Phương trình vi phân cấp 1

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
1.Định nghĩa:

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng

F(x, y, y’) = 0
Ở đây:

hay

y’ = f(x,y)

x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và

y’(x) là đạo hàm của nó
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

là hàm

y=φ(x,c)
CuuDuongThanCong.com

/>

Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi
cho hằng số

c

một giá trị cụ thể được gọi là

nghiệm riêng.

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng
nghiệm này khơng nhận được từ nghiệm tổng quát

cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm
kỳ dị

CuuDuongThanCong.com

/>

VD: Xét phương trình vi phân cấp 1
y'

Ta có:

1

dy

y'

1

y
y

2

(*)

2

dx

dy
1

y

dy
1

y

2

CuuDuongThanCong.com

dx

2

x

c

( ĐK : y

arcsin

y

1)

x

/>
c


y

sin( x

Trường hợp: y=

c)

Đây là nghiệm tổng quát

1 thỏa phương trình (*) nên cũng

là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng
chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên

là nghiệm kỳ dị
2. Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài tốn tìm nghiệm của

phương trình vi phân cấp 1
kiện ban đầu

y’=f(x,y) thỏa điều

y(xo) = yo .

CuuDuongThanCong.com

/>

VD: Xét bài tốn Cauchy
Ta có:

y'

dy
y

dy

y

dx

x

dx
x

x

ĐK :y

dy

dx

y

x

y

y'

y

c . x, c

ln y

ln x

thỏa

y(1) = 2

0
ln c , c

0

0

Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2
Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2
là

y=2.x
CuuDuongThanCong.com

/>

Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là
nghiệm riêng.
3. Các loại phương trình vi phân cấp 1
3.1 Phương trình tách biến
a. Dạng:

f(x)dx + g(y)dy = 0

b. Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm
tổng quát của phương trình là:
f ( x ) dx
CuuDuongThanCong.com

g ( y ) dy

c

/>

VD: Giải phương trình vi phân
xdx

ydy

xdx

Ta có:

2

x
2

x

2

ydy
y
2

y

2

0

c

2

c

2c

là nghiệm của phương trình.
CuuDuongThanCong.com

/>

c. Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về
dạng tách biến
Phương trình dạng:

y’=f(y)

• Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng
tách biến:
dy
f ( y)

• Nếu f(y) = 0

dx

có nghiệm

y=b

thì

y=b

nghiệm riêng của phương trình.
CuuDuongThanCong.com

/>
là


VD: Tìm nghiệm của phương trình

y'

1

y

2

thỏa điều kiện

y

Ta có:

y'

dx

y
1

y

1

dy

2

dy

y
1
CuuDuongThanCong.com

y

2

dy

y

1
y(

)
2

1
2

2

y
( ĐK : y

dx

dx

/>
1)


1

y

2

x

Từ điều kiện đầu
ta giải được

c
y( 1 )
2

1
2

c=0

Vậy nghiệm của bài tốn là
Trường hợp: y

1

y

2

x

1 khơng thỏa điều kiện đầu

nên ta loại nghiệm này

CuuDuongThanCong.com

/>

Phương trình dạng:
f 1 ( x ) . g 1 ( y ) dx

Nếu g 1 ( y ) . f 2 ( x )

f 2 ( x ) . g 2 ( y ) dy
0

0

chia 2 vế phương

trình cho g 1 ( y ) . f 2 ( x ) ta được phương trình
tách biến:
f1 ( x )
f2 ( x)

CuuDuongThanCong.com

dx

g2( y)
g1( y )

dy

0

/>

Nếu f 2 ( x )

0 tại

x=a

thì

x=a

là 1 nghiệm

y=b

thì

y=b

là 1 nghiệm

của phương trình.
0 tại

Nếu g 1( y )

riêng của phương trình.
VD1: Tìm nghiệm của phương trình
2

x (1

Vì (1

y ) dx
2

x ).( 1

CuuDuongThanCong.com

y (1
2

y )

2

x ) dy

0

0

/>

chia 2 vế phương trình cho (1

2

2

x ).( 1

y )

ta được phương trình tách biến:
x
1

x

2

y

dx
1
x

1

x

2

1 ln( 1
2

(1

CuuDuongThanCong.com

dy

0

y

dx
1
2

x )
2

y

2

x ).( 1

y

2

dy

1 ln( 1
2
2

y )

c
2

y )

e

2c

/>
c

c

*


VD2: Tìm nghiệm của phương trình:
2

xy dy

Nếu
x .( y

x.( y

(y

0 , chia 2 vế phương trình cho

1)

ta được

1)

y
y

(*)

1) dx

y

2

y

1

dy

1 dx
x

0

2

1

dy

1 dx
x

c

y

1

ln x

2

2
CuuDuongThanCong.com

y

ln y

c

/>

Ta thấy x

và y

0

1 thỏa phương trình (*)

nên đều là nghiệm của phương trình này.
Phương trình dạng y '
Đặt z

ax

by

c

Thay vì tìm hàm

y(x)

Ta có:

by '

z'

a

f ( ax

by

(với z=z(x))
ta tìm hàm

z(x).

Thay vào phương trình đầu ta được: z '
CuuDuongThanCong.com

c)

a

/>
bf ( z )


VD: Tìm nghiệm của phương trình

Đặt
Thay

z

y'

2x

2x

y

y
y'

z' 2

y’ vào phương trình đầu ta đươc:

Trường hợp

z

2

dz
z

2

ln z

2

CuuDuongThanCong.com

z' 2

ta có:

0

dx
x

c
/>
z


z

2

z

2x
y

c .e
2

c .e

y
c.e

Trường hợp z

x

x

2
x

c .e

2x

2

0

x

2

y

2x

2

Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứng
với c

0
CuuDuongThanCong.com

/>

3.2 Phương trình đẳng cấp:
a) Dạng:

y'

y
f( )
x

b) Cách giải:

Đặt u
Thay

y
x

y

u .x

y'

u

xu '

y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:
xu '

CuuDuongThanCong.com

f (u )

u

/>

VD1: Tìm nghiệm của phương trình:
y'

Đặt

e

y

u

1

x
y

x

y

y x

u .x

y'

u

xu '

Thay
y’ và vào phương trình đầu ta được
phương trình:
u

xu '

du
e

u

1

e
dx
x

CuuDuongThanCong.com

u

u

1

xu '

e

u

1

(đây là phương trình tách biến)
/>

du
1
u

e

x

u

u

ln( 1

Thay u
y

dx
x

ln( 1

CuuDuongThanCong.com

e )
y

c

ta được

x
e

ln x

y x

)

ln x

c

/>

VD2: Tìm nghiệm của phương trình
(x

2 y ) dx

dy
dx

Đặt u
Thay

1

y
x

y

xdy

y
2
x
u .x

0

( ĐK :x

y'

0)

u

xu '

y’ vào phương trình ta được u
du
1

u

CuuDuongThanCong.com

dx
x

( ĐK : 1

u

xu '
0)

/>
1

2u


ln 1

Thay u

u

ln x

y
x

Trường hợp x

ta có:

c

1

y

0 và y

u

x ( cx

c.x

1)

x thỏa mãn phương

trình đầu nên ta nhận 2 nghiệm này.

CuuDuongThanCong.com

/>

3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1
a. Dạng: y ' P ( x ) y
Nếu Q ( x )

Q (x)

(*)

0 thì phương trình y ' P ( x ) y

0

được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu Q ( x )

0 thì phương trình
y' P (x) y

Q (x)

được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 khơng
thuần nhất.
CuuDuongThanCong.com

/>

b. Cách giải: Nghiệm tổng qt của phương trình
tuyến tính cấp 1 (*) có dạng:

y

P ( x ) dx

e

P ( x ) dx

[ Q ( x ). e

dx

VD1: Tìm nghiệm của phương trình
y'

y cos x

sin x cos x

Áp dụng cơng thức nghiệm :

y

e

P ( x ) dx

CuuDuongThanCong.com

[ Q ( x ). e

P ( x ) dx

dx

/>
c]

c]


y

cos xdx

e

y

y

y

e

e

sin x

[ sin x cos x .e

sin x

[e

(sin x

CuuDuongThanCong.com

[ sin x cos x .e

sin x

1)

(sin x

c .e

sin x

1)

cos xdx

dx

c]

sin x

/>
dx

c]

c]