chắn cung BC).

(2)

Từ (1) và (2)  AEC = BIC. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên BI //MN (đpcm),
c, Có: AB2 = AM.AN mà lại có AB2 = AH.AO (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
nên AM.AN = AH.AO  AMH  AON (c.g.c)  AHM = ANO.
 tứ giác MNOH nội tiếp  MON = MHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN)
1

S AIN S ABN  AB.KN
2
d, Ta có BI//AN 
( với NK  AB)

Mà AB khơng đổi nên S.AIN lớn nhất  NK lớn nhất.
Ta có NK ≤ NB ≤ 2R  NK lớn nhất = 2R  N đối xứng với B qua tâm O.
Với x  3, ta có P = 2017 + x - x - 3 - 2 x  2P = 4034 + 2x - 2 x - 3 - 4 x
= 4034 + (x - 2 x - 3 ) + (x - 4 x )
= 4032 + (x - 3) - 2 x - 3 + 1 + (x - 4 x + 4)
= 4032 + ( x - 3 - 1)2 + ( x - 2)2  4032  P  2016
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - 3 - 1 = 0 và x - 2 = 0  x = 4
Có x = 4 (tmđk).
4
Vậy P có GTNN là 2016, khi x = 4.
Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25đ.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

1,0

0,5

0,5